2019高三一轮复习理科数学必刷题(集合)
高考数学一轮复习 考点01 集合必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点01 集合1．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，则A∩B＝( )A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{0，－1}【答案】C【解析】因为B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}．2．设集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合=,集合,则。
故答案为：B.3．已知全集为整数集Z.若集合A＝{x|y＝1－x，x∈Z}，B＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁Z B)＝( ) A．{－2} B．{－1}C．[－2,0] D．{－2，－1,0}【答案】D【解析】由题意可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁Z B)＝{－2，－1,0}．故选D.4．已知集合A＝{x|0<x≤6}，B＝{x∈N|2x<33}，则集合A∩B中的元素个数为( )A．6 B．5C．4 D．3【答案】B【解析】集合A＝{x|0<x≤6}，B＝{x∈N|2x<33}＝{0,1,2,3,4,5}，∴A∩B＝{1,2,3,4,5}，∴A∩B中元素个数为5.故选B.5．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合，，所以A∩B={0,1}.故答案为：A.6．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．M ∩N ＝∅D ．N ⊆M【答案】D【解析】∵M ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}＝{y |0≤y ≤1}，∴N ⊆M .故选D. 7．已知集合 ，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意得，，.故选C.8．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{2a ，－1}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 等于( ) A ．－2 B ．0或－2 C ．0或2 D ．2【答案】D【解析】因为A ∩B ＝{4}，所以4∈A 且4∈B ，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，2a ＝4，a ＝2.故选D.9．已知集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】已知集合，，∴A∩B 中的元素满足：解得： 则A∩B=. 故选D.10．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1] C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2]【答案】C【解析】因为A＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|log2x≤1}＝{x|0<x≤2}，所以∁U A＝{x|x>1或x<－1}，则(∁U A)∩B＝(1,2]．11．已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{0,1,2} B．{1,2}C．{3,4} D．{0,3,4}【答案】A【解析】∵全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，∴∁U B＝{x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{0,1,2}．故选A.12．设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A．M∩N＝M B．M∪(∁R N)＝MC．N∪(∁R M)＝R D．M∩N＝N【答案】D【解析】由题意可得N＝(0,2)，M＝(－∞，4)，N⊆M.故选D.13．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}．若A⊆B，则实数a的取值X围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]【答案】B【解析】集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x－a>0}＝{x|x>a}，因为A⊆B，所以a≤－1.14．已知，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得则故选C.15．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，则( )A．A∩B＝{x|x＜1}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＜2}D．A∩B＝{x|－2＜x＜1}【答案】D【解析】集合A＝{x|x＜1}，B＝x{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x ＜3}．故选D.16．设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值X围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)【答案】A【解析】∵U＝R，集合A＝{x|x≥1}＝[1，＋∞)，∴∁U A＝(－∞，1)，由B＝{x|x＞a}＝(a，＋∞)以及(∁U A)∪B＝R可知实数a的取值X围是(－∞，1)．故选A.17．已知集合，集合，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得A={x|-2<x<3},所以={x|x≤-2或x≥3}，所以=.故答案为：A18．已知集合，，则∁A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.1．A ，B 为两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A －B ＝( ) A ．{2} B ．{1,2} C ．{－2,1,2} D ．{－2，－1,0}【答案】C【解析】∵A ，B 为两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}＝{x |－2＜x ＜1}，∴A －B ＝{－2,1,2}．故选C.20．对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝________. 【答案】[－3,0)∪(3，＋∞)【解析】由题意知A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，所以A *B ＝[－3,0)∪(3，＋∞)． 21．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 【答案】{1}【解析】∵集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1，2}，∴∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．22．(2018某某红色七校联考)集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________. 【答案】[－3,0)【解析】∵A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}，∴A ∩(∁R B )＝[－3,0)．23．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值X 围是________． 【答案】(－∞，－3]∪[3，2]【解析】由题意可得A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[3，2]． 24．已知集合，，则_________．【答案】【解析】因为，，所以，故{0,7}，故填. 25．已知集合，.（1）若A∩B=，某某数m的值；（2）若，某某数m的取值X围.【答案】（1）2；（2）【解析】由已知得:，.(1)因为,所以，故，所以.(2).因为,或，所以或.所以的取值X围为.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第1章 集合与常用逻辑用语 1-2a Word版含解析
[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x－312是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案 B解析对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(2018·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c答案 A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.3．(2018·曲阜模拟)已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a >1，所以綈p 成立⇔a >1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a >0，b >0，则b a ＋a b ≥2，又当a <0，b <0时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，易知D 正确．故选D.5．“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由题意知“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”等价于“(a sin x ＋1)min <0”，即“当a >0时，－a ＋1<0，即a >1；当a <0时，a ＋1<0，即a <－1”，所以“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的充分不必要条件，故选B.6．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2017·衡水联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0， 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(2018·天津模拟)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b 2D ．a >b 2答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋3，且|f (x )－1|<a ，∴|2x ＋2|<a .∴－a <2x ＋2<a ，∴－2－a 2<x <－2＋a 2.∵|x ＋1|<b ，∴－b <x ＋1<b ，∴－b －1<x <b －1.∵|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)， ∴⎩⎨⎧－b －1≤－2－a 2，b －1≥－2＋a 2，解得b ≥a 2.故选A. 9．(2018·江西一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2a i ＋i ＝a ＋2＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．若a >0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a <0，解得a >12，此时可推出a >0.所以“a >0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(2017·湖北七市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0<r<3，q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|2＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r<3，故p是q的充分必要条件．故选C.二、填空题是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析12．已知条件p ：x ∈A ，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，条件q ：x ∈B ，且B ＝{x |y ＝x 2－3x ＋2}．若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所求实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(2018·泰安模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒p ，且p ⇒/ q .设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A .又B ＝{x |2<x ≤3}，当a >0时，A ＝{x |a <x <3a }；当a <0时，A ＝{x |3a <x <a }．故当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2； 当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．14．(2017·长沙模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．三、解答题15．(2017·沂水模拟)已知f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.是真命题．(用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a .∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.是真命题．原命题为真，证明如下：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(2017·江苏兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m <2. (2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎨⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎨⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.。
山东省2019届理科数学一轮复习试题选编(1)：集合
山东省2019届理科数学一轮复习试题选编1：集合一、选择题1 ．（2009高考(山东理)）集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】【解析】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选 D ．答案:D2 ．（2013山东高考数学（理））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．9【答案】C 【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--,即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素,选 C ．3 ．（山东省临沂市2019届高三第三次模拟考试 理科数学）已知集合{}{}221=log 1A x x B x x =＞，＜，则()A B =R ð （ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．[1,1]-【答案】A4 ．（山东省2019届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知集合}6|{2--==x x y x A ,集合12{|log ,1}B x x a a ==>,则（ ）A ．}03|{<≤-x xB ．}02|{<≤-x xC ．}03|{<<-x xD ．}02|{<<-x x【答案】D 【解析】由题意得集合2|{-≤=x x A 或}3≥x ,故}32|{<<-=x x ,又集合}0|{<=x x B ,所以}02|{<<-=x x .5 ．（山东省曲阜市2019届高三11月月考数学（理）试题）已知集合{0,1,2,3}M =,{1,1}N =-,则下列结论成立的是 （ ） A ．N M ⊆ B ．M N M = C ．M N N = D ．{1}M N = 【答案】D 6 ．（山东省青岛市2019届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知全集R U =,集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<,则()U A B ⋂=ð（ ）A ．()()+∞⋃∞-,53,B．(]()+∞⋃∞-,53, C ．(][)+∞⋃∞-,53, D ．()[)+∞⋃∞-,53,【答案】D 7 ．（山东省莱芜市第一中学2019届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知集合{}{}23,log 1M x x N x x =<=≤,则N M 等于（ ）A ．∅B ．{}20<<x x C ．{}32<<x xD ．{}02x x <≤【答案】D ． {}{}{}30202.MN x x x x x x =<<≤=<≤8 ．（山东师大附中2019届级高三12月第三次模拟检测理科数学）若全集为实数集R ,集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则= （ ）A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞【答案】D 【解析】121{|log (21)0}{0211}{1}2x x x x xx ->=<-<=<<,所以1{1}2R A x x x =≥≤或ð,即1(,][1,)2R A =-∞+∞ð,选 D ．9 ．（山东师大附中2019届高三第四次模拟测试1月理科数学）设全集()()2,{|21},{|ln 1}x x U R A x B x y x -==<==-,则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤【答案】B 【解析】()2{|21}{(2)0}{02}x x A x x x x x x -=<=-<=<<,(){|ln 1}{10}{1}B x y x x x x x ==-=->=<,图中阴影部分为集合()U A B ð,所以{1}U B x x ==≥ð,所以(){12}U A B x x =≤<ð,选B ．10．（山东省兖州市2018高三9月入学诊断检测数学(理)试题）设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A B,则集合()U C A B ⋂中的元素共有 （ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 【答案】 （ ） A ． 11．（山东省烟台市莱州一中2019届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知全集U R =,集合{0A x =<2x <}1,{3log B x x =>}0,则()U A C B ⋂=（ ）A ．{x x >}1B ．{x x >}0C ．{0x <x <}1D ．{x x <}0【答案】D 【解析】{021}{0}x A x x x =<<=<,3{log 0}={1}B x x x x =>>,所以{1}U B x x =≤ð,所以(){0}U A C B x x ⋂=<,选D ．12．（山东省烟台市2019届高三上学期期中考试数学试题(理科)）已知函数()()lg 1f x x =-的定义域为M ,函数1y x=的定义域为N ,则M N =（ ）A ．{}10x x x <≠且B ．{}10x x x ≤≠且C ．{}1x x >D ．{}1x x ≤【答案】A 【解析】}01|{},0|{},1|{≠<=≠=<=x x x N M x x N x x M 且 ,故选 （ ） A ．13．（山东省潍坊市四县一校2019届高三11月期中联考(数学理)）设集合}31|{},23|{≤<-∈=<<-∈=n N n B m Z m A ,则=⋂B A（ ） A ．{0,1} B ．{-1,0,1} C ．{0,1,2} D ．{-1,0,1,2}【答案】A 【解析】因为{|32}{21,0,1}A m Z m =∈-<<=--，,{0,1,2,3}B =,所以{01}A B ⋂=，,选 （ ） A ．14．（山东省日照市2019届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知集合{{},sin ,M N y y x x R =-==∈,则集合M N ⋂等于（ ）UA ．∅B ．{}0C ．{}1,0-D ．{-【答案】C 【解析】{}sin ,{11}N y y x x R y y ==∈=-≤≤,所以{1,0}M N ⋂=-,选 C ． 15．（山东省德州市乐陵一中2019届高三十月月考数学(理)试题）已知全集R U =,集合11{20},{2}4x A x x B x -=-≤<=<,则）（）（=⋂B A C R（ ）A ．),1[)2,(+∞-⋃--∞B ．),1(]2,(+∞-⋃--∞C ．),(+∞-∞D ．),2(+∞-【答案】A【解析】集合11{2}{1}4x B x x x -=<=<-,所以{21}A B x x =-≤<-,(){21}R A B x x x =<-≥-或ð,选（ ）A ．16．（山东省淄博市2019届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）集合{}{}1,0,1,,x A B y y e x A =-==∈,则A B ⋂=（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】B {}1,{1,,}xB y y e x A e e==∈=,所以{1}A B ⋂=,选B ．17．（山东省临沂市2019届高三5月高考模拟理科数学）集合{}{}32,log ,,,M a N a b ==若{}1MN =,则M∪N= （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,3C ．{}0,2,3D ．{}1,2,3【答案】D 因为{}1MN =,所以3log 1a =,即3a =,所以1b =,即{}{}2,1,3,1M N ==,所以{}2,1,3MN =,选 D ．18．（山东省潍坊市2019届高三第二次模拟考试理科数学）集合{}{}|13,|4A x x B y y x =+≤==≤≤.则下列关系正确的是（ ）A ．AB R =B ．R A B ⊆餽C ．R B A ⊆餽D ．R R A B ⊆餽餽【答案】D {}|13{42}A x x x x =+≤=-≤≤,{}|4{02}B y y x y y ==≤≤=≤≤,所以{20}R B x x x =><或ð,{40}R A x x x =<->或ð,所以R R A B ⊆餽餽,选D ．19．（2019年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合A={2k x |x sin ,k Z π=∈},B={11x ||x |-≤},则A B = （ ）A ．{-1,0}B ．{0,1}C ．{0}D ．{1}【答案】B {sin,}{0,1,1}2k A x x k Z x π==∈=-,{|1|1}{02}B x x x x =-≤=≤≤,所以{0,1}A B =,选B20．（山东省枣庄市2019届高三3月模拟考试数学（理）试题）已知全集{0,1,2,3,4},{1,2,3},{2,4},()U U A B C A B ===集合则为 （ ）A ．{4}B ．φC ．{0,2,4}D ．{1,3}【答案】A {0,4}U C A =,所以(){4}U C A B =,选（ ）A ．21．（山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学理试题）若集合M={x ∈N *| x<6},N={}||1|2x x -≤,则M ()R N ð= （ ）A ．(-∞,-1)B ．[)1,3C ．(3,6)D ．{4,5}【答案】D {1,2,3,4,5}M =,{212}{13}N x x x x =-≤-≤=-≤≤,所以(){13}R N x x x =<->或ð22．（山东省济南市2019届高三3月高考模拟理科数学）已知全集R U =,集合{}21x A x =>,{}2340B x x x =-->,则A B ⋂=（ ）A ．{}0x x > B ．{}10x x x <->或C．{}4x x >D ．{}14x x -≤≤【答案】C {0}A x x =>,{41}B x x x =><-或,所以{4}A B x x =>,选C ．23．（山东省潍坊市2019届高三第一次模拟考试理科数学）设集合{}|24x A x =≤,集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域,则AB =（ ）A ．()1,2B ．[]1,2C ．[1,2)D ．(1,2]【答案】D {}|24{2}x A x x x =≤=≤,由10x ->得1x >,即{1}B x x =>,所以{12}A B x x =<≤,所以选D ．24．（山东省青岛市2019届高三第一次模拟考试理科数学）设全集R U =,集合{}2|lg(1)M x y x ==-,{}|02N x x =<<,则()U NM =ð（ ）A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <【答案】B {}22|lg(1){10}{11}M x y x x x x x x ==-=->=><-或,所以{11}U M x x =-≤≤ð,所以()U NM =ð{}|01x x <≤,选B ．25．（山东省滨州市2019届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知全集}{1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2,4A B ==,则()U A B =ð（ ）A ．{}1,2B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】B 因为{}{}1,2,2,4A B ==,所以{34}U A =，ð,即()U A B =ð}{=2,3,4,选 B ．26．（山东省威海市2019届高三上学期期末考试理科数学）已知R 为全集,{|(1)(2)0}A x x x =-+≤,则R C A =（ ）A ．{|21}x x x <->或B ．{|21}x x x ≤-≥或C ．{|21}x x -<<D ．{|21}x x -≤≤【答案】C因为{|(1)(2)0}A x x x =-+≤,所以{|(1)(2)0}{(1)(2)0}{21}R A x x x x x x x x =-+>=-+<=-<<ð,选 C ．27．（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学理）已知集合{M x y ==,集合{}3,0x N y y x ==>,则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．()2,+∞B ．[)()0,12,⋃+∞C ．[]()0,12,⋃+∞D ．[][)0,12,⋃+∞【答案】C【解析】{2{20}{02}M x y x x x x x ===-≥=≤≤,{}3,0{1}x N y y x y y ==>=>,则阴影部分为{}x x MN x M N ∈∉且{0}M N x x =≥,{12}M N x x =<≤,所以,即阴影部分为{}{012}x x MN x MN x x x ∈∉=≤≤>且或,即[]()0,12,⋃+∞,选C ．28．（山东省枣庄市2019届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）集合{}{}22(,)|,,(,)|1,,A x y y x x R B x y x y x y R ==∈=+=∈,则集合A B ⋂中元素的数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．无穷个【答案】C29．（山东省文登市2019届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,{}01=-=mx x B ,若B B A = ,则所有实数m 组成的集合是 （ ）A ．{}0,1,2-B ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1,2-D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】A30．（山东省莱芜市莱芜十七中2019届高三4月模拟数学（理）试题）已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=∈≤-=Z x x x T R x x x S ,115,,21,则T S 等于（ ）A ．{}Z x x x ∈≤≤,30|B ．{}|13,x x x Z -≤≤∈C ．{}Z x x x ∈≤≤-,41|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 【答案】A31．（山东省济南市2019届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知集合2{12},{log 2}A x x B x x =-<=<,则A B =（ ）A ．(1,3)-B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(1,4)-【答案】C32．（山东省菏泽市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知集合{}1A x x =>,{}B x x m =<,且A B =R ,那么m 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D33．（山东省凤城高中2019届高三4月模拟检测数学理试题 ）集合{||2|2}A x x =-≤,2{|,12}B y y x x ==--≤≤,则A B = （ ）A ．{0}B ．{|0}x x ≠C ．RD ．∅【答案】A34．（2019届山东省高考压轴卷理科数学）已知集合2{|03},{|540}M x x N x x x =<<=-+≥,则MN = （ ） A ．{|01}x x <≤ B ．{|13}x x ≤< C ．{|04}x x <≤ D ．{|0x x <或4}x ≥【答案】A 【解析】=⋂∴≥≤=≥--=N M x x x x x x N },41|{}0)1)(4(|{或{|01}x x <≤ 35．（2019年高考（山东理））已知全集U=R,集合M={x||x-1|≤2},则U C M= （ ）A ．{x|-1<x<3}B ．{x|-1≤x ≤3}C ．{x|x<-1或x>3}D ．{x|x ≤-1或x ≥3}【答案】C【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U=R ,所以U C M={}x|x<-1x>3或,故选 C ．【二、解答题36．（山东省曲阜市2019届高三11月月考数学（理）试题）已知集合1|2164x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,{|()(3)0}B x x m x m =--+≤()m R ∈.(1)若[2,4]AB =,求实数m 的值;(2)设全集为R ,若R A B ⊆ð,求实数m 的取值范围.【答案】解:(1)由4121622,244x x x ≤≤≤≤-≤≤-2知2即∴[2,4]A =-, 由{|()(3)0}B x x m x m =--+≤,可得[3,]B m m =-,∵[2,4]A B =,∴32,4.m m -=⎧⎨≥⎩∴5m =(2)∵{|3,}R B x x m x m =<->或ð又∵R A B ⊆ð,∴2,34m m <-->或 ∴2,7m m <->或37．（山东省寿光市2019届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知{||4},{|2|3}.A x x aB x x =-=- (Ⅰ)若a=1,求A B ⋂; (Ⅱ)若A B R =,求实数a 的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)当a=1时,{|35}.{|15}.A x x B x x x =-=-或∴{|31}A B x x⋂=-- (Ⅱ){|44}.A x a x a =-+ {|15}.B x x x =-或且A B R = 411345a a a --⎧⇒⎨+⎩实数a 的取值范围是(1,3)38．（山东省潍坊市四县一校2019届高三11月期中联考(数学理)）已知集合}032|{)},(0)1(|{2≤--=∈<--=x x x N R a a x x x M ,若N N M =⋃,求实数a 的取值范围. 【答案】解:由已知得{}31|≤≤-=x x N , N M N N M ⊆∴=⋃, 又{})(0)1(|R a a x x x M ∈<--=①当01<+a 即1-<a 时,集合{}01|<<+=x a x M . 要使N M ⊆成立,只需011<+≤-a ,解得12-<≤-a②当01=+a 即1-=a 时,φ=M ,显然有N M ⊆,所以1-=a 符合 ③当01>+a 即1->a 时,集合{}10|+<<=a x x M . 要使N M ⊆成立,只需310≤+<a ,解得21≤<-a 综上所述,所以a 的取值范围是[-2,2]39．（山东省枣庄三中2019届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知二次函数2()f x ax x =+,若对任意12,x x R ∈,恒有12122()()()2x x f f x f x +≤+成立,不等式()0f x <的解集为A (Ⅰ)求集合A ;(Ⅱ)设集合{}4,B x x a =+<,若集合B 是集合A 的子集,求a 的取值范围 【答案】解:(Ⅰ)对任意12,x x R ∈,有1212()()2()2x x f x f x f ++-2121()02a x x =-≥ 要使上式恒成立,所以0a ≥由2()f x ax x =+是二次函数知0a ≠故0a >由21()()0f x ax x ax x a=+=+< 所以不等式()0f x <的解集为1(,0)A a=- (Ⅱ)解得(4,4)B a a =---,B A ⊆ 4014a a a -≤⎧⎪∴⎨--≥-⎪⎩解得02a <≤-。
2019年高考数学 考点01 集合必刷题 理
考点1 集合1．如果集合，，则（）A． B． C． D．2．设集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合=,集合,则。
故答案为：B.3．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合，，所以A∩B={0,1}.故答案为：A.4．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，.故选C.5．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知集合，，∴A∩B中的元素满足：解得：则A∩B=.故选D.6．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A． B．C． D．7．已知函数的定义域为集合M，集合A． B． C． D．【答案】D【解析】由x-1＞0，解得：x>1，故函数y=ln（）的定义域为M=，由x2﹣x0，解得：0x1，故集合N={x|x2﹣x0}=，∴，故选：D．8．A=，B=，则A∩B＝( )A． (2,4] B． [2,4] C． (－∞，0)∪(0,4] D． (－∞，－1)∪[0,4]【答案】A【解析】，，则.选.9．已知集合A=，集合B=，，则A∩B=（）A． B． C． D．10．已知，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得则故选C.11．集合,则集合的真子集的个数是A． 1个 B． 3个 C． 4个 D． 7个【答案】B【解析】由题意，集合，则，所以集合的真子集的个数为个，故选B．12．已知集合,则=A． B． C． D．13．已知集合，则满足条件的集合的个数为A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意得到：有，即找集合M的子集个数，有：共有4个集合是M的子集.故答案为：D.14．设集合.若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故答案为：C15．已知集合，集合，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得A={x|-2<x<3},所以={x|x≤-2或x≥3}，所以=. 故答案为：A16．已知集合,,则（）A． B． C． D．17．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.18．已知集合，，则∁A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，解得或，即，∁，解得，即，则∁，故选A.19．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，故选A. 20．已知，，则（）A． B．C． D．21．已知集合，，则_________．【答案】【解析】因为，，所以，故{0,7}，故填.22．已知集合，. （1）若A∩B=，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）2；（2）【解析】由已知得: ，.(1)因为,所以，故，所以.(2).因为,或，所以或.所以的取值范围为.23．已知集合A=(-2,8),集合（1）若,求实数m的取值范围;（2）若A∩B=(a,b)且b-a=3,求实数m的值③当时，即解得，综上，m的值为或1．。
2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第四单元 函数的图象与函数应用
第四单元函数的图象与函数应用考点一图象推导型cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为().1.(2015年浙江卷)函数f(x)= x-1xABCD【解析】函数f(x)=x-1x cos x(-π≤x≤π且x≠0)为奇函数,排除选项A,B;当x=π时,f(π)=π-1πcosπ=1π-π<0,排除选项C,故选D.【答案】D2.(2016年全国Ⅰ卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]上的图象大致为().【解析】∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数,且f(2)=8-e2∈(0,1),∴排除A,B.设g(x)=2x2-e x,则g'(x)=4x-e x.又∵g'(0)<0,g'(2)>0,∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.【答案】D3.(2017年全国Ⅰ卷)函数y=sin2x1−cos x的部分图象大致为().ABCD【解析】令f (x )=sin2x1−cos x ,∵f (1)=sin21−cos1>0,f (π)=sin2π1−cos π=0, ∴排除选项A ,D .由1-cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z ), 故函数f (x )的定义域关于原点对称. 又∵f (-x )=sin(−2x )1−cos(−x )=-sin2x1−cos x=-f (x ),∴f (x )为奇函数,其图象关于原点对称,∴排除选项B .故选C . 【答案】C4.(2017年全国Ⅲ卷)函数y=1+x+sin xx 2的部分图象大致为( ).【解析】当x→+∞时,sin xx2→0,1+x→+∞,y=1+x+sin xx2→+∞,故排除选项B.当0<x<π2时,y=1+x+sin xx2>0,故排除选项A,C.故选D.【答案】D5.(2015年全国Ⅱ卷)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为().【解析】当x∈0,π4时,f(x)=tan x+4+tan x,图象不会是直线段,从而排除A,C.当x∈π4,3π4时,fπ4=f3π4=1+5,fπ2=22.∵22<1+5,∴fπ2<fπ4=f3π4,从而排除D,故选B.【答案】B6.(2014年全国Ⅰ卷)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为().【解析】如图,当x∈0,π时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0).作MM'⊥OP,M'为垂足,则2|MM'|=sin x,∴f(x)=sin x,∴f(x)=sin x cos x=1sin2x,则当x=π时,f(x)1;当x∈π,π 时,有max=f(x)=sin(π-x),f(x)=-sin x cos x=-1sin2x,当x=3π时,f(x)1.只有B选项的图象符合.max=【答案】B考点二图象应用型7.(2015年北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是().A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤1}C.{x|-1<x ≤1}D.{x|-1<x ≤2}【解析】令g (x )=y=log 2(x+1),作出函数g (x )的图象,如图所示.由x +y =2,y =log 2(x +1),得 x =1,y =1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x+1)的解集为{x|-1<x ≤1}.【答案】C8.(2017年江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f (x )= x 2,x ∈D ,x ,x∉D ,其中集合D= x |x =n -1n ,n ∈N*,则方程f (x )-lg x=0的解的个数是 .【解析】由于f (x )∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况.在此范围内,当x ∈Q 且x ∉Z 时,设x=q,p ,q ∈N *,p ≥2且p ,q 互质,若lg x ∈Q ,则由lg x ∈(0,1),可设lg x=n ,m ,n ∈N *,m ≥2且m ,n 互质,因此10n m =q,则10n= q m ,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lg x ∉Q .因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等,只需考虑lg x与每个周期x∉D部分的交点.画出函数草图(如图).图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D部分,且x=1处(lg x)'=1x ln10=1ln10<1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程解的个数为8.【答案】89.(2015年北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是().A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【解析】根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.【答案】D考点三函数应用型10.(2014年湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为().A.p +q2B.(p +1)(q +1)−12C. D. (p +1)(q +1)-1【解析】设年平均增长率为x ,则(1+x )2=(1+p )(1+q ),∴x= (1+p )(1+q )-1.【答案】D11.(2015年四川卷)某食品的保鲜时间y (单位:h )与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e =2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h ,在22℃的保鲜时间是48h ,则该食品在33℃的保鲜时间是 h .【解析】由已知条件,得192=e b,∴b=ln192.又∵48=e22k+b=e22k+ln192=192e 22k=192(e 11k )2,∴e 11k=4819212=1412=12.设该食品在33℃的保鲜时间是t h ,则t=e33k+ln192=192e 33k =192(e 11k )3=192×123=24.【答案】24高频考点:函数图象的识别与判断、图象的对称变换、函数零点个数的判断、函数零点所在区间的判断、函数图象与性质的综合应用、函数模型的应用.命题特点:函数图象的考查形式主要有两种:一种是给出解析式判断函数图象;一种是函数图象的应用.函数零点的考查形式主要是由函数零点求参数范围,在选择题、填空题中考查的较多,难度中等,也可在解答题中作为一种数学工具呈现,利用数形结合思想分析试题并解决问题.§4.1 函数图象一 利用描点法作函数图象。
高考数学一轮复习考点集合必刷题含解析
考点01 集合1、已知全集U ＝{1，3，5，7，9}，A ＝{1，5，9}，B ＝{3，5，9}，则∁U (A∪B)的子集个数为___．【答案】2【解析】由题意得A∪B＝{1，3，5，9}，所以∁U (A∪B)＝{7}，所以∁U (A∪B)的子集个数为2.2、已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__2__．【答案】2【解析】因为A∪B＝{0，1，2，3}，A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，所以a ＝2.3、设集合A ＝{－1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A∩B＝{3}，则实数a 的值为__1__．【答案】1【解析】因为A∩B＝{3}，所以a ＋2＝3或a 2＋4＝3，解得a ＝1，此时B ＝{3，5}，符合题意，故实数a 的值为1.4、已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有____个．【答案】2【解析】由图可知，阴影部分表示的是M ∩N .由M ＝{x |－2≤x －1≤2}得M ＝{x |－1≤x ≤3}．集合N 表示的是正奇数集，所以M ∩N ＝{1，3}，所以阴影部分所示的集合中的元素共有2个．5、设全集U ＝R ，M ＝{m |方程mx 2－x －1＝0有实数根}，N ＝{n |方程x 2－x ＋n ＝0有实数根}，则(∁U M )∩N ＝________.【答案】{x |x <－14} 【解析】当m ＝0时，x ＝－1，即0∈M ；当m ≠0时，Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，且m ≠0， ∴m ≥－14，∴∁U M ＝{m |m <－14}， 而对于N ，Δ＝1－4n ≥0，即n ≤14， N ＝{n |n ≤14}，∴(∁U M )∩N ＝{x |x <－14}．答案：{x |x <－14} 6、下面四个命题中，正确命题的序号为____．①某班个子较高的同学构成集合A ；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程x 2－2x ＋1＝0的解集是{1，1}；④∅与{∅}表示同一个集合．【答案】②【解析】①集合是指一定范围内某些确定的、不同的对象的全体，个子较高的同学不确定，所以①错误；②正确，集合中的元素具有无序性；③错误，集合中的元素具有互异性；④错误，∅表示不含任何元素的集合，{∅}表示集合中有一个元素∅，而不是空集．7、设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)【答案】①②【解析】由题意，①S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}，S 为复数集，若x 、y ∈S ，则x ＋y ，x －y 及xy 仍为复数，故①正确．②若S 为封闭集，且存在元素x ∈S ，那么必有x －x ＝0∈S ，即一定有0∈S ，故②正确．③因为{0}是封闭集，且是有限集，故③错误．④举特例，若S ＝{0}，T ＝{0，i ，－i}，显然，T 中i·(－i)＝1∉T ，∴T 不是封闭集，故④错误． 答案：①②8、设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|132≤2－x ≤4，B ＝{x|x 2＋2mx －3m 2<0}，m>0. (1) 若m ＝2，求A∩B；(2) 若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {x|－2≤x<2} (2) ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23【解析】由题意得，集合A ＝{x|－2≤x≤5}，因为m>0，所以B ＝{x|－3m<x<m}．(1) 当m ＝2时，B ＝{x|－6<x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x<2}．(2) A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|－3m<x<m}，因为A ⊇B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m≤5， 所以m≤23，所以0<m≤23. 综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23. 9、已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．【答案】{}m|m ≤4【解析】当B ＝∅时，有m ＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m≤4.综上，m 的取值范围是{}m|m ≤4.10、若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，求实数a 的值．【答案】4【解析】当a ＝0时，不合题意，舍去；当a≠0时，由题意得，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.11、若集合A ＝{x|ax 2＋ax ＋1＝0}只有一个子集，求实数a 的取值范围．【答案】[0，4)【解析】由题意得，集合A 为空集．①若a ＝0，符合题意；②若a≠0，则Δ＝a 2－4a<0，解得0<a<4.综上，a 的取值范围是[0，4)．12、已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1) 当m ＝3时，求A ∩∁R B ；(2) 若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．【答案】(1) A ∩∁R B ＝[3，5] (2)8【解析】(1) 当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又因为A ＝(－1，5]，所以A ∩∁R B ＝[3，5]．(2) 因为A ＝(－1，5]，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，所以－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时集合B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.13、已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．(1) 当a ＝4时，求A∩B；(2) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．【答案】(1) [－8，－7) (2) (－4，1)【解析】(1) 由题意得，A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)，所以A∩B＝[－8，－7)．(2) 方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3.①当a ＝－a －3，即a ＝－32时， B ＝⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ； ②当a<－a －3，即a<－32时， B ＝(－∞，a)∪(－a －3，＋∞)，则a>－4或－a －3<－8，解得－4<a<－32； ③当a>－a －3，即a>－32时， B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a<－8或－a －3>－4，解得－32<a<1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4，1)．14、已知集合A ＝{x |6x ＋1≥1，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．【答案】(1){x |3≤x ≤5} (2) 8【解析】由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0.∴－1<x ≤5， ∴A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.15、已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x≤2. (1) 若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．【答案】(1) (－∞，－8)∪[2，＋∞) (2) ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 (3) 2 【解析】对于不等式0<ax ＋1≤5，当a ＝0时，0<1<5恒成立，即x ∈R ，集合A ＝R ；当a >0时，－1a <x ≤4a，即集合A ＝{x |－1a <x ≤4a }； 当a <0时，4a ≤x <－1a ，即集合A ＝{x |4a≤x <－1a }． (1) 若A 是B 的子集，则当a ＝0时，不满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥－12，4a ≤2，解得a ≥2； 当a <0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧4a >－12，－1a ≤2，解得a <－8. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－8)∪[2，＋∞)．(2) 若B 是A 的子集，则当a ＝0时，满足题意；当a >0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，解得0<a ≤2； 当a <0时，需要满足⎩⎪⎨⎪⎧－1a >2，4a ≤－12，解得－12<a <0. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2. (3) 当A ＝B 时，需满足A ⊆B 且B ⊆A ，即同时满足(1)和(2)，所以a ＝2.16、设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1y ＝ax 2－ax ＋a 有正整数解，消去y ，得ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*)． 由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0，解得－233≤a ≤233.∵a 为非零整数， ∴a ＝±1，当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1，而x ∈N *.故a ≠－1.当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意．故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅，此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}．17、对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }．(1)求证：A ⊆B .(2)若f (x )＝ax 2－1(a ∈R ，x ∈R)，且A ＝B ≠∅，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 见解析 (2) [－14，34] 【解析】(1)证明：若A ＝∅，则A ⊆B 显然成立；若A ≠∅，设t ∈A ，则f (t )＝t ，f (f (t ))＝f (t )＝t ，即t ∈B ，从而A ⊆B .(2)A 中元素是方程f (x )＝x ，即ax 2－1＝x 的实根．由A ≠∅，知a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝1＋4a ≥0即a ≥－14，B 中元素是方程a (ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实根，由A ⊆B ，知上述方程左边含有一个因式ax 2－x －1，即方程可化为(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0.因此，若要A ＝B ，即要方程①a 2x 2＋ax －a ＋1＝0 要么没有实根，要么实根是方程②ax 2－x －1＝0的根．若①没有实根，则Δ＝a 2－4a 2(1－a )<0，由此解得a <34. 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有a 2x 2＝ax ＋a ，代入①有2ax ＋1＝0.由此解得x ＝－12a ，再代入②得14a ＋12a－1＝0， 由此解得a ＝34. 故a 的取值范围是[－14，34]．。
教育最新K122019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练第1章集合与常用逻辑用语1-2a
[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x－312是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案 B解析对于①，其否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(2018·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c答案 A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．故选A.3．(2018·曲阜模拟)已知p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a >1，所以綈p 成立⇔a >1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a >0，b >0，则b a ＋a b ≥2，又当a <0，b <0时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a >0，b >0”是“b a ＋a b ≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，易知D 正确．故选D.5．“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由题意知“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”等价于“(a sin x ＋1)min <0”，即“当a >0时，－a ＋1<0，即a >1；当a <0时，a ＋1<0，即a <－1”，所以“a <－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1<0”的充分不必要条件，故选B.6．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2017·衡水联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0， 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(2018·天津模拟)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b 2D ．a >b 2答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋3，且|f (x )－1|<a ，∴|2x ＋2|<a .∴－a <2x ＋2<a ，∴－2－a 2<x <－2＋a 2.∵|x ＋1|<b ，∴－b <x ＋1<b ，∴－b －1<x <b －1.∵|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)， ∴⎩⎨⎧－b －1≤－2－a 2，b －1≥－2＋a 2，解得b ≥a 2.故选A. 9．(2018·江西一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2a i ＋i ＝a ＋2＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．若a >0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a <0，解得a >12，此时可推出a >0.所以“a >0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r<3，q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|2＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r<3，故p是q的充分必要条件．故选C.二、填空题是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析12．已知条件p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}，条件q：x∈B，且B ＝{x |y ＝x 2－3x ＋2}．若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所求实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(2018·泰安模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件，∴q ⇒p ，且p ⇒/ q .设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A .又B ＝{x |2<x ≤3}，当a >0时，A ＝{x |a <x <3a }；当a <0时，A ＝{x |3a <x <a }．故当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2； 当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．14．(2017·长沙模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.若命题r(x)为真命题，命题s(x)为假命题，则m≤－2；若命题r(x)为假命题，命题s(x)为真命题，则－2≤m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．三、解答题15．(2017·沂水模拟)已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b ∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.是真命题．(用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立．从而a＋b≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.是真命题．原命题为真，证明如下：∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(2017·江苏兴化月考)已知命题：“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m <2. (2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎨⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎨⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.。
专题1集合与常用逻辑用语(必刷1~60题)【一轮必刷600题】高三数学一轮复习专项训练(含答案)
专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【必刷24】若集合{}4A y y x ==-，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}xx <≤∣C ．{12}xx ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷55】设x ∈R ，则“|1|4x -<”是“502x x -<-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷56】已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷57】已知命题2:log 1p x >，命题2:20q x x ->，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【必刷58】设a 、b都是非零向量，下列四个条件中，使a a b b = 成立的充分条件是（）A ．a b =r r 且a b∥B ．a b=-r r C ．a b∥D ．2a b= 【必刷59】已知向量a 和b ，则“||||a b a b ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【必刷60】设实数0x >，则“2log 1x <”成立的一个必要不充分条件是（）A ．122x <<B ．12x <<C ．1x <D ．2x <专题一集合与常用逻辑用语（必刷1~60题）考点1：集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．（3）集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法．（4）常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN ＋（或N *）ZQR（5）集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．考点2：集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中（即若x ∈A ，则x ∈B ）A ⊆B （或B ⊇A ）真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A （B （或B （A ）集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B（1）、子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.（2）、若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.【必刷1】设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M∈C ．4M∉D ．5M∉【答案】A【解析】先写出集合M ，然后逐项验证即可；【详解】由题知{2,4,5}M =，对比选项知，A 正确，BCD 错误，故选：A【必刷2】已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ ，23,x ∴≤x Z ∈ ，1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【必刷3】已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意可知，集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点⎝⎭，⎛ ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【必刷4】已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则A B 子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】B【解析】先求得A B ，然后求得A B 子集的个数.【详解】{}0,1A B = ，所以A B 子集的个数为224=个.故选：B【必刷5】已知集合(){}2,A x y y x ==，(){,B x y y ==，则A B 的真子集个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解方程组可求得A B ，根据A B 元素个数可求得真子集个数.【详解】由2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，()(){}0,0,1,1A B ∴= ，即A B 有2个元素，A B ∴ 的真子集个数为2213-=个.故选：C.【必刷6】已知集合{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，则A B 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】C【解析】根据集合交集的定义，结合子集的个数公式进行求解即可.【详解】因为{}15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<，所以{}2,3,4A B = ，因此A B 中有三个元素，所以A B 的子集个数为328=，故选：C【必刷7】已知集合}{{}2|23,9,,A x Z x B x x M A B =∈-<≤=<=⋂则M 的子集的个数为（）A ．16B ．7C ．4D ．3【答案】A【解析】化简,A B ，进而根据交集的定义，计算A B ，然后利用子集的概念即可求解.【详解】因为{}{}{}293310123B x |x x |x ,A ,,,,,=<=-<<=-所以{}1012M A B ,,,,==- 所以M 的子集共有42=16（个）.故选：A【必刷8】已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}，则集合A ∩B 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】联立=+12+2=1可得=0=1或=−1=0，故集合A ∩B 中元素的个数为2，故选：C ．【必刷9】设集合{}1,0,1,2A =-，{}2230B x x x =+-<，则A B 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】求出集合B ，可求得集合A B ，确定集合A B 的元素个数，利用集合子集个数公式可求得结果.【详解】因为{}{}223031B x x x x x =+-<=-<<，所以，{}1,0A B ⋂=-，则集合A B 的元素个数为2，因此，A B 的子集个数为224=.故选：B.【必刷10】设集合{}22A x x =≤，Z 为整数集，则集合A ⋂Z 子集的个数是（）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】解不等式求得A ，然后求得A ⋂Z ，进而求得正确答案.【详解】222x x ≤⇒≤，所以A ⎡=⎣，所以{}1,0,1A ⋂=-Z ，所以A ⋂Z 子集的个数是328=.故选：D【必刷11】已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B【解析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>，所以N 中有两个元素，且乘积为-2，又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-，所以211a -=-+=-．即a ＝1．故选：B.【必刷12】集合{}22log 2x Z x ∈≤的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C【解析】求出集合A 后可得其子集的个数.【详解】{}{}2224|log 2|2,1,1,20x x Z x x Z x ⎧⎫⎧≤⎪⎪∈≤=∈=--⎨⎨⎬≠⎪⎪⎩⎩⎭，故该集合的子集的个数为：4216=.故选：C.【必刷13】已知集合{2,0,2}A =-，π1sin ,4B y y x x A ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A B 的真子集的个数是（）A ．7B ．31C ．16D ．15【答案】D【解析】先求得集合B ，然后求得A B ，从而求得A B 的真子集的个数.【详解】{0,1,2}B = ，{2,0,1,2}A B ∴⋃=-，A B 的真子集的个数为42115-=个.故选：D【必刷14】已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（）A ．3B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】先求出集合B ，再根据子集的定义即可求解.【详解】依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=，故选：C.【必刷15】已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}3T x x =<，则S T 的真子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先求出集合T ，然后根据交集的定义求出S T ，最后根据真子集的定义求出真子集的个数.【详解】∵{}21,S s s n n Z ==+∈，{}33T x x =-<<，∴{}1,1S T =- ，∴S T 的真子集个数为2213-=，故选：C .【必刷16】已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，集合{(,)|||1}B x y y x ==-，则集合A B 的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【解析】利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合A B 的元素个数求解.【详解】如图所示：，集合A B 有3个元素，所以集合A B 的真子集的个数为7，故选：C【必刷17】若集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}3,4,5B =，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意求得阴影部分表示的集合，结合集合子集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}13,5A =,，{}3,4,5B =，可得{}3,5A B = ，可得{}()1,2,4U A B = ð，即阴影部分表示的集合为{}1,2,4，所以阴影部分表示的集合的子集个数为328=.故选：D.考点3：集合的运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【必刷18】若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N = （）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 【必刷19】集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N = （）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.【必刷20】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.【必刷21】已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R I ð（）A ．[2,2]-B ．(2,2]-C ．[0,2]D ．(0,2]【答案】B【解析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R 2P x x =≤ð.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤，所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤ ð，故选：B.【必刷22】已知集合204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，{}0,1,2,3,4,5B =，则()R A B ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】首先化简集合A ，再根据补集的运算得到R A ð，再根据交集的运算即可得出答案.【详解】因为20(2,4)4x A xx ⎧⎫+=<=-⎨⎬-⎩⎭，所以{R |2A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 4,5A B = ð，故选：B.【必刷23】设集合{}2120A x x x =--≤，12416x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B 等于（）A ．(]3,4-B ．[)3,2-C ．(]4,4-D ．[]3,4-【答案】C【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】由题意{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，{}1244216x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭，所以(]4,4A B =- .故选：C.【必刷24】若集合{A y y ==，{}3log 2B x x =≤，则A B = （）A ．(]0,9B ．[)4,9C ．[]4,6D ．[]0,9【答案】A【解析】先解出集合A 、B ，再求A B .【详解】因为{{}0A y y y y ==≥，{}{}3log 209B x x x x =≤=<≤，所以{}09A B x x ⋂=<≤.故选：A ．【必刷25】已知集合(){}0.2log 20A x x =->，{}24B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[]22-,B ．(]2,1-C ．[)2,3-D ．∅【答案】C【解析】解对数不等式确定集合A ，解二次不等式确定集合B ，然后由并集定义计算．【详解】由题意{|021}{|23}A x x x x =<-<=<<，{|22}B x x =-≤≤，所以{|23}[2,3)A B x x =-≤<=- ．故选：C ．【必刷26】已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,3,5,8,9}A =，{2,3,4,6}B =，则()U A B = ð（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5,7}D ．{3}【答案】B【解析】应用集合的交补运算求()U A B I ð.【详解】由题设{2,4,6,7}U A =ð，又{2,3,4,6}B =，所以()={2,4,6}U A B = ð，故选：B【必刷27】已知集合{}12M x x =-≤≤，{}ln N x y x ==，则M N = （）A ．[]1,2-B ．(]1,2-C ．(]0,2D ．()[),12,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】先化简集合N ，再去求M N ⋂即可解决【详解】{}{}ln 0N x y x x x ===>，则{}{}{}12002M N x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤，故选：C【必刷28】已知集合{}{}Z 33,2e xA x xB y y =∈-<<==-，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．(,2)-∞C ．{2,1,0,1}--D ．(3,2)-【答案】C【解析】求出函数2e x y =-的值域，再利用交集的定义求解作答.【详解】因e 0x >，则22e x -<，即(,2)B =-∞，而{}Z 33A x x =∈-<<，所以{2,1,0,1}A B =-- .故选：C【必刷29】若全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}0D ．{}0,1,2,4,5【答案】D【解析】先求解集合B 的补集，再利用并集运算即可求解.【详解】由题得{}0,4,5U B =ð，又{}0,1,2A =，所以(){}0,1,2,4,5U B A ⋃=ð，故选：D.【必刷30】设集合{}{}11,124x M x x N x =-≤≤=<<∣∣，则M N = （）A ．{10}xx -≤<∣B ．{01}x x <≤∣C ．{12}x x ≤<∣D ．{12}xx -≤<∣【答案】B【解析】解指数不等式得到{}02N x x =<<，进而求出交集.【详解】因为124x <<，所以02x <<，所以{}02N x x =<<，所以M N = {}01x x <≤，故选：B【必刷31】如图，全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，则阴影部分表示集合（）A ．{}1,0,5,7-B ．{}1,0,2,3,5,6,7-C ．{}2,3D ．{}1,0,5,6,7-【答案】D【解析】求出,A B A B ，阴影表示集合为()A B A B ð，由此能求出结果.【详解】矩形表示全集U =R ，集合{}1,0,2,3,6A =-，集合{}2,3,5,7B =，{}{}2,3,1,0,2,3,5,6,7A B A B ∴⋂=⋃=-，则阴影表示集合为(){}1,0,5,6,7A B A B ⋃⋂=-ð.故选：D.【必刷32】设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R U ð（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(,2]-∞D ．(,2)-∞【答案】C【解析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ，即可根据集合的补集以及并集运算求得答案.【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R ð，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ðU ，故选：C.【必刷33】已知全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}0,2,4,5A =，集合{}2,3,4,6B =，用如图所示的阴影部分表示的集合为（）A ．{2，4}B ．{0，3，5，6}C ．{0，2，3，4，5，6}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】根据文氏图求解即可.【详解】{2,4}A B ⋂=，{}0,2,3,4,5,6A B ⋃=，阴影部分为{}0,3,5,6.故选：B ．【必刷34】已知集合{}2A x x =<，(){}2ln 3B x y x x==-，则A B ⋃=（）A ．()0,2B ．()0,3C ．()2,3D ．()2,3-【答案】D【解析】解出集合A 、B ，利用并集的定义可求得结果.【详解】{}{}222A x x x x =<=-<<，(){}{}{{}22ln 33003B x y x xx x xx x ==-=->=<<.所以，()2,3A B =- .故选：D.【必刷35】若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-⋃D ．{1,0,1,2}-【答案】D【解析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解.【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =，所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=- ，故选：D ．【必刷36】已知集合{}234|0A x x x =--=，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)4,+∞C ．()(),12,4-∞-⋃D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D【解析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可.【详解】由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅ ，所以，当{}2|B x a x a =<<=∅时，2a a ≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞ ，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞.故选：D【必刷37】已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞U D ．[)2,+∞【答案】C【解析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a或211a +- 解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭， ，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a或211a +- ，即 2.a 综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞U .故选：C.【必刷38】设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值不可以是（）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】根据题意可以得到B A ⊆，进而讨论0a =和0a ≠两种情况，最后得到答案.【详解】由题意，{}2,6A =，因为A B B = ，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =.综上：0a =或12a =或16a =.故选：D.【必刷39】已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可.【详解】因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<，所以，实数a 的取值范围是31,122⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．【必刷40】已知集合{}21,Z A x x n n ==+∈，{}2B =<，则A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5,7C ．{}3,5,7D ．{}3,5,7,9【答案】A【解析】先求出集合[)1,5B =，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得[){2}1,5B x =<=，其中奇数有1，3，又{}21,Z A x x n n ==+∈，则{}1,3A B = ，故选：A ．考点4．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系（2）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；考点5．全称量词和存在量词（1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．【必刷41】下列四个命题中真命题的个数是（）①“x =1”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题q ：R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∧为真命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为真命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①由2320x x -+=解得1x =或2x =，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值2πϕ=-，代入判断．【详解】①2320x x -+=，则1x =或2x =“1x =”是“1x =或2x =”的充分不必要条件，①为真命题；②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p ：[)1,x ∀∈+∞，lg lg10x ≥=，命题p 为真命题，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，命题q 为假命题，则p q ∧为假命题，③为假命题；④“若2ϕπ=，则()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的否命题为“若2πϕ≠，则()sin 2y x ϕ=+不是偶函数”若2πϕ=-，则sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为偶函数，④为假命题故选：C ．【必刷42】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题:R p x ∃∈，210x x +-<，则:R p x ⌝∀∈，210x x +->C ．已知:12p x -<<，()12:2log 210x q x +++<，则p 是q 的充分必要条件D ．若p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题【答案】D【解析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项．【详解】命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错；命题:R p x ∃∈，210x x +-<的否定是R x ∀∈，210x x +-≥，B 错；易知函数12()2log (2)x f x x +=++在定义域内是增函数，()11f -=，(2)10f =，所以12x -<<时，()1212log 210x x +<++<满足()122log 210x x +++<，但()122log 210x x +++<时，22x -<<不满足12x -<<，因此题中应不充分不必要条件，C 错；p q ∨为假命题，则p ，q 都为假命题，若,p q 中有一个为真，则p q ∨为真命题，D 正确．故选：D ．【必刷43】下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】利用全称命题的否定可判断A ，由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ，通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”，正确；B.在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a bR R≥（R 为外接圆半径），a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；反之，A B ≥可得a b ≥，由正弦定理可得sin sin A B ≥，即为充要条件，故正确；C.当0,0a b c ==≥时满足20ax bx c ++≥，但是得不到“0a >，且240b ac -≤”，则不是充要条件，故错误；D.若1sin 2α≠，则6πα≠与6πα=则1sin 2α=的真假相同，故正确；故选：C【必刷44】命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠【答案】D【解析】同时否定条件和结论即可，注意x =0且y =0，的否定为0x ≠或0y ≠.【详解】命题“若220x y +=，则0x y ==”即为“若220x y +=，则0x =且0y =”所以否命题为：若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠.故选：D【必刷45】下列说法正确的是（）A ．若2000:,2310p x R x x ∃∈++>，则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++<B ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件C ．(0,)∀∈+∞x ，都有22x x >D ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断A ，根据奇函数的定义判断B ，利用特殊值判断C ，根据三角形的性质及正弦定理判断D ；【详解】对于A ：2000:,2310p x R x x ∃∈++>则2:,2310p x R x x ⌝∀∈++≤，故A 错误；对于B ：由(0)0f =，得不到函数()f x 是奇函数，如2()f x x =满足(0)0f =，但是2()f x x =为偶函数，由函数()f x 是奇函数也不一定得到(0)0f =，如()1f x x=为奇函数，当时函数在0处无意义，故B 错误；对于C ：当2x =时22x x =，故C 错误；对于D ：因为A B >根据三角形中大角对大边，可得a b >，再由正弦定理可得sin sin A B >，故D 正确；故选：D【必刷46】已知下列命题：①x ∀∈R ，210x x ++>；②“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；③已知p 、q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题；④若x 、y ∈R 且2x y +>，则x 、y 至少有一个大于1．其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】利用配方法可判断①的正误；利用集合的包含关系可判断②的正误；利用复合命题的真假可判断③的正误；利用反证法可判断④的正误.【详解】对于①，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，①对；对于②，因为{}2a a >（{}5a a >，故“2a >”是“5a >”的必要不充分条件，②错；对于③，“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题，所以，p q ⌝∧⌝为真命题，③对；对于④，假设1x ≤且1y ≤，则2x y +≤，与2x y +>矛盾，假设不成立，④对.故选：B.【必刷47】设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到答案.【详解】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，特称命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B.【必刷48】命题“x R ∀∈，sin x x >”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00sin x x <B ．0x R ∃∉，00sin x x ≤C ．x R ∀∈，sin x x ≤D ．0x R ∃∈，00sin x x ≤【答案】D【解析】根据命题否定的定义即可求解.【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，即000,sin x R x x ∃∈≤；故选：D.【必刷49】命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x<C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x<【答案】C【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】由全称命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．【必刷50】下列命题正确的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+=，则2x ≠”B ．若给定命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +->C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都为假命题D ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】D【解析】A 选项直接否定条件和结论即可；B 选项存在一个量词的命题的否定，先否定量词，后否定结论；C 选项“且”命题是一假必假；D 选项，利用“小集合”是“大集合”的充分不必要条件作出判断.【详解】对于A ，命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“2320x x -+≠，则2x ≠”，A 错误；对于B ，命题p ：x ∃∈R ，210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x +-≥，B 错误；对于C ，若p q ∧为假命题，则p ，q 有一个假命题即可；C 错误；对于D ， 2320x x -+>1x ∴<或2x >11x x ∴<⇒<或2x >，即“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，D 正确.故选：D考点6：充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的必要不充分条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的充要条件p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇏q 且q ⇏p【必刷51】若x ，y 为实数，则“11x y<”是“22log log x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及对数不等式即可求解；【详解】由题意可知当2,1x y =-=时，满足11x y<，但不满足22log log x y >；由22log log x y >，得0x y >>，满足11x y <，所以“11x y<”是“22log log x y >”的必要不充分条件，故选：B ．【必刷52】在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】在ABC 中，A B =，则22A B =，必有sin 2sin 2A B =，而,63A B ππ==，满足sin 2sin 2A B =，此时ABC 是直角三角形，不是等腰三角形，所以“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的必要不充分条件.故选：B【必刷53】下列四个命题中正确的是（）A ．若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则()1y f x =+的定义域为[]0,2B ．若正三角形ABC 的边长为2，则2AB BC ⋅=C ．已知函数()()2log 11f x x =+-，则函数()y f x =的零点为()1,0D ．“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用抽象函数的定义域可判断A 选项；利用平面向量数量积的定义可判断B 选项；利用函数零点的定义可判断C 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若函数()y f x =的定义域为[]1,1-，对于函数()1y f x =+，则有111x -≤+≤，解得20x -≤≤，即函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-，A 错；对于B 选项，若正三角形ABC 的边长为2，则cos1202AB BC AB BC ⋅=⋅=-，B 错；对于C 选项，已知函数()()2log 11f x x =+-，令()0f x =，解得1x =，所以，函数()y f x =的零点为1，C 错；对于D 选项，若2παβ==，则tan α、tan β无意义，即“αβ=”⇒“tan tan αβ=”；若tan tan αβ=，可取4πα=，54πβ=，则αβ≠，即“αβ=”⇐/“tan tan αβ=”.因此，“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件，D 对.故选：D.【必刷54】不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭成立是不等式21x <成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式1133x⎛⎫> ⎪⎝⎭，得1x <，解不等式21x <，得11x -<<，。
【高考汇编】2019版高考数学(理)高分计划一轮：狂刷练汇编(69份)共300页 含答案详解
2019版高考数学（理）高分计划一轮：狂刷练汇编（69份）目录2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第1章集合与常用逻辑用语1-1a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第1章集合与常用逻辑用语1-2a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第1章集合与常用逻辑用语1-3a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-1a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-2a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-3a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-4a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-5a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-6a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-7a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-8a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-9a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-10a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-11-1a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-11-2a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用2-12a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形3-1a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形3-2a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形3-3a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形3-4a 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Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-3a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-4a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-5a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-6a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-7a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第8章平面解析几何8-8a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第9章统计与统计案例9-1a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第9章统计与统计案例9-2a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第9章统计与统计案例9-3a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-1a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-2a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-3a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-4a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-5a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-6a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-7a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-8a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10-9a Word版含解析2019版高考数学（理）高分计划一轮狂刷练：第11章算法、复数、推理与证明11-1a 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依题意得，A ＝{x|0<x<1}，则∁R A ＝{x|x ≤0或x ≥1}，B ＝{x|x>0}，故(∁R A)∩B ＝{x|x ≥1}＝[1，＋∞)．故选A.5．若集合M ＝{x||x|≤1}，N ＝{y|y ＝x 2，|x|≤1}，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅ 答案 C解析 M ＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N ＝{y|y ＝x 2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N ⊆M.故选C.6．(2017·山西模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈N |x 2<6x}，B ＝{x ∈N |3<x<8}，则如图阴影部分表示的集合是( )A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,3,6,7}C ．{3,4}D ．{4,5,6,7} 答案 B解析 ∵A ＝{x ∈N |x 2<6x}＝{x ∈N |0<x<6}＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈N |3<x<8}＝{4,5,6,7}， ∴图中阴影部分表示的集合是{1,2,3,6,7}，故选B.7．(2018·中山模拟)已知集合A ＝{x | y ＝－x 2－x ＋2ln x }，B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋12，则A ∩B ＝( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，0]D ．[0,1]答案 B解析 由y ＝－x 2－x ＋2ln x 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2≥0，x>0且x ≠1，解得0<x<1，即A ＝(0,1)．由y ＝12x 2－x ＋12＝12(x －1)2≥0，得B ＝[0，＋∞)，故A ∩B ＝(0,1)．故选B.8．(2017·湖南长沙模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x|x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A}，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2 答案 B解析 当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅； 当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅； 当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅， 所以a 的值为2.故选B.9．(2018·江西九江七校联考)设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg (36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 答案 C解析 由36－x 2>0可解得－6<x<6，又x ∈N ，故x 可取0,1,2,3,4,5，故S ＝{0,1,2,3,4,5}． 由题意可知：集合M 不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M 可以是{2,3}，{2,5}，{3,5}，{3,4}，{4,5}．故选C.10．(2018·豫北名校联考)设集合A ＝{x|x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x|x 2－2ax －1≤0，a>0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞) 答案 B解析 A ＝{x|x 2＋2x －3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x 2－2ax －1，因为函数f(x)＝x 2－2ax －1图象的对称轴为x ＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f 20，f 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a<43，即34≤a<43.故选B. 二、填空题11．(2017·南昌模拟)已知集合M ＝{x|x 2－4x<0}，N ＝{x|m<x<5}，若M ∩N ＝{x|3<x<n}，则m ＋n 等于________．答案 7解析 由x 2－4x<0得0<x<4，所以M ＝{x|0<x<4}．又因为N ＝{x|m<x<5}，M ∩N ＝{x|3<x<n}，所以m ＝3，n ＝4，故m ＋n ＝7.12．(2017·洛阳模拟)已知集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，B ＝{x|x<2m －1}，且A ⊆(∁R B)，则m 的最大值是________．答案 34解析 依题意，A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x>12，∁R B ＝{x|x ≥2m －1}，又A ⊆(∁R B)，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.13．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a ∈A 时，必有6－a ∈A.则具有性质P 的集合A 的个数是________．答案 7解析 由条件可知，有1必有5；有2必有4；3可单独也可与1,5或2,4在一起．满足题意的子集有{3}、{1,5}、{2,4}、{3,1,5}、{3,2,4}、{1,5,2,4}、{3,1,5,2,4}，共7个．14．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a}，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.答案 0或14解析 由于A ＝{2，a ，b}，B ＝{2a,2，b 2}，因A ∩B ＝A ∪B ，故A ＝B ，因此A ，B 中的元素对应相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.三、解答题15．(2018·运城模拟)设集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4,0}． ∵B ⊆A ，∴B ＝A 或B A.①当A ＝B ，即B ＝{－4,0}时，则－4和0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1. ②当B A 时，分两种情况：若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a<－1；若B ≠∅，则方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}，满足条件． 综上所述，所求实数a 的取值范围为{a|a ＝1或a ≤－1}．16．(2018·合肥模拟)设集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫132≤2－x ≤4，B ＝{x|x 2－3mx ＋2m 2－m －1<0}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解 化简得集合A ＝{x|－2≤x ≤5}， 集合B ＝{x|(x －m ＋1)(x －2m －1)<0}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254.(2)①m ＝－2时，B ＝∅⊆A ；②当m<－2时，(2m ＋1)－(m －1)＝2＋m<0， 所以B ＝(2m ＋1，m －1)，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥－2，m －1≤5⇒－32≤m ≤6，所以m 的值不存在；③当m>－2时，B ＝(m －1,2m ＋1)，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围是{m|m ＝－2或－1≤m ≤2}．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x －3 12是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 答案 B解析 对于①，其否命题是“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(2018·河南八市联考)命题“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c>b ＋c ，则a>b D ．若a>b ，则a ＋c ≤b ＋c 答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．故选A.3．(2018·曲阜模拟)已知p ：函数f(x)＝|x ＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g(x)＝log a (x ＋1)(a>0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a>1，所以綈p 成立⇔a>1，则綈p 是q 的充要条件．故选C. 4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a>0，b>0”是“b a ＋ab ≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a>0，b>0，则b a ＋a b ≥2，又当a<0，b<0时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a>0，b>0”是“b a ＋ab≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，易知D 正确．故选D.5．“a<－1”是“∃x 0∈R ，asinx 0＋1<0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由题意知“∃x 0∈R ，asinx 0＋1<0”等价于“(asinx ＋1)min <0”，即“当a>0时，－a ＋1<0，即a>1；当a<0时，a ＋1<0，即a<－1”，所以“a<－1”是“∃x 0∈R ，asinx 0＋1<0”的充分不必要条件，故选B.6．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2017·衡水联考)“a ＝0”是“函数f(x)＝sinx －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f(x)＝sinx －1x ，f(－x)＝sin(－x)－1－x＝－sinx ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sinx －1x ＝－f(x)，故f(x)为奇函数； 反之，当f(x)＝sinx －1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1－x ＋a ＋sinx －1x＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f(x)＝sinx －1x＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(2018·天津模拟)已知f(x)＝2x ＋3(x ∈R )，若|f(x)－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b(a ，b>0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b<a 2C ．a ≤b 2D ．a>b 2答案 A解析 ∵f(x)＝2x ＋3，且|f(x)－1|<a ， ∴|2x ＋2|<a.∴－a<2x ＋2<a ， ∴－2－a 2<x<－2＋a 2.∵|x ＋1|<b ，∴－b<x ＋1<b ， ∴－b －1<x<b －1.∵|f(x)－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b(a ，b>0)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1≤－2－a 2，b －1≥－2＋a2，解得b ≥a2.故选A.9．(2018·江西一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a>0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2ai ＋i ＝a ＋2＋(1－2a)i 在复平面内对应的点为M(a ＋2,1－2a)．若a>0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a<0，解得a>12，此时可推出a>0.所以“a>0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r>0)．设p ：0<r<3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r<3，故p 是q 的充分必要条件．故选C.二、填空题是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________． 答案 (－1，＋∞) 解析12．已知条件p ：x ∈A ，且A ＝{x|a －1<x<a ＋1}，条件q ：x ∈B ，且B ＝{x|y ＝x 2－3x ＋2}．若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x|x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x|a －1<x<a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所求实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(2018·泰安模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件， ∴q ⇒p ，且p ⇒/ q.设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，则B A.又B ＝{x|2<x ≤3}，当a>0时，A ＝{x|a<x<3a}； 当a<0时，A ＝{x|3a<x<a}．故当a>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a<0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．14．(2017·长沙模拟)r(x)：已知r(x)＝sinx ＋cosx>m ；s(x)：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sinx ＋cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得sinx ＋cosx 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r(x)为真命题，则m<－ 2.若命题s(x)为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m<2.若命题r(x)为真命题，命题s(x)为假命题，则m ≤－2；若命题r(x)为假命题，命题s(x)为真命题，则－2≤m<2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)． 三、解答题15．(2017·沂水模拟)已知f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解 (1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a ＋b ≥0.是真命题． (用反证法证明)假设a ＋b<0，则有a<－b ，b<－a. ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立． 从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a ＋b<0.是真命题． 原命题为真，证明如下：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)． ∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(2017·江苏兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x|－1<x<1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a)(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m<2.(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N. 当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；当a>1时，a>2－a ，此时集合N ＝{x|2－a<x<a}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a<－14，a ≥2，解得a>94；当a<1时，a<2－a ，此时集合N ＝{x|a<x<2－a}，则⎩⎪⎨⎪⎧a<－14，2－a ≥2，解得a<－14.综上，a>94或a<－14.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”．故选B. 2．下列四个命题：其中的真命题是( )A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4答案 D解析3．已知a>0，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R ，f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R ，f(x)≥f(x 0) 答案 C解析 由题知：x 0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f(x)≥f(x 0)，因此∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)是错误的．故选C.4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( ) A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f(x)可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f(x)的极值点”的充要条件 答案 D解析 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f(x)＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f(x)＝x 3的极值点，错误．故选D.5．(2017·河西区三模)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x－a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞) 答案 B解析 命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x－a ≥0.∴a ≤(e x)min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e.则实数a 的取值范围为(－∞，e]．故选B.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2) 答案 C解析 由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m<0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m<2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.7．(2018·黄冈模拟)下列四个结论： ①若x>0，则x>sinx 恒成立；②命题“若x －sinx ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sinx ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，令y ＝x －sinx ，则y ′＝1－cosx ≥0，则函数y ＝x －sinx 在R 上递增，则当x>0时，x －sinx>0－0＝0，即当x>0时，x>sinx 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sinx ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sinx ≠0”，故②正确； 对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误． 综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g(x)＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( ) A ．綈p B ．p ∧q C ．(綈p)∨q D ．p ∧(綈q) 答案 D解析 设h(x)＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h(x)为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则此时函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g(1)＝1>0，∴g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q)是真命题．故选D.9．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x>0，e x －ax<1成立，q ：函数f(x)＝－(a －1)x在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1时，e x－ax<1不恒成立；当a>1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x－ax<1成立，故p 成立，即p ：a>1，由函数f(x)＝－(a －1)x是减函数，可得a －1>1，得a>2，即q ：a>2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件．故选B.10．(2017·泰安模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 2＋1<1，q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q)为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R 答案 C解析 对于命题p ，mx 2＋1<1，得mx 2<0，若p 为真命题，则m<0，若p 为假命题，则m ≥0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m<－2或m>2.因为p ∨(綈q)为假命题，则需要满足命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2，故选C.二、填空题11．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使asin θ≥a 成立，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． 答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使asin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＝cos π3＝12. 12．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m>0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q)真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q)真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m<2；当命题q 真时，4－4m<0，解得m>1.所以所求的m 的取值范围是1<m<2.13．若f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝ax ＋2(a>0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g(x 1)＝f(x 0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a>0，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 14．(2017·衡水调研)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________； (2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；②∃a<0且b<0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立． 其中，所有正确命题的序号是________． 答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)，∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b)． ∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b)＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上， ∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P(－1,0)，|PM|＝22，|MN|＝4，|MN|≠|PM|，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．三、解答题15．(2018·吉林大学附中模拟)设a 为实常数，y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝9x ＋a2x＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f(x)<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围． 解 y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋a2x－7，x>0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x<0.又“∃x ≥0，f(x)<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f(x)≥a ＋1是真命题，①当x ＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x>0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a|－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－2×1＋a<0，22－2×2＋a>0，所以0<a<1.若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，由Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a<12或a>52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a<1，12≤a ≤52，所以12≤a<1；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a<12或a>52，所以a ≤0或a>52.故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a<1或a>52.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．曲线y ＝lg x 在x ＝1处的切线的斜率是( )A.1ln 10 B ．ln 10 C ．ln e D.1ln e 答案 A解析 因为y ′＝1x ·ln 10，所以y ′|x ＝1＝1ln 10，即切线的斜率为1ln 10.故选A. 2．(2017·潼南县校级模拟)如图，是函数y ＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B ．在(1,3)上f(x)是减函数C ．在(4,5)上f(x)是增函数D ．当x ＝4时，f(x)取极大值 答案 C解析 由于f ′(x)≥0⇒函数f(x)单调递增；f ′(x)≤0⇒函数f(x)单调递减，观察f ′(x)的图象可知，当x ∈(－2,1)时，函数先递减，后递增，故A 错误； 当x ∈(1,3)时，函数先增后减，故B 错误； 当x ∈(4,5)时函数递增，故C 正确；由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D 错误．故选C.3．(2018·上城区模拟)函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )答案 B解析 由图可得－1<f ′(x)<1，切线的斜率k ∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢． ∴结合选项可知选项B 符合．4．(2018·昆明调研)若曲线f(x)＝acosx 与曲线g(x)＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m)处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意得f ′(x)＝－asinx ，g ′(x)＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－asin0＝2×0＋b ，则b ＝0，又m ＝f(0)＝g(0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.5．(2018·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6 答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.6．(2017·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝3cosxB ．f(x)＝x 3＋x 2C ．f(x)＝1＋sin2xD ．f(x)＝e x＋x 答案 C解析 A 选项中，f ′(x)＝－3sinx ，其图象不关于y 轴对称，排除A ；B 选项中，f ′(x)＝3x 2＋2x ，其图象的对称轴为x ＝－13，排除B ；C 选项中，f ′(x)＝2cos2x ，其图象关于y 轴对称；D 选项中，f ′(x)＝e x＋1，其图象不关于y 轴对称．故选C.7．(2018·河南郑州质检二)已知y ＝f(x)是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g ′(x)是g(x)的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g ′(x)＝f(x)＋xf ′(x)，∴g ′(3)＝f(3)＋3f ′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.故选B.8．(2017·辽宁五校联考)已知f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132答案 C解析 ∵f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x)＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.故选C.9．(2017·青山区月考)函数y ＝f(x)的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x)的图象是如图所示的一条直线，y ＝f(x)的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 由导函数的图象和y ＝f(x)的图象过原点，设f(x)＝ax 2＋bx ，所以f ′(x)＝2ax ＋b ，由图得a>0，b>0，则－b 2a <0，4ac －b 24a ＝－b24a<0，则函数f(x)＝ax 2＋bx 图象的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 24a 在第三象限，故选C. 10．若存在过点O(0,0)的直线l 与曲线f(x)＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164答案 C解析 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O(0,0)是切点时，则k ＝f ′(0)＝2，直线l 方程为y ＝2x.又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2－2x ＋a ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②解得x 0＝32(x 0＝0舍)，即k ＝－14，则直线l 方程为y ＝－14x.。
2019年高考高三数学一轮统考综合训练题理科
xyO6π-3π1（第7题）高三理科数学一轮统考综合训练题（五）一、选择题：共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（是虚数单位）的虚部为A ．B ．C ．D ． 2．已知全集，集合，，则A ．B ．C ．D ．3．某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽 取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为 A ． B ． C ． D ． 4. 曲线在处的切线方程为 A ． B ． C ． D ．5．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若则 B ．若则 C ．若则 D ．若则6.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )+ + +27..若样本数据x 1,x 2,…,x 10的标准差为8,则数据2x 1-1,2x 2-1,…,2x 10-1的标准差为( )8．设,z x y =+其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为12，则z 的最小值为A ．3-B ．6-C ．3D ．69．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()f x x +=A ． 1B ．21 C ．22 D ．23 10．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 A ．34种 B ．48种C ．96种D ．144种11. 函数2()ln(2)f x x =+的图象大致是12．如图，从点0(,4)M x 发出的光线，沿平行于抛物线28y x =的 对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线:100l x y --=上 的点N ，经直线反射后又回到点M ，则0x 等于A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．圆22:2440C x y x y +--+=的圆心 到直线:3440l x y ++=的距离d = ; 14．如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为 ;15．已知,x y 均为正实数，且3xy x y =++，则xy 的最小值为__________；16. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1x y e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在数列{}n a )N (*∈n 中，其前n 项和为n S ，满足22n n S n -=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=k n nn k n n b n a n 2,2112,22（k 为正整数）,求数列{}n b 的前n 2项和n T 2.18．（本小题满分12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （Ⅰ）求袋中原有白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中, PA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为BD 、PD 的中点，=1EA EB AB ==，2PA =.（Ⅰ）证明：PB ∥面AEF ；（Ⅱ）求面PBD 与面AEF 所成锐角的余弦值. 20．（本小题满分12分） 已知函数()1xf x e x =--． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间.设2()(()1)(1)g x f x x '=+-，试问函数()g x 在(1,)+∞上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分12分）PFE ABCD设1F ,2F 分别是椭圆D ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过2F 作倾斜角为3π的直线交椭圆D 于A ,B 两点, 1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4.（Ⅰ）求椭圆D 的方程；（Ⅱ）已知点），（01-M ，设E 是椭圆D 上的一点，过E 、M 两点的直线l 交y 轴于点C ,若CE EM λ=, 求λ的取值范围；（Ⅲ）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点P ,Q ,其中P 点的坐标为(2,0)-,若点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线上一点,且满足4=⋅,求实数t 的值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. 22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线),0(cos 2sin :2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值． 23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．数学一轮统考综合训练题（五）答案一、选择题： C A D A D B C B D C D B 二、填空题： 13. 3 14.2315．9 16．②③229nC C 三、解答题： 17．解:(Ⅰ)由题设得:22n n S n -=,所以)2()1(1221≥---=-n n n S n所以n S S a n n n -=-=-11 )2(≥n ……………2分当1=n 时，011==S a ,数列{}n a 是01=a 为首项、公差为1-的等差数列 故n a n -=1.……………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-k n n n k n n b n n 2,)2(112,21 ……………6分 n n b b b b T 23212++++=02462212325272(21)2n n ----⎡⎤=⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-+-+)22121()8161()6141()4121(21n n 02462212325272(21)24(1)n n n n ----⎡⎤==⋅+⋅+⋅+⋅+-⋅+⎣⎦+ ……………9分设246221325272(21)2n T n ----=+⋅+⋅+⋅++-⋅则2246822222325272(23)2(21)2n n T n n -------⋅=+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅两式相减得：2468222312(22222)(21)24n n T n ------⋅=++++++--⋅整理得：2202420992nn T +=-⋅ ……………11分 所以222024209924(1)n n n nT n +=-+⋅+ ……………12分 18．解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为 ……………2分由题意知229512n C C =，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）……………………5分 故袋中原有白球的个数为6……………………6分 （Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.2(1)3P X ==； 361(2)984P X ⨯===⨯； 3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：……………10分所求数学期望为211110()12343414847E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………12分19． (Ⅰ)因为E 、F 分别为BD 、PD 的中点， 所以EF ∥PB ……………………2分 因为EF ⊂面AEF ，PB ⊄面AEF 所以PB ∥面AEF ……………………4分 （Ⅱ）因为=1EA EB AB == 所以60ABE ∠= 又因为E 为BD 的中点所以ADE DAE ∠=∠所以2()180BAE DAE ∠+∠=得90BAE DAE ∠+∠=，即BA AD ⊥……………6分 因为=1EA EB AB ==，所以AD =分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立坐标系所以1(1,0,0),(0,0,2),(0,(,222B D P F E 则133(1,0,2),(0,3,2),(,,0),(0,222PB PD AE AF =-=-==………8分 设1111(,,)n x y z =、2222(,,)n x y z =分别是面PBD 与面AEF 的法向量则11112020x z z -=⎧⎪-=，令1(2,3n =又22220102y z x y +=⎨⎪=⎪⎩，令2(3,1,2n =--……………11分所以12121211cos ,19n n n n n n ⋅==……………12分20．解：（Ⅰ）求导数，得()1x f x e =-'．令0()f x '=，解得0x =． ……………2分 当0x <时，0()f x '<，所以()f x 在()0-∞，上是减函数； 当0x >时，0()f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数． 故()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． ……………6分 （Ⅱ）函数()g x 在()1,+∞上不存在保值区间,证明如下： 假设函数()g x 存在保值区间[],a b ,由2()(1)xg x x e =-得：2()(21)xg x x x e '=+-因1x >时， ()0g x '>，所以()g x 为增函数，所以22()(1)g()(1)abg a a e ab b e b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 即方程2(1)xx e x -=有两个大于1的相异实根 ……………9分 设2()(1)(1)xx x e x x ϕ=-->2()(21)1x x x x e ϕ'=+--因1x >，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(1,)+∞上单增所以()x ϕ在区间()1,+∞上至多有一个零点 ……………11分 这与方程2(1)xx e x -=有两个大于1的相异实根矛盾所以假设不成立，即函数()h x 在()1,+∞上不存在保值区间. ……………12分21．解:（Ⅰ）设1F ,2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -,其中0>c由题意得AB 的方程为:)(3c x y -=因1F 到直线AB 的距离为3,所以有31333=+--cc ,解得3=c ……………2分所以有3222==-c b a ……① 由题意知:42221=⨯⨯b a ,即2=ab ……②联立①②解得:1,2==b a所求椭圆D 的方程为1422=+y x ……………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆D 的方程为1422=+y x 设11(,)E x y ,),0(m C ，由于CE EM λ=,所以有),1(),(1111y x m y x ---=-λλλλ+=+-=∴1,111my x ……………6分 又E 是椭圆D 上的一点,则1)1(4)1(22=+++-λλλm 所以04)2)(23(2≥++=λλm解得：23λ≥-或2λ≤- ……………8分（Ⅲ）由)0,2(-P , 设),(11y x Q根据题意可知直线1l 的斜率存在，可设直线斜率为k ,则直线1l 的方程为)2(+=x k y 把它代入椭圆D 的方程,消去y ,整理得: 0)416(16)41(2222=-+++k x k x k由韦达定理得22141162k k x +-=+-,则2214182k k x +-=,=+=)2(11x k y 2414kk+ 所以线段PQ 的中点坐标为,418(22k k +-)4122k k+(1)当0=k 时, 则有)0,2(Q ,线段PQ 垂直平分线为y 轴 于是),2(),,2(t NQ t NP -=--=由442=+-=⋅t NQ NP ,解得:22±=t ……………10分(2) 当0≠k 时, 则线段PQ 垂直平分线的方程为-y +-=+x kk k (14122)41822k k + 因为点),0(t N 是线段PQ 垂直平分线的一点 令0=x ,得:2416k kt +-=于是),(),,2(11t y x NQ t NP -=--=由4)41()11516(4)(2222411=+-+=---=⋅k k k t y t x ,解得:714±=k代入2416kkt +-=,解得: 5142±=t 综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t . ……………12分.2,2)Ⅰ(.222-==x y ax y ……………5分).(224222)Ⅱ(为参数的参数方程为直线t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-= ),4(8),4(22,0)4(8)4(222212122a t t a t t a t a t ax y +=⋅+=+=+++-=则有，得到代入,2PN PM MN ⋅= ,4)()(2121221221t t t t t t t t =⋅-+=-∴).(41.0432舍去或解得即-===-+a a a a ……………10分23.解：(Ⅰ)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x>32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6， 解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x<－12.故不等式的解集为{x|－1≤x ≤2}． ……………5分(Ⅱ)∵f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|a －1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. ……………10分。
2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第一单元 集合与常用逻辑用语
第一单元集合与常用逻辑用语考点一集合1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则().A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀【解析】∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又∵A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.【答案】A2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=().A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.【答案】C3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为().A.3B.2C.1D.0【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.【答案】B4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=().A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解析】B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.【答案】C5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(R Q)=().A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},∴R Q={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵P={x∈R|1≤x≤3},∴P∪(R Q)={x|-2<x≤3}=(-2,3].【答案】B6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=().A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【解析】∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},∴P∪Q={x|-1<x<2}.故选A.【答案】A考点二命题及其关系、充分条件与必要条件7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为().A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】设z=a+b i(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).对于p1,若∈R,即=-∈R,则b=0,所以z=a+b i=a∈R,所以p1为真命题.对于p2,若z2∈R,即(a+b i)2=a2+2ab i-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+b i=b i∈/R,所以p2为假命题.对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.对于p4,若z∈R,即a+b i∈R,则b=0⇒=a-b i=a∈R,所以p4为真命题.故选B.【答案】B8.(2016年四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足-则p是q的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p表示以点(1,1)为圆心,为半径的圆面(含边界),如图.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).由图可知,p是q的必要不充分条件.【答案】A9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.【答案】C考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为().A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.【答案】C11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组-的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).由-得交点A(2,-1).->-1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-+,表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.【答案】C12.(2014年湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是().A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则p为假命题,q为真命题.故①p∧q为假命题,②p∨q 为真命题,③p∧(q)为真命题,④(p)∨q为假命题.所以选C.【答案】C13.(2015年山东卷)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【解析】∵函数y=tan x在上是增函数,∴y max=tan=1.依题意,m≥y max,即m≥1,∴m的最小值为1.【答案】1高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.命题特点:试题注重基础,一般是选择题.§1.1集合一集合的概念1.集合中元素的特征:、、无序性.2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作;b不属于集合A,记作.3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.5.集合间的关系子集:A⊆B或.真子集:A⫋B或.集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.空集是集合的子集,是集合的真子集.二集合的性质1.集合的运算(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)补集:U A={x|x∈U且x∉A}.2.需要特别注意的运算性质和结论A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(U A)=⌀,A∪(U A)=U;A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)若A∩B=A∩C,则B=C.()(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.()若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是().A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是.知识清单一、1.确定性互异性2.a∈A b∉A5.B⊇A B⫌A任何任何非空基础训练1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.(2)错误,x=0.(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.【解析】因为a=2=N,所以a∉A,故选D.【答案】D3.【解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|x<a},因为A∩B=A,所以A⊆B,所以a≥2.【答案】[2,+∞)题型一集合的概念【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组的个数为6.【答案】6A.1B.3C.5D.9(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为.【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B中有5个元素.(2)由题意得--即或故1<a≤2.【答案】(1)C(2)(1,2]题型二集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.【解析】当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m≤2.当B≠⌀时,若B⊆A,则--解得2<m≤4.综上,实数m的取值范围是(-∞,4].【答案】(-∞,4]2+x+2>0},则下列结论正确的是().A.A∪B=RB.A∩B≠⌀C.A⊆R BD.A⊇R B(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|=-,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为().A.2B.-1C.-1或2D.2或【解析】(1)A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1<x<2},R B={x|x≥2或x≤-1},则A⊆R B.(2)由=-,得x=2,则A={2}.因为B={1,m},且A⊆B,所以m=2.【答案】(1)C(2)A题型三集合的运算【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|lo(x-1)>0},B=-,则阴影部分表示的集合是().A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]【解析】图中阴影部分表示集合B∩R A.∵A={x|lo(x-1)>0}={x|1<x<2},B=-=,∴R A={x|x≤1或x≥2},B∩R A={x|0<x≤1},故选D.【答案】D2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ).A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1](2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)D.(-3,-1)【解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(U N)=(-3,-1).【答案】(1)A(2)D方法数形结合思想在集合中的应用对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B两地都赞成的专家数的多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?【解析】赞成A地重建的专家人数为50×=30,赞成B地重建的专家人数为30+3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33-x.依题意,(30-x)+(33-x)+x+=50,解得x=21.所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2017潍坊模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【答案】D2.(2017南昌月考)设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=().A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,2}D.{0,1,2,3}【解析】∵P∩Q={0},∴0∈P,只能log2a=0,∴a=1,a2=1.又0∈Q,∵2a=21=2≠0,∴b=0.故P={0,1},Q={2,0},∴P∪Q={0,1,2}.【答案】B3.(2017河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(U B)等于().A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(U B)={1,8}.【答案】B4.(2017湖南省东部六校联考)已知集合M={-2,-1,0,1},N=,则M∩N=().A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1}【解析】由≤2x≤4,解得-1≤x≤2.又x∈Z,∴N={-1,0,1,2},∴M∩N={-1,0,1}.【答案】C5.(2017石家庄教学质检(二))已知集合M={-1,1},N=,则下列结论正确的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【解析】∵-2<0,即->0,解得x<0或x>,∴N=(-∞,0)∪.又∵M={-1,1},∴B正确,A,C,D错误.【答案】B6.(2017山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若U B⊆A,则实数a的取值范围是().A.(-∞,1)B.(-∞,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)【解析】因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,所以A={x|x>2或x<1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x>a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【答案】D7.(2017开封市一模)设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则A∩(R B)=().A.{-1,2}B.{-2,-1,1,2,4}C.{1,4}D.⌀【解析】由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x>4或x<-2},R B={x|-2≤x≤4}.当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.所以A∩(R B)={-1,2}.【答案】A8.(2017江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A={x|0<x<5,x∈U},B={x|x≤1,x∈U},则A∩(U B)=.【解析】A={x|0<x<5,x∈U}={1,2,3,4},B={x|x≤1,x∈U},则U B={x|x>1,x∈U}={2,3,4,5,…},则A∩(U B)={2,3,4}.【答案】{2,3,4}9.(2017山西考前质检)已知全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3}.若B⊆U A,则集合B的个数是.【解析】由题意得U={-2,-1,0,1,2,3,4},所以U A={-2,4},所以集合B的个数是22=4.【答案】410.(2017山东枣庄一模)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(R B)=().A.⌀B.{x|x>2或x≤-1}C.{x|x<-1}D.{x|x≥2或x<-1}【解析】集合A={x|(x+1)(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤-1},B={x|log3(2-x)≤1}={x|-1≤x<2},R B={x|x≥2或x<-1},则A∩(R B)={x|x≥2或x<-1}.【答案】D11.(2017云南楚雄州一模)若集合A={y|y=2x+2},B={x|-x2+x+2≥0},则().A.A⊆BB.A∪B=RC.A∩B={2}D.A∩B=⌀【解析】∵y=2x+2>2,∴A={y|y>2}.由-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,∴B={x|-1≤x≤2}.∴A∩B=⌀.【答案】D12.(2017上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3【解析】∵4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4n∈M.∵4n+1=(2n+1)2-(2n)2,∴4n+1∈M.∵4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,∴4n+3∈M.若4n+2∈M,则存在x,y∈Z使得x2-y2=4n+2,∴4n+2=(x+y)(x-y).∵x+y和x-y的奇偶性相同,若x+y和x-y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而4n+2是偶数;若x+y和x-y都是偶数,则(x+y)(x-y)能被4整除,而4n+2不能被4整除,∴4n+2∉M.【答案】C13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0<x<2},集合B={x|-1<x<1},集合C={x|mx+1>0},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为().A.{m|-2≤m≤1}B.-C.-D.-【解析】由题意得A∪B={x|-1<x<2}.∵集合C={x|mx+1>0},(A∪B)⊆C,①当m<0时,x<-,∴-≥2,∴m≥-,∴-≤m<0;②当m=0时,满足题意;③当m>0时,x>-,∴-≤-1,∴m≤1,∴0<m≤1.综上可知,实数m的取值范围为-.【答案】B14.(2017上海中学高考模拟)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集的个数是.【解析】S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,4,5},{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个.【答案】6§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一命题用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫作命题,其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.二四种命题及其相互关系1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有的真假性.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.三充分条件与必要条件1.如果p⇒q,那么p是q的条件,q是p的条件.2.如果p⇔q,那么p是q的条件.3.如果p⇒/q且q⇒/p,那么p是q的条件.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.)“x2+2x-3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.已知α,β是两个平面,直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的().A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识清单一、判断真假判断为真判断为假二、1.若q,则p若q,则p2.(1)相同(2)没有关系三、1.充分必要2.充要3.既不充分也不必要基础训练1.【解析】(1)错误,“x2+2x-3<0”不能判断真假.(2)正确,由充分条件的定义知正确.(3)正确,因为“若p不成立,则q不成立”的逆否命题是“若q成立,则p成立”,所以正确.【答案】(1)×(2)√(3)√2.【解析】由|x|≤2,知p:-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以p对应的集合是q对应的集合的真子集,所以a≥2.【答案】[2,+∞)3.【解析】l⊥β,l⊂α⇒α⊥β,反之不成立.∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件.【答案】C题型一四种命题及其关系【例1】下列命题中为真命题的是().A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若>1,则x>1”的逆否命题【解析】对于A,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故否命题为假命题;对于B,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,其为真命题;对于C,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对于D,逆否命题为“若x≤1,则≤1”,易知其为假命题.故选B.【答案】B当一个命题不易直接判断其真假时,直接判断该命题的真假可转化为判断其等价命题的真假.z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如1,下,则正确的是().A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.【答案】B题型二充分条件、必要条件的判断【例2】下列说法正确的是().A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件B.p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充分不必要条件C.已知数列{a n},若p:对于任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,q:{a n}为等差数列,则p是q的充要条件D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件【解析】A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.B错误,由A∩B=A,得A⊆B,所以p是q的必要不充分条件.C错误,因为点P n(n,a n)在直线y=2x+1上,所以a n=2n+1(n∈N*),则a n+1-a n=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列{a n}是公差为2的等差数列,即p⇒q.反之则不成立,如:令a n=n,则{a n}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件.D正确,因为ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.故选D.【答案】D判断充分条件、必要条件的方法有定义法,集合法,等价转化法.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a<0时,x≥0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;当a=0时,f(x)=2|x|,其在区间[0,+∞)上为增函数,所以必要性不成立.故选A.【答案】A题型三充分条件、必要条件的应用【例3】方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是().A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0【解析】当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根.当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1.设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=,当方程有一个负实根和一个正实根时,有⇒a<0;当方程有两个负实根时,有-⇒综上所述,a≤1.【答案】C解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为.【解析】由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故a的最小值为3.【答案】3方法集合与充分条件、必要条件“联手”求参数集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解.设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:1.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.2.若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.3.若A=B,则p是q的充要条件.【突破训练】已知p:-≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【解析】由-≤2,得-2≤x≤10,所以p对应的集合为{x|x>10或x<-2}.设A={x|x>10或x<-2}.因为q:1-m≤x≤1+m(m>0),所以q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}.设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,所以且不能同时取得等号,解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).【答案】[9,+∞)1.(2017大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是().A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.【答案】D2.(2017合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.【答案】B3.(2017江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是().A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,则xy=2C.若x+y=2,则xy≤1D.若a≥b,则ac2≥bc2【解析】A错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)>0,则x>2”,显然错误;B正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”,由基本不等式可知正确;C错误,其逆命题为“若xy≤1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy≤1,但x+y≠2;D错误,其逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,如c=0,满足ac2≥bc2,但不一定得到a≥b.故选B.【答案】B4.(2017上海模拟)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是().A.0B.1C.2D.4【解析】由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.【答案】D5.(2017南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件.【答案】B6.(2017西安调研)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.【答案】B7.(2017山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m⊂α,n⊄α,则“n⊥m”是“n⊥α”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由n⊥m,推不出n⊥α.由n⊥α,能推出n⊥m.因此,“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件.【答案】A8.(2017荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为().①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;④“每个正方形都是平行四边形”的否定.A.1B.2C.3D.4【解析】对于①,“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,故①为假命题;对于②,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知②为真命题;对于③,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知③为真命题;对于④,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即④是假命题.故选B.【答案】B9.(2017华北十校模拟)有下列三个命题:①“面积相等的三角形全等”的否命题;②“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;③“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题是.(填写所有真命题的序号)【解析】对于①,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然①是真命题;对于②,若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于③,若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.【答案】①②10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,q:|m-2|<1,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,∴m2-m-1=1,m>0,解得m=2.由|m-2|<1,解得1<m<3.故p是q的充分不必要条件.【答案】A11.(2017武汉联考)原命题为“若xy=1,则x,y互为倒数”,则().A.其逆命题与逆否命题是真命题,否命题是假命题B.其逆命题是假命题,否命题和逆否命题是真命题C.其逆命题和否命题是真命题,逆否命题是假命题D.其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题【解析】原命题“若xy=1,则x,y互为倒数”是真命题.原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,其是真命题.因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以否命题是真命题.原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,故其逆否命题是真命题.【答案】D12.(2017广西模拟)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是().A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题【解析】∵f(x)=e x-mx,∴f'(x)=e x-m.又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f'(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,∴原命题是真命题,其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”也是真命题,∴B正确,C,D错误.A错误,否命题应为“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数,则m>1”.故选B.【答案】B13.(2017山东潍坊模拟)若“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.【解析】∵函数f(x)=+m-的图象不过第三象限,∴1+m-≥0,解得m≥-.∵“m>a”是“函数f(x)=+m-的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a<-.【答案】--14.(2017上海市风华中学期中)定义:若m-<x≤m+(m∈Z),则m叫作离实数x最近的整数,记作{x},即m={x}.给出关于函数f(x)=x-{x}的四个命题:①定义域为R,值域为-;②点(k,0)(k∈Z)是函数f(x)图象的对称中心;③函数f(x)的最小正周期为1;④函数f(x)在-上是增函数.其中,真命题的序号是.【解析】令x=m+a,a∈-,则f(x)=x-{x}=a∈-,∴①正确.令k=0,∵f=-=,f-=---=-+1=,∴f≠-f-,即函数f(x)不关于点(0,0)对称,∴②错误.∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为1,∴③正确.当x=时,m=1,f=,当x=时,m=0,f=,∴f=f,∴④错误.【答案】①③§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一简单的逻辑联结词1.命题中的“”“”“”叫作逻辑联结词.2.命题p∧q,p∨q,p的真假判定二全称命题与存在命题1.全称量词:短语“”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示.2.全称命题:含有的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为.3.存在量词:短语“”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“”表示.4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为.三含有一个量词的命题的否定☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题p和p不可能都是真命题.()命题p:对任意x∈R,sin x<1,命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列命题是真命题的是().A.p∧qB.(p)∧qC.p∨(q)D.(p)∧(q)给出下列命题:①对任意x∈N,x3>x2;②存在x0∈R,-x0+1≤0;③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.以上命题的否定中,真命题为.(填序号)下列命题中的假命题是().A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x0∈R,ln x0<1D.∃x0∈R,tan x0=2知识清单一、1.或且非2.真真假假真假假真真假假真二、1.所有的2.全称量词∀x∈M,p(x)3.存在一个∃4.∃x0∈M,p(x0)三、∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,p(x)基础训练1.【解析】(1)错误,命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题或一个是真命题,一个是假命题.(2)正确,命题p和p真假相反,故不可能都是真命题.【答案】(1)×(2)√2.【解析】当x=时,sin x=1,所以p为假命题,p为真命题;当x=π时,cos x=-1,所以q为真命题,q为假命题.故(p)∧q为真命题.【答案】B3.【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;②的原命题为假命题,其否定为真命题;③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.【答案】①②4.【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;存在0<x0<e,使得ln x0<1,所以选项C中的命题是真命题;因为正切函数y=tan x的值域是R,所以选项D中的命题是真命题.【答案】B题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】已知命题p:函数y=sin和函数y=cos-的图象关于原点对称,命题q:当x=kπ+(k∈Z)时,函数y=(sin 2x+cos 2x)取得极小值,则下列说法正确的是().A.p∨q是假命题B.(p)∧q是假命题C.p∧q是真命题D.(p)∨q是真命题【解析】命题p中,y=cos-=cos--=cos--=sin-,y=sin-与y=sin的图象关于原点对称,故p为真命题.命题q中,当y=(sin 2x+cos 2x)=2sin取得极小值时,2x+=2kπ-,即x=kπ-,k∈Z,故q为假命题.所以(p)∧q为假命题,故选B.【答案】B【变式训练1】(2017洛阳一模)已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(q)”是假命题;③命题“(p)∨q”是真命题;④命题“(p)∨(q)”是假命题.其中结论正确的是().A.②③B.②④C.③④D.①②③【解析】因为>1,所以命题p是假命题.因为x2+x+1=+≥>0,所以命题q是真命题.故结论②③正确.【答案】A题型二全称命题与特称命题【例2】下列命题中的真命题是().A.存在x∈R,使得sin x+cos x=B.对任意x∈(0,+∞),e x>x+1C.存在x∈(-∞,0),2x<3xD.对任意x∈(0,π),sin x>cos x【解析】因为sin x+cos x=sin≤<,所以A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;当x∈时,sin x<cos x,故D错误.所以选B.【答案】B对全(特)称命题进行否定的方法:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;②对原x2∈R,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)≥0,则p是().1,A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0【解析】由命题的否定的定义可得,p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.【答案】C题型三根据命题的真假求参数的取值范围【例3】已知命题p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,求实数a的取值范围.【解析】若p且q为真命题,则p,q都是真命题.x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1.设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.由或得a=1或a≤-2,故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:先根据题目条件,得出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);然后2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为().A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2【解析】依题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2<m<2.因此由p,q均为假命题得或即m≥2.【答案】A方法分类讨论思想在命题真假判断中的应用【突破训练】(2017福建四校联考)已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,命题q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取值范围是.【解析】若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以--得0<a<1.若命题q为真命题,则函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,由Δ=(2a-3)2-4>0,得4a2-12a+5>0,解得a<或a>.因为p且q是假命题,p或q是真命题,所以p,q一真一假.若p真q假,则解得≤a<1;若p假q真,则或或解得a≤0或a>.故实数a的取值范围是a≤0或≤a<1或a>.【答案】a≤0或≤a<1或a>。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷第1章集合与常用逻辑用语1-3a
[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p 为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1”．故选B.2．下列四个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析3．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 由题知：x 0＝－b2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．故选C.4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( ) A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件答案 D解析 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误．故选D.5．(2017·河西区三模)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0. ∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e. 则实数a 的取值范围为(－∞，e]．故选B.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2) 答案 C解析 由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m <0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m <2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.7．(2018·黄冈模拟)下列四个结论： ①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x－sin x ≠0”；③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( ) A ．綈p B ．p ∧q C ．(綈p )∨q D ．p ∧(綈q )答案 D解析 设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题．故选D.9．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1时，e x －ax <1不恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1，由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件．故选B.10．(2017·泰安模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1<1，q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R答案 C解析 对于命题p ，mx 2＋1<1，得mx 2<0，若p 为真命题，则m <0，若p 为假命题，则m ≥0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(綈q )为假命题，则需要满足命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2，故选C.二、填空题11．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＝cos π3＝12. 12．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12.14．(2017·衡水调研)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________； (2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形； ②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立． 其中，所有正确命题的序号是________． 答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)， ∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )． ∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上， ∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．三、解答题15．(2018·吉林大学附中模拟)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．解 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋a 2x －7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x ＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－2×1＋a <0，22－2×2＋a >0，所以0<a <1.若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，由Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧0<a <1，12≤a ≤52，所以12≤a <1；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，所以a ≤0或a >52.故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a <1或a >52.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第1章 集合与常用逻辑用语 1-1a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·山西八校联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |0<x ≤4}，则A ∪B ＝( )A ．[－1,4]B ．(0,3]C ．(－1,0]∪(1,4]D ．[－1,0]∪(1,4]答案 A解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，故A ∪B ＝[－1,4]．故选A.2．(2018·石家庄质检)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <4}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}答案 D解析 因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}＝{x |－1<x <3}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}．故选D.3．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝1＋sin πx 2，x ∈M ，则集合M ∩N 的真子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 因为N ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{0,1}，其真子集的个数是3.故选B.4．(2018·济南质检)已知集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |e x >1}，则(∁R A )∩B ＝( )A．[1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．[0,1]答案 A解析依题意得，A＝{x|0<x<1}，则∁R A＝{x|x≤0或x≥1}，B＝{x|x>0}，故(∁R A)∩B＝{x|x≥1}＝[1，＋∞)．故选A.5．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案 C解析M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.6．(2017·山西模拟)设全集U＝R，集合A＝{x∈N|x2<6x}，B＝{x∈N|3<x<8}，则如图阴影部分表示的集合是()A．{1,2,3,4,5}B．{1,2,3,6,7}C．{3,4}D．{4,5,6,7}答案 B解析∵A＝{x∈N|x2<6x}＝{x∈N|0<x<6}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈N|3<x<8}＝{4,5,6,7}，∴图中阴影部分表示的集合是{1,2,3,6,7}，故选B.7．(2018·中山模拟)已知集合A ＝{x | y ＝－x 2－x ＋2ln x }，B ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋12，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，0] D ．[0,1]答案 B 解析 由y ＝－x 2－x ＋2ln x得⎩⎨⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0且x ≠1，解得0<x <1，即A ＝(0,1)．由y ＝12x 2－x ＋12＝12(x －1)2≥0，得B ＝[0，＋∞)，故A ∩B ＝(0,1)．故选B.8．(2017·湖南长沙模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2 答案 B解析 当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅； 当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅； 当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅， 所以a 的值为2.故选B.9．(2018·江西九江七校联考)设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg (36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 答案 C解析 由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0,1,2,3,4,5，故S ＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M 不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M 可以是{2,3}，{2,5}，{3,5}，{3,4}，{4,5}．故选C.10．(2018·豫北名校联考)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 B解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有⎩⎨⎧f (2)≤0，f (3)>0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B.二、填空题11．(2017·南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于________．答案 7解析 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，故m ＋n ＝7.12．(2017·洛阳模拟)已知集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆(∁R B )，则m 的最大值是________．答案 34解析 依题意，A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12，∁R B ＝{x |x ≥2m－1}，又A ⊆(∁R B )，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.13．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a ∈A 时，必有6－a ∈A .则具有性质P 的集合A 的个数是________．答案 7解析 由条件可知，有1必有5；有2必有4；3可单独也可与1,5或2,4在一起．满足题意的子集有{3}、{1,5}、{2,4}、{3,1,5}、{3,2,4}、{1,5,2,4}、{3,1,5,2,4}，共7个．14．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.答案 0或14解析 由于A ＝{2，a ，b }，B ＝{2a,2，b 2}，因A ∩B ＝A ∪B ，故A ＝B ，因此A ，B 中的元素对应相等，得⎩⎨⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎨⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.由集合中元素的互异性，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14. 三、解答题15．(2018·运城模拟)设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4,0}． ∵B ⊆A ，∴B ＝A 或B A .①当A ＝B ，即B ＝{－4,0}时，则－4和0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.②当B A 时，分两种情况：若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1；若B ≠∅，则方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根． ∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}，满足条件．综上所述，所求实数a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．16．(2018·合肥模拟)设集合A ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2－3mx ＋2m 2－m －1<0}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围． 解 化简得集合A ＝{x |－2≤x ≤5}， 集合B ＝{x |(x －m ＋1)(x －2m －1)<0}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254.(2)①m ＝－2时，B ＝∅⊆A ；②当m <－2时，(2m ＋1)－(m －1)＝2＋m <0， 所以B ＝(2m ＋1，m －1)，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎨⎧2m ＋1≥－2，m －1≤5⇒－32≤m ≤6，所以m 的值不存在；③当m >－2时，B ＝(m －1,2m ＋1)，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎨⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围是{m |m ＝－2或－1≤m ≤2}．。
2019届高考数学人教A版理科第一轮复习综合测试卷 含解析 精品
综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x,y∈R,i是虚数单位,若2+x i与互为共轭复数,则(x+y i)2=()A.3iB.3+2iC.-2iD.2i2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=()A. B. C.(0,2) D.3.设a=,b=,c=logπ,则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c4.根据下边程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.285.(2017山东,理5)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+.已知x i=225,y i=1 600,=4,该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()A.160B.163C.166D.1706.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.B.C.D.7.若椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是()A.3B.1C.D.8.已知变量x,y满足约束条件,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos B cos C的最大值为()A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-211.对∀α∈R,n∈[0,2],向量c=(2n+3cos α,n-3sin α)的长度不超过6的概率为()A. B. C. D.12.已知数列{a n}满足a1=15,=2,则的最小值为()A.7B.2-1C.9D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数等于.14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则=.15.若函数f(x)=在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.16.(2017山东,理13)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)某电脑公司有6名产品推销员:(1)求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数;(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.参考数据:≈1.02;由检验水平0.01及n-2=3,查表得r0.01=0.959.参考公式:线性相关系数公式r=;线性回归方程系数公式:x+,其中.19.(12分)如图,已知在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.21.(12分)设函数f(x)=a e x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>8;(2)若不等式f(x)≥3在区间(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.答案：1.D解析∵=,∴解得∴(x+y i)2=(1+i)2=2i.2.A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.B解析设d=,由指数函数f(x)=与g(x)=的单调性知,a>d,b>,再由幂函数h(x)=的单调性知,d>b,故a>b>.又π>e,所以c<.所以c<b<a.故选B.4.B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.C解析由已知得x i=22.5,y i=160,又=4,所以=160-4×22.5=70,故当x=24时,=4×24+70=166.故选C.6.A解析f(x)=sin x-cos x=sin,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,当k=-1时,m=.7.B解析设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长为2,双曲线的实轴长为2,由题意,得m-1=n+1,即m-n=2.不妨令P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, ①由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2, ②①2+②2,得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),即有|PF1|·|PF2|=m-n=2,又|F1F2|=2,可得|PF1|2+|PF2|2=4(m-1),|F1F2|2=4(m-1),即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则△F1PF2为直角三角形.即有△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×2=1.8.C解析表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k.作出约束条件所表示的平面区域如图所示.观察上图可知,当BC与y轴重合时,|k|≤k AC=;当BC向右移动时,|k|≤k AC<.综上可知,a∈[0,1].9.A解析由cos A==-,可知A=,又a=,故S=bc sin A=·a sin C=3sin B sin C.因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cos B cos C取得最大值3.10.C解析依题意知,f'(x)=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.11.C解析由题意,知|c|≤6,即(2n+3cos α)2+(n-3sin α)2≤36,整理,得5n2+6n(2cos α-sin α)≤27,即6n cos(α+θ)≤27-5n2,即当n=0时,不等式成立;当n≠0时,不等式等价于cos(α+θ)≤,要使cos(α+θ)≤恒成立,则1≤,即5n2+6n-27≤0,解得≤n≤.∵n∈[0,2],∴0<n≤.综上,0≤n≤.故所求的概率为,故选C.12.D解析由题意知,a n+1-a n=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=2×2,……,a n-a n-1=2(n-1),将以上(n-1)个式子相加,得a n-a1=2(1+2+3+…+n-1)==n2-n, 所以a n=n2-n+15,所以=n+-1,令g(x)=x+-1,则g'(x)=1-,当x∈[0,3]时,g'(x)<0,当x∈[4,+∞),g'(x)>0,g(3)=7,g(4)=,故最小值为. 13.-10解析(y+x2-x)5的展开式的通项公式T r+1=y5-r(x2-x)r,令5-r=2,解得r=3.(x2-x)3的展开式的通项公式T k+1=(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,令6-k=3,解得k=3.故(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数为-=-10.14.-解析如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,所以=1×1×cos 120°=-.15.(16,+∞)解析当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,得x=2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.16.2+解析由三视图还原几何体如图所示,故该几何体的体积V=2×1×1+2×π×12×1=2+.17.(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得,a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.解(1)由(x i-)(y i-)=10,(x i-)2=20,(y i-)2=5.2,可得r=≈0.98;即年推销金额y与工作年限x之间的相关系数约为0.98.(2)由(1)知,r=0.98>0.959=r0.01,故可以认为年推销金额y与工作年限x之间具有较强的线性相关关系.设所求的线性回归方程为x+,则=0.5,=0.4.因此年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).故可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.19.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·.∴cos<n,>=.∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.解(1)由题意,知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=-=-,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km·+m2=,∴-,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2==2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=·|x2-x1|·====2=2,∴=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.21.解(1)f'(x)=a e x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b,∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在区间(-2,+∞)内单调递增,在区间(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在区间[t,-2]上单调递减,在区间[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在区间[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1.F'(x)=2k e x(x+1)+2k e x-2x-4=2(x+2)(k e x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0,得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0,得x<ln.∴F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在区间[-2,+∞)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=(e2-k)<0,不满足F(x)min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F(x)min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在区间上单调递减,在区间内单调递增.F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].22.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4].23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时,f(x)=2-x-2(x+1)=-3x,由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4,由f(x)>8,得x>4,∴此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x,由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>3的解集为.(2)∵a>0,∴-a<0<2,f(x)=|x-2|+2|x+a|=∴f(x)min=f(-a)=a+2,f(x)≥3,即a+2≥3,解得a≥1.。
2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第二十二单元 选考模块
第二十二单元 选考模块考点一 极坐标与参数方程1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为 x =3cos θ,y =sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程为 x =a +4t ,y =1−t (t 为参数).(1)若a=-1,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 距离的最大值为 17,求a.【解析】(1)曲线C 的普通方程为x 29+y 2=1.当a=-1时,直线l 的普通方程为x+4y-3=0. 由 x +4y -3=0,x 29+y 2=1,解得 x =3,y =0或 x =−21,y =2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线l 的普通方程为x+4y-a-4=0,故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 的距离d=17.当a ≥-4时,d 的最大值为17. 由题设得17= 17,所以a=8;当a<-4时,d 的最大值为-a +117. 由题设得17= 所以a=-16.综上,a=8或a=-16.2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M 为曲线C 1上的动点,点P 在线段OM 上,且满足|OM|²|OP|=16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为 2,π3,点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)设点P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cos θ. 由|OM|²|OP|=16得C 2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x-2)2+y 2=4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)(ρB >0).由题设知|OA|=2,ρB =4cos α,于是△OAB 的面积S=12|OA|²ρB ²sin ∠AOB=4cos α² sin α-π3=2 sin 2α-π3 - 32≤2+ 3.当α=-π12时,S 取得最大值2+ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2+ 3.3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为 x =2+t ,y =kt (t 为参数),直线l 2的参数方程为 x =−2+m ,y =m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)- =0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.【解析】(1)消去参数t 得l 1的普通方程为y=k (x-2); 消去参数m 得l 2的普通方程为y=1k(x+2).设P (x ,y ),由题设得y =k (x -2),y =1k(x +2),消去k 得x 2-y 2=4(y ≠0),所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立 ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cos θ+sin θ)- 2=0得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-13,从而cos 2θ=910,sin 2θ=110.代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,所以交点M 的极径为 5.4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为 x =a cos t ,y =1+a sin t (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.【解析】(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2+(y-1)2=a 2,则C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(2)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组ρ2-2ρsin θ+1−a 2=0,ρ=4cos θ.若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.当a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,且在C 3上. 所以a=1.5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是 x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|= 10,求l 的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)(法一)由直线l 的参数方程 x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),消去参数得y=x ²tan α. 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为kx-y=0.由圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.又∣AB∣= 10,由垂径定理及点到直线的距离公式得|-6k |1+k = 25− 1022,即36k 21+k2=904,整理得k 2=53,解得k=±153,即l 的斜率为±153.(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|= (ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2= 144cos 2α-44.由|AB|= 10得cos 2α=38,可得tan α=±153.所以l 的斜率为±153.考点二 不等式选讲6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,解得-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,解得1<x ≤-1+ 172.所以f (x )≥g (x )的解集为x -1≤x ≤-1+ 172.(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2,所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1]等价于当x ∈[-1,1]时,f (x )≥2. 又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一, 所以f (-1)≥2且f (1)≥2,解得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1].7.(2017年全国Ⅱ卷) 已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b )(a 5+b 5)≥4;(2)a+b ≤2.【解析】(1)(a+b )(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab (a 4+b 4)=4+ab (a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b )3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab (a+b )≤2+3(a +b )24(a+b )=2+3(a +b )34, 所以(a+b )3≤8,所以a+b ≤2.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f (x )=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围.【解析】(1)f (x )= -3,x <−1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1,得2x-1≥1, 解得1≤x ≤2;当x>2时,由f (x )≥1,解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}. (2)由f (x )≥x 2-x+m ,得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=- |x |-3 2+5≤5,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54,故m 的取值范围为 -∞,54.9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f (x )的图象; (2)求不等式|f (x )|>1的解集.【解析】(1)由题意得f (x )=x -4,x ≤−1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,故y=f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的函数表达式及图象可知, 当f (x )=1时,可得x=1或x=3; 当f (x )=-1时,可得x=1或x=5. 故f (x )>1的解集为{x|1<x<3},f (x )<-1的解集为 x x <13或x >5 .所以|f (x )|>1的解集为 x x <13或1<x <3或x >5 .10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f (x )=x-12+x+12,M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f (x )=-2x ,x ≤−12,1,−12<x <12,2x ,x ≥1.当x ≤-1时,由f (x )<2得-2x<2,解得-1<x ≤-1;当-1<x<1时,f (x )<2;当x ≥12时,由f (x )<2得2x<2,解得12≤x<1. 综上,f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线的参数方程中t 的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、ρ的几何意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐标方程与普通方程的转化. 2.直线的参数方程中t 的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在两交点同侧. 3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义. 4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.§22.1 坐标系与参数方程一极坐标系1.极坐标的概念(1)极坐标系:如图,在平面内取一个定点O,叫作,由O点引一条射线Ox,叫作,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为.(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的,θ叫作点M的,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.二参数方程。
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2019高三一轮复习理科数学必刷题《集合》一、选择题：（每题5分，共12题60分）1、已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|0<x≤4}，则A ∪B ＝( )A ．[－1,4]B ．(0,3]C ．(－1,0]∪(1,4]D ．[－1,0]∪(1,4]2、已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|3x <1}，则( )A ．A∩B＝{x|x<0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x|x>1}D ．A∩B＝∅3、已知集合A ＝{x ∈N|πx <16}，B ＝{x|x 2－5x ＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．4D ．74、设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x|x 2－4x ＋m ＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}5、若集合M ＝{x||x|≤1}，N ＝{y|y ＝x 2，|x|≤1}，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M∩N＝∅6、设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln (1－x)的定义域为B ，则A∩B＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)7、已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R ，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( ) A ．A∩B＝{－2，－1} B ．(∁R A)∪B ＝(－∞，0) C ．A ∪B ＝(0，＋∞) D ．(∁R A)∩B＝{－2，－1}8、已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x}，则A∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．09、已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410、设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x≥a－1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)11、已知集合P ＝{x ∈R|1≤x≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q)＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)12、设全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x －x 2>0}，B ＝{y|y ＝e x ＋1}，则A ∪B 等于( )A ．{x|x<2}B ．{x|1<x<2}C ．{x|x>1}D ．{x|x>0}二、填空题：（每题5分，共4题20分）13、已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a ＝________.14、若集合A ＝{x|x 2－9x<0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|4y ∈N *，y ∈N *，则A∩B 中元素的个数为________． 15、已知集合A ＝{x|x<－3或x>7}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．16、设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A∩B}．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{y|y≥0}，则A ⊗B ＝___.三、解答题：（共6题70分）17、（10分）已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，求实数a 的值．18、（12分）已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A∩B＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c≤7}，求集合P∩Z.19、（12分）已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P)∩Q； (2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．20、（12分）已知集合A ＝{x|－1<x≤3}，B ＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．21、（12分）已知集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|12<2x －1<8，C ＝{x|2x 2＋mx －m 2<0}(m ∈R)． (1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B)⊆C ，求实数m 的取值范围．22、（12分）设集合A ＝{x|x 2－x －6<0}，B ＝{x|x －a≥0}．(1)若A∩B＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A∩B＝{x|0≤x<3}成立？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．2019高三一轮复习理科数学必刷题———集合解析版一、选择题：（每题5分，共12题60分）1、已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|0<x≤4}，则A ∪B ＝( )A ．[－1,4]B ．(0,3]C ．(－1,0]∪(1,4]D ．[－1,0]∪(1,4]答案 A解析 A ＝{x|x 2－2x －3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A ∪B ＝[－1,4]．选A.2、已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|3x <1}，则( )A ．A∩B＝{x|x<0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x|x>1}D ．A∩B＝∅答案 A解析 ∵B ＝{x|3x ＜1}，∴B ＝{x|x ＜0}．又A ＝{x|x ＜1}，∴A∩B＝{x|x ＜0}，A ∪B ＝{x|x ＜1}．故选A.3、已知集合A ＝{x ∈N|πx <16}，B ＝{x|x 2－5x ＋4<0}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．4D ．7答案 B解析 因为A ＝{x ∈N|πx <16}＝{0,1,2}，B ＝{x|x 2－5x ＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁R B ＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁R B)＝{0,1}，故A∩(∁R B)的真子集的个数为3.故选B.4、设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x|x 2－4x ＋m ＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}答案 C解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x|x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.5、若集合M ＝{x||x|≤1}，N ＝{y|y ＝x 2，|x|≤1}，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M∩N＝∅答案 C解析 M ＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N ＝{y|y ＝x 2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N ⊆M.故选C.6、设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln (1－x)的定义域为B ，则A∩B＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)答案 D解析 ∵4－x 2≥0，∴－2≤x≤2，∴A ＝[－2,2]．∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.7、已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R ，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( ) A ．A∩B＝{－2，－1} B ．(∁R A)∪B ＝(－∞，0) C ．A ∪B ＝(0，＋∞) D ．(∁R A)∩B＝{－2，－1}答案 D解析 因为A ＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}，(∁R A)∪B ＝{y|y≤0或y ＝1,2}，A ∪B ＝{y|y>0或y ＝－1，－2}，(∁R A)∩B＝{－1，－2}．所以D 正确．8、已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x}，则A∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 B解析 集合A 表示以原点O 为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B 中元素的个数为2.故选B.9、已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 集合B ＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A ＝{1,2}，则集合C 的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.10、[2018·湖南模拟]设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x≥a－1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析 集合A 讨论后利用数轴可知⎩⎨⎧ a≥1，a －1≤1或⎩⎨⎧a≤1，a －1≤a， 解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故选B.11、已知集合P ＝{x ∈R|1≤x≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q)＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案 B解析 ∵Q ＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∁R Q ＝(－2,2)，∴P ∪(∁R Q)＝(－2,3]．故选B.12、 [2018·武汉模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x －x 2>0}，B ＝{y|y ＝e x ＋1}，则A ∪B 等于( )A ．{x|x<2}B ．{x|1<x<2}C ．{x|x>1}D ．{x|x>0}答案 D解析 由2x －x 2>0得0<x<2，故A ＝{x|0<x<2}，由y ＝e x ＋1得y>1，故B ＝{y|y>1}，所以A ∪B ＝{x|x>0}．故选D.二、填空题：（每题5分，共4题20分）13、已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a ＝________.答案 －1解析 由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a ＝0舍去．②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}，故a ＝－1.14、若集合A ＝{x|x 2－9x<0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y|4y ∈N *，y ∈N *，则A∩B 中元素的个数为________． 答案 3解析 解不等式x 2－9x<0可得0<x<9，所以A ＝{x|0<x<9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y ∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A∩B＝B ，A∩B 中元素的个数为3.15、已知集合A ＝{x|x<－3或x>7}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，2)∪(6，＋∞)解析 当B ＝∅时，有m ＋1>2m －1，则m<2.当B≠∅时，⎩⎨⎧ m ＋1≤2m－1，2m －1<－3或⎩⎨⎧m ＋1≤2m－1，m ＋1>7， 解得m>6.综上可知m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．16、设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x|x ∈A ∪B 且x ∉A∩B}．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B ＝{y|y≥0}，则A ⊗B ＝__ __.答案 {0}∪[2，＋∞)解析 A ∪B ＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|0<x<2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．三、解答题：（共6题70分）17、（10分）已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，求实数a 的值． 解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，∴①当2a 2＋5a ＝－3时，2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32，其中a ＝－1时，2a 2＋5a ＝6a －1＝－3， 与集合元素的互异性矛盾，舍去；a ＝－32时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－3，12，－125满足题意． ②当6a －1＝－3时，a ＝－1，由①知应舍去． 综上，a 的值为－32. 18、（12分）已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A∩B＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c≤7}，求集合P∩Z.解 (1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． 又因为A∩B＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x≤1， 所以P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－52≤x≤1， 所以P∩Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－52≤x≤1∩Z＝{－2，－1,0,1}． 19、（12分）已知集合P ＝{x|a ＋1≤x≤2a＋1}，Q ＝{x|x 2－3x≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P)∩Q； (2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x|4≤x≤7}，∁R P ＝{x|x<4或x>7}．又Q ＝{x|x 2－3x －10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁R P)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．(2)当P≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎨⎧ a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a＋1，解得0≤a≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a<0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．20、（12分）已知集合A ＝{x|－1<x≤3}，B ＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围．解析 (1)m ＝1时，B ＝{x|1≤x<4}，∴A ∪B ＝{x|－1<x<4}．(2)∁R A ＝{x|x≤－1或x>3}．①当B ＝∅，即m≥1＋3m 时，得m≤－12，满足B ⊆∁R A. ②当B≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎨⎧ m<1＋3m ，1＋3m≤－1，或⎩⎨⎧m<1＋3m ，m>3，解得m>3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 21、（12分）已知集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|12<2x －1<8，C ＝{x|2x 2＋mx －m 2<0}(m ∈R)． (1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B)⊆C ，求实数m 的取值范围．解析 (1)A ＝{x|x 2－2x －3<0}＝{x|－1<x ＜3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x|12<2x －1<8＝{x|0＜x<4}，则A ∪B ＝(－1,4)． (2)C ＝{x|2x 2＋mx －m 2<0}＝{x|(2x －m)(x ＋m)<0}．①当m>0时，C ＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ，m 2， 由(A ∪B)⊆C 得⎩⎨⎧ －m≤－1，m 2≥4，解得m≥8；②当m ＝0时，C ＝∅，不合题意；③当m<0时，C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m ，由(A ∪B)⊆C 得⎩⎨⎧ －m≥4，m 2≤－1解得m≤－4；综上所述，m ∈(－∞，－4]∪[8，＋∞)．22、（12分）设集合A ＝{x|x 2－x －6<0}，B ＝{x|x －a≥0}．(1)若A∩B＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A∩B＝{x|0≤x<3}成立？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由． 解析 A ＝{x|－2<x<3}，B ＝{x|x≥a}．(1)如图，若A∩B＝∅，则a≥3，所以a的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在，如图，a＝0时，A∩B＝{x|0≤x<3}，此时A∪B＝{x|x>－2}．。