高中数学选修23计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结
第一章基数原理
1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法
2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”
3.两个计数原理的区别:
如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.
4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
（1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m
n
用于计算， 或m n
A )!
(!
m n n -=()
n m N m n ≤∈*,, 用于证明。

n
n
A =!n =()1231⨯⨯⨯⨯-Λn n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合
（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m
n C 表示
（2）组合数公式: (1)(2)(1)
!
m m n n
m m A n n n n m C A m ---+==L 用于计算，
或)!
(!!
m n m n C m n -=
),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

（3）组合数的性质：
①m n n m n C C -=．规定：10=n C ； ②m n C 1+＝m n C +1-m n C .
③ n C C n n n ==-11 ④1=n
n C
6.二项式定理及其特例：
（1）二项式定理()()
*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n n n n n n n n
ΛΛr r r 1
10
展开式共有n+1项，其中各项的系数{}()n C n ,,2,1,
0r r Λ∈叫做二项式系数。

（2）特例：1(1)1n r r
n n
n x C x C x x +=+++++L L . 7.二项展开式的通项公式： r r r 1r b a C T n n -+= （为展开式的第r+1项） 8．二项式系数的性质：
（1）对称性：在()n
b a +展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,
即m
n n m n C C -=，直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当2
1
r +<
n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的
后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当n 是偶数时，在中间一项2
2n +T 的二项式系数2n n
C 取得最大值；
当n 是奇数时，在中间两项2
1n +T ，2
3n +T 的二项式系数12n n
C
-，12n n
C
+取得最大值．
9.各二项式系数和：
（1）
=+++n 21
0n n n n C C C C Λ n 2， （2）1
5314202
-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ．
10.各项系数之和：（采用赋值法）
例：求()932y x -的各项系数之和
解：()992728190932y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ
令1,1==y x
，则有()()132329
92109
-=-=++++=-a a a a y x Λ，
故各项系数和为-1
第二章概率
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X
所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,x i ,......,x n X取每一个值x i的概率p1，p2,..... , p i ,......, p n，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
4、分布列性质①p i≥0, i =1，2，…n；②p1 + p2 +…+p n= 1．
5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为m时的概率为
为和中的较小的一个
()(0,n M)
m n m
M N M
n
N
C C
P X m m l l
C
-
-
==≤≤，
7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫
做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式：
.0
)
(
,
)
(
)
(
)
|
(>
=A
P
A
P
B
A
P
A
B
P
I
9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
叫做相互独立事件。

(|)()
P B A P B
=
10、n次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，一般
就称它为n次独立重复试验
11、二项分布：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数设为X．如果在一次试验中某事件发生的概率是p
，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中，事件A
恰好发生k次的概率是()k k n k
n
P X k C p q-
==（其中k=0,1, ……,n）
于是可得随机变量X的分布列如下：
这样的离散型随机变量X服从参数为n，p二项分布，记作X～B(n，p) 。

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
则称
1122
()
n n
E X x p x p x p
=+++
L为离散型随机变量X的数学期望或均值（简称为期望）．
13、方差:222
1122
()(())(())(())
n n
D X x
E X p x E X p x E X p
=-+-++-
L叫随机变量X 的方差，简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：
15、正态分布：
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
)
,
(
,
2
1
)
(2
2
2
)
(
+∞
-∞
∈
=
-
-
x
e
x
f
x
σ
μ
σ
π
的图像，其中解析式中的实数、
μσ是参数，且0
σ>，、
μσ分别表示总体的期望与标准差．期望为μ与标准差为σ的正态分布通常记作2
(,)
μσ
N，正态变量概率密度曲线的函数的图象
期望方差两点分布()
E X p
=()
D X pq
=二项分布，X ～B（n,p）()
E X np
=()
D X npq
=超几何分布N，M，n ()
nM
E X
N
=
称为正态曲线。

16、正态曲线基本性质：
（1）曲线在x 轴的上方，并且关于直线x=μ对称．
（2）曲线在x=μ时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．
（3）曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．
17、3σ原则：
容易推出,正变量在区间(2,2)μσμσ-+以外取值的概率只有 4.6%,在(3,3)μσμσ-+以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
(,)68.3%P μσμσ-+= (2,2)95.4%P μσμσ-+= (3,3)99.7%P μσμσ-+=。