平面图形直观图的画法

平面图形直观图的画法

先观察下面的图形，总结投影变化规律。

投影规律：

1.平行性不变;但形状、长度、夹角

会改变；

2.平行直线段或同一直线上的两条

线段的比不变

3.在太阳光下，平行于地面

的直线在地面上的投影长不变

表示空间图形的平面图形，叫做

空间图形的直观图

画空间图形的直观图，一般都要

遵守统一的规则，

1．斜二测画法

我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．

2．平面图形直观图的画法

斜二测画法的步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝_45°(或135°)_，它们确定的平面表示_水平面．

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_平行

于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变_，_垂直于x轴的线段，长度为原来的_一半_．

注意点：

1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？

提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半。

2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？

提示：不是圆，是一个压扁了的“圆”，即椭圆。

3．立体图形直观图的画法

由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图

解：

第一步：在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN

所在的直线为Y轴，两轴交于点O。画相应的X’轴和Y’轴，两轴交于点O’，使∠x’Oy’=45°

第二步：以O’点为中心，在X’上去A’D’=AD，在y’轴上去M’N’=0.5MN。以点N’为中心，话B’C’平行于x’轴，并且等于BC，再以M’为中心，画E’F’平行于X’轴，并且等于EF。

第三步：连接A’B’,C’D’,E’F’,F’A’。

直观图A’B’C’D’E’F’

总结画法规则：

1、在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z 轴，使∠xoz=900,且∠yoz=900；

2、画直观图时把它们画成对应的x’轴、y’轴和z’轴,它们交于O’,并使∠x’oy’=450(或1350),∠x’oz’=900, x’轴和y’轴所确定的

平面表示水平平面。

3、已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴或z’轴的线段。(即平行性不变）。

4、已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵折半）。

是为斜二测画法。

平面图形直观图的画法

基本步骤：

（1）建系；

（2）画轴；

（3）作平行线段（横不变纵减半）；

（4）连线；

（5）擦去辅助线（也可保留辅助线）；

课堂检测：

1关于斜二测画法的下列结论：

（1）三角形的直观图还是三角形；

（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；

（3）正方形的直观图还是正方形；（

（4）菱形的直观图还是菱形

其中正确的是（）

A（1）（2）B（1）（3）C（3）（4）D（1）（2）（3）（4）2 下列说法中正确的是（）

A水平放置的矩形的直观图可能是梯形

B 水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形

C 水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形

D 水平放置的菱形的直观图不可能是平行四边形

重要规律：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．

对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积S 与其直

观图面积S ′之间的关系S ′＝24

S ，能进行相关问题的计算． 已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图

△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2C.68a 2 D.616

a 2

解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．

由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，

在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68

a. ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a×68a ＝616

a 2. 答案：D

将直观图还原为平面图

把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维，逆 用斜二测画法规则可还原为原来的图形．

例题2、如图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC 的面积．

【思路点拨】 还原→求原图形的高→求原图形的面积

【解】 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .

过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D ＝22

h .

由题意知12

C ′

D (C ′B ′＋O ′A ′)＝S ， 即24

h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S . 又原直角梯形面积为