高中数学思想专题讲座-整体的思想方法

高中数学思想专题讲座

---整体的思想方法

一、知识要点概述

解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．但思考方法并非对所有题目都适用，它常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法．

在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。

高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。

二、解题方法指导

1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。

2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。

3．运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。

三、整体的思想方法主要表现形式

1、整体补形

【例1】甲烷分子（CH4）由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中

图1 A

B C A’ B’ D’

D

心，它与每个氢原子的距离都相等．若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a ，求碳原子到各个氢原子的距离．

思路：透过局部→整体补形→构建方程 解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上．如图，将此四面体ABCD 补成正方体BD’，其中A’，B’，D’也在球面上．设碳原子到每个氢原子的距离为x ，则2x= BD’，BD’、AB （a ）、AA’之间的关

系是a=AB=

2AA’，2x=BD’=3AA’，因此，2x=，23a ⋅a x 4

6=∴．即碳原子到各个氢原子的距离为a 4

6． 评注：这里，我们将一个正四面体补成一个正方体，则

正四面体的中心与各顶点的距离与正四面体棱长通过正方体的棱长搭桥立即建立联系，局部问题便在正方体这个整体

内快速获解，体现了整体补形较高的思维价值．在立几中，

我们常常将四面体补成正四面体或平行六四面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的三棱锥（或四面体）补成长方体、四棱锥补成平行六面体，等等．近几年的高考题或高考模拟题中，经常出现这类问题，试题常常以选择题、填空题的形式出现，具有一定的创新性．复习中大家要注意总结这种问题的补形规律，力争在高考中速战速决．

【例2】、如图2，已知三棱锥子P —ABC ，

234,10,241PA BC PB AC PC AB ======，则三棱锥子P —ABC 的体积为（ ）。4080160240A

B C D

分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。

解析：如图3所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：

2222

221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩

，从而知 41

681046810160

6

P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEB V V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=2、整体展开

【例3】有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，求包装纸的最小边长．

图5 S 3

S 1

S 2

S 4

D A

B

C

A B

C

S D 图4

思路：整体展开→化归平几→面积覆盖

解：将图4中的正四棱锥整体展开，变为图5中的平面图形，问题则转化为求一个最小的正方形将图5完全覆盖．顺次连结图5中的S 1，S 2，S 3，S 4，易证S 1S 2S 3S 4，为正方形，且为将图5完全包住的最小

的正方形．于是其边长为： a

a a a a a 26

22

3132150cos 20222+=⋅+=

⋅+=-+． 故包装纸的最小边长为

a 2

62+．

评注：为研究立体图形的某些特性，如表面积问题、沿表面行走路径最短问题、包装问题、剪裁问题、制作 问题等等，我们常常视立体图图5形为一个整体，将其

展开，变为平面图形，通过对平面图形的研究达到解决立几问题的目的．近几年的高考，加大了对这种解题思想方法的考查力度，试题常常以现实生活为背景，设计新颖，能有效考查学生的空间想象能力和综合能力．对此大家应引起重视．

3、整体补式

【例4】、求sin 2

200

+cos 2

500

+sin200

cos500

的解。

解：令A= sin 2200+cos 2500+sin200cos500

B= cos 2200+ sin 2500+ cos 200 sin 50

则A+B=2+sin700

………①

A-B= -

070sin 2

1

- ………② ①+②得A=43，故原式=

43

4、整体构形

【例5】、已知 x,y,z ),1,0(∈求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1

分析：观察到：x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘积式，联想到用面积公式。

证明：如图6，构造正三角形，则S △ABD +S △EFC +S △BDF =

2

1x(1-y)sin600

+ 21y(1-z) )sin600+ 21z(1-x) )sin600

1×1×1×sin600

<1，故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1。

5、整体代换

【例6】、已知2

2

sin sin =

+y x ，求cosx+cosy 的取值范围。 图6