北京大学2016年全国优秀中学生暑期夏令营试题
清华北大真题集
2015年清华大学领军计划测试（物理）注意事项：1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积120分钟：2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题。
1、在α粒子散射实验中，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存在的区域？2、质量为m，电阻为R的圆环在如图的磁场中下落，稳定时速度为v。
求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。
方法一：由受力平衡RvLBmg22=BLv=ε有结论mgRv=ε方法二：由功能关系mgvPR=RPR2ε=有结论mgvR=ε问：关于以上哪种方法说法正确的是（）A.都正确B.都不正确C.只有方案一正确D.只有方案二正确3、理想气体做kVp=的准静态过程，已知定容比热V C和R，求该过程的比热C4、如图所示，光滑且不计电阻的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R，初速度为smv/1=，空间中有恒定的垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度为B，当金属棒减速到10v时，用时s1，速度识别器最低记录是sm/001.0，求总共记录的该导体棒运动时间为多少？5、高为H出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，则斜抛物体的射高为。
6、有一厚度为D的透明玻璃砖，一束白光以入射角60°角射入。
（1）求最早射出色光的折射率（玻璃折射率最小值为n）m in（2）若白色只有红黄绿三种颜色（并给出折射率）问那种色光最先射出？7、小磁铁在铝制空心杆中运动（无裂缝、有裂缝、有交错的矩形裂孔），则先落地的一个是哪一个？.8、均匀带电半圆环，一半带正电，一半带负电，电荷密度为λ，求P 点的场强和电势。
9、一个人在岸上以速度v 水平拉船，岸高度为h ，绳子与河夹角为θ。
此时船的速度和加速度为？2015年清华大学暑期夏令营测试（物理）本试卷共100分，考试用时90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2015年北京大学优秀中学生体验营数学试题及答案
6、已知n∈N∗，求证：
7、已知a,b,c是三角形的三条边之长，k为实数，且ak+bk=ck，求证：k<0或k>1．
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题
参考答案
1、
2、( )
提示：利用余弦定理和三角形的三边关系．
3、
提示：齐次化，有
于是所求的最大值为 ．
4、f(x)=8x3−6x+1
提示：利用三倍角公式及1−2sin(3⋅100)=0构造．
5、
7、记
若c不为最大边，则由
得
于是k>1．综上，原命题得证．
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题
文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分．
1、设 ，求 的值．
2、已知D为三角形ABC的边BC上的一点，BD:DC=1:2，AB:AD:AC=3:k:1，求k的取值范围．
3、已知正实数a,b,c满足a+b+c=1，求 的最大值．
4、构造整系数多项式函数f(x)，使f(sin100)=0．
2016年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解1
2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案2．由题意知b−a=c−b= (c−a)/2，所以()2c a====-是等差数列．3．对题中不等式整理得2x2−2(a+b)x+(a2+b2−c)⩾0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式Δ=4(a+b)2−8(a2+b2−c)=4[2c−(a−b)2]⩽0,等价于2c⩽(a−b)2，命题得证．222112z z z z z z++=因为12(1)z z a i=-，所以12(1)z z a i=+，代入上面的式子得22-2z z a=．于是有其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有22112222222211x ya bx ya b⎛-=-=⎝两式相减得1212121222()()()()x x x x y y y ya b-+-+-=同样有3434343422()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 因为A,B,C,D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD ；当此直线的斜率k 存在且不为零时，有2341221234y y y y b x x x x a k++==++ 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD ． 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．6．显然当α+β=π/2时，等式成立；由已知条件知sin 2α+sin 2β=sin αcos β+cos αsin β ,整理得sin α(sin α−cos β)=sin β(cos α−sin β).若α+β≠π/2，则有sin α−cos β与cos α−sin β同号．若它们同为正，则有sin α>cos β=sin(π/2−β),cos α=sin(π/2−α)>sin β,从而有α>π/2−β, π/2−α>β,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．综上，α+β=π/2．S △ADE =xyS △ABC =xy, S △BCE =(1−y)S △ABC =1−y,所以有S △BDE =1−xy −(1−y)=y(1−x).从而有318(1)()327BDF BDE z y x S zS zy x ∆∆++-==-≤= 当y=z=1−x 时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF 的面积有最大值8/27。
强基计划备考资料：2016年北京大学夏令营物理试题(带答案详解)
1. 如图所示，滑块 A 静置在半圆柱 B 的最高点，B 的表面光滑。初始时系统静止。现给 A 一个 轻微扰动，使得 A 沿 B 的表面下滑。若在下滑过程中，两者分离，记分离时 A 的角位置为 θ （A 和圆心的连线与竖直方向的夹角，0◦ < θ < 90◦）。对于（1）A 的质量 m 远小于 B 的质量 M ，（2）A 的质量 m 远大于 B 的质量 M 这两种情况 C
度
B(x)
=
µ0I 。有一线圈静置在磁场中，其单位长度的电阻为
2πx
r0.
第5页
(1) 当线圈以速度 v 向 x 轴正方向运动时，求瞬时电流 i (2) 求此时电流 I 与 i 之间的相互作用力 F 的大小。
解：(1) 线圈中的感应电动势为
ε
=
[ B(x0)
−
B(x0
+
] l1) l2v
=
µ0 I l1 l2 v 2πx0(x0 + l1)
项正确
第1页
2. 一个பைடு நூலகம்端开口的容器和一个质量可忽略不计的活塞构成一个封闭系统，该系统与外界绝热。其中 一个质量不可忽略的挡板把内部空间分成两个部分，两部分有质量不同、温度相同的同种气体。 系统处处无摩擦，现在把挡板缓慢抽出，过程中不漏气，则稳定后相对初始状态，气体体积和温 度的变化情况为 A
A ．温度改变，体积改变 C ．温度不改变，体积不改变
A ．两种情况下，A 都不会分离 C ．都能分离，（1）的 θ 更大
B ．只有一种情况 A 会分离 D ．都能分离，（2）的 θ 更大
解：建立坐标系如图 2 所示，设分离时 B 的速度为 V ，A 相对于 B 的速度分量分别为
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学科目试题及答案
2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题 文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分．
1、设2112
x x =-，求24+1x x 的值．
2、已知D 为三角形ABC 的边BC 上的一点，BD:DC=1:2，AB:AD:AC=3:k:1，求k 的取值范围．
3、已知正实数a,b,c 满足a+b+c=1，求(1)(1)(1)
abc a b c ---的最大值．
4、构造整系数多项式函数f(x)，使f(sin100)=0．
5、已知椭圆22
221x y a b
+=上一点P 与两焦点F 1、F 2形成的夹角∠F 1PF 2=α，求三角形F 1PF 2的面积．
6、已知n ∈N ∗，求证：222211115++...+1233
n +<
7、已知a,b,c 是三角形的三条边之长，a k +b k =c k ，求证：k<0∨k>1． 2015年北京大学优秀中学生体验营综合测试数学试题
参考答案
1、16
2、(5733
，) 提示：利用余弦定理和三角形的三边关系．
3、18
提示：齐次化，有
于是所求的最大值为1
8
．
4、f(x)=8x3−6x+1
提示：利用三倍角公式及1−2sin(3⋅100)=0构造．
5、b2tan
2
6、由
可得
故原命题得证．
7、记
若c不为最大边，则由
得
于是k>1．综上，原命题得证．。
2017年北京大学优秀中学生暑期课堂文化测评数学试题及解答
1 2017年北京大学优秀中学生暑期课堂文化测评数学试题2017年8月22日，北京大学优秀中学生暑期课堂
文化测评在北京大学举行，来自全国各地的优秀高三同学经历了上午3个小时的语数外测试，下午2个小时的物理化学测试，以及一个小时的学习能力测评。
以下为数学试题及参考解答。
1、在ΔABC 中，求证：cosA+cosB+cosC>1
2、求实数a ，使得方程ax 2-2x+2a 2
-4=0的解均为整数。
3、数列1n
中，是否存在2017个数，使其为等差数列。
4、为整系数方程20x
ax b 的无理根，求证：存在C 0>0，使得任意互质正整数p, q, 满足0
2
-C p q q 5、已知正数a,b,c 满足1
2abc ，求证：2223331
111ab
bc ca a b c 参考解答。
强基计划备考资料：2016年北京大学夏令营物理试题(带答案详解)
vx = ωR cos θ − V, vy = −ωR sin θ
(2)
根据机械能守恒定律和动量守恒定律，有
mgR(1
− cos θ)
=
1 2
m(vx2
+ vy2)
+
1 MV
2
2
(3)
mvx = M V
分离时 N = 0，则有
mg cos θ = mω2R
(4)
联立得：
m cos3 θ − 3 cos θ + 2 = 0
n
=
c ，得
v
v1 v2
=
n2 。光在真空中传播，有
n1
c
=
λν，则
ν1 = λ2
(8)
ν2 λ1
7. 如图所示，有一等距螺旋线轨道，截面半径为 R，螺距 H = 2πR，一质量为 m 的小球在轨道上 匀速下滑，忽略一切摩擦。
5. 两个质量均为 m 的小球都带正电 q，相距为 L。现用一个轻质绝缘且长为 L 的细绳连接两球， 在绳子中点处施加力使其以速度 v 匀速向前运动。在之后的运动过程中，两球之间的最短距离 为 ，此时两球相对地面的速度同为 .
第3页
解：以绳子中点为参考系，则两球的初速度大小为 v，两球相对于绳子中点做圆周运动。当 两球相距最近时，速度为零。根据能量守恒定律，有
2 × 1 mv2 = k q2
q2 −k
(6)
2
rmin
L
解得
kq2
rmin
=
mv2
+
k
q2 L
(7)
此时两球相对地面的速度同为 v
6. 红光和紫光在真空中的波长分别为 λ1 和 λ2，在水中的折射率分别为 n1 和 n2，那么红光和紫光
北京大学体验营试题(数学、英语、语文)Word版
Pku13年数学卷1. 凸五边形ABCDE 满足1AB AE DC BC DE ===+=，90B E ∠=∠=︒，求这个五边形的面积。
2. 已知2()27f x x ax =-+，若存在,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，满足(sin )(cos )f f ϕϕ=，求参数a 的取值范围。
3. 函数2y x ax b =++的图象与坐标轴交于三个不同点,,A B C ，已知ABC ∆的外心位于直线y x =上，求a b +的值。
4. 已知等差数列{}n a 的前14项和1214...77a a a +++=，若111,a a 均为正整数，求18a 的值。
5. 一个班有n 个同学，每个同学都有一个信息希望通过短信告诉别人，若每次一个同学可以给另一同学发短信告诉他（她）自己已经知道的所有信息，问同学们至少一共需要发送多少条短信才能使每个同学都知道所有信息？14pku 英语60道机读选择近一半考词汇，还有demand 从句省略should 之类的语法点 完型一篇阅读三篇估计阅读是北大老师自己出的，因为设问方式比较奇怪，不过并不很难为人……一道15空的选词填空；一道10个空的短文改错；总的讲难度大概在四级上下，题型、考点都很常规数学 5道题，每道20分1、f(x)=ax^2+8x+b,g(x)=bx^2+8x+a,f(x)min+g(x)min=0,求f(x)min 、g(x)min2、sinx,siny,sinz 严格递增的等差数列，求证：cosx,cosy,cosz 构不成等差数列3、在实数域有定义的实值函数f(x),问是否存在f(n),对任意整数n ，f(-n^2+3n+1)=f(n)^2+24、抛物线上A 、B 两点，两点切线交点K ，A 、B 中点C ，求证：KC 中点在抛物线上5、正n 边形A1A2A3……An,在AkA(k+1)的延长线上取B(k+1),使所有的三角形A(k+1)B(k+1)B(k+2)周长相等，求证：所有的三角形A(k+1)B(k+1)B(k+2)全等 语文1、选择题：稀奇古怪的，举个例子：“不好吃”有几种意思？ A.1 B.2 C.3古代“反切”的注音方法哪个对联对得最差？ A.乌衣巷-朱雀桥B.云梦泽-波月亭C.孙行者-韩退之哪个简称的简化方式与另外三个不同？ A.北大B.清华C.南开D.复旦2、文言文翻译《淮南子·主术训》（30分）凡人之论心欲小而志欲大智欲员而行欲方能欲多而事欲鲜所以心欲小者虑患未生备祸未发戒过慎微不敢纵其欲也志欲大者兼包万国一齐殊俗并覆百姓若合一族是非辐凑而为之毂智欲员者环复转运终始无端旁流四达渊泉而不竭万物并兴莫不响应也行欲方者直立而不挠素白而不污穷不易操通不肆志能欲多者文武备具动静中仪举动废置曲得其宜无所击戾无不毕宜也事欲鲜者执柄持术得要以应众执约以治广处静持中运于璇枢以一合万若合符者也故心小者禁于微也志大者无不怀也智员者无不知也行方者有不为也能多者无不治也事鲜者约所持也3、阅读理解（20分）面朝大海，春暖花开海子从明天起，做一个幸福的人喂马，劈柴，周游世界从明天起，关心粮食和蔬菜我有一所房子，面朝大海，春暖花开从明天起，和每一个亲人通信告诉他们我的幸福那幸福的闪电告诉我的我将告诉每一个人给每一条河每一座山取一个温暖的名字陌生人，我也为你祝福愿你有一个灿烂的前程愿你有情人终成眷属愿你在尘世获得幸福我只愿面朝大海，春暖花开一、结合第一节的几个意象，谈谈你对海子的幸福观的内涵的理解（8分）二、从二、三节，可以看出海子怎样的思想意境(7分)三、海子在完成此诗两个月之后就卧轨自杀了，谈谈你对写作与现实的差距的理解(5分)（我再也不想看见这首诗了……哭）4、作文（40分）近年来，北大清华的校园对游客、旅游团开放，游人众多，且乱丢垃圾，把大学弄得像农贸市场，影响了大学的教学、生活秩序。
北大暑期综合营考试卷语文(3篇)
第1篇一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，字形、字音都完全正确的是：A. 潇洒（xiāo sǎ）潮湿（cháo shī）潮涌（cháo yǒng）B. 漫步（màn bù）轻盈（qīng yíng）轻蔑（qīng miè）C. 漫步（màn bù）轻盈（qīng yíng）潮涌（cháo yǒng）D. 潇洒（xiāo sǎ）潮湿（cháo shī）轻蔑（qīng miè）2. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 为了提高学生的综合素质，学校组织了一系列的实践活动。
B. 学生们积极参加各种课外活动，丰富了自己的课余生活。
C. 这本书不仅内容丰富，而且插图精美，深受读者喜爱。
D. 随着科技的发展，人们的生活水平不断提高，但环境问题也越来越严重。
3. 下列词语中，不属于成语的是：A. 一帆风顺B. 一丝不苟C. 一举两得D. 一言九鼎4. 下列句子中，标点符号使用不正确的一项是：A. “这个问题的答案很简单，只需要把两个数相加即可。
”B. “这本书的内容很丰富，包括历史、文化、科技等多个方面。
”C. “他的演讲非常精彩，赢得了大家的阵阵掌声。
”D. “我国古代有四大发明，分别是造纸术、火药、印刷术和指南针。
”5. 下列词语中，与“众志成城”意思相近的是：A. 齐心协力B. 各抒己见C. 畏首畏尾D. 独辟蹊径6. 下列句子中，运用了比喻修辞手法的一项是：A. 这座楼就像一座巍峨的城堡。
B. 他工作非常努力，就像一台永不疲倦的机器。
C. 这本书的内容很丰富，就像一个巨大的宝藏。
D. 她的笑容就像春天的阳光一样温暖。
7. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 为了实现我们的目标，我们需要付出更多的努力。
B. 我们要发扬爱国主义精神，为祖国的繁荣富强贡献自己的力量。
C. 这本书的内容很精彩，值得我们反复阅读。
2016史学暑期课程笔试真题及解题思路
2016年北京大学暑期课程（史学）真题笔试：分为中国史和世界史，各考3小时中国史（1、2题中选答一道，3、4题中中选答一道，5、6题必答）1.如果可以穿越，你想穿越到哪个朝代，与谁为伍？为什么？2.写出中国近现代史的四位学者及其研究方向、著作这两道是开放型试题，范围分别为古代史和近代史，旨在了解同学的兴趣方向，考察史实积累。
第一题有四个问题：朝代、为什么、人物、为什么。
要对每个问题进行明确回答。
比如我想穿越回东汉末年，与刘备为伍。
（首先回答选择该朝代的原因，其实就是回答时代背景）东汉末年，中央集权衰弱，地方势力崛起，政治领域出现大洗牌，平民有了新的上升渠道。
（然后回答选择该人物的原因，其实就是回答你对该人物生平的了解）刘备作为蜀国的开创者，自身有较强的能力，并且出生卑微，能容下我这一介草民。
其奋斗历程远比曹孙艰辛，成为一方霸主已垂垂老矣，我希望能助他一臂之力，帮助他光复汉室，成就一番伟业。
第二题有三个问题，应采用列举法作答，切忌画蛇添足。
3简介一本关于中国近代史的书，并且描述你受到的启发推荐陈旭麓先生《近代中国社会的新陈代谢》备考时注意至少要在中国古代史、中国近代史、世界史中各选一本有代表性的专业类书籍仔细阅读，并选择自己感兴趣的部分精读，无论是在笔试还是面试中都非常有用。
4简要介绍1895到1937年间日本对中国的侵略1.1900年八国联军侵华2.1905年日俄战争3.1929年济南事件4.1931年九一八事件5.1932年一二八事件6.1933年长城抗战7.1935年华北事变5.明朝于慎行的材料观点提炼并谈谈自己的观点（关于长城和大运河，作者主要观点是秦始皇和隋炀帝不仁而有功）提炼观点要言简意赅，谈自己的观点注意利用史实论证6.繁体史料誊写加标点（具体文章记不清了，网上也找不到，找了一道往年真题）（2007北大自招：誊写繁体材料并加标点）儒之為教大矣其利物博矣篤父子正君臣尚忠節重仁義貴廉讓賤貪鄙開政化之本源鑿生民之耳目百王損益壹以貫之雖世或汙隆而斯文不墜經邦致治非壹時也涉其流者無祿而富懷其道者無位而尊故仲尼頓挫於魯君孟軻抑揚於齊後荀卿見珍於強楚叔孫取貴於隆漢其余處環堵以驕富貴安陋巷而輕王公者可勝數哉自晉室分崩中原喪亂五胡交爭經籍道盡魏氏發跡代陰經營河朔得之馬上茲道未弘暨夫太和之後盛修文教搢紳碩學濟濟盈朝縫掖巨儒往往傑出其雅誥奧義宋及齊梁不能尚也南北所治章句好尚互有不同江左周易則王輔嗣尚書則孔安國左傳則杜元凱。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京大学2016年全国优秀中学生体验营（综合夏令营）
综合测试真题
1.设关于x 的方程2sin cos 0x x a ++=在实数范围内有解，求实数a 的取值范围。
【解答】题中方程有解即2sin cos x x a --=有解，从而有
2
215cos cos 1cos 24a x x x ⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭
于是实数a 的取值范围是5,14⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦。
2. 设,,a b c 均为正数且,,a b c
是否成等差数列，并说明理由。
【解答】由题意知()1
2
b c c b c a -=-=
-，所以
c b b a b a +=+==
---
成等差数列。
3. 设,,a b c 为实数,证明:当且仅当()2
2a b c -≥时,对任意实数x 都有
()()
22
x a x b c -+-≥成立。
【解答】整理题中不等式得
()()222220x a b x a b c -+++-≥,
此不等式恒成立的条件为当且仅当对应判别式
()()()22
2248420a b a b c c a b ⎡⎤=+-+-=--≤⎣⎦
等价于()2
2c a b ≤-,命题得证。
4. 已知复数12,z z 满足1z 与12z z +有相同的模且12(1)z z a i =-，其中a 为非零实数,求
2
1
z z 的值。
【解答】由题意知 ()()
2
2
111121212z z z z z z z z z ==+=++ 化简得2221120z z z z z z ++=
因为12(1)z z a i =-,所以12(1)z z a i =+，代入上面的式子得222z z a =-。
于是有222
112
1z z z i z z z ==-+。
5. 一条直线与双曲线交于,A B 两点,与此双曲线的渐近线交于,C D 两点,证明:线段AC 与BD 的长度相等。
【解答】以双曲线的中心为原点,以实轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则
双曲线与它的渐近线方程可以表示为：()22
220,0x y a b a b
λ-=>>，
其中1λ=时为双曲线，0λ=时为渐近线
设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y
则有：22
112
222
2222
11x y a b
x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：
1212121222
()()()()
0x x x x y y y y a b -+-+-=
同理有3434343422()()()()
0x x x x y y y y a b -+-+-=
因为,A B ,C D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时,由双曲线的对称
性得AC BD =；当此直线的斜率k 存在且不为零时,有2
341221234y y y y b x x x x a k ++==
++， 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上,所以它们重合,从而有AC BD =。
6. 设,αβ均为锐角,满足22sin sin sin()αβαβ+=+,求αβ+的值。
【解答】显然当2
παβ+=
时,等式成立；若2
π
αβ+≠
，由已知条件知
22sin sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
整理得()()sin sin cos sin cos sin ααββαβ-=-。
则有sin cos αβ-与cos sin αβ-同号,若同正,则有
sin cos sin(),cos sin()sin ,22ππ
αββααβ>=-=->
从而有,
22
π
π
αβαβ>
-->， 无解；若同负,用同样的方式也能推导出矛盾 综上2
παβ+=。
7. 已知ABC 的面积为1，,D E 分别是边,AB AC 上的点,F 为线段DE 上的一点,设:,:,:1AD AB x AE AC y DF DE z y z x ===+-=，且.求BDF 的面积的最大值并求出此时,,x y z 的值。
【解答】当12
,33
x y z ===时，BDF 的面积有最大值27，如
图,连结BE 。
三角形的面积公式1
sin 2
S ab C =可以得到
(),11ADE
ABC
BCE
ABC
S
xyS
xy S
y S
y ===-=-
所以有1(1)(1)BDE
S xy y y x =---=-
从而有3
18(1)327
BDF
BDE
z y x S
zS
zy x ++-⎛⎫
==-≤= ⎪
⎝⎭ 当1y z x ==-时,即12,33x y z ===时等号成立,此时BDF 的面积有最大值8
27。
本文档由华夏园教育提供。