常微分方程的数值解法(欧拉法、改进欧拉法、泰勒方法和龙格库塔法)
常微分方程数值解法-欧拉法、改进欧拉法与四阶龙格库塔法常微分方程数值解法
y( xn1)
y( xn
Байду номын сангаас
h)
y(xn )
hy'( xn )
h2 2!
y''( )
进一步: 令
h2 y( xn ) hy'( xn ) 2! y''( xn )
常微分方 yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
程数值解
法-欧拉法 yn1 yn hf ( xn , yn ) h2
、改进欧 y( xn1 ) yn1
2
max y''( x)
a xb
拉法和四
三、Euler方法
已 知 初 值 问 题 的 一 般 形式 为:
dy
dx
f (x, y)
a xb
(1)
y( x0 ) y0
常微分方 用差商近似导数 程数值解 问题转化为
yn1 yn dy
h
dx
法-欧拉法 yn1 yn hf ( xn , yn )
法-欧 y(拉0) 法1
、改进欧
拉法和四
四、几何意义
由 x0 , y0 出发取解曲线 y yx 的切线（存在！），则斜率
dy
f x0, y0
dx x y
,
0
0
常微分方 由于 f x0, y0 及 x0, y0 已知，必有切线方程。
由点斜式写出切程线方数程：值解
法、-改欧进拉欧法 ddxy y y0 x x0
常微分方 程数值解 能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,
而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达
法-欧拉法 式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
数值分析常微分方程的数值解法
《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导14 常微分方程的数值解法一、重点内容 1. 欧拉公式：),...,,,(),()(1-210=⎩⎨⎧+=+=≈01+1+n k kh x x y x hf y y x y kk k k k k局部截断误差是O (h 2)。
2. 改进欧拉公式：预报－校正公式：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(1111k k k k k k k k k k y x f y x f hy y y x hf y y 校正值预报值即 ))],(,(),([211k k k k k k k k y x hf y x f y x f hy y +++=++ 或表成平均的形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+21=+=+=1+1+)(),(),(c p k p k k c k k k p y y y y x hf y y y x hf y y改进欧拉法的局部截断误差是O (h 3)3. 龙格－库塔法二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 3) 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 4) 四阶龙格−库塔法公式： )22(643211κκκκ++++=+hy y k k其中 κ1=f (x k ,y k )；κ2=f (x n +12h ，y k +21h κ1)；κ3=f (x k +12h ，y n +21h κ2)；κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O (h 5)。
二、实例例1 用欧拉法解初值问题⎩⎨⎧1=060≤≤0--='2)().(y x xy y y ，取步长h =0.2。
计算过程保留4位小数。
解h =0.2, f (x )=－y －xy 2。
首先建立欧拉迭代格式),,)((.),(210=-420=--=+=21+k y x y y hx hy y y x hf y y k k k kk k k k k k k当k =0，x 1=0.2时，已知x 0=0,y 0=1，有y (0.2)≈y 1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000当k ＝1，x 2=0.4时，已知x 1=0.2, y 1=0.8，有 y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k =2，x 3=0.6时，已知x 2=0.4,y 2=0.6144，有 y (0.6)≈y 3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题⎩⎨⎧1=10=++'2)(sin y x y y y ，取步长h =0.2,计算y (0.2),y (0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。
常微分方程的数值解法(欧拉法、改进欧拉法、泰勒方法和龙格库塔法)
［例1］用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题h 的数值解。
在区间[0,1]上取0.1［解］欧拉方法的计算公式为x0=0;y0=1;x(1)=0.1;y(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);y(n+1)=y(n)+0.1*2*x(n)/(3*y(n)^2);end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 Columns 9 through 101.2028 1.2443改进的欧拉方法其计算公式为本题的精确解为()y x=x0=0;y0=1;ya(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);y(1)=y0+0.05*(2*x0/(3*y0^2)+2*x0/(3*ya^2));for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);ya(n+1)=ya(n)+0.1*2*x(n)/(3*ya(n)^2);y(n+1)=y(n)+0.05*(2*x(n)/(3*y(n)^2)+2*x(n+1)/(3*ya(n+1)^2));end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0099 1.0261 1.0479 1.0748 1.1059 1.1407 1.1783 Columns 9 through 101.2183 1.2600［例2］用泰勒方法解x＝0.1, 0.2, …, 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。
MATLAB常微分方程数值解——欧拉法、改进的欧拉法与四阶龙格库塔方法
MATLAB常微分⽅程数值解——欧拉法、改进的欧拉法与四阶龙格库塔⽅法MATLAB常微分⽅程数值解作者：凯鲁嘎吉 - 博客园1.⼀阶常微分⽅程初值问题2.欧拉法3.改进的欧拉法4.四阶龙格库塔⽅法5.例题⽤欧拉法，改进的欧拉法及4阶经典Runge-Kutta⽅法在不同步长下计算初值问题。
步长分别为0.2,0.4,1.0.matlab程序：function z=f(x,y)z=-y*(1+x*y);function R_K(h)%欧拉法y=1;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K=f(x,y);y=y+h*K;fprintf('欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%改进的欧拉法y=1;fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h,y+h*K1);y=y+(h/2)*(K1+K2);fprintf('改进的欧拉法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);endfprintf('\n');%龙格库塔⽅法y=1;fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',0,1);for i=1:1/hx=(i-1)*h;K1=f(x,y);K2=f(x+h/2,y+(h/2)*K1);K3=f(x+h/2,y+(h/2)*K2);K4=f(x+h,y+h*K3);y=y+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);fprintf('龙格库塔法：x=%f, y=%f\n',x+h,y);end结果：>> R_K(0.2)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.200000, y=0.800000欧拉法：x=0.400000, y=0.614400欧拉法：x=0.600000, y=0.461321欧拉法：x=0.800000, y=0.343519欧拉法：x=1.000000, y=0.255934改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.200000, y=0.807200改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.636118改进的欧拉法：x=0.600000, y=0.495044改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.383419改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.296974龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.200000, y=0.804636龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631465龙格库塔法：x=0.600000, y=0.489198龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377225龙格库塔法：x=1.000000, y=0.291009>> R_K(0.4)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=0.400000, y=0.600000欧拉法：x=0.800000, y=0.302400改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=0.400000, y=0.651200改进的欧拉法：x=0.800000, y=0.405782龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=0.400000, y=0.631625龙格库塔法：x=0.800000, y=0.377556>> R_K(1)欧拉法：x=0.000000, y=1.000000欧拉法：x=1.000000, y=0.000000改进的欧拉法：x=0.000000, y=1.000000改进的欧拉法：x=1.000000, y=0.500000龙格库塔法：x=0.000000, y=1.000000龙格库塔法：x=1.000000, y=0.303395注意：在步长h为0.4时，要将for i=1:1/h改为for i=1:0.8/h。
常微分方程的数值求解
常微分方程的数值求解在数学中，常微分方程是一类重要的数学模型，通常用来描述物理、化学、生物等自然现象中的变化规律。
对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法进行求解，这时候就需要借助数值方法来近似求解。
本文将介绍常微分方程的数值求解方法及其应用。
一、数值求解方法常微分方程的数值求解方法主要包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法是最简单也是最常用的数值求解方法，其基本思想是根据微分方程的导数近似求解下一个时间步上的解，并通过逐步迭代来得到整个解的数值近似。
改进的欧拉法在欧拉法的基础上做出了一定的修正，提高了数值求解的精度。
而龙格-库塔法则是一种更加精确的数值求解方法，通过考虑多个点的斜率来进行求解，从而减小误差。
二、应用领域常微分方程的数值求解方法在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
在物理学中，通过数值求解微分方程可以模拟天体运动、粒子运动等现象；在生物学领域，可以模拟生物种群的增长和变化规律；在工程领域，可以通过数值求解微分方程来设计控制系统、优化结构等。
三、实例分析以一个简单的一阶常微分方程为例：dy/dx = -y，初始条件为y(0) = 1。
我们可以用欧拉法来进行数值求解。
将时间间隔取为0.1，通过迭代计算可以得到y(1)的近似值为0.367。
而利用改进的欧拉法或者龙格-库塔法可以得到更加精确的数值近似。
这个例子展示了数值方法在解决微分方程问题上的有效性。
四、总结常微分方程是求解自然界中变化规律的重要数学工具，而数值方法则是解决一些难以解析求解的微分方程的有效途径。
通过本文的介绍，读者可以了解常微分方程的数值求解方法及其应用，希望可以对相关领域的研究和实践有所帮助。
至此，关于常微分方程的数值求解的文章正文部分结束。
常微分方程组数值解法
常微分方程组数值解法一、引言常微分方程组是数学中的一个重要分支，它在物理、工程、生物等领域都有广泛应用。
对于一些复杂的常微分方程组，往往难以通过解析方法求解，这时候数值解法就显得尤为重要。
本文将介绍常微分方程组数值解法的相关内容。
二、数值解法的基本思想1.欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，它的思想是将时间连续化，将微分方程转化为差分方程。
对于一个一阶常微分方程y'=f(x,y)，其欧拉公式为：y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)其中h为步长，x_n和y_n为第n个时间点上x和y的取值。
2.改进欧拉法改进欧拉法是对欧拉法的改良，其公式如下：y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_n+hf(x_n,y_n))] 3.四阶龙格-库塔方法四阶龙格-库塔方法是目前最常用的数值解法之一。
其公式如下：k_1=f(x_n,y_n)k_2=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_1)k_3=f(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_2)k_4=f(x_n+h,y_n+hk_3)y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)其中，k_i为中间变量。
三、常微分方程组的数值解法1.欧拉法对于一个二阶常微分方程组：\begin{cases} y'_1=f_1(x,y_1,y_2) \\ y'_2=f_2(x,y_1,y_2)\end{cases}其欧拉公式为：\begin{cases} y_{n+1,1}=y_{n,1}+hf_1(x_n,y_{n,1},y_{n,2}) \\y_{n+1,2}=y_{n,2}+hf_2(x_n,y_{n,1},y_{n,2}) \end{cases}其中，x_n和y_{n,i}(i=1, 2)为第n个时间点上x和y_i的取值。
常微分方程与数值解法
常微分方程与数值解法数学是自然界中最美丽的语言之一，常微分方程是数学中的一个重要分支。
常微分方程是研究随着时间推移而发生的连续变化的数学模型，是许多科学领域的数学基础，如物理学、天文学、生物学、化学、经济学等。
通过对微分方程的求解，我们可以预测未来的变化和趋势，制定相应的政策措施和科学研究方向。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中y为未知函数，x为自变量，f(x,y)是已知函数，称为方程的右端函数。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是指求解微分方程时需要给出一个特定的初值y(x)=y0，边值问题是指给出方程在一些点的值，而求出未知函数在整个区间上的值。
二、常微分方程的解法常微分方程有许多解法，例如分离变量法、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程、变量分离法等。
其中，变量分离法是最基本和最重要的方法之一。
变量分离法的基本思想是将微分方程的未知函数y和自变量x分开，变成dy/g(y)=f(x)dx的形式，然后对两边进行积分。
三、数值解法的发展与应用数值解法是通过数值计算来求解微分方程的，它主要包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
欧拉法最简单、最基本，但精度较低，适用于解决一些简单的微分方程。
改进欧拉法和龙格-库塔法则精度更高，适用于解决较为复杂的微分方程。
数值解法在科学技术中的应用广泛，如气象学、环境保护、物理学、化学等。
以生态学为例，许多生态系统的动态变化可以用微分方程描述，如种群增长、捕食捕获、竞争关系等。
数值解法可以在一定程度上预测未来的生态状态，有助于制定相应的生态保护措施。
四、结论在现代科学技术中，微分方程和数值解法已经成为不可或缺的工具之一。
通过微分方程的求解，可以预测未来的变化和趋势，制定相应的政策措施和科学研究方向。
数值解法则更加精细和灵活，能够解决更为复杂的微分方程，广泛应用于各个领域。
因此，学习微分方程和数值解法，不仅是数学爱好者的追求，更是科学技术工作者不可或缺的技能。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
常微分方程数值解欧拉方法
yn1
yn
h 2
f (xn , yn ) f ( xn1, yn1)
yn1 yn hf ( xn , yn )
yn1
yn
h 2
f (xn , yn ) f ( xn1, yn1)
也叫预报-校正公式 改进的欧拉公式
例6.1 欧拉公式求解
f(0,0)的处理（也可以 理解为一种近似）
表6-1 图6-1 本身有解析解，可与
想求（近似的）y，但等式的等号左右都有：隐式
还有一种隐式：积分用梯形公式
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
xn1 f (x, y(x))dx h
xn
2
f (xn , y(xn )) f (xn1, y(xn1))
y( xn1)
y(xn )
h
2
f
( xn ,
6 常微分方程数值解法
常微分方程 欧拉方法 龙格-库塔方法
引子
人口模型（看书上） 人口理论
一阶常微分方程的初值问题 数值解：离散点上的近似值
一阶线性常微分方程初值问题
dy
f
(x,
y)
dx
y(x0 ) y0
a xb
数值方法的基本思想 连续 离散 在解的存在区间上取n + 1个节点
xn1 dydx xn1 f (x, y(x))dx
xn dx
xn
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
（1）显式差分格式
y(xn1) y(xn )
xn1 f (x, y(x))dx
xn
左矩形公式
xn1 xn
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较龙格库塔法和欧拉法是求解微分方程常用的数值方法。
它们都是通过离散化来近似求解连续的微分方程，但在精度和稳定性等方面存在一些差异。
我们来看一下欧拉法。
欧拉法是一种简单的数值方法，它通过将微分方程中的导数进行离散化来近似求解。
具体而言，欧拉法使用泰勒展开式将导数近似为差商，然后通过迭代的方式求解微分方程。
欧拉法的优点是简单易懂，计算速度快，但它的缺点也很明显，即精度低。
因为欧拉法只使用了一阶导数的信息，忽略了高阶导数的贡献，所以它的近似误差较大。
相比之下，龙格库塔法是一种更为精确的数值方法。
它通过对微分方程的积分进行逐步逼近，从而得到更精确的解。
龙格库塔法的基本思想是利用不同阶的差商来近似积分，从而得到更高阶的逼近解。
龙格库塔法的优点是精度高，收敛速度快，适用于各种类型的微分方程。
但是，龙格库塔法的计算量相对较大，需要进行多次迭代计算，所以在实际应用中可能会耗费一定的时间和计算资源。
总的来说，龙格库塔法相对于欧拉法来说是一种更为精确和稳定的数值方法。
它能够提供更精确的解，并且适用于各种类型的微分方程。
然而，在一些简单的问题中，欧拉法可能仍然是一个可行的选择，因为它简单易懂，计算速度快。
当我们在实际问题中遇到微分方程时，我们可以根据问题的特点选择合适的数值方法来求解。
如果我们追求更高的精度和稳定性，那么龙格库塔法是一个不错的选择。
但如果我们对精度要求不高，或者问题相对简单，那么欧拉法也可以作为一个快速且简单的解决方案。
需要指出的是，除了龙格库塔法和欧拉法，还有许多其他的数值方法可以用于求解微分方程。
每种方法都有其优缺点，我们需要根据具体的问题和求解要求来选择合适的方法。
在实际应用中，我们也可以结合多种方法来求解微分方程，以提高求解的精度和效率。
龙格库塔法和欧拉法是求解微分方程常用的数值方法。
它们在精度和稳定性等方面存在一些差异，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解。
欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题
欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法求解初值问题简介通过求解简单的初值问题：dudx =f (x ,u )(1)u (x 0)=u 0(2)引⼊欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
前期准备数值解法的基本思想就是先对x 和u(x)在区间[x0,∞)上进⾏离散化，然后构造递推公式，再进⼀步得到u(x)u(x) u(x)u(x)u(x)u(x)在这些位置的近似取值。
取定步长h ，令x n =x 0+nh (n =±1,±2,⋯)得到离散的位置：x 1,x 2,⋯,x n ,u(x)在这些点精确取值为：u (x 1),u (x 2),⋯,u (x n )利⽤数值解法得到的这些点的近似取值，u 1,u 2,⋯,u n欧拉法欧拉法的核⼼就是将导数近似为差商。
将导数近似为向前差商，则有：du dxx =x n≈u x n +1−u x nh代⼊(1)式，有：u x n +1=y x n +hf x n ‖u x n⽤u n +1和 u n 代替u (x n +1)和u (x n )，得：u n +1=u n +hf x n ,u n因此，若知道u 0我们就可以递归出u 1,u 2,⋯如果将导数近似为向后差商:du dxx =x n≈u x n −u x n −1h类似的，就可以得到：u n −1=u n −hf x n ,u n这样，若知道u 0我们就可以递归出u −1,u −2⋯改进的欧拉法对(1)式在[x n ,x n +1]上积分，可得：u x n +1=u x n +∫xn +1x nf (x ,u )dx其中，n =0,1,⋯⽤不同⽅式来近似上式的积分运算，就会得到不同的递推公式。
若使⽤左端点计算矩形⾯积并取近似：∫x n +1x nf (x ,u )dx ≈hf x n +1,u x n +1代⼊上式得：{|()()()()(())()|()()()()()(())u n +1=u n +hf (x n ,u n )若使⽤梯形的⾯积做近似：∫x n +1x nf (x ,y )dx ≈h2f x n ,u x n+f x n +1,ux n +1得到：u n +1=u n +h2f x n ,u n +f x n +1,u n +1欧拉法虽然精度偏低，但它是显式的，可直接得到结果。
计算方法 第七章 常微分方程数值解法
7.1.1 欧拉法及其截断误差
4、欧拉公式的截断误差是O(h2)，公式是1 阶的。
因为
yi+ 1 ? yi
1
h f ( x i , y i ) = y ( x i ) + h y ¢( x i )
1 2
1
2n ) ( n y ( x ) y (( x)i 1 ) ( y i()x i ) y y ( ) ( x h i ) ( )yh ( ( x x i ) xi y x ) ( xi ) x y y 2 n! 2
y0 y( x0 )
i1 i i i
(欧拉公式)
9
7.1.1 欧拉法及其截断误差
例 取步长 h=0.1，用欧拉法求解初值问题
ì y ¢= x + y ï ï í ï y (0) = 1 ï î
y i 1 y i h f ( x i , y i ) , i 0 ,1 , 2 , y0 y( x0 )
y f ( x , y ), y( x0 ) y0
x [a , b ]
23
7.1 欧拉法和改进的欧拉法
欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i , y i ) , i 0 ,1 , 2 , y0 y( x0 )
h y i 1 y i [ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )] , i 0 ,1 , 2 , 2 y y( x ) 0 0
( p)
1.2 ? 1.24
1.528
y 2 = y 1 + 0 .1[( x1 + y 1 ) + ( x 2 + y 2 )] = 1 .2 4 + 0 .1(0 .2 + 1 .2 4 + 0 .4 + 1 .5 2 8) = 1 .5 7 6 8
常微分方程的数值解
欧拉方法的实现
确定步长和初始值
根据问题的性质和精度要求，选择合适的步长 和初始值。
迭代计算
根据欧拉方法的公式，迭代计算下一个点的值。
终止条件
当达到预设的迭代次数或误差范围时，停止迭代。
常微分方程的应用
总结词
常微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等领域有广泛应用。
详细描述
在物理学中，常微分方程可以描述物体的运动规律、电磁波的传播等；在化学中，可以描述化学反应 的动力学过程；在社会科学中，可以用于研究人口增长、经济趋势等。此外，常微分方程还在控制工 程、航空航天等领域有广泛应用。
确定步长和初始值
在应用龙格-库塔方法之前，需要 选择合适的步长和初始值。步长 决定了迭代的精度，而初始值则 用于启动迭代过程。
编写迭代公式
根据选择的步长和初始值，编写 龙格-库塔方法的迭代公式。该公 式将使用已知的函数值和导数值 来计算下一步的函数值。
迭代求解
按照迭代公式进行迭代计算，直 到达到所需的精度或达到预设的 最大迭代次数。
欧拉方法的误差分析
截断误差
由于欧拉方法只使用了微分方程的一次项， 因此存在截断误差。
全局误差
全局误差是实际解与近似解之间的最大偏差。
局部误差
由于每一步都使用了上一步的结果，因此存 在局部误差。
稳定性
欧拉方法是稳定的，但步长和初始值的选择 会影响其稳定性和精度。
04 龙格-库塔方法
龙格-库塔方法的原理
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔方法、改进的欧拉方法、预估 校正方法和步进法等。
微分方程数值解法
微分方程数值解法微分方程数值解法是一种将微分方程的解转化为数值计算的方法。
常用的微分方程数值解法包括欧拉法、隐式欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法：欧拉法是最简单的一种数值解法，它基于微分方程的定义，在给定的初始条件下，通过不断迭代计算微分方程在给定区间上的近似解。
欧拉法的迭代公式为：y_{n+1}=y_n+h\\cdot f(t_n,y_n)，其中y_n表示第n步的近似解，t_n表示第n步的时间，h表示步长，f(t_n,y_n)表示微分方程的右侧函数。
2. 隐式欧拉法：隐式欧拉法是欧拉法的改进，它在计算近似解时使用了未知公式的近似值，从而提高了精度。
隐式欧拉法的迭代公式为：y_{n+1}=y_n+h\\cdotf(t_{n+1},y_{n+1})，其中y_{n+1}表示第n+1步的近似解，t_{n+1}表示第n+1步的时间，h表示步长，f(t_{n+1},y_{n+1})表示微分方程的右侧函数。
3. 龙格-库塔法：龙格-库塔法是一种常用的高阶数值解法，它通过计算微分方程的斜率来提高精度。
最常见的是四阶龙格-库塔法，它的迭代公式为：y_{n+1}=y_n+\\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)，其中k_1=h\\cdot f(t_n,y_n)，k_2=h\\cdotf(t_n+\\frac{h}{2},y_n+\\frac{1}{2}k_1)，k_3=h\\cdotf(t_n+\\frac{h}{2},y_n+\\frac{1}{2}k_2)，k_4=h\\cdotf(t_n+h,y_n+k_3)。
这些方法的选择取决于问题的性质和精度要求。
其中，欧拉法是最简单的方法，但精度较低，龙格-库塔法精度较高，但计算量较大。
在实际应用中需要根据问题的具体情况选择合适的数值解法。
微分方程的数值解法与误差估计
微分方程的数值解法与误差估计微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解微分方程的数值方法是研究微分方程的一个重要方面，它通过数值计算来近似求解微分方程，为实际问题提供了有效的数值解。
本文将介绍微分方程的数值解法以及误差估计的相关内容。
一、欧拉方法欧拉方法是一种常见的数值解微分方程的方法。
它基于微分方程的定义，将微分方程转化为差分方程。
具体而言，对于一阶常微分方程dy/dx=f(x,y)，我们可以将其转化为差分方程(y_(i+1)-y_i)/(x_(i+1)-x_i)=f(x_i,y_i)，其中x_i和y_i分别表示第i个点的x坐标和y坐标。
然后，通过给定的初始条件y_0，可以使用迭代公式y_(i+1)=y_i+(x_(i+1)-x_i)f(x_i,y_i)来逐步计算出近似解。
然而，欧拉方法存在一定的误差。
首先，它是基于线性逼近的，因此在非线性问题上可能会产生较大的误差。
其次，由于每次迭代的误差会累积，欧拉方法的误差随着步长的增加而增加。
因此，在使用欧拉方法时需要注意选择合适的步长，以保证结果的准确性。
二、改进的欧拉方法为了克服欧拉方法的缺点，人们提出了改进的欧拉方法，如改进的欧拉法和改进的欧拉-克罗默法。
这些方法通过引入更高阶的近似公式来减小误差，并提高数值解的精度。
改进的欧拉法是通过使用中点来近似解的方法，即在每个小区间上使用中点的斜率来计算近似解。
这样做可以减小误差，并提高数值解的精度。
改进的欧拉-克罗默法是通过使用梯形法则来近似解的方法，即在每个小区间上使用梯形的斜率来计算近似解。
这种方法比改进的欧拉法更精确，但计算量也更大。
三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种常用的数值解微分方程的方法，它通过使用不同阶数的近似公式来计算近似解，并通过比较不同阶数的结果来估计误差。
其中最常用的是四阶龙格-库塔方法，也称为RK4方法。
RK4方法通过计算不同阶数的斜率来逐步逼近真实解。
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法常微分方程是研究函数的导数与自变量之间的关系的数学分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域的建模与分析。
在实际问题中，我们常常遇到无法通过解析方法求得精确解的常微分方程，因此需要利用数值解法进行求解。
本文将介绍几种常用的常微分方程数值解法。
一、欧拉方法(Euler's Method)欧拉方法是最基本的数值解法之一。
它的思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近解的方式求得数值解。
具体步骤如下：1. 将微分方程转化为差分方程：根据微分方程的定义，可以得到差分方程形式。
2. 选择步长：将自变量范围进行离散化，确定步长h。
3. 迭代计算：根据差分方程递推公式，利用前一步的数值解计算后一步的数值解。
二、改进的欧拉方法(Improved Euler's Method)改进的欧拉方法通过使用欧拉方法中的斜率来进行更准确的数值计算。
具体步骤如下：1. 计算欧拉方法的斜率：根据当前节点的数值解计算斜率。
2. 根据斜率计算改进的数值解：将得到的斜率代入欧拉方法的递推公式中，计算改进的数值解。
三、龙格-库塔方法(Runge-Kutta Method)龙格-库塔方法是一类常微分方程数值解法，其中最著名的是四阶龙格-库塔方法。
它通过计算各阶导数的加权平均值来逼近解，在精度和稳定性方面相对较高。
具体步骤如下：1. 计算每一步的斜率：根据当前节点的数值解计算每一步的斜率。
2. 计算权重：根据斜率计算各个权重。
3. 计算下一步的数值解：根据计算得到的权重，将其代入龙格-库塔方法的递推公式中，计算下一步的数值解。
四、多步法(多步差分法)多步法是需要利用多个前面节点的数值解来计算当前节点的数值解的数值方法。
常见的多步法有Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。
具体步骤如下：1. 选择初始值：根据差分方程的初始条件，确定初始值。
2. 迭代计算：根据递推公式，利用前面节点的数值解计算当前节点的数值解。
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较
龙格库塔法和欧拉法求解微分方程的比较龙格库塔法和欧拉法是数值解微分方程常用的两种方法，它们在求解微分方程时具有不同的特点和优劣势。
本文将对这两种方法进行比较，分析其适用范围和数值稳定性，并结合实例说明其应用。
龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种经典的数值解微分方程的方法，可以较为精确地求解一阶或高阶的常微分方程。
其核心思想是将微分方程转化为一组差分方程，通过迭代计算逼近真实解。
龙格库塔法的主要特点是精度较高，可以达到四阶甚至更高的精度。
它的基本思路是通过计算初始点和中间点的斜率来估计下一个点的值，从而逼近真实解。
因此，龙格库塔法的计算量较大，但精度较高，适用于需要较高精度的求解问题。
欧拉法（Euler method）是最简单常用的数值解微分方程的方法，可以求解一阶常微分方程。
欧拉法的核心思想是将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算逼近真实解。
欧拉法的主要特点是简单易实现，计算量较小。
它的基本思路是根据初始点处的斜率来估计下一个点的值，从而逼近真实解。
然而，欧拉法的精度较低，只有一阶精度，容易积累较大的误差。
因此，欧拉法适用于对精度要求不高的简单求解问题。
对比龙格库塔法和欧拉法的特点，可以得出以下结论：1.精度比较：龙格库塔法的精度较高，可以达到四阶或更高的精度；而欧拉法的精度较低，只有一阶精度。
因此，在对精度要求较高的情况下，应优先选择龙格库塔法。
2.计算量比较：龙格库塔法的计算量较大，需要计算多个中间点的斜率；而欧拉法的计算量较小，只需要计算一个初始点的斜率。
因此，在计算量要求较高的情况下，可以选择欧拉法。
3.数值稳定性比较：龙格库塔法具有较好的数值稳定性，可以适应较大的步长；而欧拉法的数值稳定性较差，需要选取较小的步长才能保证结果的稳定性。
因此，在数值稳定性要求较高的情况下，应优先选择龙格库塔法。
下面通过一个具体的例子来说明龙格库塔法和欧拉法的应用。
假设有一个一阶常微分方程 dy/dx = x + y，初始条件为 y(0) = 1。
第8章 常微分方程数值解法 本章主要内容： 1.欧拉法
第8章 常微分方程数值解法本章主要内容：1．欧拉法、改进欧拉法. 2．龙格-库塔法。
3．单步法的收敛性与稳定性。
重点、难点一、微分方程的数值解法在工程技术或自然科学中，我们会遇到的许多微分方程的问题，而我们只能对其中具有较简单形式的微分方程才能够求出它们的精确解。
对于大量的微分方程问题我们需要考虑求它们的满足一定精度要求的近似解的方法，称为微分方程的数值解法。
本章我们主要讨论常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(yx y y x f dx dy的数值解法。
数值解法的基本思想是：在常微分方程初值问题解的存在区间[a,b]内，取n+1个节点a=x 0＜x 1＜…＜x N =b （其中差h n = x n –x n-1称为步长，一般取h 为常数，即等步长），在这些节点上把常微分方程的初值问题离散化为差分方程的相应问题，再求出这些点的上的差分方程值作为相应的微分方程的近似值（满足精度要求）。
二、欧拉法与改进欧拉法欧拉法与改进欧拉法是用数值积分方法对微分方程进行离散化的一种方法。
将常微分方程),(y x f y ='变为()*+=⎰++11))(,()()(n xn x n n dtt y t f x y x y1．欧拉法（欧拉折线法）欧拉法是求解常微分方程初值问题的一种最简单的数值解法。
欧拉法的基本思想：用左矩阵公式计算（＊）式右端积分，则得欧拉法的计算公式为：Nab h N n y x hf y y n n n n -=-=+=+)1,...,1,0(),(1 欧拉法局部截断误差11121)(2++++≤≤''=n n n n n x x y h R ξξ或简记为O （h 2）。
我们在计算时应注意欧拉法是一阶方法，计算误差较大。
欧拉法的几何意义：过点A 0（x 0，y 0），A 1（x 1，y 1），…，A n （x n ，y n ），斜率分别为f （x 0，y 0），f （x 1，y 1），…，f （x n ，y n ）所连接的一条折线，所以欧拉法亦称为欧拉折线法。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。
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［例1］用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题
h 的数值解。
在区间[0,1]上取0.1
［解］欧拉方法的计算公式为
x0=0;
y0=1;
x(1)=0.1;
y(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);
for n=1:9
x(n+1)=0.1*(n+1);
y(n+1)=y(n)+0.1*2*x(n)/(3*y(n)^2);
end;
x
y
结果为
x =
Columns 1 through 8
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 10
0.9000 1.0000
y =
Columns 1 through 8
1.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 Columns 9 through 10
1.2028 1.2443
改进的欧拉方法其计算公式为
本题的精确解为()
y x=
x0=0;
y0=1;
ya(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);
y(1)=y0+0.05*(2*x0/(3*y0^2)+2*x0/(3*ya^2));
for n=1:9
x(n+1)=0.1*(n+1);
ya(n+1)=ya(n)+0.1*2*x(n)/(3*ya(n)^2);
y(n+1)=y(n)+0.05*(2*x(n)/(3*y(n)^2)+2*x(n+1)/(3*ya(n+1)^2));
end;
x
y
结果为
x =
Columns 1 through 8
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 10
0.9000 1.0000
y =
Columns 1 through 8
1.0000 1.0099 1.0261 1.0479 1.0748 1.1059 1.1407 1.1783 Columns 9 through 10
1.2183 1.2600
［例2］用泰勒方法解
x＝0.1, 0.2, …, 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。
分别用二阶、四阶泰勒方法计算点n
解：二阶泰勒方法
对于本题
故
使用excel表格进行运算，相应结果如下
x0=0;
y0=1;
y(1)=y0+0.1/(3*y0^2)*(2*x0+0.1*(1-4*x0^2/(3*y0^3)));
for n=1:9
x(n+1)=0.1*(n+1);
y(n+1)=y(n)+0.1/(3*y(n)^2)*(2*x(n)+0.1*(1-4*x(n)^2/(3*y(n)^3)));
end;
x
y
结果为
x =
Columns 1 through 9
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000
Column 10
1.0000
y =
Columns 1 through 9
1.0033 1.0132 1.0293 1.0510 1.0776 1.1084 1.1427 1.1799 1.2193
Column 10
1.2606
四阶泰勒方法
x0=0;
y0=1;
ya0=2*x0/(3*y0^2);%%一阶导数
yb0=2/(3*y0^2)-8*x0^2/(9*y0^5);%%二阶导数
yc0=-4*x0/(3*y0^5)-80*x0^3/(27*y0^8);%%三阶导数
yd0=-4/(3*y0^5)+40*x0^2/(3*y0^8)-1280*x0^4/(81*y0^11);%%四阶导数
x(1)=0.1;
y(1)=y0+0.1*ya0+0.01/2*yb0+0.001/6*yc0+0.0001/24*yd0; ya(1)=2*x(1)/(3*y(1)^2);%%一阶导数
yb(1)=2/(3*y(1)^2)-8*x(1)^2/(9*y(1)^5);%%二阶导数
yc(1)=-4*x(1)/(3*y(1)^5)-80*x(1)^3/(27*y(1)^8);%%三阶导数
yd(1)=-4/(3*y(1)^5)+40*x(1)^2/(3*y(1)^8)-1280*x(1)^4/(81*y(1)^11);%%四阶导数 for n=1:9
x(n+1)=0.1*(n+1);
y(n+1)=y(n)+0.1*ya(n)+0.01/2*yb(n)+0.001/6*yc(n)+0.0001/24*yd(n); ya(n+1)=2*x(n+1)/(3*y(n+1)^2);%%一阶导数
yb(n+1)=2/(3*y(n+1)^2)-8*x(n+1)^2/(9*y(n+1)^5);%%二阶导数
yc(n+1)=-4*x(n+1)/(3*y(n+1)^5)-80*x(n+1)^3/(27*y(n+1)^8);%%三阶导数
yd(n+1)=-4/(3*y(n+1)^5)+40*x(n+1)^2/(3*y(n+1)^8)-1280*x(n+1)^4/(81*y(n+1)^11);%%四阶导数 end ; x
Y 结果为 x =
Columns 1 through 8
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 10 0.9000 1.0000 y =
Columns 1 through 8
1.0033 1.0132 1.0292 1.0508 1.0773 1.1081 1.1423 1.1793 Columns 9 through 10
1.2187 1.2598 ［例3］用标准四阶R －K 方法求
在区间[0, 1]上，
0.1h =的数值解以及在区间[1, 10]上，1=h 的数值解，并与精确解
进行比较。
解：对于本题
使用excel 表格进行运算，相应结果如下
x0=0;
y0=1;
k10=2*0.1*x0/(3*y0^2);
k20=2*0.1*(x0+0.05)/(3*(y0+k10/2)^2);
k30=2*0.1*(x0+0.05)/(3*(y0+k20/2)^2);
k40=2*0.1*(x0+0.1)/(3*(y0+k30)^2);
x(1)=0.1;
y(1)=y0+(k10+2*k20+2*k30+k40)/6;
k1(1)=2*0.1*x(1)/(3*y(1)^2);
k2(1)=2*0.1*(x(1)+0.05)/(3*(y(1)+k1(1)/2)^2);
k3(1)=2*0.1*(x(1)+0.05)/(3*(y(1)+k2(1)/2)^2);
k4(1)=2*0.1*(x(1)+0.1)/(3*(y(1)+k3(1))^2);
for n=1:9
x(n+1)=0.1*(n+1);
y(n+1)=y(n)+(k1(n)+2*k2(n)+2*k3(n)+k4(n))/6;
k1(n+1)=2*0.1*x(n+1)/(3*y(n+1)^2);
k2(n+1)=2*0.1*(x(n+1)+0.05)/(3*(y(n+1)+k1(n+1)/2)^2);
k3(n+1)=2*0.1*(x(n+1)+0.05)/(3*(y(n+1)+k2(n+1)/2)^2);
k4(n+1)=2*0.1*(x(n+1)+0.1)/(3*(y(n+1)+k3(n+1))^2);
end;
x
y
结果为
x =
Columns 1 through 8
0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 10
0.9000 1.0000
y =
Columns 1 through 8
1.0033 1.0132 1.0291 1.0507 1.0772 1.1079 1.1422 1.1793 Columns 9 through 10
1.2187 1.2599。