MOEAD(基于分解的多目标进化算法)
MOEA-D算法的改进及其在多目标测试用例排序中的应用
MOEA-D算法的改进及其在多目标测试用例排序中的应用摘要多目标测试用例排序（MOTS）作为软件测试中的重要问题之一，旨在将测试用例按照覆盖率、故障检测能力等多维度指标进行排序，以达到自动化选择测试用例的目的。
MOEA/D（Multi-objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition）算法是一种较为有效的解决MOTS问题的算法，然而，MOEA/D算法中存在一些问题，如权重分配策略、解集过度重叠等，需要进行改进。
本文通过研究MOEA/D算法中的问题，提出改进算法，即MOEA/D-IT，该算法采用非均匀分配策略以解决权重分配问题，并结合均匀分配策略进行解集划分，从而解决解集过度重叠的问题。
最后，将MOEA/D-IT算法应用于实际问题中的MOTS问题，结果表明改进算法在解决MOTS问题方面具有明显优势。
关键词：多目标测试用例排序；MOEA/D算法；权重分配策略；解集过度重叠；MOEA/D-IT算法1. 引言随着软件规模和复杂度的不断提高，软件测试变得越来越重要。
测试用例是评估软件质量和性能的关键因素，测试用例的质量和数量对软件测试的效率和效果有很大的影响。
因此，如何自动化生成高质量的测试用例并选择测试用例来实现全面测试是软件测试研究的重点之一。
多目标测试用例排序（MOTS）作为软件测试中的重要问题之一，旨在将测试用例按照指定的多维度指标进行排序，以达到自动化选择测试用例的目的。
目前，MOTS问题通常被认为是一个多目标优化问题，需要使用多目标优化算法来解决。
MOEA/D（Multi-objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition）算法是一种基于分解思想的多目标优化算法，该算法将多目标问题转化为多个单目标子问题，并使用进化算法求解。
MOEA/D算法具有许多优点，如快速收敛，较好的解集质量等。
基于分解和多策略变异的多目标差分进化算法
ＴｏｎｇＬｙｕｙａｎｇａ，ＤｏｎｇＭｉｎｇｇａｎｇａ，ｂ，ＪｉｎｇＣｈａｏａ，ｂ
（ａ．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ｂ．ＧｕａｎｇｘｉＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＥｍｂｅｄｄｅｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ＆ ＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｙｓｔｅｍ，ＧｕｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＧｕｉｌｉｎＧｕａｎｇｘｉ５４１００４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓａｎｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｔｈａｔｈａｓｂｅｅｎｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙａｐｐｌｉｅｄｔｏｍｕｌｔｉ ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｒｅａｒｅａｌｓｏｓｏｍｅｄｅｆｅｃｔｓ，ｉ．ｅ．ｔｈｅｓｌｏｗｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅａｎｄｐｏｏｒｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｔｈｅＰａｒｅｔｏ ｏｐｔｉｍａｌｓｅｔ．Ａｄｄｒｅｓｓｉｎｇｔｈｅｓｅｉｓｓｕｅｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｅｄａｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｄｅｃｏｍｐｏｓｉ ｔｉｏｎａｎｄｍｕｌｔｉｓｔｒａｔｅｇｙｍｕｔａｔｉｏｎ（ＭＯＤＥ／ＤＭＳＭ）．ＭＯＤＥ／ＤＭＳＭ ｕｔｉｌｉｚｅｄｔｈｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｂａｓｅｄａｐｐｒｏａｃｈｔｏｄｅｃｏｍｐｏｓｅａ ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｉｎｔｏｍｕｌｔｉｐｌｅｓｉｎｇｌｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ＭＯＤＥ／ＤＭＳＭ ａｄｏｐｔｅｄｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔｎｏｎｄｏｍｉｎａｔｅｄｓｏｒｔｉｎｇａｐｐｒｏａｃｈｔｏｓｅｌｅｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｗｈｉｃｈｈａｄｂｏｔｈｇｏｏｄｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅａｎｄｄｉｖｅｒｓｉｔｙｔｏｇｕｉｄｅｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｐｒｏｃｅｓｓ．Ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ，ＭＯＤＥ／ＤＭＳＭ ｅｍｐｌｏｙｅｄｔｈｅｍｕｌｔｉｓｔｒａｔｅｇｙｍｕｔａｔｉｏｎａｐｐｒｏａｃｈｔｏｂａｌａｎｃｅｔｈｅｃｏｎ ｖｅｒｇｅｎｃｅａｎｄｄｉｖｅｒｓｉｔｙｉｎｔｈｅｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙｐｒｏｃｅｓｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓｏｎ１０ｔｅｓｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＺＤＴａｎｄＤＴＬＺｓｈｏｗｔｈａｔ ＭＯＤＥ／ＤＭＳＭ ｏｕｔｐｅｒｆｏｒｍｓｔｈａｎｔｈｅｏｔｈｅｒｓｉｘｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅｇｏｏｄｃｏｎｖｅｒ ｇｅｎｃｅａｎｄｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｔｈｅＰａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌｓｅｔ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｖｏｌｕｔｉｏｎ（ＤＥ）；ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｍｕｌｔｉｓｔｒａｔｅｇｙｍｕｔａｔｉｏｎ
基于变异算子和邻域值自适应的MOEAD算法
2019，55（9）1引言多目标优化问题是指同时对2个或2个以上的问题进行优化。
现实生活中的很多问题都可以被看作是优化问题。
一些复杂的优化问题可能包含多个相互冲基于变异算子和邻域值自适应的MOEA/D 算法李二超，陈瑞婷兰州理工大学电气工程与信息工程学院，兰州730050摘要：基于分解的多目标进化算法（MOEA/D ）在解决多目标问题时，具有简单有效的特点。
但多数MOEA/D 采用固定的控制参数，导致全局搜索能力差，难以平衡收敛性和多样性。
针对以上问题提出一种基于变异算子和邻域值自适应的多目标优化算法。
该算法根据种群中个体适应度值的分散或集中程度进行判断，并据此对变异算子进行自适应的调节，从而增强算法的全局搜索能力；根据进化所处的阶段以及个体适应度值的集中程度，自适应地调节邻域值大小，保证每个个体在不同的进化代数都有一个邻域值大小；在子问题邻域中，统计子问题对应个体的被支配数，通过判断被支配数是否超过设定的上限，来决定是否将Pareto 支配关系也作为邻域内判断个体好坏的准则之一。
将提出的算法与传统的MOEA/D 在标准测试问题上进行对比。
实验结果表明，提出的算法求得的解集具有更好的收敛性和多样性，在求解性能上具有一定的优势。
关键词：自适应；变异算子；邻域值；支配关系；多目标文献标志码：A 中图分类号：TP301doi ：10.3778/j.issn.1002-8331.1808-0028李二超，陈瑞婷.基于变异算子和邻域值自适应的MOEA/D 算法.计算机工程与应用，2019，55（9）：49-55.LI Erchao ，CHEN Ruiting.Improved MOEA/D algorithm based on adaptive mutation operator and neighborhood puter Engineering and Applications,2019,55（9）：49-55.Improved MOEA/D Algorithm Based on Adaptive Mutation Operator and Neighborhood Size LI Erchao,CHEN RuitingCollege of Electrical Engineering and Information Engineering,Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050,China Abstract ：When solving multiobjective problems,Multiobjective Evolutionary Algorithm based on Decomposition （MOEA/D ）is simple and effective.But most MOEA/D use fixed control parameters.It will lead to poor ability of global search and make it difficult to balance convergence and diversity.To solve these problems,a multiobjective optimization algorithm based on adaptive mutation operator and neighborhood value is proposed in this paper.The algorithm adjusts the mutation operator adaptively based on the degree of dispersion or concentration of individual fitness values in the population.It can enhance the global search ability of the algorithm.The size of neighborhood is adjusted adaptively according to the stages of evolution and the degree of concentration of individual fitness values.Each individual has a neighborhood size in each generation.The number of individuals are counted,which dominate the individual corresponding to the subproblem in the neighborhood of subproblem.If this number exceeds the set upper limit,the Pareto dominance relationship will be also used as one of the criteria for judging the individual quality in the neighborhood.The proposed algorithm is compared with traditional MOEA/D in the standard test problem.The result shows that the solution set obtained by the proposed algorithm not only has better convergence and diversity,but also has a competitive performance in solving multiobjective problems.Key words ：adaptive;mutation operator;neighborhood size;domination relationship;multiobjective基金项目：国家自然科学基金地区基金（No.61763026）；国家自然科学基金青年基金（No.61403175）。
基于分解的多目标进化算法及其应用共3篇
基于分解的多目标进化算法及其应用共3篇基于分解的多目标进化算法及其应用1基于分解的多目标进化算法及其应用随着计算机技术的不断发展，多目标优化问题成为了研究热点。
传统的单目标优化问题随着应用场景的复杂化变得困难，在此背景下，多目标优化问题作为一种解决现实问题的技术得到了广泛应用。
基于分解的多目标进化算法作为多目标优化的一种重要技术，在鲜有规划中得到了广泛的应用。
基于分解的多目标优化方法是一种将多目标函数分解为若干个单目标函数进行优化的算法。
其以代表性和均匀性为优化目标，通过逐步分解和使用一定的优化策略，最终求解多目标函数的最优解。
在此过程中，基于分解的多目标优化算法采用了种群进化的策略，通过交叉、变异等基本操作不断地迭代，以不断优化每个单目标函数，最终获得近似全局最优解。
对于基于分解的多目标进化算法，其适用性非常广泛，可以应用于从各种设计问题到生产问题等各种方面。
例如，在某个设计中，一个设计方案不能仅仅满足一种目标，需要最大化设计方案的效果、同时平衡因素等多种要求。
而基于分解的多目标进化算法可以有效地优化设计方案，同时满足多种要求。
在生产问题中，也存在着多种因素的评估问题。
例如，在一个制造过程中，产品成本、质量、生产效率等要素都需要综合考虑才能够获得最优的解决方案。
而基于分解的多目标进化算法可以非常有效地解决这类问题。
在实际应用中，基于分解的多目标进化算法在很多领域都得到了重要应用。
例如，在高速列车设计、无人机路径规划、工业过程优化等领域，该算法均有着广泛的应用。
例如，在高速列车设计中，存在多个目标，例如减少噪音、减少材料成本、提高速度等。
而基于分解的多目标进化算法可以帮助得到最优的设计方案。
在无人机路径规划中，需要平衡多种因素，例如路径长度、飞行时间、避开障碍等。
基于分解的多目标进化算法可以求解无人机最优路径。
在工业过程优化中，需要考虑各种因素，例如生产效率、能源消耗、环境污染等，而基于分解的多目标进化算法可以得到全局最优的生产方案。
基于分解的多目标进化优化MOEAD三种聚合函数的理解
基于分解的多⽬标进化优化MOEAD三种聚合函数的理解安徽⼤学⽥野⽼师 platEMO 平台代码⽹址：NSGA2 MOEA/D NSGA3 ⽹上写的较好的单独代码分享，供⼤家学习调试理解：⽹上查阅很多资料，基于分解的MOEA的理解汇总（当做⾃⼰的笔记记录下）如下：基于分解的MOEA有三类聚合函数，如下⾸先，λ被称之为权重向量，观察和式，这完全就是m维向量的点乘公式嘛。
具体的说，在⽬标空间中，把算法求出的⼀个⽬标点和原点相连构造成⼀个向量，此时，该⽅法的做法是将该向量与对应权重向量点乘，由向量点乘的⼏何意义可知，所得的数为该向量在权重向量⽅向上的投影长度，因为权重向量不变，最⼤/⼩化该长度值其实就是在优化该向量。
可知若要增⼤该向量在权重向量上投影的长度，⼀⽅⾯可以增⼤/减⼩与权重向量的夹⾓，另⼀⽅⾯可以增⼤/减⼩该向量的长度。
样例图如下图。
图中：考虑红⾊权重向量，因为是最⼩化问题，所以减⼩长度，增⼤夹⾓都是可⾏的⽅案，绿⾊为等⾼线，垂直于权重向量。
理解为啥f′1λ1>f′2λ2，这个需要看前提条件的，如果在λ左上⽅，只有f1和f2发⽣了变化。
你可以移位⼀下，看作是两个斜率的⽐较。
注意，λ是针对某⼀个的，是不变的。
该⽅法给出的表达式为：注意该⽅法中不再含有Σ符号，故不能再从向量点乘的⾓度理解。
该⽅法⼤致思想是减少最⼤差距从⽽将个体逼近PF。
等⾼线⽰意图如下：⾸先解释等⾼线为什么是这样的。
单看f1函数，即只考虑纵坐标，若两点等值，必然是式中f1的函数值相等（因为另外两个量是不变的），即纵坐标相等，所以f1函数的等⾼线是⼀组平⾏于横轴的直线。
f2类似，为⼀组平⾏于纵轴的直线。
那么，图中的等⾼线是横竖相交且刚好交在权重向量的⽅向上的，这是巧合吗？可以稍微来证明⼀下，可知，对于任何⼀个可⾏的切⽐雪夫值（⾃⼰叫的），我们从f1的⾓度上可以得到⼀个f1的值y，从f2的⾓度上可以得到⼀个f2的值x，他们的切⽐雪夫值是相等的，⾃然想到，点(x,y)（图中紫⾊点）为该切⽐雪夫值得横纵两条等值线的交点，那么有：λ1*(y-z1)= λ2*(x-z2)，化简的(y-z1)/(x-z2)= λ2/λ1，可知该交点位于权重向量的⽅向上。
面向多目标优化的进化算法研究
面向多目标优化的进化算法研究进化算法是一种通过模拟生物进化过程进行问题求解的算法，它以获取优秀解决方案为目标。
然而，在现实生活中，我们常常面临的是多个目标冲突的优化问题，而传统的进化算法在面对这类问题时往往无法取得令人满意的结果。
因此，研究面向多目标优化的进化算法成为了近年来研究的热点。
面向多目标优化的进化算法（多目标进化算法，MOEA）旨在找到一个解集，使得在目标空间中这些解尽可能地分布于全局的帕累托前沿（Pareto front），即无法找到一个解能在所有目标上优于它。
MOEA的优势在于能够提供一系列平衡解，给决策者提供了更多的选择余地。
在研究面向多目标优化的进化算法时，一个重要的问题是如何评估不同解的优劣程度。
传统的单目标优化算法可以使用一个标量函数来评估解的质量，但在多目标优化中，我们需要一个评估函数来同时考虑多个目标，并给出一个综合的评价。
常用的评价指标包括帕累托前沿覆盖度、空间覆盖率、边缘优势度等。
常见的面向多目标优化的进化算法包括遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等。
遗传算法是一种模拟生物进化过程，通过选择、交叉、变异等操作来搜索解空间。
粒子群算法则通过模拟鸟群觅食行为来搜索最优解。
蚁群算法则模拟了蚂蚁在寻找食物的过程，通过信息素和启发函数来引导搜索。
在具体应用中，面向多目标优化的进化算法已经在许多领域取得了广泛的应用。
例如，在工程设计中，我们常常需要考虑多个目标，如成本、质量、效率等。
传统的单目标优化算法往往难以满足这些多个目标的需求，而多目标进化算法能够同时考虑这些目标，找到一个平衡解，能够在不同目标之间做出权衡。
另一个应用领域是组合优化问题，如旅行商问题、物流路径规划等。
这些问题往往涉及到多个冲突的约束条件，使用传统的单目标优化算法很难得到满意的解决方案。
而多目标进化算法可以通过搜索帕累托前沿，提供一系列的可行解，给决策者提供了更多的选择。
然而，面向多目标优化的进化算法也面临一些挑战与问题。
moead算法流程步骤
moead算法流程步骤MOEA/D算法（多目标进化算法基于分解）可是个超有趣的算法呢！一、初始化种群。
这个算法一开始呀，要先创建一个初始种群哦。
就像是召集一群小伙伴来参加一场特别的游戏。
这个种群里的每个个体都像是一个独特的小选手，有着自己的特点。
这些个体的生成通常是随机的，就像在一个大盒子里随机抓取一些小物件一样，每个小物件都代表着一种可能的解。
二、分解多目标问题。
然后呢，它要把多目标问题分解成好多单目标子问题。
这就好比把一个超级复杂的大拼图，拆分成好多小块的拼图。
这样做的好处是，处理起来就没那么头疼啦。
每个子问题都可以单独去研究和解决，就像每个小拼图可以单独去找它该在的位置一样。
三、权重向量生成。
接下来要生成权重向量哦。
这个权重向量就像是每个小选手（个体）的比赛规则一样。
不同的权重向量会引导算法朝着不同的方向去寻找最优解。
它可以帮助算法在多个目标之间找到一个平衡，就像在游戏里，要平衡速度、力量和技巧这些不同的属性一样。
四、邻域关系确定。
再就是确定邻域关系啦。
这就像是在小伙伴们中间建立小团体一样。
每个个体都有自己的邻居，它们之间相互影响、相互交流。
在这个小团体里，大家可以分享信息，互相学习，这样就能让整个种群朝着更好的方向进化。
五、繁殖操作。
然后就到了繁殖操作啦。
这就像是小伙伴们之间互相合作，产生新的小伙伴。
通过交叉和变异这些操作，产生新的个体。
交叉就像是两个小伙伴交换一些特点，变异呢就像是某个小伙伴突然有了一个新的小创意。
六、更新种群。
最后就是更新种群啦。
根据前面那些操作得到的新个体，要看看哪些是比较优秀的，然后把它们留下来，替换掉原来种群里那些不那么好的个体。
就像在比赛中，表现好的选手留下来继续比赛，表现不好的就被淘汰啦。
这样不断地循环，种群就会越来越接近最优解，就像小伙伴们不断成长，变得越来越厉害一样。
MOEAD
MOEADMOEAD的核心思想是通过分解多目标问题为一系列单目标子问题来解决。
在每个子问题中，MOEAD使用邻域的方式来引导过程，并通过动态更新权重向量来维持种群的多样性。
具体而言，MOEAD算法可以划分为以下几个步骤：1.初始化：随机生成一定数量的个体作为初始种群，并初始化权重向量。
2.邻域定义：根据问题的特点，定义每个个体的邻域，通常采用距离度量的方式。
3.子问题求解：对于每个个体，以它为目标函数中的一个权重向量，求解其邻域内的最优个体。
这里通常采用其中一种启发式策略，如差分进化算法。
4.更新权重向量：为了维持种群的多样性，MOEAD会动态地更新权重向量。
常用的更新策略包括递归更新、旋转和随机生成等。
5.子问题交叉、变异：通过交叉和变异操作产生新个体，并将其与邻域中的最优个体进行比较，选择较优的个体加入下一代种群。
6.终止条件判断：判断是否达到终止条件，如的代数达到预设值或者到了满意的解集。
7.终止或迭代：如果满足终止条件，停止并输出最终结果；否则，返回第3步。
MOEAD算法具有一些显著的特点和优势。
首先，通过将多目标问题分解为多个单目标子问题，MOEAD能够更好地捕捉到问题中的局部适应性信息。
其次，通过权重向量的动态更新和邻域，MOEAD能够保持种群的多样性，从而提高了的全局性能。
另外，MOEAD的计算开销很小，适合应用于大规模问题的求解。
尽管MOEAD算法在多目标优化问题中取得了很好的效果，但仍然存在一些改进的空间。
对于权重向量的选择和更新策略，仍然缺乏一种通用的理论和方法。
此外，MOEAD算法的收敛性和收敛速度仍然是一个研究的热点问题。
总之，MOEAD算法是一种有效的多目标进化算法，通过将多目标问题分解为一系列单目标子问题，并通过权重向量的动态更新和邻域来引导过程。
它具有较好的性能和计算效率，适用于各种多目标优化问题的求解。
多目标进化算法总结
多目标进化算法总结多目标进化算法(MOEA, Multiple Objective Evolutionary Algorithm)是一类基于进化算法的优化方法，主要用于解决具有多个相互竞争的目标函数的问题。
MOEA通过维护一组解的种群，采用进化操作来尽可能多的帕累托最优解集。
下面对MOEA进行详细总结。
首先，MOEA的基本思想是通过模拟自然进化过程进行优化，它借鉴了进化生物学中的适应度、交叉、突变等概念。
MOEA维护了一个种群，每个个体代表一个解，种群中的个体通过进化操作进行迭代更新。
在进化过程中，MOEA通过交叉和突变操作生成新的个体，通过适应度评估来决定个体的生存能力，根据个体在不同目标函数上的性能对种群进行选择和更新。
其次，MOEA的核心是解的评估和解的选择。
MOEA采用一个适应度函数来评估解在多个目标函数上的性能。
适应度函数一般采用拥挤度或距离等概念来度量解的优劣。
拥挤度是指解在种群中的分布密度，用以保持解的多样性。
根据适应度函数的评估结果，MOEA决定哪些解会生存下来，并更新种群。
第三，MOEA有很多具体的算法实现，其中比较经典的有NSGA-II、PAES、SPEA、MOEA/D等。
NSGA-II采用非支配排序和拥挤度距离来维护种群的多样性，并通过交叉和突变操作来生成新的个体。
PAES通过局部来改进解的质量，采用网格来表示解的空间，并根据适应度函数进行迁移。
SPEA使用非支配排序和密度估计来选择解，并通过交叉和突变操作来生成新的个体。
MOEA/D通过将多目标优化问题分解为多个子问题，并通过子问题之间的协作来帕累托最优解。
此外，MOEA还面临一些挑战和改进方向。
首先，MOEA需要解决多目标函数之间的冲突，如何在多个目标之间找到均衡点是一个难题。
其次，MOEA的计算复杂度通常比单目标优化方法更高，如何提高算法的效率是一个重要问题。
此外，MOEA在处理约束问题和高维问题时也存在挑战，如何有效处理这些问题也是一个改进方向。
MOEAD(基于分解的多目标进化算法)
基于分解的多目标进化算法摘要：在传统的多目标优化问题上常常使用分解策略。
但是，这项策略还没有被广泛的应用到多目标进化优化中。
本文提出了一种基于分解的多目标进化算法。
该算法将一个多目标优化问题分解为一组？？？单目标优化问题并对它们同时优化。
通过利用与每一个子问题相邻的子问题的优化信息来优化它本身，这是的该算法比MOGLS和非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ相比有更低的计算复杂度。
实验结果证明：在0-1背包问题和连续的多目标优化问题上，利用一些简单的分解方法本算法就可以比MOGLS和NSGA-Ⅱ表现的更加出色或者表现相近。
实验也表明目标正态化的MOEA/D算法可以解决规模范围相异的多目标问题，同时使用一个先进分解方法的MOEA/D可以产生一组分别非常均匀的解对于有3个目标问题的测试样例。
最后，MOEA/D在较小种群数量是的性能，还有可扩展性和敏感性都在本篇论文中通过实验经行了相应的研究。
I.介绍多目标优化问题可以用下面式子表示：Maximize F(x)=((f1(x)…...f m(x))Tsubject to x∈Ω其中Ω是决策空间，F：Ω→R m，包含了m个实值目标方法，R m被称为目标区间。
对于可以得到的目标集合成为{F(x)|x∈Ω}。
如果x∈R m，并且所有的目标函数都是连续的，那么Ω则可以用Ω={x∈R n|h j(x)≤0,j=1……m}其中hj是连续的函数，我们可以称(1)为一个连续的多目标优化问题。
如果目标函数互斥，那么同时对所有目标函数求最优解往往是无意义的。
有意义的是获得一个能维持他们之间平衡的解。
这些在目标之间获得最佳平衡的以租借被定义Pareto最优。
令u, v∈Rm，如果u i≥v i对于任意的i，并且至少存在一个u j≥v j(i,j∈{1…..m})，那么u支配v。
如果在决策空间中，没有一个点F(y)能够支配F(x)点，那么x就是Pareto最优，F(x)则被称为Pareto最优向量。
基于分解的多目标进化算法研究
基于分解的多目标进化算法研究基于分解的多目标进化算法研究摘要：随着多目标优化问题在实际应用中的增加，多目标进化算法成为解决这些问题的重要工具。
然而，传统的多目标进化算法在处理高维、复杂问题时面临挑战。
基于分解的多目标进化算法通过将多目标问题转化为一组单目标子问题的优化，可以有效地解决这些困难。
本文从基于分解的多目标进化算法的基本原理、具体实现和应用案例等方面进行综述，旨在全面了解该算法的研究进展和应用前景。
1. 引言多目标优化问题在现实生活中广泛存在，如工程设计、资源分配等。
然而，由于多目标问题涉及到多个冲突的目标函数，传统的单目标优化算法无法直接解决这些问题。
多目标进化算法由于其个体间的种群竞争和适应度评估等特点，成为解决多目标优化问题的主要方法之一。
在多目标进化算法中，基于分解的方法通过将多目标问题转化为一组单目标子问题的优化，有效克服了传统算法的局限性。
因此，基于分解的多目标进化算法引起了广泛关注。
2. 基于分解的多目标进化算法的原理基于分解的多目标进化算法的核心思想是将多目标优化问题分解为一组单目标子问题的优化，并通过有效的分解策略将子问题间的信息交流最小化。
其中，最常用的分解策略包括加权法、Tchebycheff 法和充分表示法等。
通过这些分解策略，可以将多目标问题转化为单目标问题，并通过算法迭代逼近Pareto前沿。
3. 基于分解的多目标进化算法的实现基于分解的多目标进化算法的实现主要包括初始化、子问题求解、适应度评估、解集更新等步骤。
首先，初始化种群，生成一组初始解；然后，根据所选择的分解策略，将多目标问题分解为一组单目标子问题；接着，针对每个子问题，利用进化算子进行求解，并更新解集；最后，通过非劣排序和拥挤度距离等策略，更新全局解集，得到最终的Pareto前沿。
4. 基于分解的多目标进化算法的应用案例基于分解的多目标进化算法已经在许多领域得到了广泛的应用。
例如，在工程设计中，可以通过基于分解的多目标进化算法来优化材料的选取、结构的设计等问题。
基于I-MOEA-D算法的污水处理过程多目标优化控制
基于I-MOEA-D算法的污水处理过程多目标优化控制随着人口的增加和工业的快速进步，废水排放量迅速增加，对环境产生了严峻的污染问题。
为了缩减污水处理过程中的能源消耗和化学品使用，多目标优化控制被广泛用于提高污水处理系统的效率。
目前，许多探究已经利用进化算法来解决污水处理过程中的多目标优化问题。
其中，I-MOEA/D（ImprovedMOEA/D）算法是一种基于分解的进化算法，已经在其他领域得到了良好的效果。
因此，本探究旨在通过应用I-MOEA/D算法优化污水处理过程，实现降低能源消耗和化学品使用的目标。
起首，将污水处理系统抽象成一个多目标优化问题。
优化目标包括：最小化能源消耗、最小化化学品使用量以及最大化处理效率。
为了实现多目标的优化，可以将这些目标分别建模成单独的优化目标函数。
其次，基于I-MOEA/D算法的优化控制策略被引入。
I-MOEA/D算法通过将多目标问题转化为一系列单目标问题来解决，每个单目标问题都会得到一个局部有效解。
然后，通过交叉和变异的操作来产生下一代的解，重复这个过程直到满足收敛条件。
然后，将I-MOEA/D算法与污水处理系统的模型相结合，进行多目标优化控制。
在每个迭代中，通过I-MOEA/D算法计算出一组最优解，依据这些解来调整污水处理过程中的参数和控制策略。
优化控制的目标是使能源消耗降低、化学品使用缩减，同时确保处理效率最大化。
最后，通过仿真试验验证了基于I-MOEA/D算法的污水处理过程多目标优化控制的效果。
结果表明，与传统控制策略相比，基于I-MOEA/D算法的优化控制可以有效地优化污水处理过程，降低能源消耗和化学品使用，同时保持较高的处理效率。
综上所述，基于I-MOEA/D算法的污水处理过程多目标优化控制能够在缩减能源消耗和化学品使用的前提下，实现污水处理系统的高效运行。
将来的探究可以进一步改进优化算法，提高优化效果，并将该控制策略应用于实际的污水处理工程中，为环境保卫和可持续进步做出贡献综合利用I-MOEA/D算法的优化控制策略和污水处理系统模型，本探究成功地实现了污水处理过程的多目标优化控制。
基于分解的多目标进化算法
随着多目标优化问题的不断发展，许多有效的多目标优化算法被提出。
其中，基于分
解的多目标进化算法(Decomposition-based Evolutionary Algorithm, DE)是一种用于多目标优化的基本框架，它将多目标问题分解为多个单目标子问题，以便更好地求解多目标优化问题。
基于分解的多目标进化算法(DE)通过将多目标优化问题分解为多个单目标子问题来解
决多目标优化问题。
DE算法通常分为两个基本步骤：子问题表示和子问题求解。
在子问题表示阶段，DE算法将多目标优化问题转换为一组单目标子问题，并将它们
表示为一个双层目标函数，即每个子问题的目标函数为母问题的目标函数的一个约束。
在子问题求解阶段，DE算法使用一种单目标进化算法对每个子问题进行求解，从而
生成一组种群。
接着，DE算法结合优化函数合并多个子问题的种群，从而获得整个多目
标优化问题的最优解。
因此，基于分解的多目标进化算法(DE)是一种有效的多目标优化算法，它将多目标优
化问题分解为多个单目标子问题，以便更好地求解多目标优化问题。
DE算法的运行效率
取决于它的单目标进化算法，并且它的求解精度也受到子问题表示技术和优化函数的影响。
此外，DE算法还可以适应不同的多目标优化问题。
因此，DE算法可以成为解决多目标优
化问题的有效方法。
多目标进化算法综述
多目标进化算法综述作者：梅志伟来源：《软件导刊》2017年第06期摘要：基于种群的进化算法在一次运行中能够产生一组近似的 Pareto 最优解集，因此多目标进化算法成为处理多目标优化问题中的主流方法。
介绍了多目标优化问题中的数学模型以及相关定义，根据多目标进化算法的特点，将现有算法分为4类并分别进行阐述，同时分析了它们的优缺点。
关键词：多目标优化；进化算法；支配；分解DOIDOI：10.11907/rjdk.171169中图分类号：TP301文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2017）006-0204-040 引言在人们的实际生活中，大多数优化问题都是多目标优化问题，广泛存在于经济管理、工程实践和科学研究等领域中。
当前，多目标优化在理论和应用方面均取得了不少进展，但是由于多目标优化问题的复杂性，因此仍存在大量挑战。
多目标优化问题中往往存在多个彼此相互冲突的目标。
与单目标优化不同，在多目标优化中，提高一个目标的性能会引起其它一个或多个目标性能的下降。
因此，多目标优化问题中不存在一个单独的最优解，而是存在一组表示各个目标间权衡和折中关系的解集，称该解集为Pareto最优解集。
Pareto最优解集在目标域的投影被称为Pareto前沿。
由于很多现实工程问题中的优化问题是NP难，传统的数学规划方法将会变得异常困难。
而具有自然界规律启发式特征的求解方法往往适合近似求解这些困难问题，这些方法被称为进化计算[1]。
进化算法基于种群的特性使其十分适合多目标优化问题的求解。
同时，进化算法还具有鲁棒性强的特点。
因此，进化算法被广泛应用在多目标优化问题的求解上。
1 多目标进化问题概述多目标优化问题同时优化多个目标，这些待优化的目标包含最大化、最小化或者两者都有的问题。
在实际处理时，为了简化问题，可以将最大化或最小化问题取反，使所有优化目标全部转化成最小化或最大化问题。
本文中将讨论最小化问题。
2 多目标进化算法一般流程生物进化是一个不断优化的过程，在不断的变化过程中增加自身的适应性。
moead 切比雪夫聚合除法
MOEA/D 切比雪夫聚合除法引言MOEA/D（Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition），是一种多目标优化算法，它基于分解思想将多目标优化问题转化为多个单目标优化子问题，通过协同进化的方式求解。
MOEA/D的切比雪夫聚合除法是一种常用的聚合函数，用于评估目标函数值的优劣。
本文将详细介绍MOEA/D算法和切比雪夫聚合除法，并讨论其优缺点以及应用场景。
MOEA/D算法概述MOEA/D算法由Zhang和Li于2007年提出，是一种经典的进化算法用于求解多目标优化问题。
MOEA/D算法根据问题的特点，将多目标优化问题转化为一组单目标优化子问题，并通过多个子问题的协同进化来寻求全局最优解。
MOEA/D算法的基本思想可以归纳为以下几个步骤：1.问题分解：将多目标优化问题分解为一组单目标优化子问题，每个子问题只考虑部分目标函数。
2.初始化：随机生成一组初始解，并计算每个解在各个目标函数上的值。
3.子问题求解：对每个子问题，通过选择合适的邻居解和交叉、变异等操作，生成一组新的解，并计算其在目标函数上的值。
4.更新解集：根据一定的准则，选择新解集合替代原解集合。
5.收敛判断：判断算法是否达到终止条件，如果未达到，返回步骤3；否则，输出Pareto最优解集。
切比雪夫聚合除法切比雪夫聚合除法是MOEA/D算法中用于评估目标函数值的优劣的一种聚合函数。
对于每个解的每个目标函数值，切比雪夫聚合除法通过计算与参考点之间的距离来评估其优劣。
切比雪夫聚合除法的数学表达为：其中，为一个解的目标函数向量，为参考点。
切比雪夫聚合除法的原理是找到每个目标函数值与参考点之间的最大差值，使得解的每个目标函数值都相对较好。
通过最大化这个最大差值，切比雪夫聚合除法可以有效地评估解的优劣。
切比雪夫聚合除法的优缺点切比雪夫聚合除法作为MOEA/D算法中常用的一种聚合函数，具有以下优点：1.可解释性强：切比雪夫聚合除法基于目标函数值与参考点之间的距离进行评估，因此可以直观地反映解的优劣程度。
moead边界聚合法
moead边界聚合法
MOEA/D（Multi-Objective Evolutionary Algorithm based on Decomposition）是一种多目标优化算法，而边界聚合法是MOEA/D
的一个变种。
MOEA/D是一种基于分解的多目标进化算法，旨在解决多目标优化问题。
它通过将多目标优化问题转化为一组单目标优化子问题，并使用进化算法来逐步逼近真实的帕累托最优解集。
边界聚合法是MOEA/D的一种改进方法，主要用于解决帕累托最优解集分布不均匀的问题。
在边界聚合法中，通过引入聚合函数和权重向量，以及考虑解的邻域信息，来动态调整子问题的边界，以实现更好的帕累托最优解集的覆盖和均衡性。
从算法角度来看，MOEA/D边界聚合法通过动态调整子问题的边界，以改善算法在解空间中的搜索性能，从而更好地探索和维护帕累托最优解集。
这种方法可以在处理复杂的多目标优化问题时提高算法的收敛速度和搜索效率。
从应用角度来看，MOEA/D边界聚合法在工程设计、资源分配、金融投资组合优化等领域都有着广泛的应用。
通过在真实世界的复杂问题中进行实验和应用，MOEA/D边界聚合法已经证明了其在处理
多目标优化问题上的有效性和鲁棒性。
总的来说，MOEA/D边界聚合法是一种基于分解的多目标优化算法的改进方法，通过动态调整子问题的边界，以提高算法的搜索性能和解的分布均衡性，从而更好地解决多目标优化问题。
它在算法和应用层面都具有重要的意义，并在实际问题中展现了良好的效果和应用前景。
一种基于邻域改进的分解多目标进化算法
小型微型计算机系统J o u r n a l o f Chinese Computer Systems 2020年12月第12期 Vol.41 N o. 12 2020一种基于邻域改进的分解多目标进化算法谭玮\邱启仓2,俞维、王丽萍3\浙江工业大学管理学院，杭州310023)2 (之江实验室，杭州310023)3 (浙江工业大学计算机科学与技术学院，杭州310023)E-mail ：*********************摘要：基于分解的多目标进化算法（M OEA/D)是将多目标优化问题分解为若干个简单子问题进行并行求解的方法.然而 M O E A/D对不同子问题均采用固定邻域求解，这不利于算法在邻域范围内选择到合适的解替换更新.针对此问题，本文提出一 种新的调整邻域大小分配的分解多目标进化算法，以平衡算法的收敛性和多样性.该算法根据子问题距离中心区域的偏离程 度,动态调整选择邻域和替换邻域大小.在算法性能对比实验中，将本文提出的算法与M OEA/D、M OEA/D-G R、M O EA/D-D R A及MOEA/D_D U在二维Z D T测试函数和三到五维D T L Z测试函数进行性能测试.实验结果表明，本文所提算法与其他几 种经典算法相比，在测试函数上解集的整体质量显著提高.关键词：多目标优化;进化算法;邻域大小;动态调整中图分类号：T P18 文献标识码:A文章编号：1000-1220(2020) 12-2543-07Decomposition Multi-objective Evolutionary Algorithm Based on Neighborhood Improvement StrategyT A N Wei1,QIU Qi-cang2,Y U W ei1,W A N G Li-ping31 (College of Administration,Zhejiang University of Technology .Hangzhou 310023 .China)2 ( Zhejiang Lab .Hangzhou 310023 .China)3 ( College of Computer Science and Technology .Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023 .China)Abstract：The decomposition-based m u l t i-o b j e c t i v e e v o l u t i o n a r y al gorithm(M O E A/D) decomposes t h e m u l t i-o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n problem i n t o a s e t of simple o p t i m i z a t i o n sub-problems.However,the sub-problems i n M O E A/D use f i x e d neighborhood si ze,which i s n o t conducive t o s e l e c t i o n and replacement of s o l u t i o n s.Aiming a t t h i s problem,this paper proposes a decomposition m u l t i-o b j e c t i v e e v o l u t i o n a r y al go ri th m based on neighborhood improvement s t r a t e g y.According t o t h e degree of d e v i a t i o n from sub-problems t o t h e c e n t r a l r e g i o n,i t dynamically a d j u s t s t h e neighborhood s i z e of t h e s e l e c t i o n and replacement neighborhood.I n t h e performance compari s o n experiment,t h e al gorithm proposed i n t h i s paper i s t e s t e d with M O E A/D,M O E A/D-G R,M O E A/D-D R A and M O E A/D-D U i n t h e2-o b j e c t i v e Z D T t e s t s u i t e and t h e3,4, and5-o b j e c t i v e D T L Z t e s t s u i t e.The ex perimental r e s u l t s show t h a t t h e algorithm proposed i n t h i s paper i s b e t t e r d i s t r i b u t e d and c l o s e r t o t h e P a r e t o f r o n t.The I GD and H V of t h e al gorithm a r e b e t t e r than o t h e r algorithms. Key words ：m u l t i-o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n；e v o l u t i o n a r y a l g o ri th m；neighborhood s e i z e；dynamic adjustment1引言解决多目标优化问题的主要目的是为了实现目标值的最 小化.一般情况下，多目标优化问题可以描述为：mi’n/U)=(/l(x),/2(丨)，…，九⑷）7"subject to X B〇QRn(1)其中是决策空间，0C/T是m维的目标向量，x=(々，j：2,•••,_〇T是决策空间中的一个n维决策向量.多目标优化问题的求解算法有多目标进化算法[1]、多目 标粒子群算法[2]、模拟退火算法等[3].多目标进化算法可以 有效求解多目标优化问题.近年来，国内外学者提出了大量多目标进化算法，根据选择机制，主要可分为以下3类：1)基于 传统Pareto支配关系，通过Pareto支配关系指导解集的选择[4];2)基于指标函数,该类算法通过性能评价指标来引导算法的搜索方向[5];3)基于分解，通过将多目标优化问题分解为若干单目标优化子问题从而进行求解自Zhang等人[7]2007年提出基于分解的多目标进化算法M O E A/D,基于分解的多目标进化算法逐渐成为众多学者 处理多目标优化问题的首选算法框架，得到了广泛应用，并涌 现出大量研究.在分解方法方面，Zheng等人[8]提出了一种结 合加权和法和切比雪夫的分解方法，提高了算法的求解性能. 在权重向量生成方面，Q i等人W通过分析切比雪夫分解方案收稿日期:2020>01 -I9收修改稿日期:2〇20>03-16基金项目：浙江省自然科学基金项目（LQ20F020014)资助;浙江省科技发展计划重点项 目（2018C01080)资助.作者简介:谭玮，女,1993年生，硕士研究生，研究方向为多目标决策优化;邱启仓（通讯作者），男，1992年生，硕士，研究方向网络安全，计算智能；俞维，女,1995年生，硕士研究生，研究方向为进化算法;王丽萍，女，1964年生，博士，教授,CCF会员，研究方向 为计算智能、决策优化.2544小型微型计算机系统2020 年下权向量与最优解之间的几何关系，提出了一种新的权向量 初始化方法和自适应权向量调整策略.对权重进行周期性调 整，使得子问题的权重自适应重新分布，从而获得更好的解的 均匀性.在算法资源分配上，Z ha ng 等人[m]根据算法中每个 子问题的聚合函数值的提升率进行资源分配.L in 等人[||]针 对以往资源分配策略仅注重收敛性，提出了一种给个体稀疏 区域分配较多计算资源的多样性增强的资源分配策略I R A , 使算法多样性得到兼顾.此外，在考虑种群更新方面,L i 等 人[12]在2014年提出了一个稳定匹配模型来协调M O E A /D 中子问题与解之间的相互选择.在邻域选择机制方面，由于不 同邻域对算法性能具有显著影响，W a n g 等人[|3]提出一种考 虑全局替换的M O E A /D -GR算法，允许新解在全局范围内替换邻域解，保证每个解都对应其最合适的子问题，然而该策略 没有限制新解替换解的个数，当替换邻域较大时可能导致解集多样性的缺失.Y u a n 等人[14]提出基于距离更新的算法，利 用解到子问题的垂直距离维持目标空间解集的均匀分布.根据上述研究，可知在传统M O E A /D 算法中，邻域大小 对算法的性能会产生一定影响.对于不同目标函数，每个子问 题的计算复杂度不尽相同.M O E A /D 算法中采用固定邻域为 子问题分配计算资源，资源分配不够合理.本文基于算法总体 流程的研究,进一步分析了固定邻域存在的缺陷，进而提出了 一种新的改进方法，针对选择邻域和替换邻域大小分别进行 适应性调整，提出了改进算法M O E A /D -INS .旨在为不同子 问题合理分配适当大小的邻域，平衡算法的收敛性和多样性.的变化，生成新解会出现资源分配不均的问题，以及杂交过程 生成的新解与子问题不协调的问题.因此采用固定的选择邻 域和替换邻域不利于提升解集的多样性和收敛性，若不考虑解集在进化过程中迭代更新，容易导致M O E A /D 算法陷人 局部最优，影响解的多样性和收敛性.图1M O E A/D 固定邻域分析示意图Fig . 1M O E A /D f i x e d neighborhood a n a l y s i s diagram以二维Z D T l 测试函数为例进行说明，取固定邻域20,迭 代300次后，其M O E A/D 算法结果如图1所示，小圆圈表示Pareto 最优解的位置.可以看出，固定邻域下的进化结果，一般在中间区域最优解较多，边缘区域最优解较稀少.若只采用固定邻域，则使边缘区域最优解多样性下降，导致Pareto 最优 解不能均匀分布在P F 上，不利于提升算法性能.3 改进算法MOEA /D-INS 2背景知识2.1分解方法在M O E A /D框架中，已研究出许多分解方法.其中常用的分解方法有加权和法、切比雪夫法、基于惩罚边界交叉 法.本文采用的是改进切比雪夫分解方法，其公式如下：minnimize£(xl A ,Z* ) = max 1式中,t 为理想点,A = (A , ,A 2，…,)为当前子问题在目标空间中均匀分布的权重向量，若A f =0,则设置A , = 1(T 6.改进切比雪夫分解方法相比原始切比雪夫分解方法主要 有以下两个优势[17]:丨）均匀分布的权重向量能在目标空间中 产生均匀分布的搜索方向;2)每个权重向量均对应位于Pare t o 前沿上的唯一解.这两个优势对算法多样性有所提升.2.2固定邻域缺陷由2.1分解方法可知，分解过程中每个子问题都与权重 向量相关联，因此假设如果两个子问题的权重向量接近，则它 们具有相似的最优解.由该假设，M 0E A /D 引入了邻域概念. 在邻域范围内选定子问题；的解七生成一个新解；C "后，将 新解;c 广与对应子问题/邻域内的每个解（包括;c ,本身）进 行比较，适应度值更好的新解将替代另一个解.邻域替换策略 对于优化子问题的解，以及保持解的多样性和收敛性，起着至 关重要的作用.M O E A /D 算法中，对不同的子问题设置固定邻域，而后 通过交叉变异产生新解，用于替换邻域内旧解.在生成新解和 替换解过程中都采用固定邻域,忽视了进化过程中随着解集+I ，U )-Z ,.丨} (2) 3.1算法改进策略描述M O E A/D 算法进化过程中用到两个不同的邻域:选择邻域和替换邻域US ].选择邻域用来进行父代解的选择，替换邻 域用来确定哪些旧解可能会被新解替换.选择邻域的大小会 影响解在繁殖操作时选择解的个数，选择邻域越大，可选择参 与繁殖的解集范围越大,产生新解多样性就大，收敛性较弱. 替换邻域的大小会影响解在替换操作时替换解的个数，替换 邻域越大，可替换的解个数就越多，就会产生较多相同的解副 本，多样性较弱.本文在对邻域分析过程中考虑了解所在不同区域对进化 的影响.通过表示子问题距离中心区域的偏离程度，具体公式 如下：w , = max A { - min(3)1 1= \\p^P = argminw i\ (4)= \\p\p = argmaxw i\(5)其中子问题A 的最大值减去最小值来表示偏离程度w ,., 公式(4)中的表示该权重向量位于种群中间位置，结合公 式(3)此时w ,取得最小值;公式(5)中的表示该权重向量 位于种群边界位置，此时w ,取得最大值.采用此方法获取解 所在区域信息与采用角度或距离公式计算方式相比,可减小 算法计算量从而加快计算速度.由图1可知采用固定邻域情况下，边界区域最优解稀疏， 解多集中在中间区域.而在算法进化过程中，初期应注重种群 的多样性，避免陷人局部最优.中后期，应注重算法的收敛性， 使种群更好地收敛到Pareto前沿.谭玮等:一种基于邻域改进的分解多目标进化算法2545 12期因此从均衡算法的多样性、收敛性及节约计算资源的角度考虑,针对选择邻域，边界区域子问题邻域应该增大，扩大子问题的搜索方向范围从而找到更多最优解,提高解集的多样性，中间区域反之适当减小以节约计算资源,同时结合算法的进化初期选择邻域7；值应较大以维持种群的多样性，随着进化代数的增加，逐渐减小以提升收敛速度，提出选择邻域公式(6),其效果如图2(a)所示，在算法初期，选择邻域较大，提升解集多样性，随着进化代数的增加，中间区域邻域变小，边界区域邻域较大.针对替换邻域，中心区域应适当增大对应子问题的邻域，加快算法的收敛更快的找到最优解.边界区域反之减小以保留更多边界解，保证算法的多样性.同时结合算法的进化代数,初期替换邻域7V值应较小以维持种群的多样性,随着进化代数的增加，7；逐渐增大以提升收敛速度，提出替换邻域公式(7),其效果如图2(a)所示，在算法初期,替换领域较大，提升算法收敛性，随着进化代数的增加，中间区域邻域较大，边界区域邻域较小.Tm x(Tm _gen^^M a x g e n：(i -w(),r)(6)Tr xgenMaxgen(7)r为一个最小邻域，防止邻域过小导致个体过少影响进 化，表示设计的最大的邻域值，g en表示进化代数表示对应问题进化的最大代数，通过％来表示子问题相对中 心区域的偏离程度.⑷选择邻域 （b)替换邻域图2邻域分配示意图Fig.2 Neighborhood a l l o c a t i o n diagram3.2改进算法流程输入:种群规模乂均匀分布的权重向量U,,a2，…，;邻域大小7\变异概率，交叉概率最大进化代数Maxgenftta：PF： I F(x') ,F(j^ ), - ,F(IStep 1•初始化：Step 1.1.计算任意两个权重向量之间的欧氏距离，为每个权 重向量选出最近的:T个权重向量作为其邻域.设⑴=I i,,«_2,"si r|= 其中 A'W2,…，f是距离 A,最近的7"个权重向量；Step 1.2.初始化种群 P—U1 ,;c2,…|;Step 1.3.初始化理想点Z* — |Z,石，…,ZK|r;Step 2.更新：For (■= 1to T V,doStep2.1.根据公式(6)在每代更新之前计算每代的选择邻域 扎（;），根据公式(7)计算替换邻域 '值,计算圮;Step 2.2.繁殖:从(丨_)中随机选择两个rt cO pe ra to rs(x*, Y)进行交叉变异生成新解；Step 2.3•修正:应用问题特定的修正或启发式的改进策略作用于;y生成/;Step2.4•更新Z* :若 4 <力（/),则 Z)=/；(/) j= 1,2,…，m; Step2.5.更新解：采用更新函数(Z*，仏 O W，W〇Step 2. S. 1. For J = 1t o Af,计算所有的切比雪夫值， (^r i A'.Z)；Step2.5.2.对所有计算得到的I,Z)从小到大排序；Step2.5.3. For to欠，■*：表示各自替换邻域值的大小，由圮（!_)确定，选择5邮2.5.2中前/：个，（;^1人',2),若， (文厂I，Z)矣，（<I A'，Z)，则，则 x f=；C W;Step3.停止判断：若满足停止条件，则输出P F,否则返回Step2继续执行.4算法仿真实验及结果分析为验证本文提出算法的性能，本文选取的测试函数为二 维 Z D T[191测试函数Z D T1-Z D T4、Z D T6 和三-五维 D T L Z1-4[20]系列测试函数.将 M O E A/D-INS与 M O E A/D、M O E A/D-G R、M O E A/D-D R A和M O E A/D-D U这4种经典算法，进行 仿真实验比较.仿真实验在I n t e l C o r e i5-7200U C P U-@ 2. 50G H z的环境下进行.4.1参数设置种群大小:二维测试问题设置为100,三维设置为105,四维设置为120,五维设置为126.交叉变异算子：变异概率P m= l/n，其中n为测试函数的决策变量个数，交叉概率Pc= 0.99,选择邻域的概率3=0.9.终止条件:Z D T系列测试函数 的最大迭代次数设置为300代，D T L Z2、D T L Z4最大进化代数为500,三维D T L Z1、D T L Z3测试函数的最大进化代数为1000,四维D T L Z1、D T L Z3测试函数的最大进化代数为2000, 五维D T L Z1、D T L Z3测试函数的最大进化代数为3000.算法 在每个测试函数上独立运行20次，以降低算法随机性对实验 结果的影响.4.2性能评价指标本文采用如下算法性能评价指标，进行算法性能对比：IGD(Inverted Ge ne ra ti on al Distance,I G D)[21]是一种评价 解集整体质量的指标.通过测量理想Pareto前沿面上的子集广和近似Pareto前沿面/^_上的子集/>的趋近程 度，^匕_与越接近，算法求得的I G D值就越小，解集整 体性能也就越优.超体积指标（hyper volume,H V)[22]是一种能够同时衡量 算法收敛性和多样性的综合性指标，表示非支配解集覆盖的 目标空间区域大小，算法求得的H V值越大，解集质量也就越高.4.3改进算法在Z D T系列测试函数性能对比分析与传统使用固定邻域的M O E A/D算法在二维Z D T系列 测试函数上进行对比实验，检验文中提出的M O E A/D-I N S算 法性能.表中黑色粗体数据表示对比实验结果中最优值.表1为M0E A/D-I N S与M O E A/D在I G D指标上的实验结果.由表1可知，在Z D T1、Z D T2、Z D T3、Z D T4这4个测 试函数上，M O E A/D-I N S的I G D指标优于M O E A/D，在 Z D T6测试函数上,M O E A/D-I N S所求解集的I G D指标略劣2546小型微型计算机系统2020 年于M O E A/D.由此可以看出在以上测试函数中，文中提出的M O E A/D-I N S对算法整体性能的提升具有明显的效果.图3为两种算法在Z D T系列测试函数上的前沿效果图.采用黑色实线表示对应问题中真实Pareto前沿，方形和圆圈分别对应M O E A/D和M O E A/D-I N S算法的Pareto最优解值.从图3改进前后算法的P areto前沿对比图可看出，MOEA/D-INS算法求出的解集比M0E A/D求出的解集更贴 近真实Pareto前沿面，且解集分布更均匀，在ZD T4测试问题 上尤其明显，而M O E A/D的解集对应真实Pareto前沿面距离 较远，原因在于进化的迭代次数不够，未能很好的收敛.表1改进前后算法在Z D T测试函数上指标对比Table 1Comparison of indicators on the ZDT test function before and after improvement测试问题MOEA/D-INS MOEA/DIGDmean( std)HVmean( std)IGDmean (std)HVm ean( std)ZDT1 3.87E-03(1.01E-06)7. 16E-01(1.73E-02) 6.96E-03(7.36E-04)7.22E-01(1.66E-02) ZDT2 3.82E-03(1.31E-05) 4.40E-01(1.15E-02) 1.65E-02(3.95E-02) 4.21E-0K6.93E-02) ZDT3 2.91E-03(5.81E-06)8.02E-01(1.40E-03)8.45E-03(1.13E-02)7.69E-01(6.51E-02) ZDT4 2.33E-03(2.22E-03)7.16E-01(1.22E-02)9.99E-02(5. 16E-02) 6.23E-0K6.16E-02) ZDT6 2.88E-03(1.37E4)6) 3.94E-01(1.62E-02) 2.82E-03(5.92E-05) 3.88E-01(1.64E-02)(a)ZDTlfl(x)(b)Z D T2(d)Z D T4图3改进前后算法在Z D T测试函数上Pareto前沿对比图Fig. 3 Comparison chart of Pareto front edge on Z D T test function before and after improvement在Z D T1、Z D T2、Z D T3测试问题上M O E A/D-I N S均优 于 M O E A/D,Z D T6 测试问题上，M O E A/D-INS 与 M O E A/D 算法性能总体相当.可以看出，改进算法M O E A/D-I N S求解 的整体质量比M O E A/D更高.4.4改进算法在D T L Z系列测试函数性能对比分析为更深人验证本文提出算法的性能，对D T L Z14测试问 题进行仿真测试，目标维度分别为三、四、五维，并使用IGD 和H V指标对算法求出的解集进行分析.选取对比算法M O E A/D、M O E A/D-G R、M O E A/D-D R A 和 M O E A/-D U.表2为各算法求得的IG D指标仿真实验结果，其中粗体 表示对应算法所得解集整体质量优于其它四种算法.由表2 可知，在实验结果中，在三维D T L Z1和五维D T L Z1中M O EA/D算法的均值虽然不是最优，但具有最好的稳定性，在四维D TLZ2中M O E A/D也具有最好的稳定性.在五维 DTLZ2中MOEA/D-DU求解的性能最稳定，在五维DTLZ4 中M OEA/D-DU算法IG D均值和M OEA/D-INS相同最优，原因可能在于M OEA/D-DU算法在进化更新过程中，考虑新解到权重向量的距离，避免过分强调聚合函数值而使得解偏 离对应权重向量，这种基于距离的更新策略能较好的维持解 集的多样性.从仿真实验结果整体上看M O E A/D-I N S所得 I G D指标的均值最小，表明算法整体性能最优.原因在于，相 比M O E A/D、M O E A/D-G R、M O E A/D-D R A 和M O E A/-D U 算法,M O E A/D-I N S算法为不同位置的子问题分配不同的选 择邻域和替换邻域，并根据算法进化状态而动态调整邻域，从 而使算法求得解集的整体质量更高.图4是I G D指标走势图，图中三角形、星形、圆形、矩形、菱形分别对应M O E A/D-I N S、M O E A/D、M O E A/D-D R A、M O E A/D-G R 和 M O E A/D-D U 5 种算法.在D T L Z1和 D T L Z3测试函数上M O E A/D-D R A算法在进化的前期曲线 下降速度最快，因为该算法从每个子问题的聚合函数值相对 提升率来分配计算资源,提升率高的子问题接下来也更容易 被选择参与进化，因此在算法进化初期具有较好的收敛性. M O E A/D-I N S算法对应的I G D值在算法进化前期也有着较 快的收敛速度,在进化后期数值更是逐渐减小至小于其它412期谭玮等:一种基于邻域改进的分解多目标进化算法2547种对比算法.在D T L Z2和D T L Z4测试函数上,M O E A/D-INS 算法对应的I G D数值在进化中始终小于其它4种对比算法，且随着进化代数的增加变化趋势稳定平缓，可见M O E A/D-I N S针对这类测试函数具有较好的表现.结合表2，图4通过 5种算法在D T L Z系列测试函数上的表现，发现M O E A/D-I N S具有较好的整体性能.这主要是因为M O E A/D-I N S将选 择邻域和替换邻域分开考虑，分别提出不同的邻域规模，在确保算法进化收敛性的同时，也有助于提高算法的多样性，因此 较好提升算法整体性能.对于具有复杂性质的测试问题，M O E A/D-I N S仍具有较大提升空间.表2 5种算法在三-五维D T L Z测试函数的I G D指标测试结果 Table2 I GD va l u e t e s t r e s u l t s of f i v e algo ri th ms i n3-5 D D T L Z t e s t f u n c t i o n测试函数维度IG D均值（标准差）MOEA/D MOEA/D-GR MOEA/D-DRA MOEA/D-DU MOEA/D-INS37.46E-02(1.55E-04)7.41E-02(3.96E-04)7.36E-02(4.65E-O4) 1.01E-01(1.75E-01) 4.47E-02(4.27E-04) DTLZ14 1.05E-01(1.31E-04) 1.52E-01(7.36E-02) 2.36E-01(2.14E-01) 4.66E-02(1.24E-03) 4.61E-02(1.18E-04)5 1. 13E-01(5.84E-05) 1.66E-01(7.50E-02) 3.25E-01(2.74E-01) 1.09E-01(1.42E-01) 6.70E-02(8.41E-04)37. 14E-02(8.21E-04) 5.08E-02(4.71E-04)7.04E-02(1.09E-03) 2.07E+00(1.33E-02) 4.93E-02(3.82E-04) DTLZ24 2.74E-01(8.01E-04) 1.46E-01(2.72E-03) 2.67E-01(1.90E-03) 1.37E-01(1.08E-03) 1.37E-02(9.91E-04)5 3. llE-01(1.75E-03) 2.21E-01(7.29E-03) 3.61E-01(2.44E-02) 2.05E-01(2.03E4)3) 2.04E-01(2.34E-03)3 2.16E+00(3.69E-00) 5.66E+00(1.15E+01) 1.91E+00(4.07E+00) 1.24E+01(6.45+ 00) 4.47E-01(8.83E-01) DTLZ34 1.29E+00(1.64E-00) 1.41E-01(2.01E-02) 2.27E+00(4.98E+00 ) 6. 84E+00(3.46E+00) 1.38E-01(5.72E-03)5 6.66E-01(5.79E-01)7.69E-01(1.21E+00)8.26E+00(8. 17E+00) 1.63E+01 (9. 85E+00) 2.38E-01(1.69E-01)3 3.94E-01(4.47E-01) 2.84E-01(3.16E-02)7. 14E-01(4.94E-01) 2.57E-01(1.02E-02) 2.56E-01(9.00E-03) DTLZ44 3.28E-01(2.05E-01) 2.30E-01(3.28E-02) 3.44E-01(3.60E-02) 1.57E-01(4.92E-03) 1.52E-01(6.88E-03)5 3.29E-01(8.35E-03) 2.83E-01(3.41E-02) 4.01E-01(1.60E-02) 2.09E-01(5.38E-03) 2.09E-01(6.63E-03)三维DTLZ 1-A- M O E A/D-IN S-•-M OEA/DM O E A/D-D R A200 400 600 800 1000D TL Z 1-3四维D T L Z1四维DTLZ2-A- M O E A/D-IN S-•-M OEA/DM O E A/D-D R AM8I^B500 1000 1500 2000D T L Z1-4500 10001500200025003000DTLZ 1-5100 200 300 400 500D T L Z24四维DTLZ3-M O E A/D-IN S-M O E A/D-M O E A/D-D R A:M8i腳500 1000 1500D T L Z3-420001000 1500 2000 2500 3000D T L Z3-5四维D TLZ4M O E A/D-IN SM O E A/D-♦-M O EA/D-D R A100 200 300 400 500D T L Z4-4图4 5种算法在三-五维D T L Z测试函数的I G D指标走势图 Fig.4 Change of IGD va l u e on D T L Z3-5 D by f i v e d i f f e r e n t al go r i t h m s表3为各算法求得的H V指标均值和标准差.从实验结 果发现,MOEA/D-D R A在五维DTLZ3测试函数上表现优于其它算法，MOEA/D-D U、MOEA/D-INS 次之.MOEA/D-D U在三、四维DTLZ3及五维DTLZ4测试函数上的表现最 优，MOEA/D-IN S、MOEA/D-DRA 次之.MOEA/D-GR在五 维DTLZ1测试函数上性能最优.而在其余测试函数上，M O E A/D-I N S算法求得指标H V值优于其它算法.已知，测 试函数D T L Z1的最优解前沿是一个线性超平面，较难收敛到全局的复杂多模态问题.D T L Z2是一个相对简单的测试问题，通常用于研究算法在大量目标中性能提升的能力.D T L Z3是一个多峰问题,在解集收敛到Pareto前沿之前，易陷人局部最优.D T L Z♦是简单连续的单模态测试函数，研究2548小型微型计算机系统2020 年DTLZ2-3四维DTLZ2白1.00崧090 @0.80会 0.700.60DTLZ3-3 四维DTLZ3QIB釤TDTLZ4-3四维DTLZ4DTLZ4-4 五维DTLZ4!ST^.l.OOr 0.98 ■ 餐 0.96- g 0.94 - 0.92 ■DTLZ1-4 五维DTLZ1MOEA/D-D1MOEA/I>-DlDTLZ2-4 五维DTLZ2Q0.80栽 〇.76@0.72X0.6S0.64$1.00^0.90>0.800.70DTLZ3-4 五维DTLZ3+ C 2 T白MOEA/IMXJDTLZ1-3 四维DTLZ1白MOEA/D-DiJDTLZ1-5DTLZ2-5DTLZ3-5DTLZ4-5图5 5种算法在三-五维D T LZ 14测试函数上的H V 盒图Fig. 5 HV box diagram of the five algorithms on the 3-5D DTLZ1-4 test function由图5可以看出，在四维D TLZ1上，M OEA/D-GR 虽然有最大的H V 均值，但是从盒子的长度可以看出算法的稳定 性较差,这可能是因为M OEA/D-GR 注重收敛性，而DTLZ1 是一个多峰的问题，在进化过程中新解替换邻域内多个旧解， 使得算法陷人局部最优，性能下降.在四维D TLZ3,五维 DTLZ3上,M OEA/D-DRA 的H V 均值最大，但是算法性能不 够稳定.M OEA/D-INS 相较于其它4种对比算法所对应的中 位数位置即图中盒子中间的横线明显髙很多，并且从图5中 可以看出该算法的盒子长度是最短即算法对应的H V 指标四分位距离是最小的，即该算法的HV值的最大值和最小值相比相差不多指标更为集中.表明了 MOEA/D-INS 相比其它4 种对比算法求出的解集整体质量更高,并且有更好的稳定性 即算法求解的性能更优.综上结合表2、表3、图4、图5通过5种算法在D TLZ 系 列测试函数上的表现，证明MOEA/D-INS 具有较好的整体性 能.这主要是因为M OEA/D-INS 将选择邻域和替换邻域分开 考虑,提出不同的邻域规模，在确保算法进化过程中收敛性的 同时，也有助于提高算法多样性，因此较好提升算法的整体性算法保持解集的分布性的能力.M O E A /D -IN S 在求解 求解算法分布性上有着较强的优势，能够得到收敛性好，分DTLZ2、D TLZ4测试函数上表现严格优于其它算法，因此在布广的解集.表3 5种算法在三-五维DTLZ 测试函数的H V 指标测试结果Table 3 HV indicator test results of five algorithms in 3-5D DTLZ test function测试函数维度H V 均值（标准差）MOEA/D MOEA/D-GR MOEA/D-DRA MOEA/D-DU MOEA/D-INS 38.08E-01 (1.12E-02)7.59E-01(4.00E-02)8.05E-01(1.46E-02)8.42E-01(1.27E-02)8.49E-01(1.33E-02)DTLZ148.75E-01(1.08E-02)9.30E-01(8.65E-02)9.37E-01(3.74E-02)9. 39E-01 (6.31-03)9.40E-01(7.31E-03)59.34E-01(6.64E-03)9.88E-01(1.93E-02)9.65E-01(2.86E-02)9.74E-01(6.31-03)9.75E-01(5.51E-03)35.30E-01(1.44E-02) 4.06E-01(3.42E-02) 5.35E-01(1.61E-02) 5.53E-01(1.37E-02) 5.58E-01(1.23E-02)DTLZ24 5.95E-01(1.60E-02) 5.45E-01(5.56E-02) 6.01E-01(1.66E-02) 6.90E-01(1.27E-02) 6.91E -01(l.llE -02)57.04E-01(1.29E-02) 6.29E-01(5.96E-03) 6.86E-01(2.03E-02)7.69E-01(1. 14E-02)7.73E 4)l(1.32E -02)35.41E-01(4.45E-02) 4.22E-01(2.01E-02) 5.45E-01(4.24E-02)6.00E-01(4.90E-02) 5.51E-01(1.70E-02)DTLZ34 6.26E-01(7. 13E-02) 5.57E-01(9.87E-03)7.73E-01(1.40E-01)7.77E-01(9.36E-02) 6.91E-01(2.10E^)2)57.07E-01(3.66E-02)7.00E-01(1.07E-01)9.15E-01(6.61E-02)8.24E-01(7.44E-02)7.79E-01(1.87E-02)35.27E-01(4.24E-02) 4.22E-01(4.22E-02) 5.08E-01(3.18E-02) 5.57E-01(1.43E-02) 5.60E-01(1.51E-02)DTLZ44 5.74E-01(1.36E-01) 6.01E-01(9.85E-02) 5.75E-01(2.29E-02) 6.90E-01(1.48E-02) 6.94E-01(1.89E-02)56.98E-01(1.53E-02) 6.69E-01(9.39E-02)6. 17E-01(2.74E-02)8.06E-01(4.45E-02)7.80E-01(1.19E-02)三维 D TLZ 1三维 D TLZ2三维 D TLZ3三维 D TLZ4了-e ■一28 4-0 6 0.7.6.6.6.5V 0.0.0.0.0. 崧还A H_*55 5 5c9 8 7 6c 0.0.0.0..o .-s .^S K f s1 l o .o .o .c 釤贫A Hf i x.To_—Du,- 5 o5o V> V J5.44 r!0.0.0.0.<^^>H?-•—mn x.+?-+i+T 白I -^~I^^o .o .o .c釤还A H?Tp _ 丄T 〒•+T Q .T了q -5244^ o .o .c釤迓A H♦*-白<T -n hT日‘+4■88848076o .o .o .o .c釤郅AH谭玮等:一种基于邻域改进的分解多目标进化算法2549 12期能.对于简单连续的测试问题，性能提升显著，对于一些具有 复杂性质的测试问题，仍具有较大提升空间.5总结本文从M O E A/D选择邻域和替换邻域的角度分别进行 研究，针对不同区域子问题分配不同邻域的策略，并将其融入 到多目标进化算法中提出M O E A/D-I N S算法.该算法首先对 不同区域子问题分配不同的选择邻域和替换邻域，再随着进 化代数的迭代，动态调整选择邻域和替换邻域的大小，合理分 配计算资源，提高算法的求解有效性.算法仿真实验结果表明，M O E A/D-I N S与其他算法相比能更加有效的利用算法资 源，在保证解集收敛性的情况下，提高解集分布均匀性，求解 出整体质量更高的解集，有效平衡了算法多样性与收敛性之 间的不平衡.在后续研究中，将关注高维多目标优化问题和动 态多目标优化问题，并将其应用在车辆路径规化、物流配送中 心选址等实际应用中.References:[1] Trivedi A,Srinivasan D,Sanyal K,et al. 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基于权重迭代的偏好多目标分解算法解决参考点对算法影响的研究
基于权重迭代的偏好多目标分解算法解决参考点对算法影响的研究郑金华;喻果;贾月【摘要】在传统偏好多目标进化算法中,参考点是表达决策者的偏好信息最常用的方式,但是参考点所处位置信息有时严重影响算法的性能.针对以上问题,本文提出了一种基于权重迭代的偏好多目标分解算法(MOEA/D-PRE),主要利用权重迭代方法获取一组均匀的权重向量,并对偏好区域进行映射,使得算法在进化过程中,不用考虑参考点所处位置信息对算法性能的影响,另外提出了一种稳定可控的偏好区域模型,能响应决策者设置任意大小的偏好区域.通过对比实验表明该算法具有较好的收敛性和分布性,同时给出了满足决策者不同要求的算法模型,并且能够很好的解决参考点的位置信息对算法的影响.【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2016(044)001【总页数】10页(P67-76)【关键词】多目标分解算法;进化算法;偏好;权重迭代;决策者【作者】郑金华;喻果;贾月【作者单位】湘潭大学信息工程学院,湖南湘潭411105;湘潭大学“智能计算与信息处理”教育部重点实验室,湖南湘潭411105;湘潭大学信息工程学院,湖南湘潭411105;湘潭大学“智能计算与信息处理”教育部重点实验室,湖南湘潭411105;湘潭大学信息工程学院,湖南湘潭411105;湘潭大学“智能计算与信息处理”教育部重点实验室,湖南湘潭411105【正文语种】中文【中图分类】TP18多目标进化算法(Multi-Objective Evolutionary Algorithms，MOEAs)是一种模拟生物进化来解决多目标优化问题(Multi-Objective Optimization Problems，MOPs)的全局搜索算法.近年来，MOEAs的研究焦点主要集中于适应值分配策略的设计［1］，保持Pareto最优解的分布性［2］及提高算法收敛性［3］等.现实生活中，设计者也只需要把筛选好的方案提供给决策者.因为实际问题中，往往由于个人的偏好或问题的需求，决策者通常只对某些区域内的Pareto折中解感兴趣［4］，从而多目标优化与决策者偏好信息相结合成为了一个新兴的热点问题［5］.通过引入偏好信息，算法将全部计算资源用来获取偏好区域的Pareto解集，从而提高算法的求解效率，同时便于决策者高效做出最终决策.目前，在这方面产生了许多的经典算法，能有效地将偏好信息与多目标进化算法结合起来.Fonseca和Fleming［6］最早将DM的偏好信息纳入进化算法中，定义了“Preferability”的关系算子; Cvetkovic和Parmee［7，8］通过模糊偏好矩阵把决策者对各目标的偏好信息定量转化为目标的权重值，并建立基于权重值的“Pareto支配”关系;崔逊学等［4］提出多准则中“ELECTRE”法构造的“级别不劣于”关系; Molina等［9］通过放松“Pareto关系”，提出一种G-dominance的支配关系; Lamjed Ben Said等［10］在“Pareto关系”的基础上，提出一种严格的偏序关系，称之为R-dominance的支配关系等.然而，目前基于参考点的偏好的多目标进化算法存在以下两点不足之处:第一，当DM给定参考点离Pareto面很近、在Pareto面上或者在可行域里时，尤其当参考点在Pareto面上时，算法性能表现尤其不稳定，很有可能导致算法的不收敛、性能不稳定.当算法逼近参考点时，种群落在参考点附近狭窄的局部区域时，由于进化算法为随机算法，只有基于一定的概率产生与参考点相同或非常近的个体时，算法才会收敛，也正因为这样，算法也很有可能往相反的方向进化，当部分个体基于一定的概率跳出偏好区域，带领整个种群脱离了偏好区域，从而导致算法的不收敛.当参考点在可行区域时，算法在参考点和Pareto面上对应偏好区域之间往返进化，导致消耗算法计算资源.例如: G-dominance当参考点在Pareto面上时，算法会退化，甚至不收敛.R-dominance，当参考点在可行域内时，算法将不收敛.第二，很多偏好多目标进化算法都没有考虑DM对偏好区域大小的要求，所得到的偏好区域大小随着参考点地移动而变化，从而得不到稳定的偏好区域，实验表明R-dominance存在这样的缺陷.针对以上的问题，本文提出了算法MOEA/D-PRE，其主要的贡献如下:(1)针对于决策者的不同的偏好信息，分析G-dominance和R-dominance的理论原理，给出了两种具体的模型，参考点不动和运动的偏好模型以及偏好区域大小变化的偏好模型.(2)通过分析标准边界交叉的方法，给出了一个获取权重向量的新模型和映射方法.(3)通过实验证明了参考点的位置关系严重影响G-dominance与R-dominance 的性能.(4)实验验证了本文算法的性能，并对算法进行了评估，与算法G-dominance和R-dominance进行性能比较，验证了本文算法具有较好的优越性.1.1 基本概念不失一般性，下面给出无约束的连续多目标优化问题:其中x∈Ω，Ω为决策空间，F:Ω→Rm的m维目标函数.Rm为目标空间.定义1(个体的Pareto支配关系)有两个体x，y∈Rm，称x支配y，记为x＞y，当(1)x的所有目标不比y差，即xi≤yi，i∈{ 1，2，…，m} ;(2)x至少存在一个子目标比y好，即∃j∈{ 1，2，…，m}，stxj＜yj.2.1 偏好关系模型Jaszkiewicz等［12］提出一种复杂的局部偏好关系模型.模型中，需要决策者给出起始点、终止点、无差别阈值向量、偏好阈值向量、否决阈值向量.本文采用简化的局部偏好关系模型［13］，如图1所示:2.2 基于分解的多目标进化算法(MOEA/D)将多目标优化问题转化为单目标优化问题是用数学规划方法求解多目标问题的基本策略.Zhang和Li等［11］将用数学规划方法和进化算法相结合，提出了基于分解的多目标进化算法(MOEA/D).该算法利用数学规划方法求解多目标问题的基本策略将多目标优化问题转化为单目标优化问题.MOEA/D将多目标优化问题分解为一组单目标子问题并为每个子问题分配一个个体，由各子问题上的个体组成初始种群，通过并行进化种群来优化所有子问题.由于相邻子问题之间存在对彼此进化有利的信息，MOEA/D基于权重向量间的欧式距离建立子问题的邻域，MOEA/D通过邻域内交叉变异产生新的个体.基于邻域的进化是MOEA/D的有效搜索机制之一.在进化过程中，优势基因一旦被某个子问题搜索到，就会在邻域内扩散，因此通过相邻子问题的信息搜索到优秀解的可能性更高.其中常用的分解方法总结为以下三种:权重聚合(Weighted Sum)、切比雪夫(Tchebycheff)和基于惩罚的边界交叉(Penalty-based Boundary Intersection，PBI).(1)Weighted Sum分解方法:其中为目标个数，为一组权重向量.∀λi＞0，且(2)Tchebycheff分解方法:其中(3)PBI分解方法:其中，θ＞0为预设参数.2.3 G支配关系Molina等［9］提出的G-dominance方法，该方法是以参考点作为偏好信息的载体，将Pareto支配关系重新定义，放松了Pareto支配关系的定义，从而提出了一个更加简便、灵活的支配关系，有利于偏好信息的提取以及获取偏好区域.定义2(G-dominance)已知两个点A，B∈RP，如果满足下列条件之一，即称AG-dominance B，记为A＜gB:(1)Flagg(A)＞Flagg(B);(2)对于∀i =1，2，…，p，Ai≤Bi，满足Flagg(A)＞Flagg(B)，那么至少存在一个j使得Aj＜Bj.Flagv(w)的定义如下:其中，v∈RP为参考点，w∈RP是目标空间中的任意点，P为目标个数.上述定义将目标空间划分为两部分Flag = 1和Flag = 0.算法的优点在于，当参考点在可行域或在不可行域，都不影响算法的收敛性效果.如图2所示.通过定义可以知道，当PM给定的参考点在可行域或不可行域时，G-dominance 收敛性能是较好的.但是当参考点落在Pareto面上或者离Pareto面非常近的时候，此时整个种群聚集在一起，因为进化算法为随机算法，只有基于一定的概率产生和参考点相同或非常近的个体时，算法才会收敛，相反算法就会不收敛.整个种群一直在参考点和最优点之间不断的进化和退化，这就是G-dominance存在的缺陷和不足，如图3所示.2.4 R支配关系Lamjed Ben Said等［10］提出的R-dominance方法，能将Pareto非支配集转化为一组严格的偏序集，这种支配关系能引导算法快速的搜索到决策者喜欢的偏好区域.定义3(R-dominance)已知种群P，参考点g，权重向量w，x，y∈RP满足以下条件之一，称个体x R-dominance y，记为x＜ry:(1)x Pareto支配y，x＜y;(2)x和y Pareto互不支配时，D(x，y，g)＜-δ，δ∈［0，1］其中:距离公式采用Deb采用的加权欧式距离［14］:g为参考点，δ∈［0，1］为临界值.R-dominance存在一个缺点，在于当参考点落在可行域时，将严重影响算法的收敛性能.由式(5)可知，当参考点落在可行域，算法将引导种群向参考点进行搜索，其偏离了算法的搜索方向，从而达不到最终的偏好区域，也就是说算法性能对参考点的位置信息比较的敏感，将严重的影响决策者的最终决策，如图4所示.模型首先将参考点的位置关系转化为方向向量，然后通过边界点来获取偏好区域的大小，从而避免了参考点位置信息对算法的影响，而且提供了个体进化的方向.针对于决策者的不同的偏好信息，下面给出了两种具体的模型，参考点不动和运动的偏好模型以及偏好区域大小变化的偏好模型.3.1 参考点不动和运动的偏好MOEA/D模型对于基于分解的多目标进化算法，怎么给子问题指定相关权重是MOEA/D的关键问题，因为基于分解的多目标进化算法就是将多目标优化问题通过子问题分解，将其转化为单目标问题.本文通过PM给定的参考点与原点O(0，0，…，0)的连线确定偏好区域方向，连线经过面S: f1+ f2+…+ fm= 1，交点为A*在面S的映射点.通过决策者给定的偏好区域大小半径ε以及映射到偏好区域内的权重向量，该模型将参考点的位置信息成功转化为权重向量，因此此时参考点所在位置与算法无关了，因为它在权重向量的线上.如图5、图6所示.通过二维和三维的图形，总结可以得到高维的模型.第一步:求参考点对应的映射点.PM给定参考点，设映射点A'则:由式(9)可求得参考点对应的映射点A'为:第二步:设定偏好区域.如上图6所示，由PM给定一个偏好区域大小半径ε∈［0，1］，通过每维边界点B'、C'、D'和映射点A'，确定偏好区域大小，可以依据参考者的意愿，任意设定，如式(11)所示:第三步:在偏好区域获取权重.由第二步设定好偏好区域的范围之后，可以通过任意的确定性算法确定好权重值，即在映射点的周围产生所需的点集.Indraneel Das［15］等人提出的标准边界交叉文章中，有一种求解权重的方法.通过设定每维的步长和节点个数，循环迭代获取一组均匀的权重.如图7所示.但是，该方法存在一个缺点，当映射点在空间的边界点时，产生的点落在了偏好区域之外，因此增加了大量的逻辑判断，从而增加了算法的复杂度和运算开销，尤其在高维多目标算法中，更加的显著.第四步:由MOEA/D算法求解多目标优化问题.基于参考点运动的偏好多目标分解进化算法模型，在此基础上通过修改参考点对应的映射点来改变权重向量以实现该模型.3.2 偏好区域大小变化的模型当DM对偏好区域大小有一定的要求的时候，很多的算法都没有考虑到这一点，得到的偏好区域大小随着参考点地移动而显著变化，而得不到稳定的偏好区域.基于此本文给出了一个简单稳定可控的偏好区域模型，如图8所示.由于不动参考点的MOEA/D模型可知，当确定偏好区域后，在区域中设定均匀的权重向量，算法可以得到相应的偏好区域.因此模型转化为求偏好区域的边界点.通过参考点Q、原点O、边界点B，获取偏好区域边界B'的坐标.由式(9)(10)可以得到参考点Q对应的在面S上的映射点A的坐标.易知:可得偏好区域边界点B'的坐标.由向量变换可得:通过的映射，式(13)可以转化为:其中ε'∈［0，1］.针对于DM要求的不同偏好区域，得到的偏好区域如下图9所示.该模型可以通过动态设置偏好区域参数ε来调整权重向量，从而获取不同大小的偏好区域，有利于决策者选择.3.3 权重获取方法—权重迭代法通过对标准边界交叉算法的分析，本文给出了一种权重迭代获取权重的迭代方法. 第1步:计算参考点A(f1，f2，…，fm)在面S: f1+ f2+…+ fm=1上的映射点A'.第2步:获取面f1+ f2+…+ fm= 1上的每维边界点点集F，如图10三维情况下边界点为B(1，0，0)， C(0，1，0)，D(0，0，1).第3步:由PM给定一个偏好区域大小半径ε，将每维边界点点集F和映射点A'合并为点集F'，由F'和ε确定偏好区域大小.得到偏好区域的边界点集.三维情况下如上图可得到B'，C'，D'.由向量可得B'点的坐标，以此可知B'，C'，D'点的坐标值. 第4步:由点集F'个体两两交叉求中点，获取新的点集K，F'与K两两交叉获取中点解集K'，将F'与K合并更替F'，即F'= F'∪K，F'再与K'产生中点集K″，更新K'= K″，交替更新直到K'点集大小达到种群大小.如图10，由点集F'=(A'，B'，C'，D')两两交叉得到中点集K =(1，2，3，4，5，6)，再由F'与K两两交叉得到中点集K'，F'= F'∪K，K = K'，再进行F'与K两两交叉，不断交替更新.最终得到一组均匀的权重向量.权重迭代法简单容易实现，所有的点都在偏好区域内，且所有的点都落在凸多边形中，满足权重要求.同时还可以获取一组比较均匀的权重向量.如图11所示.算法的时间复杂度主要在于求解边界和迭代更替，时间复杂度为O(m2)，m为目标个数，迭代更替的时间复杂度为O(n·m)，m为目标维数，n为种群大小.本文首先结合决策者的偏好信息(参考点信息)，利用权重迭代方法初始化一组均匀权重向量，对偏好区域进行映射，从每个权重对应的子问题邻域中进行个体之间的交叉变异，当产生优秀的个体时替换当前个体，依次重复直到满足终止条件，输出最优解.具体算法如下所示:算法中交叉变异算子终止条件可以自由设定，不影响算法的框架.其中算法的主要的时间复杂度在于Step1和Step2.Step1的时间复杂度在于权重迭代，复杂度为O(n·m)，而Step2的时间复杂度为O(n2).所以总的时间复杂度为O((n·m + n)·n).5.1 实验参数设置实验考虑参考点在Pareto面上和在可行域两种情况，算法MOEA/D-PRE采用MOEA/D中的边界交叉(Penalty-based Boundary Intersection，PBI)分解方法，参数θ= 5.本文选择常用的测试函数: ZDT系列测试函数［16］，DTLZ系列测试函数［17］.其中ZDT系列测试函数设置种群大小为100，变量维数为30，交叉概率为0.99，变异概率为0.1，最大运行代数为500(其中ZDT4为1500代，ZDT6为1200 代).DTLZ系列测试函数设置种群大小为200，变量维数为12，交叉概率为0.99，变异概率为0.1，最大运行代数为500.每一维的偏好区域大小都统一设定为ε=0.1，参考点的设置如下表1所示.5.2 对比实验算法对每个测试函数独立运行30次，结果取平均值.所有试验为了证明算法的收敛性能，本文采用GD［18］指标来估计算法的最终边界和全局Pareto最优面的趋近距离.其中，n为解集中的个体数，di为每个个体到全局最优面的最小欧几里得距离.GD 值越小，解集越靠近Pareto最优面，从而表明算法的收敛性越好.针对ZDT系列测试函数，本文设计了10组对比实验，考虑参考点设置在Pareto 面上以及可行域内两种情况，将MOEA/D-PRE和G-dominance、R-dominance进行实验比较，表2和表3给出ZDT系列测试函数的GD实验指标值.通过表2和表3给出的GD指标对应的均值和方差可知，MOEA/D-PRE、G-dominance以及R-dominance在测试问题ZDT1、ZDT2、ZDT3上都收敛得比较好，都找到了参考点所对应的的偏好区域.但是从表2还可以知道，当参考点在Pareto面上时，R-dominance在这三个测试问题上没有G-dominance和MOEA/D-PRE好，同时MOEA/DPRE又要比G-dominance要好.可知对于相对简单的测试问题上，参考点的位置信息影响了R-dominance和G-dominance的收敛性能.这是由于支配关系存在的缺陷所导致的，即以参考点作为信息引导，采用加权欧式距离或者放松Pareto支配关系都会影响算法的收敛.而采用本文通过权重迭代映射偏好区域的方法，可以避免参考点位置信息的影响，因为基于原点和参考点的向量是不会因为参考点而改变的.通过表2和表3给出的GD指标对应的均值和方差可知，MOEA/D-PRE、G-dominance和R-dominance在测试问题ZDT1、ZDT2、ZDT3上都收敛得比较好，都找到了参考点所对应的偏好区域.但从表2还可以知道，当参考点在Pareto 面上时，R-dominance在这三个测试问题上没有G-dominance和MOEA/D-PRE好，同时MOEA/D-PRE又要比G-dominance要好.可知对于相对简单的测试问题上，参考点的位置信息影响了R-dominance和G-dominance的收敛性能，这是由于支配关系存在的缺陷所导致的，即以参考点作为信息引导，采用加权欧式距离或者放松Pareto支配关系都会影响算法的收敛.而采用本文通过权重迭代映射偏好区域的方法，可以避免参考点位置信息的影响，因为基于原点和参考点的向量是不会因为参考点而改变的.从表2、3和对比实验图12可知，特别在ZDT4测试问题上G-dominance和R-dominance，完全没有收敛.对于比较复杂的测试问题，放松支配关系和加权欧氏距离严重影响了算法的搜索性能，最终导致了算法的不收敛.在ZDT6测试问题上，G-dominance也完全没有收敛，R-dominance收敛比较好.但是当参考点在可行域中时，由偏好关系模型可知，原点和参考点的射线没有经过R-dominance获取到的偏好区域，因而不能提供满足决策者所想要的信息.因此MOEA/D-PRE尽管没有R-dominance收敛那么好，但是满足的了决策者所需要的信息.综合表2和3可知，MOEA/D-PRE要比G-dominance 和R-dominance更能满足决策者需要的信息.并且ZDT系列测试问题算法都收敛了，因此MOEA/D-PRE的性能也比较的稳定.针对DTLZ系列测试问题，本文进行12组对比实验，同时考虑了参考点在Pareto面上和在可行域两种情况.MOEA/D-PRE、G-dominance以及R-dominance的GD指标对比试验如表4和表5所示.由表4和表5可知，算法MOEA/D-PRE、G-dominance和R-dominance在DTLZ2和DTLZ4的测试问题上都有较好的收敛效果.但是从表可知MOEA/D-PRE 相比而言有更好的收敛效果.而在DTLZ1、DTLZ3、DTLZ6比较难以搜索到PF的测试问题上，G-dominance完全没有收敛，这是因为G-dominance算法本身只提供了参考点的引导信息，受到参考点的位置关系的影响，导致算法向参考点进化，但是当参考点在可行域或在Pareto面上时，很容易让算法进入局部搜索，最终使得算法不收敛.而R-dominance在DTLZ1和DTLZ3上都收敛了，而且当参考点在可行区域时，收敛效果还要比MOEA/DPRE效果更好.但是通过实验图12可知，R-dominance 所获得的偏好区域并不能满足决策的要求，而算法R-dominance虽然收敛了但是所获取的是整个PF.并不满足偏好关系.当参考点在可行域时，在DTLZ5和DTLZ6上，R-dominance没有收敛.实验证明了R-dominance支配关系的不足，当参考点在可行域时，加权欧式距离会引导种群往参考点靠近，进而导致算法无法收敛. 综合表4和表5以及图13可知，算法MOEA/D-PRE 在DTLZ系列测试问题上有较好的收敛性，而且能够很好地满足决策者的要求，得到想要的偏好区域.算法性能比较稳定，不因参考点的位置信息而改变.因此在DTLZ测试问题上MOEA/D-PRE相比之下有更好的表现.偏好多目标进化算法重点是要准确的表达决策者的偏好信息，并最终获得偏好区域内的最优解集，本文对此进行了比较深入的研究，主要工作可以概括为以下3个方面:(1)通过对偏好信息的深入分析，提出了一个偏好区域的变化模型，更简单准确的表达决策者的偏好信息.(2)通过实验证明了参考点所处位置信息严重影算法G-dominance和R-dominance的性能.(3)采用权重迭代法引导搜索过程，避免了算法陷入局部最优同时保证解集具有较好的分布性.本文算法与MOEA/D结合，能够避免参考点的位置对算法性能的影响，保证了算法的收敛性与参考点的位置无关.并与G-dominance、R-dominance方法对比，实验结果表明了该算法具有很好的收敛性.本文提出了一种基于权重迭代的偏好多目标分解算法(MOEA\D-PRE)，主要利用权重迭代方法获取一组均匀的权重向量，对偏好区域进行映射，使得算法在进化过程中，不用考虑参考点的位置对算法性能的影响，另外提出了一种稳定可控的偏好区域模型，能响应决策者设置任意大小的偏好区域.通过对比实验表明该算法具有较好的收敛性和分布性，同时给出了满足决策者不同要求的算法模型.尽管在处理高维多目标优化问题之上，存在很多优秀算法［19，20］，能比较好的解决许多高维问题.但是，随着目标维数的增加，非支配解的数目成指数级增加，收敛压力减小，从而不利于算法的收敛.因此，加入有效的偏好信息，将利于算法性能的进一步提升.所以，把偏好信息融入高维问题将是我们未来的研究重点.郑金华男.1963年生于湖南邵阳，现为湘潭大学信息工程学院教授、博士生导师、CCF高级会员.主要研究方向为进化计算、智能科学.E-mail:***************.cn喻果男.1987年8月出生，湖南宁乡人.就读于湘潭大学信息工程学院.主要研究方向为偏好多目标进化算法.E-mail:*****************【相关文献】［1］Davarynejad M，Vrancken J，van den Berg J，et al.A fitness granulation approachfor 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摘要：在传统的多目标优化问题上常常使用分解策略。
但是，这项策略还没有被广泛的应用到多目标进化优化中。
本文提出了一种基于分解的多目标进化算法。
该算法将一个多目标优化问题分解为一组单目标优化问题并对它们同时优化。
通过利用与每一个子问题相邻的子问题的优化信息来优化它本身，这是的该算法比MOGLS和非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ相比有更低的计算复杂度。
实验结果证明：在0-1背包问题和连续的多目标优化问题上，利用一些简单的分解方法本算法就可以比MOGLS和NSGA-Ⅱ表现的更加出色或者表现相近。
实验也表明目标正态化的MOEA/D算法可以解决规模范围相异的多目标问题，同时使用一个先进分解方法的MOEA/D可以产生一组分别非常均匀的解对于有3个目标问题的测试样例。
最后，MOEA/D在较小种群数量是的性能，还有可扩展性和敏感性都在本篇论文中通过实验经行了相应的研究。
I.介绍多目标优化问题可以用下面式子表示：Maximize F(x)=((f1(f)…...f f(f))fsubject to x∈Ω其中Ω是决策空间，F：Ω→f f，包含了m个实值目标方法，f f被称为目标区间。
对于可以得到的目标集合成为{F(x)|x∈Ω}。
如果x∈R m，并且所有的目标函数都是连续的，那么Ω则可以用Ω={x∈f f|h f(x)≤0,j=1……m}其中hj是连续的函数，我们可以称(1)为一个连续的多目标优化问题。
如果目标函数互斥，那么同时对所有目标函数求最优解往往是无意义的。
有意义的是获得一个能维持他们之间平衡的解。
这些在目标之间获得最佳平衡的以租借被定义Pareto最优。
令u, v∈Rm，如果f f≥f f对于任意的i，并且至少存在一个f f≥f f(i,j∈{1…..m})，那么u支配v。
如果在决策空间中，没有一个点F(y)能够支配F(x)点，那么x就是Pareto最优，F(x)则被称为Pareto最优向量。
换句话说，对于Pareto最优点在某一个目标函数上的提高，都会造成至少一个其余目标函数的退化。
所有Pareto最优解的集合称为Pareto集合，所有最优向量的集合被称为Pareto前沿。
在许多多目标优化的实际应用中，通过选择器选择一个接近Pareto最优前沿的解作为最后的解。
大多数多目标优化问题都有许多甚至是无穷个Pareto最优向量，如果想要获得一个完整的最优前沿，将是一件非常耗时的事情。
另一方面，选择器可能不会专注于获得一个过于庞大的最优解向量集合来解决问题，因为信息的溢出。
因此，许多多目标优化算法往往是获得一个均匀分布在Pareto最优前沿周围的最优解向量，这样就具有更好的代表性。
许多研究人员也致力于使用数学模型来获得一个近似的最优前沿。
一般来说，在温和控制下多目标优化问题的Pareto最优解，可以看做是一个标量优化问题的最优解(其中目标函数是fi的集合)。
因此，Pareto最优前沿的近似求解可以被分解为一组标量目标优化子问题。
这个想法是建立在许多传统的对最优前沿求近似解的数学编程方法上的。
现在有许多的聚合方法，最流行的是切比雪夫法和加权法。
最近，边界交叉方法也引起了许多的关注。
如今多目标进化算法并没有将分解这一概念引入当前的主要发展领域。
这些算法将多目标优化问题看成一个整体。
他们并没有通过任何特别的标量优化将每一个解相互联系在一起。
在一个标量目标优化问题中，所有的解都可以通过他们的目标函数值进行对比，而挑战就是如果找到一个单独的最优解。
但是在MOP中，支配关系并不能定义一个具有完整顺序的解集合，MOEA则是为了产生一组尽可能分散的可以代表整个PF的解集合。
因此，那些常见的被设计在标量优化中使用的选择器，可能不能直接的在传统的MOEA中使用。
可以认为，如果有一个可以为每个体分配相关适应度来反映供选择参考的效用的适应度分配表，那么标量优化进化算法就可以真正的使用在MOP中，但是其他技术：比如交配限制、多样性控制、许多MOP方法的属性和外部种群集合等仍然需要用来加强标量算法的性能。
因为这个原因，适应度分配已经成为现在MOEA研究的一个主要议题。
比较流行的适应度分配策略包括基于目标函数的适应度分配比如VRGA，还有基于支配关系的适应度分配比如SPRA-Ⅱ和NSGA-Ⅱ。
分解这种想法在某种程度已经被应用在许多元启发式方法中用于解决MOP问题。
例如，两相局部搜索方法被认为是一组标量优化问题，其中MOP中的多目标被通过聚合方法分解为一个个单目标问题，一个标量优化算法被应用到标量优化问题中通过一组聚合参数来完成，在之前问题中获得的一组解作为下一个问题的起始点因为聚合原因两者间的差别很小。
多目标遗传局部搜索目标就是对用过使用甲醛算法或者切比雪夫算法的聚合进行同时优化。
在每一代中，它对一个随机生成的聚合目标进行优化。
在本篇文章中，我们提出了一个新的基于分解的多目标进化算法。
MOEA/D将MOP分解为N个标量的子问题。
它通过进化出一个解的种群来同时解决所有子问题。
对于每一代种群，种群是从所有代中选出的每一个子问题的最优解的集合。
相邻两个子问题键的关联程度是由它们的聚合系数向量间的距离所决定的。
对于两个相邻子问题来说，最优解应该是非常相似的。
对于每一个子问题来说，只是用与其相邻的子问题的信息来优化它。
MOEA/D有以下特性：MOEA/D提供了一个简单但是有效的方法，那就是将分解的方法引入到多目标进化计算中。
对于常常在数学规划领域发展的分解方法，它可以真正的被并入到EA中，通过使用MOEA/D框架来解决MOP问题。
因为MOEA/D算法是同时优化N标量子问题而不是直接将MOP问题作为一个整体来解决，那么对于传统的并不是基于分解的MOEA算法来说适应度分配和多样性控制的难度将在MOEA/D框架中得到降低。
MOEA/D算法有一个较低的计算复杂度相比于NSGA-Ⅱ和MOGLS。
总体来说，在MOGLS和MOEA/D同时解决0-1背包问题测试样例中，两者使用相同的分解方法，MOEA/D在解的质量上表现更为出色。
在一组连续的MOP样例测试中，使用了切比雪夫分解法的MOEA/D方法和NSGA-Ⅱ表现相近。
在一个3目标的连续样例测试中，使用一个先进的分解方法的MOEA/D算法表现的比NSGA-Ⅱ出色许多。
当MOEA/D算法使用一个小型种群时也可以产生一组种群数量少的分布均匀的解。
因为在MOEA/D中每一个解都和标量优化问题有关，所以使用标量优化方法显得很自然。
相反，对于传统的不是基于分解的MOEA算法的一个缺点就是很难找到一个简单的方法来冲分利用标量优化算法。
本篇文章按如下组织。
在第二部分介绍了三种分解方法。
第三部分详细展示了MOEA/D 算法。
在第四和第五部分，对其和MOGLS和NSGA-Ⅱ算法进行了对比，对比结果表明MOEA/D 算法表现的更为出色有时表现相近。
在第六部分，展示了更多关于MOEA/D的实验数据。
在第七部分对本文做了总结。
II.多目标优化中的分解算法如今有许多方法可以将对求Pareto前沿近似解的问题转换为一组标量优化问题的。
在下面，我们将介绍三种我们试验中使用到的方法。
1.权重求和方法权重求和是最常见的聚合方法，假设待优化的多目标问题有m 个总目标，该函数通过一个非负的权重向量λ⃗⃗⃗⃗ =(λ1……λf )加权到每个目标上将MOP 转化为单目标子问题，其数学表达式为：maximize f ff (x |λ⃗⃗⃗⃗ )=∑λf f f (f )ff =1subject to x ∈Ω其中，λ⃗⃗⃗⃗ =(λ1……λf )是一组权重向量，对于所有的i =1,2,…,m，λf ≥0&&∑λf =1f f =1。
聚集韩式可以是线性的，也可以是非线性的。
由如上的定义可知，传统的加权方法利用均匀的权重向量够早了一个不同目标函数值的凸组合。
根据凸组合的性质，当聚集函数呈线性时，无论如何调整权重系数，都难以搜索到非凸解。
但是当聚集函数呈非线性时，可以很好地解决以上问题。
在本文中，将加权求和聚合函数表达式记为上式是为了强调λ是这个目标函数的一个参数向量，X 是待优化的变量。
与传统的加权方法不同，加权求和聚合方法通过在上述标量优化问题中生成不同的权重向量来产生一组不同的Pareto 最优解。
然而，在最优Pareto 面的形状为非凸面的情况下，这种方法并不能获得每一个Pareto 最优向量。
为了克服这些缺点，研究人员做出了一些努力，例如在此方法中引入了ε−约束。
2. 切比雪夫聚合方法切比雪夫聚合方法的计算公式为：minimize fff (x |λ,f ∗)=fff 1≤f ≤f {λf |f f (x )−f ∗|} 其中x ∈Ω，f ∗=(f 1∗,…,f f ∗)f 为参考点，对于每一个i =1,…,m，有f f ∗=min {f f (f )|f ∈Ω}。
对于每一个Pareto 最优点x ∗总存在一个权重向量λ使得上式的解为一个Pareto 最优解，该解对应着元多目标问题的Pareto 最优解。
并且通过修改权重向量可以获得Pareto 最优面上的不同的解。
这种方法的一个缺点就是处理连续多目标问题时聚合方法曲线不平滑。
权重切比雪夫聚合方法是在权重求和和切比雪夫方法的基础上进行的改进，在该方法中添加了参数ρ，将两种聚合方法组合在一起。
通过调整ρ控制两种聚合方法的比例，力图结合权重求和聚合方法收敛速度快和切比雪夫聚合方法分布性好的特点。
min f ff (f |f ,f ∗)=max f =1,2,…,f {f f |f f (f )−f ∗|}+ρ∑|f f (f )−f f ∗|f f =13. 边界交叉聚合方法几种常见的聚合方法如标准边界交叉方法和规范化标准约束方法可以归类为边界交叉方法。
这些方法被设计用来处理连续多目标优化问题。
在一定条件下，连续多目标优化问题的Pareto 最优边界是其可行目标集的最右上边界的一部分。
从几何角度来看，这些边界交叉方法旨在寻找到最上部的边界和一组线的交点。
在某种意义上说，如果这组线均匀地分布，由此产生的交点可以看做是提供了对整个Pareto 最优边界一个很好的近似。
这些方法能够很好的处理Pareto 最优边界为非凸面的问题。
一般在试验中，通常取一组从参考点出发的射线。
在数学意义上，定义如下形式的标量优化问题：min f ff (x |λ,f ∗)=d其中，λ和f∗在第二个方法中介绍过，分别代表的是一个权重向量和参考点。
如下图所示，约束条件f∗−F(x)=dλ确保了F(x)保持在直线L上，直线L的方向为λ且穿过点f∗。
边界交叉方法的目标是把F(x)推尽可能的远，这样算法能够搜索到可行目标空间的边界。
上述方法的一个缺陷就是它必须处理等式约束。