椭圆的参数方程 课件
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2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)

椭圆的参数方程
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
x a cos 1 .参数方程 y b sin 是椭圆的参
l:x-y+4=0的距离最小.
y
分析1: P( 8 8y2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 |
O x
2 分析2:设P( 2 2 cos , sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
y A
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 2 2 32
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
数方程. 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
x a cos 1 .参数方程 y b sin 是椭圆的参
l:x-y+4=0的距离最小.
y
分析1: P( 8 8y2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 |
O x
2 分析2:设P( 2 2 cos , sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3:平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求. 小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
y A
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 2 2 32
椭圆的参数方程 课件

y P
θ
O
A x
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在x轴xy
a b
cos, sin.
焦点在y轴xy
b cos, a sin .
知识归纳 椭圆的标准方程:
x2 y2 1
a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
( 3 )。 2
M B
A
利用几何画板动 画 演 示,理 解 椭 圆 规 工 作 原 理.
图2 9
探 究 椭 圆 规 是 用 来 画 椭 圆 的一 种 器 械,它 的 构 造 如 图2 9 所 示.在 一 个 十 字 形 的 金 属 板上 有 两 条 互 相 垂 直 的 导 槽,在 直 尺 上 有 两 个 固 定 滑块A, B,它 们 可 分 别 在 纵 槽 和 横 槽 中滑 动,在 直 尺 上 的 点M处 用 套 管 装 上 铅 笔, 使 直 尺 转 动 一 周 就 画 出一 个 椭 圆.你 能 说 明 它 的 构 造 原 理 吗?(提 示:可 以 用 直 尺AB和 横 槽 所 成 的 角 为 参 数,求 出 点M的 轨 迹 的 参 数 方 程.)
d
|
3
cos
4 sin
5
10
|
|
5
cos
3 5
sin 5
4 5
10
|
1 5
|
5 cos
0
10
|,
其中0满足cos0
3 5
, sin 0
4 5.
由三角函数性质知,当 0 0, d取最小值 5.
椭圆的参数方程课件

∴|OQ|=12-cossinφφ. ∴|OP|·|OQ|=12+cossinφφ×12-cossinφφ=4. 即|OP|·|OQ|=4 为定值.
5.对任意实数,直线
y=x+b
与椭圆xy==42scions
θ θ
(0≤θ≤2π),
恒有公共点,则 b 的取值范围是________.
解析:将(2cos θ,4sin θ)代入 y=x+b 得:
[证明] 设 M(2cos φ,sin φ),φ 为参数,B1(0,-1),B2(0,1). 则 MB1 的方程:y+1=si2ncoφs+φ1·x, 令 y=0,则 x=si2ncoφs+φ1,即|OP|=12+cossinφφ. MB2 的方程:y-1=si2ncoφs-φ1x, 令 y=0,则 x=12-cossinφφ.
若 0<35a≤1,则当 cos θ=35a 时, |PA|min= -45a2+4=1,得 a= 215(舍去); 若 1<35a<95,则当 cos θ=1 时, 由|PA|min= a2-6a+9=1, 得|a-3|=1,∴a=2,故满足要求的 a 值为 2.
[例 2] 已知 A,B 分别是椭圆3x62+y92=1 的右顶点和 上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求△ABC 的重心 G 的轨 迹方程.
代入目标函数得
z=5cos φ-8sin φ= 52+82cos(φ+φ0) = 89cos(φ+φ0)(tan φ0=85).
所以目标函数 zmin=- 89,zmax= 89.
1.已知椭圆2x52+1y62 =1,点 A 的坐标为(3,0).在椭圆上找
一点 P,使点 P 与点 A 的距离最大.
4sin θ=2cos θ+b
∵恒有公共点,∴以上方程有解.
5.对任意实数,直线
y=x+b
与椭圆xy==42scions
θ θ
(0≤θ≤2π),
恒有公共点,则 b 的取值范围是________.
解析:将(2cos θ,4sin θ)代入 y=x+b 得:
[证明] 设 M(2cos φ,sin φ),φ 为参数,B1(0,-1),B2(0,1). 则 MB1 的方程:y+1=si2ncoφs+φ1·x, 令 y=0,则 x=si2ncoφs+φ1,即|OP|=12+cossinφφ. MB2 的方程:y-1=si2ncoφs-φ1x, 令 y=0,则 x=12-cossinφφ.
若 0<35a≤1,则当 cos θ=35a 时, |PA|min= -45a2+4=1,得 a= 215(舍去); 若 1<35a<95,则当 cos θ=1 时, 由|PA|min= a2-6a+9=1, 得|a-3|=1,∴a=2,故满足要求的 a 值为 2.
[例 2] 已知 A,B 分别是椭圆3x62+y92=1 的右顶点和 上顶点,动点 C 在该椭圆上运动,求△ABC 的重心 G 的轨 迹方程.
代入目标函数得
z=5cos φ-8sin φ= 52+82cos(φ+φ0) = 89cos(φ+φ0)(tan φ0=85).
所以目标函数 zmin=- 89,zmax= 89.
1.已知椭圆2x52+1y62 =1,点 A 的坐标为(3,0).在椭圆上找
一点 P,使点 P 与点 A 的距离最大.
4sin θ=2cos θ+b
∵恒有公共点,∴以上方程有解.
椭圆的参数方程.说课课件

第三、椭圆的参数方程的实际应用 第三、椭圆的参数方程的实际应用. 采用一例一练 将例题稍作变式, 一例一练, 采用一例一练,将例题稍作变式,要求学生求最 大值,进一步巩固和加强学生解答此类问题的能力。 大值,进一步巩固和加强学生解答此类问题的能力。 并引导学生回顾求解这种问题的方法即几何法. 并引导学生回顾求解这种问题的方法即几何法 利用大致图形, 利用大致图形,一是让学生比较参数法和几何法 的各自优缺点,体会参数法的优越性; 的各自优缺点,体会参数法的优越性;二是培养学 生从多个角度认识问题的意识和习惯。 生从多个角度认识问题的意识和习惯。 练习题的选取采取异中求同, 练习题的选取采取异中求同,异是用不同题目考 察学生对椭圆的参数方程的实际应用能力; 察学生对椭圆的参数方程的实际应用能力;同就是 练习与例题的一致性, 练习与例题的一致性, 即有关椭圆的最值问题利用 椭圆的参数方程去求解, 椭圆的参数方程去求解,一般可以转化为三角函数 求最值问题。通过两道题的讲练让学生掌握一般解 求最值问题。通过两道题的讲练让学生掌握一般解 起到举一反三的作用。 法,起到举一反三的作用。
例,练习.ppt 练习
椭圆的参数方程.几何画板3 椭圆的参数方程 几何画板3.gsp 几何画板
第四、 第四、思维创新
刚才所演示的所有例题和练习都是焦点在X 刚才所演示的所有例题和练习都是焦点在 轴上的情况. 若学生能运用类比的思想, 轴上的情况 若学生能运用类比的思想,构造动 解决轨迹为焦点在y轴上的椭圆的问题 轴上的椭圆的问题.这个 点,解决轨迹为焦点在 轴上的椭圆的问题 这个 过程,与其说是模仿,倒不如说是本课方法的内 过程,与其说是模仿, 是探索创新。 化,是探索创新。 我设想是如果学生能即时想到, 我设想是如果学生能即时想到,我就在课 堂上用几何画板演示他的思考成果, 堂上用几何画板演示他的思考成果,让学生体 验成功的愉悦增强自信心。若没有想到, 验成功的愉悦增强自信心。若没有想到,则可 让他们课后思考、讨论。 让他们课后思考、讨论。把这个新的问题留给 学生自己研究,也能达到培养学生探索问题、 学生自己研究,也能达到培养学生探索问题、 解决问题的能力。 解决问题的能力。
【公开课课件】《椭圆的参数方程》课件

椭圆的参数方程
x a cos ( 为参数 ) 0,2 y b sin
练习
x 2 3 cos P是椭圆 ( 为参数)上一点, y 2 sin
OP的倾斜角为 4 ,则点P的坐标为( (B) (A) )
(A) ( 6 , 2 ) (C) (2 3, 3) (B) ( 3, 3 ) (D) (4,3)
y M B A
A,B,M三点固定,设 MBx |AM|=a,|BM|=b,
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin ,
。 所以M点的轨迹为椭圆。
例题与练习
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 3cos , (1) y 5sin .
x 8cos , (2) y 6sin .
x2 例3 点P在椭圆 y 2 1 上运动,直线x+2y4
2=0交椭圆于点A、B,问P处于何处时,P到直线
的距离最大?
y A P O B x
例3
已知椭圆 ,点P(x,y)是椭圆 上一点, ⑴求x2+y2的最大值与最小值; ⑵求3x+5y的范围;⑶若四边形ABCD内接于 椭圆,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4, 求四边形ABCD的最大面积。 ⑴方法一(参数法) 方法二(消元法)要注意元的范围22 ⑵参数法,化归法(转化为直线与椭圆有交 点,从而消元所得的一元二次方程的Δ≥0 ⑶ 关键:求出B、D到直线AC的最大距离.
说明:
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
椭圆的参数方程教学课件

5
5
小节: 椭圆的参数方程的形式 椭圆参数方程中参数的意义
(3)x2 y2 4,双曲线;
5、(1)x t 2 3t 1,(t为参数) y t 1;
(2)
x y
a a
c os4 sin 4
(为参数)
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
由例4我们得到了椭圆ax22
y2 b2
1(a b 0)
点连线的中点 。轨迹方程
解:设定点与椭圆上的点连线的中点为M (x, y)
则x y
2a
b sin 2
a cos
2
;
,
(为参数)
上述的方程消去参数,得 (x a)2 a2
y2 b2
1
4
4
例1、在椭圆x2 y2 1上求一点M, 94
使点M到直线x2y100的距离最小
y,由点A, B均在角的终边上,由三角函的数
定义有
x OAcos acos
y OBsin bsin
当半径OA绕点O旋转一周时,就得点 到M了 的轨迹,它的参数是 方程
x y
acos(为参数) bsin
这是中心在原O点 ,焦点在 x轴上的椭圆。
在椭圆的参数方 通程 常中 规, 定参 的数 范围是 [0,2)
思考:
椭圆的参数方程中参的数意义与圆的参数方 程xyrrcsions(为参数)中参数的意义类似吗?
由图可以看出, 是参 点 M所 数对应的圆的
径OA(或OB)的旋转(称 角为M 点的离心), 角不
是OM的旋转角,是 参半 数O 径M的旋转角。
椭圆参数方程的推导
椭圆的参数方程ppt课件

课堂达标测练教材超级链接解以在以a为原点直线ab为为x轴的直角坐标系中弹道方程是??????????xv0tcosyv0tsin12gt2t为参数它经过最高点30001200和点b60000的时间分别为t0和和2t0代入参数方程得??????????????3000v0t0cos1200v0t0sin12gt2002v0t0sin2gt20去消去t0得??????????v20sincos3000gv20sin22400g
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程; (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标. 分析 这是物理学中的平抛运动,选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.
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解 (1)如图所示,A为投弹点,坐标为 (0,588),B为目标,坐标为(x0, 0).记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0. 设M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它 对应时刻t,炸弹初速度v0=150 m/s, 用物理学知识,分别计算水平、竖直 方向的路程,得
0=2v0t0sin α -2gt20,
消去
t0,得vv2020ssiinn2αα
cos =2
α =3 400 g.
000
g,
解得:α =arctan45,v0=7 1 230(米/秒).
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1. 已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点,
(1)求2x+y的取值范围;
∴a≥ 2-1.
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2.点 P 在椭圆1x62+y92=1 上,求点 P 到直线 3x-4y=24 的最 大距离和最小距离.
解 设 P(4cos θ ,3sin θ ),
则 d=|12cos
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程; (2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标. 分析 这是物理学中的平抛运动,选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.
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解 (1)如图所示,A为投弹点,坐标为 (0,588),B为目标,坐标为(x0, 0).记炸弹飞行的时间为t,在A点t=0. 设M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它 对应时刻t,炸弹初速度v0=150 m/s, 用物理学知识,分别计算水平、竖直 方向的路程,得
0=2v0t0sin α -2gt20,
消去
t0,得vv2020ssiinn2αα
cos =2
α =3 400 g.
000
g,
解得:α =arctan45,v0=7 1 230(米/秒).
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1. 已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点,
(1)求2x+y的取值范围;
∴a≥ 2-1.
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2.点 P 在椭圆1x62+y92=1 上,求点 P 到直线 3x-4y=24 的最 大距离和最小距离.
解 设 P(4cos θ ,3sin θ ),
则 d=|12cos
《椭圆的参数方程》课件

引入参数
引入参数化变量描 述椭圆
求解参数值
确定椭圆参数的具 体数值
应用坐标变换
将椭圆的标准方程 转化为参数方程
椭圆参数方程的性质
可变形
参数值影响椭圆形 状
对称性
某些参数下的椭圆 具有对称性
应用广泛
在物理学、工程学 等领域有广泛应用
多样性
不同参数组合形成 不同椭圆
椭圆参数方程的应用
天体轨道
描述行星绕太阳运 动轨迹
物理模型
描述摆线运动等现 象
数据分析
用参数方程拟合实 验数据
工程设计
绘制椭圆形状的设 计图
01 人工智能
应用于图像识别和处理
02 生物医学
模拟生物运动和疾病分析
03 材料科学
用于纳米结构和材料设计
感谢观看
感谢您观看本次关于椭圆参数方程的PPT课件。通过本课件, 您了解了椭圆参数方程的定义、推导、性质和应用,希望对 您理解椭圆和参数方程有所帮助。在未来,椭圆参数方程将 在更多领域展示其重要性和应用价值。谢谢!
参数方程的几何意义
曲线形状分析
通过参数方程了解 曲线的形状特点
几何问题解决
利用参数方程解决 具体的几何问题
动态变化观察
观察曲线随参数变 化的动态效果
01 运动规律分析
通过参数方程描述物体的运动规律
02 变化趋势预测
根据参数方程预测物体的变化趋势
03 控制参数优化
利用参数方程优化系统控制参数
参数方程的工程 应用
参数方程的物理应用
运动轨迹描述
描述物体在空间中 的运动轨迹
模拟实验
通过参数方程进行 物理实验的模拟
变化过程分析
分析物体随时间变 化的状态
高中数学新人教a版精品课件1.椭圆的参数方程

第二章 参数方程
椭圆的参数方程
第二章 参数方程
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
第二章 参数方程
第二章 参数方程
2.3.2
双
2.3 曲
第
线
2双 的
章曲 几
线何
性
质
理解教 材新知
把握热 点考向
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
acos bsin
(为参数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
第二章 参数方程
1 .参数方程
x y
a b
焦点
___(_±_c_,_0_)__
__(0__,__±_c_)_
焦距
_2__c _
范围 _x_≥__a__或__x__≤__-__a_,__y_∈___R_ _y≥ ___a_或___y_≤__-__a__,__x_∈__R
性 顶点
椭圆的参数方程
第二章 参数方程
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线
设中点M (x, y)
x=2sinθ-2cosθ
x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
第二章 参数方程
第二章 参数方程
2.3.2
双
2.3 曲
第
线
2双 的
章曲 几
线何
性
质
理解教 材新知
把握热 点考向
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
acos bsin
(为参数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
第二章 参数方程
1 .参数方程
x y
a b
焦点
___(_±_c_,_0_)__
__(0__,__±_c_)_
焦距
_2__c _
范围 _x_≥__a__或__x__≤__-__a_,__y_∈___R_ _y≥ ___a_或___y_≤__-__a__,__x_∈__R
性 顶点
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)

A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
椭圆的参数方程
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
椭圆的参数方程
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析:点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)

2
2
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过 点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解: 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
Hale Waihona Puke F2X A2 X所以, 矩形ABCD最大面积为 160
y x 练习3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
椭圆的参数方程教学课件

椭圆的参数方程教学 课件
• 椭圆的参数方程的推导 • 椭圆的参数方程的求解方法 • 椭圆的参数方程的应用举例 • 椭圆的参数方程的思考题与练习
题
01
引言
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
一个椭圆是由一个焦点和两个点 之间的所有连线组成的图形。
椭圆的性质
椭圆是一个封闭图形,其长度和 宽度之间的比例是固定的。
椭圆与圆的关系及其应用
椭圆与圆的形状相似,但它们的方程 和性质存在差异。
当b=0时,椭圆变为圆,因此椭圆和 圆之间存在一种特殊的关系。
圆的方程为x^2+y^2=r^2,而椭圆 的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1, 其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半 轴。
在实际应用中,椭圆和圆可用于描述 物体运动的轨迹等。
利用三角恒等式,将三角函数、 角度、半径等参数联系起来, 推导出椭圆的参数方程。
通过对比和推导,得到椭圆的 参数方程的表达式。
椭圆的参数方程的几何意义
椭圆的参数方程中, 角度θ表示在椭圆上 的点的方位角,r表 示该点到椭圆中心的 距离。
椭圆的参数方程在极 坐标系中也有广泛的 应用。
通过参数方程,可以 清晰地描述椭圆上点 的位置和运动情况。
练习题:求解下列椭圆的参数方程。
1. 根据给定的a、b、c值,计算出椭圆的焦点到中心的距离d; 2. 根据d和c的关系,确定椭圆的偏心率e;
3. 利用e和a、b的关系,计算出椭圆的长轴和短轴的长度;
练习题:求解下列椭圆的参数方程。
01
4. 根据长轴和短轴的长度,以及 给定的θ值,计算出P点的极径ρ;
数学建模和数据处理
在掌握了椭圆的参数方程之后,可以通过数学建模和数据处理的方 法,解决与椭圆相关的实际问题,提高数学应用能力。
• 椭圆的参数方程的推导 • 椭圆的参数方程的求解方法 • 椭圆的参数方程的应用举例 • 椭圆的参数方程的思考题与练习
题
01
引言
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
一个椭圆是由一个焦点和两个点 之间的所有连线组成的图形。
椭圆的性质
椭圆是一个封闭图形,其长度和 宽度之间的比例是固定的。
椭圆与圆的关系及其应用
椭圆与圆的形状相似,但它们的方程 和性质存在差异。
当b=0时,椭圆变为圆,因此椭圆和 圆之间存在一种特殊的关系。
圆的方程为x^2+y^2=r^2,而椭圆 的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1, 其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半 轴。
在实际应用中,椭圆和圆可用于描述 物体运动的轨迹等。
利用三角恒等式,将三角函数、 角度、半径等参数联系起来, 推导出椭圆的参数方程。
通过对比和推导,得到椭圆的 参数方程的表达式。
椭圆的参数方程的几何意义
椭圆的参数方程中, 角度θ表示在椭圆上 的点的方位角,r表 示该点到椭圆中心的 距离。
椭圆的参数方程在极 坐标系中也有广泛的 应用。
通过参数方程,可以 清晰地描述椭圆上点 的位置和运动情况。
练习题:求解下列椭圆的参数方程。
1. 根据给定的a、b、c值,计算出椭圆的焦点到中心的距离d; 2. 根据d和c的关系,确定椭圆的偏心率e;
3. 利用e和a、b的关系,计算出椭圆的长轴和短轴的长度;
练习题:求解下列椭圆的参数方程。
01
4. 根据长轴和短轴的长度,以及 给定的θ值,计算出P点的极径ρ;
数学建模和数据处理
在掌握了椭圆的参数方程之后,可以通过数学建模和数据处理的方 法,解决与椭圆相关的实际问题,提高数学应用能力。
椭圆的参数方程课件

利用复数推导椭圆的参数方程
总结词
深奥、抽象
详细描述
通过引入复数,利用复数的性质 推导椭圆的参数方程,这种方法 较为深奥、抽象,需要较高的数 学素养和理解能力。
05
椭圆的参数方程的扩展知 识
利用椭圆的参数方程研究圆
椭圆的参数方程与圆的参数方程之间的联系
通过椭圆的参数方程,可以推导出圆的参数方程,从而对圆进行更深入的研究。
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
• 将椭圆的参数方程转化为直角坐标方程,可以得 到以下形式
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
$$\begin{aligned} x = a\cos\theta \\
y = b\sin\theta
椭圆的参数方程与直角坐标方程的转化
对应的直角坐标方程为
这个直角坐标方程描述了一个以$(a/2, b/2)$为圆心, $\sqrt{a^{2}/4 + b^{2}/4}$为半径的圆。
02
当t=0时,表示椭圆中心,当t在 实数范围内变化时,表示椭圆上 的点的横坐标在椭圆上移动。
椭圆的焦点与离心率
椭圆的焦点是指椭圆上与椭圆中 心距离相等的两个点,它们位于
椭圆的长轴上。
椭圆的离心率是指椭圆焦点到椭 圆中心的距离与椭圆长轴半径的
比值,用e表示。
当e增大时,椭圆变得更扁平; 当e减小时,椭圆变得更接近圆
\end{aligned}$$
$$(x - \frac{a}{2})^{2} + (y - \frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}$$
02
椭圆的参数方程的几何意 义参数t的几何意义 Nhomakorabea01
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它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2,
则
d1·d2=|absec
φ+abtan b2+a2φ| ·|absec φ-abtan φ| b2+-a2
=|a2b2seac22+φ-b2tan2 φ|=aa2+2b2b2(定值).
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时,使用曲线的 参数方程非常简捷方便,其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用,另外本题要注意公式 sec2 φ-tan2 φ=1 的应用.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2=2px 的准线为 l,焦点为 F,顶点 为 O,P 为抛物线上任一点,PQ⊥l 于 Q,求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程.
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程,然后化为普通方程即可.
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数), 当 t≠0 时,直线 OP 的方程为 y=1t x, QF 的方程为 y=-2t(x-p2), 它们的交点 M(x,y)由方程组
【自主解答】 (1)由xy= =- 3+4+sincto,s t, 得csionstt==yx-+34., ∴曲线 C1:(x+4)2+(y-3)2=1, C1 表示圆心是(-4,3),半径是 1 的圆. 曲线 C2:6x42 +y92=1 表示中心是坐标原点,焦点在 x 轴上, 长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.
y=1t x y=-2tx-p2
确定,
两式相乘,消去 t,得 y2=-2x(x-p2),
∴点 M 的轨迹方程为 2x2-px+y2=0(x≠0). 当 t=0 时,M(0,0)满足题意,且适合方程 2x2-px+y2= 0. 故所求的轨迹方程为 2x2-px+y2=0.
1.抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为yx==22pptt2, (t 为参 数),参数 t 为任意实数,它表示抛物线上除顶点外的任意一 点与原点连线的斜率的倒数.
其参数方程为yx==38scionsθθ,, (θ 为参数)
(2)依题设,当 t=π2时,P(-4,4);
且 Q(8cos θ,3sin θ),
故 M(-2+4cos θ,2+32sin θ).
又 C3 为直线 x-2y-7=0,
M
到
C3
的距离
d=
5 5 |4cos
θ-3sin
θ-13|
= 55|5cos(θ+φ)-13|,
x=asec φ y=btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x=2pt2
(1)抛物线 y2=2px 的参数方程是 y=2pt
(t∈R,t
为参数).
(2)参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点
连线的斜率
的倒数.
1.椭圆的参数方程中,参数 φ 是 OM 的旋转角吗? 【提示】 椭圆的参数方程yx==bacsionsφφ (φ 为参数)中的参 数 φ 不是动点 M(x,y)的旋转角,它是点 M 所对应的圆的半 径 OA(或 OB)的旋转角,称为离心角,不是 OM 的旋转角.
二 圆锥曲线的参数方程
1.椭圆的参数方程 普通方程
参数方程
xa22+by22=1(a>b>0)
x=acos φ y=bsin φ
(φ 为参数)
ya22+bx22=1(a>b>0)
x=bcos φ y=asin φ
(φ 为参数)
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22-by22=1(a>0,b>0)
2.用参数法求动点的轨迹方程,其基本思想是选取适当 的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参数有关,从而 得到动点的参数方程,然后再消去参数,化为普通方程.
(教材第 34 页习题 2.2,第 5 题) 已知椭圆xa22+by22=1 上任意一点 M(除短轴端点外)与短轴 两端点 B1,B2 的连线分别与 x 轴交于 P、Q 两点,O 为椭圆 的中心.求证:|OP|·|OQ|为定值.
∴a=5,b=3,c=4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(-4,0).
椭圆的参数方程yx==bacsionsθθ,, (θ 为参数,a,b 为常数, 且 a>b>0)中,常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长, 焦点在长轴上.
若本例的参数方程为yx==53scionsθθ ,(θ 为参数),则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标?
双曲线参数方程的应用
求证:双曲线xa22-by22=1(a>0,b>0)上任意一点到 两渐近线的距离的乘积是一个定值.
【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标,可利用双 曲线的参数方程简化运算.
【自主解答】 由双曲线xa22-by22=1,得
两条渐近线的方程是:bx+ay=0,bx-ay=0,
设双曲线上任一点的坐标为(asec φ,btan φ),
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx==35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程,并判断方程表示曲线的焦点坐标.
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系,消去参 数,化为普通方程,进而研究曲线形状和几何性质.
【自主解答】
由yx==35scionsθθ
得csionsθθ==3y5x,,
两式平方相加,得x522+3y22=1.
【解】
将yx==53scionsθθ ,化为5yx3==scionsθθ,,
两式平方相加,得x322+5y22=1.
其中 a=5,b=3,c=4.
所以方程的曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,焦点坐标为
F1(0,-4)与 F2(0,4).
已知曲线 C1:xy==-3+4+sincot s t ,(t 为参数),曲 线 C2:6x42 +y92=1.
MB2 的方程:y-1=si2ncoφs-φ1x, ∴|OQ|=|12-cosisnφφ |. ∴|OP|·|OQ|=|12+cosisnφφ|·|12-cosisnφφ|=4.
因此|OP|·|OQ|=4(定值).
(2012·徐州模拟)如图 2-2-2,已知椭圆x42+ y2=1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1、B2 的连线 分别交 x 轴于 P、Q 两点.
图 2-2-2 求证:|OP|·|OQ|为定值.
【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应 用,考查学生推理与数学计算能力.
【证明】 设 M(2cos φ,sin φ)(φ 为参数), B1(0,-1),B2(0,1). 则 MB1 的方程:y+1=si2ncoφs+φ1·x, 令 y=0,则 x=si2ncφos+φ1, 即|OP|=|12+cosisnφφ|.
从而当 cos θ=45,sin θ=-35时,(其中 φ 由 sin φ=35,cos
φ=45确定)cos(θ+φ)=1,d
取得最小值8
5
5 .
1.从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性.
2.第(2)问设计十分新颖,题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值,这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值.
2.双曲线的参数方程中,参数 φ 的三角函数 sec φ 的意 义是什么?
【提示】 sec φ=co1s φ,其中 φ∈[0,2π)且 φ≠π2,φ≠32π. 3.类比 y2=2px(p>0),你能得到 x2=2py(p>0)的参数方 程吗?
【提示】
x=2pt, y=2pt2.
(p>0,t 为参数,t∈R)}
(1)化 C1 为普通方程,C2 为参数方程;并说明它们分别表 示什么曲线?
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t=π2,Q 为 C2 上的动点, 求 PQ 中点 M 到直线 C3:x-2y-7=0 距离的最小值.
【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化;(2)由中点 坐标公式,用参数 θ 表示出点 M 的坐标,根据点到直线的距 离公式得到关于 θ 的函数,转化为求函数的最值.