固体物理第五章答案

i kna
=1
kna=2 m
2m k= na
K(x)= l f(x－la)


K(x+na)= l f(x+na－la)= l fx－(l－n)a 设 l-n=m K(x+na)= m f(x-ma)= K(x) 所以 eikna =1 kna=2N N 也为整数和 零 ∴
1.在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体 S 能带
（ 1） （ 2） （ 3）
. 计算 Es ～ k 关系； . 求能带宽度； . 讨论在第一 B·Z 中心附近等能面的形状。

注：CosX=1－X2/(2！) + X4/(4！) －……

解： （1）.对简立方，最近邻原子处于 Es = s －A－B e
式， （教材 P184）
a a a a a Es（K）=Es －A－4B（cos 2 Kx·cos 2 Ky+ cos 2 Ky·cos 2 Kz+ cos 2 Kz·cos
a
a 2 Kx）
把各方向的 Kx、 Ky、Kz 值代入上式即可得到相应的答案， 具体计算略 8.证明单位长度的一维晶体中电子态密度为
2 E
2
.= 2 /(2a2BcosKxa)
Kx
2
myy* =
2
E
2
.= 2 /(2a2BcosKya)
mxy* = myx* =0
Ky
2
把带底位置 Kx =Ky =0 代入 得：mxx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 把带顶位置：Kx =π ／a，Ky =π ／a 代入 得：mxx* = myy* = m*= － 2 /(2a2B) 带顶空穴有效质量 mh * =－ m*= 2 /(2a2B) （3） v ▽kEs( k )=


─── 球形
2.在近邻近似下， 用紧束缚近似导出体心立方晶体 S 能带的 Es( k )， 试 画出沿 Kx 方向（Ky=Kz=0）的散射关系曲线，并计算能带宽度。
a a a R 解： 选体心原子为参考点， 最近邻原子的 2 位置 n = 2 i 2 j 2


k (共八个)
1

1 *2aB(sinKxa i +sinKya j )
4．利用一维 Bloch 电子模型证明：在布里渊区边界上，电子的能量 取极值。 解：由教材式（6－76） 、 （6－77） E ＋＝Th + |Vh | + Th(2Th /|Vh | +1)Δ
E＋
２
E_＝Th －|Vh|－Th (2Th /|Vh|－1)Δ ＝2Th(2Th /|Vh| +1)Δ ＝0 处
Cu 的费米能 Ef=7.0ev，试求电子的费米速度 Vf。在 273K 时，Cu 的电 阻率为Ρ ＝1.56×10-8Ω ·m,试求电阻的 0 平均自由时间τ 和平均自 由程 。
解：对金属处于费米面上的电子，其能量 其速度 又因为
K f m 2E f m
2K 2 E f＝ 2m
Vf＝
＝
K f＝
２
Δ ＝0
E ＋＝Th + |Vh |
E－
＝2Th(2Th /|Vh|－1)Δ ＝0 处
Δ ＝0
E_＝Th －|Vh|
5．利用布洛赫定理， K(x+na)= K(x)eikna 的形式，针对一维周期势场 中的电子波函数。
(1) K(x)=sin a x
8 (2) K(x)＝icos a x

= E －A－2B×2
at s
at s
e
k ya kza kxa cos 2 ) =E －A－4B×2(cos 2 cos 2 k ya kza kxa cos 2 =E －A－8Bcos 2 cos 2
at s
当 Ky=Kz=0 时 同时 Kx=0 时
kxa Es (kx)=E －A－8Bcos 2
12.据上题，当电子浓度 n 增大时，费米球膨胀。证明当电子浓度 n 与原子浓度 na 之比 触。 解：由教材 p181 图 6－20，f.c.c 的第一 B、Z 为 14 面体，14 面体表 面离中心 T 点最近的点为 L 点。 坐标为
3 = 3 5.4/a 4 a
2 (1/2.1/2.1/2) a

考虑到自旋， v 内的状态数 d Z=
2Vc 2 3 4 k dk (2 )
dz 4Vc (2m) 3 2 12 D= E dE h3
对索未菲自由电子
1 e
( E E f ) / KT
Ef=
2k 2 f 2m
T＝0 时
电子均有费米球内 f =
1
=1
常温时.费米能级略有下降，电子仍基本均在费米球内 电子数 N= f·D·dE= DdE =
2 N K＝ na






6.已知一维晶体的电子能带可写成
2 7 1 2 E( k )= ma ( 8 －coska+ 8 cos2ka)

其中 a 为晶格常数，求（1）能带宽度； （2）电子在波矢 k 状态的速度； （3）带顶和带底的电子有效质量。

解： （1）
2 7 1 2 E(k)= ma ( 8 －coska+ 8 cos2ka) 2 7 1 2 = ma 8 －coska+ 8 (2cos 2ka－1)]
n =1.36 时，费米球与 fcc 第一布里渊区的边界接 na
TL 距离为
2 a
由上题费米球半径为 Kf=(32n)1/3
f. c.c
原子密度为 na ＝
4 a3
当 n=1.36na
136 . 4 时 a3
Kf=(32×
136 . 4 1/3 ) 5.4/a 所以费米球与 f.c.c 的第一 b.z 相切。 a3
at at
R n =±a i
ik y a

, ±a j ,±a k


ik x a
eik x a e
ik y a
e
eik z a eik z a

= s －A－2B（Coskxa+Coskya+Coskza） （2）. 当 Kx= Ky=Kz=0 时 Es min =E s －A－6B Es ma x=E s －A+6B
2 2 ＝ 4ma (coska－2)2－1
当 ka＝(2n+1)时， n=0.1.2…
2 2 2 E(k)ma x= ma
当 ka=2n 时
E(k)min =0
2 2 2 所以能带宽度＝Ema x－Emin = ma 1 E （2） ( K )= E ( K )= K =( ma )[sinka－(1/4) sin2ka]
则
Es ( k )=E s －A－B e

at

a i ( k x k y kz ) 2
e 2
a i ( k x k y kz )
+e
a i ( k x k y k z ) 2
e
a i (kx k y kz ) 2
+e
a i ( k x k y kz ) 2
e
at s at
Es min =E s －A－8B Es ma x=E s －A+8B
at
当 Kx=Ky=Kz=2π ／a 或 kx=2π /a;ky=kz=0 时
能带宽度＝Ema x－Emin ＝16B 3．一个晶格常数为 a 的二维正方晶格，求： （1）用紧束缚近似求 S 能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带 宽度； （2）带底电子和带顶空穴的有效质量； （3）S 带电子的速度表示式 解： （1）选某一原子为坐标原点，最近邻的原子有四个，位置为 Rn
a i ( k x k y kz ) 2
e
a i ( k x k y kz ) 2
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e
a i ( k x k y kz ) 2

=E s －A－2B×
at
a ia a (k k ) a i ( kx ky ) a a 2 x y a a e cos kz i ( k x k y ) cos kz kz i 2 ( k x k y ) kz e 2 2 2 2 +e cos 2 + e cos 2 + a i kx 2 a a a i k x a cos ky e 2 cos ky 2 2 cos 2 kz

=
a a i ， j 2 2
由 Es = at －A－B e ik e ik a e ik a e ik a s
x x y y

a

带顶位置：Kx =π ／a
= at －A－2B（Coskxa+Coskya） s 在第一 B.Z 区 带底位置：Kx =Ky =0, Ky =π ／a 带宽：8B （2）mxx* =
at at
当 Kx=Ky=Kz=π ／a 时
能带宽度＝Ema x－Emin ＝12B
（3）当 Kx, Ky, Kz 均趋于零时
2 2 2 2 Ky a Kx a K z2 a 1 1 at 2 2 ） Es （ k ） E s —A—2B（1— 2

=
a2 2 2 2 3 K K K x y z at E s —A—2B 2
∴eikna =(-1)n =ei (n+2m)
2m K ＝ a （1 ＋ n ）
(m 也为整数) kna=(n+2m) 所以
8 (2) K(x)=icos[ a x] 8 K(x+na)=icos[ a (x+na)] 8 =icos( a x+8n)= K(x)
∴e
(3)
0
0

Ef
Ef

0
4Vc (2m) 3 2 12 E dE h3
4V 2 3 = 3 c (2m) 3 2 E f 2 3 h
4V 2 = 3 c (k f ) 3 3 h
N Vc
1 3
=
Vc K 3 f 3 2
又 价电子浓度 n=
N Vc
所以 Kf=(32 ) = (32n)1/3
D(E)=
2
dk dE L 2
证：一维 K 空间，K 点密度为
因为 E(K)是偶函数， dE 间隔对应正、 负二个 dk, 所以在 dk 对应 的能量间隔 dE 间，第 n 个能带对应的电子状态数 dz＝4× ∴
L 2L dk= dk 2 2 L dk D(E) = dE
又有 dz=D(E)dE
当 L＝1(单位长度)时.

D(E)=
2 dk dE
9.索未菲自由电子模型，证明在 k 空间费米球半径为：Kf=(32n)1/3 其 中 n 为电子浓度 证： 对自由电子 E＝ 体积 v=4k2dk dk=
1 1 m2 · E 2 dE 2
2k 2 2m
在 k 空间等能面为球面，二等能面间
mV f
＝
2mE f
由第 9 题 又有
Kf＝（3π 2ne）1/3
ne＝
m
比较以上二式可得价电子密度 由（7－41）式 所以
(k f )＝
＝ ＝ 2 ne e ( k f )
1
m 2V f3 3 2 3
(3)
K(x)= l f(x－la)


(f 为某一确定函数)
求电子在这些状态的波矢 K(a 为晶格常数)
解：(1) K(x)=sin a x K(x+na)=sin a (x+na)=sin( a x+n) =(-1)n sin( a x )=(-1)n K(x)


m*
2
2E K 2
(3) = m (coska－1/2 cos2ka)－1 当 k=0 时 为带底，m* ＝2m; 当 k=π /a 时 为带顶，m*＝－2m/3 7. 证明面心立方晶体 S 电子能带 E（K）函数沿着布里渊区几个主要 对称方向上可化为： (1) 沿Γ X（Ky=Kz=0, Kx=2π δ ／a，０≤δ ≤1） E=Esa －A－4B（1＋2cos δ π ） (2) 沿Γ L（Kx=Ky=Kz= 2π δ ／a，０≤δ ≤1/2） E=Esa －A－12Bcos 2δ π
(3)
沿Γ K（Kz=0, Kx= Ky=2π δ ／a，０≤δ ≤3/4）
E=Esa －A－4B（cos 2δ π ＋2cosδ π ） (4) 沿Γ W（Kz=0, Kx=2π δ ／a，Ky=π δ ／a，０≤δ ≤1） E=Esa －A－4B（cos δ π × cosδ π /2－cosδ π －cos δ π /2） 解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公