fortran下欧拉法求解常微分方程(实例)
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1. Euler 公式
100(,)()
i i i i y y hf x y y y x +=+⎧⎨=⎩ 实例：
，00(,),0,1,01f x y x y x y x =-==≤≤ 精确解为：1x y x e -=+-
程序代码：
DIMENSION x(0:20),y(0:20),z(0:20),k(0:21) DOUBLE PRECISION x,y,z,k,h,x0,y0,z0,k0,n f(x,y)=x-y
n=20
h=1/n
x(0)=0
y(0)=0
DO i=0,n-1
y(i+1)=y(i)+f(x(i),y(i))*h
x(i+1)=x(i)+h
ENDDO
k(0)=0
DO i=0,n
z(i)=k(i)+exp(-k(i))-1
k(i+1)=k(i)+h
END DO
open(10,file='1.txt')
WRITE(10,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20) WRITE(*,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20)
10 FORMAT(1x,f10.8,2x,f10.8,2x,f10.8/) END
输出结果：
0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.05000000 0.00000000 0.00122942 0.10000000 0.00250000 0.00483742 0.15000000 0.00737500 0.01070798 0.20000000 0.01450625 0.01873075 0.25000000 0.02378094 0.02880078 ⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ⎩⎨⎧=='0
0)(),(y x y y x f y
0.30000000 0.03509189 0.04081822
0.35000000 0.04833730 0.05468809
0.40000000 0.06342043 0.07032005
0.45000000 0.08024941 0.08762815
0.50000000 0.09873694 0.10653066
0.55000000 0.11880009 0.12694981
0.60000000 0.14036009 0.14881164
0.65000000 0.16334208 0.17204578
0.70000000 0.18767498 0.19658530
0.75000000 0.21329123 0.22236655
0.80000000 0.24012667 0.24932896
0.85000000 0.26812034 0.27741493
0.90000000 0.29721432 0.30656966
0.95000000 0.32735361 0.33674102
1.00000000 0.35848593 0.36787944
2. 改进的Euler公式
求解上例同一个微分方程
程序代码：
DIMENSION x(0:20),y(0:20),z(0:20),k(0:21) DOUBLE PRECISION x,y,z,k,h,x0,y0,z0,k0,n
f(x,y)=x-y
n=20
h=1/n
x(0)=0
y(0)=0
DO i=0,n-1
x(i+1)=x(i)+h
y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i))
y(i+1)=y(i)+(f(x(i),y(i))+f(x(i+1),y(i+1)))*h/2 ENDDO
k(0)=0
DO i=0,n
z(i)=k(i)+exp(-k(i))-1
k(i+1)=k(i)+h
END DO
open(10,file='1.txt')
WRITE(10,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20)
WRITE(*,10) (x(i),y(i),z(i),i=0,20)
10 FORMAT(1x,f10.8,2x,f10.8,2x,f10.8/)
END
输出结果：
0.00000000 0.00000000 0.00000000
0.05000000 0.00125000 0.00122942
0.10000000 0.00487656 0.00483742
0.15000000 0.01076383 0.01070798
0.20000000 0.01880159 0.01873075
0.25000000 0.02888502 0.02880078
0.30000000 0.04091437 0.04081822
0.35000000 0.05479480 0.05468809
0.40000000 0.07043605 0.07032005
0.45000000 0.08775229 0.08762815
0.50000000 0.10666187 0.10653066
0.55000000 0.12708710 0.12694981
0.60000000 0.14895411 0.14881164
0.65000000 0.17219259 0.17204578
0.70000000 0.19673571 0.19658530
0.75000000 0.22251984 0.22236655
0.80000000 0.24948450 0.24932896
0.85000000 0.27757213 0.27741493
0.90000000 0.30672799 0.30656966
0.95000000 0.33690000 0.33674102
1.00000000 0.36803862 0.36787944
对比Euler公式和改进的Euler公式的输出值，很显然后者对求解精度有了较大的提高。