椭圆的参数方程 课件

它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2φ| ·|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的 参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
【自主解答】 (1)由xy＝ ＝－ 3＋4＋sincto，s t， 得csionstt＝＝yx－＋34.， ∴曲线 C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1 表示圆心是(－4,3)，半径是 1 的圆． 曲线 C2：6x42 ＋y92＝1 表示中心是坐标原点，焦点在 x 轴上， 长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆．
y＝1t x y＝－2tx－p2
确定，
两式相乘，消去 t，得 y2＝－2x(x－p2)，
∴点 M 的轨迹方程为 2x2－px＋y2＝0(x≠0)． 当 t＝0 时，M(0,0)满足题意，且适合方程 2x2－px＋y2＝ 0. 故所求的轨迹方程为 2x2－px＋y2＝0.
1．抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为yx＝＝22pptt2， (t 为参 数)，参数 t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一 点与原点连线的斜率的倒数．
其参数方程为yx＝＝38scionsθθ，， (θ 为参数)
(2)依题设，当 t＝π2时，P(－4,4)；
且 Q(8cos θ，3sin θ)，
故 M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．
又 C3 为直线 x－2y－7＝0，
M
到
C3
的距离
d＝
5 5 |4cos
θ－3sin
θ－13|
＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
(t∈R，t
为参数)．
(2)参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点
连线的斜率
的倒数．
1．椭圆的参数方程中，参数 φ 是 OM 的旋转角吗？ 【提示】 椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsφφ (φ 为参数)中的参 数 φ 不是动点 M(x，y)的旋转角，它是点 M 所对应的圆的半 径 OA(或 OB)的旋转角，称为离心角，不是 OM 的旋转角．
二 圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程 普通方程
参数方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
x＝acos φ y＝bsin φ
(φ 为参数)
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当 的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而 得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
(教材第 34 页习题 2.2，第 5 题) 已知椭圆xa22＋by22＝1 上任意一点 M(除短轴端点外)与短轴 两端点 B1，B2 的连线分别与 x 轴交于 P、Q 两点，O 为椭圆 的中心．求证：|OP|·|OQ|为定值．
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
双曲线参数方程的应用
求证：双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)上任意一点到 两渐近线的距离的乘积是一个定值．
【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双 曲线的参数方程简化运算．
【自主解答】 由双曲线xa22－by22＝1，得
两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，
设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，
两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
【解】
将yx＝＝53scionsθθ ，化为5yx3＝＝scionsθθ，，
两式平方相加，得x322＋5y22＝1.
其中 a＝5，b＝3，c＝4.
所以方程的曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，焦点坐标为
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sincot s t ，(t 为参数)，曲 线 C2：6x42 ＋y92＝1.
MB2 的方程：y－1＝si2ncoφs－φ1x， ∴|OQ|＝|12－cosisnφφ |. ∴|OP|·|OQ|＝|12＋cosisnφφ|·|12－cosisnφφ|＝4.
因此|OP|·|OQ|＝4(定值).
(2012·徐州模拟)如图 2－2－2，已知椭圆x42＋ y2＝1 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1、B2 的连线 分别交 x 轴于 P、Q 两点．
图 2－2－2 求证：|OP|·|OQ|为定值．
【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应 用，考查学生推理与数学计算能力．
【证明】 设 M(2cos φ，sin φ)(φ 为参数)， B1(0，－1)，B2(0,1)． 则 MB1 的方程：y＋1＝si2ncoφs＋φ1·x， 令 y＝0，则 x＝si2ncφos＋φ1， 即|OP|＝|12＋cosisnφφ|.
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值．
2．双曲线的参数方程中，参数 φ 的三角函数 sec φ 的意 义是什么？
【提示】 sec φ＝co1s φ，其中 φ∈[0,2π)且 φ≠π2，φ≠32π. 3．类比 y2＝2px(p>0)，你能得到 x2＝2py(p>0)的参数方 程吗？
【提示】
x＝2pt， y＝2pt2.
(p>0，t 为参数，t∈R)}
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表 示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点 坐标公式，用参数 θ 表示出点 M 的坐标，根据点到直线的距 离公式得到关于 θ 的函数，转化为求函数的最值．