合肥工业大学第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0

lim(13)

x x x →+= ．

2、设2

arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2

x e

-，则()________xf x dx '=⎰

．

4、曲线x

e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e

θ

=从0=θ至2

π

θ=

的一段弧长=l ____________．

二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，3

1x +与3(1)x +为（）

(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小

(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小

2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）

(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -

3、设()f x 在0x =处连续，且0()

lim 11cos x f x x

→=-，则在点0x =处（ ）

． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值

4、下列广义积分发散的是（ ）

(A)

1

+∞

⎰

111sin dx x -⎰ (C) 221ln dx x x +∞⎰ (D) 2

x xe dx +∞--∞⎰ 5、曲线2

2

11x x e y e

--+=

-（）

(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线

(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1、22

211

1lim (

)2n n n n n n ππ

π

→∞

++++++． 2、)cos 1)(1(1

cos

sin 3lim 20x e x x x x

x +---→． 3、求sin (0)x

y x

x =>的导数()y x '． 4、已知()2

ln 1,arctan ,

x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求

22d d ,d d y y

x x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪

=⎨<⎪+⎩，求20

(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()220

2

1cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,x

x x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪

==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．

五、（本题满分10分）设曲线2

x

e y =，切线2

e

y x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .

六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11

ln ≥+

x

x . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），

且0)1()0(==f f ，

证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．