区间套定理的拓展及其应用

2012届本科毕业论文区间套定理的拓展及应用

姓名：骆盼

系别：数学与信息科学学院

专业：数学与应用数学

学号：

指导教师：

2012年6月20日

区间套定理的拓展及应用

摘要

通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用.

关键词

区间套;拓展;应用

The expansion and application of the nested interval

theorem

Abstract

s everal theorems which are testified are got after the expanding of the nested interval theorem through the application of analogy,analysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples.

Key words

nested interval;expansion;application

0 引言

区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。为了增大区间套定理的应用范围,本文从区间套定理的概念出发,综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理.

首先，将区间套定理在一维空间加以推广,形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理,增大了区间套定理的应用范围.紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式和完备性，把区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭区间套集定理，从而把一维空间上的情形推广到了更一般化的完备度量空间,使得区间套定理的应用范围更为广泛，而且给出了常用度量空间n R 上的闭集套定理.最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，在应用区间套定理证明存在满足题意的点.从实际例题中还可以看出区间套定理反映了实数的稠密性，所以区间套定理在证明与实数相关命题时发挥着重要的作用.

1 区间套定理在1R 上的推广

区间套定理是一个基本的定理，在把该定理推广前先回顾一下闭区间套定理的内容. 定义1.1 设[]{}),3,2,1(, =n b a n n 是R 中的闭区间列，如果满足: （1）[][] 3,2,1,,,11=⊂++n b a b a n n n n ; （2）()0lim =-∞

→n n n a b ;

则称[]{}n n b a ,为R 中的一个闭区间套，或简称区间套.

定理]

1[1.1 （闭区间套定理）若[]{}n n b a ,是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得

[]),3,2,1(, =∈n b a n n ξ,

且

ξ==∞

→∞

→n n n n b a lim lim .

推论1.1 若[]),3,2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,确定的点,则对任意正数ξ,存在自然数N ,当N n >时,总有

[]()εξ,,U b a n n ⊂.

定义2.1 (严格开区间套定理)设(){}),3,2,1(, =n b a n n 是R 中的开区间列,如果满

足:

(1) ,3,2,1,1121=<<<<<<<<-n b b b a a a n n n ; (2)()0lim =-∞

→n n n a b ;

则称(){}n n b a ,为R 中的一个严格开区间套.

定理]

1[2.1 (严格开区间套定理)若(){}n n b a ,是R 中的一个严格开区间套，则存在惟一一

点ξ，使得

() 3,2,1,,=∈n b a n n ξ,

且

ξ==∞

→∞

→n n n n b a lim lim .

证明 由定义2.1条件(1),{}n a 是一个严格递增且有上界的数列.由单调有界定理, {}

n a 有极限,不妨设

ξ=∞

→n n a lim ,

且

,3,2,1,=

同理严格递减有下界数列{}n b 也有极限.由定义2.1条件(2)应有 ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim ,

且 ,3,2,1,=>n b n ξ.

从而存在() 3,2,1,,=∈n b a n n ξ.

最后证明惟一性.假如另有ς,使得() 3,2,1,,=∈n b a n n ς,那么有 ,3,2,1,=-<-n a b n n ξς.

在上述不等式两边取极限,有

0)(lim =-≤-∞

→n n n a b ξς.

即ξς=.

故原命题成立.

定义3.1 设{

}),3,2,1(),[n =n b a n 是R 中的半闭半开区间列,如果满足: