突出理性思维弘扬数学文化_数学文化在高考试题中的渗透_陈昂.caj

（C）0.6
（D）0.45
本题以当前社会关心的空气质量问题为背景，
给出了两个实际的随机事件及其概率，引导学生分
析各事件及相应概率间的相互关系。试题的设计
源于社会实际，体现了新课程内容与我们社会生活
的密切相关性。试题设计了几个事件，要求学生能
分析清楚各事件间的相互关系, 利用事件间的关系
及相应计算公式解决概率的计算问题。
新的发现以及总结新的规律。
本题将函数设计为指数函数与线性函数的组
合 f (x) = ex - e-x - 2x ，第（Ⅰ）问要求讨论单调性。问
题基本，直接求导，利用平均值不等式即可解决。
第（Ⅱ）问则引进另一个函数 g(x) = f (2x) - 4bf (x) ，假
定当 x > 0 时，g(x) > 0 ，求参数 b 的最大值。这一问
10 中国考试
2015 年第 3 期
主要体现在以下三个方面。
2.1 渗透中国古代数学史考查 数学是一门层层递进发展的学科。重大的数
学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立
起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是
包容原先的理论。[8]因此数学史对学生数学素养的
培养起着重要的作用。数学史作为试题背景，主要
群体，数学共同体所特有的行为、观念和态度等。”[5] 顾沛给出的数学文化的定义为：“数学文化”一词的 内涵，简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点， 以及它们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵外， 还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发 展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种 文化的关系，等等。”[6]代钦则认为“数学文化是数学 知识、思想方法及其在人类活动的应用以及与数学 有关的民俗习惯和信仰的总和”。[7]这些定义从不 同方面论述了数学文化的内涵，通过比较这些不同 定义，我们可以发现数学文化的最主要内涵是一种 理性思维方式在实践过程中的不断探索，形成的数 学史、数学精神及其应用。
d≈
3
300 157
V
D. d ≈ 3 1211V
例 2：我国古代数学名著《数书九章》中有“天池
盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨
水。 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺
二寸，盆深一尺八寸。 若盆中积水深九寸，则平地
降雨量是 寸。
中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现过
刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及众多数学名著，
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果
2 高考试题中的数学文化
数学文化体现了数学的人文价值和科学价值， 在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色。 近年来，高考数学科试题中也开始渗透数学文化，
本文系全国教育科学规划教育部重点课题“高考能力考查与内容改革创新研究”（课题批准号：GFA111006）阶段性研究 成果之一。
[作者简介] 陈 昂，男，教育部考试中心，助理研究员，博士（北京 100084） 任子朝，男，教育部考试中心，研究员（北京 100084）
行思考，将试题条件与前两问结论创造性结合在一
起，最终得到我们要证明的结论。在这道试题中，
通过分步设问的方式，逐步推进，将不同知识和方法
有机整合。对知识的考查侧重理解和运用，让学生
独立思考，分析问题，研究问题，并最终解决问题。
2.3 渗透数学应用 数学的发展与社会的进步有着密切的联系，这
种联系是双向的，即一方面，数学的发展依赖于社
关键词：理性思维；数学文化；高考；数学应用
【中图分类号】 G405 【文献标识码】 A 【文章编号】 1005-8427(2015）03-0010-5
1 数学文化的内涵
近些年来，人们对数学的内在价值和认识不断 突破发展，对由此产生的数学文化研究更是得到了 国内外数学家、教育家的关注。李大潜院士曾提 出：“数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基 础。它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要 的推动作用，占有举足轻重的地位。”[1]课程标准中 也提出要了解数学在人类文明发展中的作用，逐步 形成正确的数学观，提倡体现数学的文化价值。[2]
例 5：已知函数 f (x) = ex - e-x - 2x 。 （Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性； （Ⅱ）设 g(x) = f (2x) - 4bf (x) ，当 x > 0 时，g(x) > 0 ， 求 b 的最大值； （Ⅲ）已知 1.414 2 < 2 < 1.414 3 ，估计 ln 2 的 近似值（精确到 0.001）。 独立思考指的是敢于冲破习惯思维的束缚打 破常规去思考问题，运用判断、归纳、演绎、比较、概 括等方法辩证地讨论问题的各个影响因素，提出研 究问题的新思路和方法步骤，或者提出新的观点、
其中《九章算术》便是其中的代表作。这些中国古
代数学名著是我们的丰富宝库，是灿烂悠久的中华
文明的重要组成部分。中国古代数学遵循“经世致
用”，涉及的研究大多与实际生活、生产结合紧密，
具有浓厚的实际背景，其体现出明显的问题式、综 合性和算法化的特征。这样设计的试题，考查中学 立体几何中空间几何体部分的重要知识与算法结 合在一起进行考查，既符合考生的认知水平，又可 以引导考生关注中华传统文化。 2.2 渗透数学精神
包括数学家生平故事，数学史事件，数学名著，数学
名题，数学发展的历史等。以数学史为试题情景材
料，可以引导中学生理解数学、培养学习数学的兴
趣起到积极的推动作用；可以让学生感受数学家的
崇高品质以及探究解决数学问题的过程；可以弘扬
中国优秀传统文化，并使潜移默化增加学生的爱国
主义情感。
例 1：我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆
看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图
看，哪种药的疗效更好？
A药
B药
0 1 2 3
合理安排试验以获取多个样本，并对多个样本 进行比较，以对所考查的问题作出统计结论是统计 学中常见的问题，也是生产和生活中经常遇到的问 题。对两样本的比较方法有多种，在中学阶段所学 的统计知识中，可以用直方图、茎叶图作出直观的 比较，也可以通过计算平均数、标准差等作出初步 判断，还可以用列联表的独立性检验方法作出统计
3 思考及建议
11 China Examinations
考试招生制度改革研究
例 4：为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水 平方向在 A，B 两点进行测量。A，B，M，N 在同一个 铅垂平面内（如图 1 所示）。飞机能够测量的数据有 俯角和 A，B 间的距离。 请设计一个方案，包括：①指 出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； ②用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤。
A
B
M
N
图1
试题以“不可到达两点”的距离测量为素材，要 求考生对解题策略、方法进行探究。题目没有像传 统的三角测量题目一样给出测量的方法和测量到 的数值，要求考生用公式进行计算，而是给出了飞 机航测可以测量的基本数据，为考生创设一个主动 探究的学习环境。要求考生对测量的要求有整体 的把握和通盘的考虑，设计测量和计算的方案，然 后自己确定需要测量的数据，并且可以利用这些数 据和三角知识计算两点间的距离。学生通过自主 操作和合情推理提出猜想，通过演绎推理证实或证 伪猜想。
考试招生制度改革研究
突出理性思维 弘扬数学文化
——数学文化在高考试题中的渗透
陈 昂 任子朝
摘要：数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断 探索、形成的数学史，数学精神及其应用。高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学 文化。通过这种渗透，有效促进学生理性思维的发展。
数学文化是数学史、数学与文化学、社会学的 交叉学科。[3]关于数学文化概念界定的文章较多， 黄秦安认为数学文化可以表述为以数学科学为核 心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相 关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能 的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各 种文化对象[4]。郑毓信等对数学文化的定义还有另 外一种解释，“即一种由职业因素联系起来的特殊
例 7：为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为
A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用 A 药，
20 位患者服用 B 药，这 40 位患者在服用一段时间
后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）。试
验的观测结果如下：
服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
的解决需要能把 ex + e-x 看做一个整体，之后通过解
不等式，从而得到 b 的最大值。第（Ⅲ）问给出 2
的近似值，要求估计 ln 2 的近似值。
从试题本身上来看，前两问与第（Ⅲ）问之间貌
似并无直接联系，在解第（Ⅲ）问时，若直接利用前
面结果，不借助 2 的近似值，直接估计 ln 2 的近似
值，但估计的精度不够理想，这时需要我们重新进
的试题情境，要求学生能够利用所学数学知识分
析、解决实际生活、生产中的问题。
例 6：某地区空气质量监测资料表明，一天的空
气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概
率是 0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天
的空气质量为优良的概率是
（A）0.8
（B）0.75
12 中国考试
2015 年第 3 期
例 3：（Ⅰ）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面 积的最小值；