闭区间套定理的证明、推广及应用
闭区间套定理的推广及应用
闭区间套定理的推广及应用摘要：先介绍了闭区间套定理，再把闭区间套定理进行了推广，并得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．再讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．关键词：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用.闭区间套定理是实分析中的一个重要定理．由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值．为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发推广该定理．首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围．接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间n R 上的闭集套定理．最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用．1 ． 闭区间套定理在1R 的推广闭区间套定理是一个基本的定理．所以，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内容．定义1.1 设[]{},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的闭区间列，如果满足： (1) [][]11,,n n n n a b a b ++⊆，1,2,3,n = ； (2) lim()0n n n b a →∞-=；则称[]{},n n a b 为R 中的一个闭区间套，或简称区间套．定理1.1(闭区间套定理) 若[]{},n n a b 是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得 ： [],n n a b ξ∈(1,2,3,n = ) 且 lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．推论 1.1 若[],n n a b ξ∈(1,2,3,n = )是区间套[]{},n n a b 确定的点，则对任意正数ε，存在自然数N ，当n N >时，总有 [](),,n n a b U ξε⊂．定义1.2 设(){},n n a b (1,2,3,n = )是R 中的开区间列，如果满足： (1) 1211n n n a a a b b b -<<<<<<<< ，1,2,3,n = ； (2) lim()0n n n b a →∞-=；则称(){},n n a b 为R 中的一个严格开区间套．注：定理1.1中的闭区间列的端点有1a ≤2a ≤ ≤n a ≤ ≤n b ≤1n b -≤ ≤1b如果将闭区间列[]{},nna b 1,2,3,n = 改成开区间列 (){},n na b1,2,3,n = ，定理的结论不成立。
浅析定理闭区间套的推广及简单应用
本科毕业论文 (设计) 如果写作的是论文就删设计，如果写作的是设计就删论文题目数学课堂教学系别数学系专业数学与应用数学指导教师（姓名居中）评阅教师（姓名居中）班级2003级1班姓名（姓名居中）学号（学号居中）年月日目录摘要(四号黑体不加粗) (Ⅰ)Abstract(四号Times New Roman体加粗) (Ⅰ)1引言(四号黑体不加粗) (1)1.1(小四号黑体不加粗) (1)1.1.1(小四号仿宋体加粗) (1)2闭区间套定理在1R的推广 (2)3闭区间套定理在一般度量空间上的推广 (4)4闭区间套定理在n R上的推广 (5)5闭区间套定理的应用举例 (6)结束语 (8)参考文献 (8)致谢 (9)（注：①目录不加页码；②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，Ⅱ…；③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，…．）摘要(四号黑体不加粗)：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．结合典型例题，分析、讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．(小四号仿宋体不加粗,“摘要”字数须300字以上)关键词(四号黑体不加粗)：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用(小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个)Abstract(四号Times New Roman体加粗):The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.(小四号Times New Roman体不加粗) Key words(四号Times New Roman体加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application(小四号Times New Roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号)1引言（一级标题四号黑体不加粗，段前断后空0.5行．）1.1 小四号黑体不加粗（二级标题小四号黑体不加粗，段前断后不空行．）1.1.1 小四号仿宋体加粗（三级标题小四号仿宋体加粗，段前断后不空行．）说明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；页边距：上2.2cm、左2.5cm、右2.3cm、下1.8cm、页眉1.2cm、页脚1.5cm；页眉中，若是论文就删去“设计”二字，若是设计就删去“论文”二字．（2）各级标题一律顶格，标题末尾不加标点符号．（3）正文中所引用的文献应加尾注，以文献在文中出现的先后顺序依次编号为：[1]，[2]，…，某种文献中的内容被多次引用时以第一次出现时的序号为准，即一种文献只有一个序号，可以重复出现．添加尾注的格式如下：爱因斯坦说：提出一个问题往往比解决一个问题更重要[1]．爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”[1]．爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要．”[1]（4）正文中出现的图象与表格以编号（依出现的先后顺序编号）的方式分别加以命名．图象：图1，图2，…表格：表一，表二，…（5）行文要符合文法格式，每段开头应空两个汉字的位置．若一行中只有符号表达式，则可以居中或居中偏左．（6）正文中所有的标点符号，一律用全角；句号用“．”闭区间套定理是实分析中的一个重要定理,它同聚点定、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和Cauchy收敛准则一样都反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础．由于它具有较好的构造性，因此闭区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大等．故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值．为了增大闭区间套定理的应用范围，从闭区间套定理的概念出发，综合运用类比分析法、演绎推理法推广该定理．首先，将闭区间套定理在一维空间加以推广，形成严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理，增大了区间套定理的应用范围．紧接着结合一般完备度量空间的特性，即正定性、对称性、三角不等式性和完备性，把闭区间套定理在一般完备度量空间上推广，形成一般完备度量空间上的闭集套定理，从而把一维空间上的情景推广到了更一般化的完备度量空间，使得区间套定理的应用范围更为广泛，并且给出了常用度量空间n R 上的闭集套定理．最后结合一些实例分析说明闭区间套定理的应用，比如证明闭区间上的连续函数必有界、单调有界定理等，通过构造满足题意的闭区间列，再应用闭区间套定理证明存在满足题意的点．从实际例题中还可以看出闭区间套定理反映了实数的稠密性，所以闭区间套定理连同其在一般完备度量空间上推广后的闭集套定理在证明与实数理论相关命题时发挥着重要的作用．2 闭区间套定理在1R 的推广康托给分析建立了严格的集合论基础．而在对实数连续性的描述中，闭区间套定理是一个基本的定理．因此，在对该定理推广前有必要先回顾一下闭区间套定理的内容．定义2.1 设[]{},n n a b (1,2,3,n =)是R 中的闭区间列，如果满足： (1) [][]11,,n n n n a b a b ++⊂，1,2,3,n =；(2) lim()0n n n b a →∞-=；则称[]{},n n a b 为R 中的一个闭区间套，或简称区间套．定理 2.1[2](闭区间套定理) 若[]{},n n a b 是一个闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得[],n n a b ξ∈(1,2,3,n =)，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．推论2.1[3] 若[],n n a b ξ∈(1,2,3,n =)是区间套[]{},n n a b 确定的点，则对任意正[](),,n n a b U ξε⊂．定义2.2 设(){},n n a b (1,2,3,n =)是R 中的开区间列，如果满足：(1) 1211n n n a a a b b b -<<<<<<<<，1,2,3,n =；(2) lim()0n n n b a →∞-=；则称(){},n n a b 为R 中的一个严格开区间套．定理2.2 (严格开区间套定理) 若(){},n n a b 是R 中的一个严格开区间套，则存在惟一一点ξ，使得(),n n a b ξ∈，1,2,3,n =，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．证明 由定义2.2条件(1)，{}n a 是一个严格递增且有上界的数列．由单调有界定理，{}n a 有极限，不妨设lim n n a ξ→∞=，且n a ξ<，1,2,3,n =．同理严格递减有下界的数列{}n b 也有极限．由定义2.2条件(2)应有lim lim n n n n b a ξ→∞→∞==，且n b ξ>，1,2,3,n =．从而存在(),n n a b ξ∈(1,2,3,n =)．最后证明唯一性．假如另有ζ，使得(),n n a b ζ∈，1,2,3,n =，那么有n n b a ζξ-<-，1,2,3,n =．在上述不等式两边取极限，有ζξ-≤()lim 0n n n b a →∞-=．故原命题成立．定义2.3[4][5] 设[){},n n a b (1,2,3,n =)是R 中的半闭半开区间列，如果满足：(1) 1a ≤2a ≤≤n a ≤11n n b b b -<<<<，1,2,3,n =；(2) lim()0n n n b a →∞-=；则称[){},n n a b 为R 中的一个严格半闭半开区间套．注：类似可以定义严格半开半闭区间套(]{},n n a b ．定理2.3 (严格半开半闭区间套定理) 如果(]{},n n a b 是R 中的一个严格半开半闭区间套，则存在惟一一点ξ，使得(],n n a b ξ∈，1,2,3,n =，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．仿定理2.2的证明即可．2 闭区间套定理在一般度量空间上的推广完备度量空间具有正定性、对称性、三角不等式性和完备性．具体到序列，指的是该序列除了满足一般度量空间的要求，还应在该空间上收敛．这样闭区间套定理就可以在一般度量空间上进行推广．定义3.1 设H 是一个非空集合，在H 上定义一个双变量的实值函数(),x y ρ，对任意的,,x y z H ∈，有：(1)(正定性)(),x y ρ≥0，并且(),0x y ρ=当且仅当x y =成立； (2)(对称性)()(),,x y y x ρρ=；(3)(三角不等式)(),x y ρ≤()(),,x z z y ρρ+； 则称H 为一个度量空间．定义3.2 设F 是度量空间H 中的一个子集，对于F 中的任意点列{}n x ，若当()0x x ρ-→()n →∞，有0x F ∈，则称F 为闭集．定义 3.3[6] 设(),X ρ是一度量空间．X 中的一个序列{}i i z x +∈，若对任意的实数0ε>，存在整数0N >，使得当,i j N >时，有(,)i j x x ρε<，则称{}i i z x +∈为一个Cauchy序列．定义 3.4[7] 如果对度量空间(),X ρ中X 的每一个Cauchy 序列都收敛，则称(),X ρ是一个完备度量空间．定理3.1[7] 设{}n F 是完备度量空间H 上的闭集列，如果满足： (1) 1n n F F +⊃(1,2,3,n =)；(2) lim ()0n n d F →∞=,(()sup (,))nn F d F ξζρξζ∈=；则在H 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,n =．证明 任意取n F 中的点列{}n x ，当m n >时，有m n F F ⊂，所以,n m n x x F ∈，(),n m x x ρ≤()0(n d F n →→∞)．即对于任意给定的实数0ε>，存在整数0N >，使得当,i j N >时，有(,)i j x x ρε<，所以{}n x 是Cauchy 序列．又因为n F 是闭集列，故{}n x 收敛于一点ξ，且有n F ξ∈，1,2,3,n =．现证唯一性．如果另有一点ζ，使得n F ζ∈，1,2,3n =．则由定义3.1条件(3)，有(,)ρξζ≤(),(,)n n x x ρξρζ+≤2()0()n d F n →→∞，从而ξζ=．故在H 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,n =．3 闭区间套定理在n R 上的推广进一步还可以将闭区间套定理在常用度量空间─实数空间n R 上推广．为此，先给出一个有用的概念．定义4.1 对于任意的()12n x x x x =,,,，()12,,,n n y y y y R =∈，令(),x y ρ=则称ρ为n R 空间上的距离．下面验证对于如上定义的ρ，n R 做成完备的度量空间． 证明 对于任意的()12n x x x x =,,,，()12,,,n y y y y =，()12,,,n n z z z z R =∈．0≥，并且(),x y ρ=0当且仅当iix y =(1,2,i =)，即x y =．(2)(),(,)x y y x ρρ===．(3)令i i i u y x =-和i i i v z y =-由Schwarz 不等式可以得到()21nii i uv =+≤∑21nii u=∑＋21ni i v =∑．则≤，即≤所以ρ满足度量的定义，又n R 是完备的[6]，故n R 是一个完备的度量空间．于是根据前面的论述，可以得到实数空间n R 的闭集套定理： 定理4.1 设{}n F 是n R 上的闭集列，如果：(1) 1n n F F +⊃，1,2,3n =；则在n R 中存在唯一一点ξ，使得n F ξ∈，1,2,3,n =．4 闭区间套定理的应用举例闭区间套定理证明命题的基本思路是分划区间构成闭区间套，从而找到属于每一个区间的公共点．下面就举几个例子说明这一思路．例1 证明：闭区间上连续函数必有界．分析 这个命题如果从正面入手利用闭区间套定理证明比较困难，但是如果从反面着手，即假设()f x 在[],a b 上无界，即对任意M ≥0，存在[]0,x a b ∈，有0()f x M >．则等分区间后至少有一个子区间上()f x 无界，记为性质P ．继续等分那个无界的区间，可得到如上的性质P ．无限次重复上述步骤可构造一个满足题意的闭区间套，由闭区间套定理可以推出()f x ≤M ，这与假设矛盾，从而证明原命题成立．证明 我们用反证法.设函数()f x 在[],a b 上连续，假设()f x 在闭区间[],a b 上无界．将区间二等分，即取[],a b 的中点2a b +，则,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦中至少有一个区间使得()f x 在其上无界．(若两个都使()f x 无界，则任取其中一个)，记为11[,]a b ，且111()2b a b a -=-．再将11[,]a b 等分为两个区间，同样其中至少有一个子区间上()f x 无界，记为22[,]a b ，且2211[,][,]a b a b ⊂，2211211()()22b a b a b a -=-=-．无限次重复上述步骤，便得到一个闭区间列{}[,]n n a b ，其中每一个区间[,]n n a b 有如下特性：1111[,][,][,][,]n n n n a b a b a b a b ++⊃⊃⊃⊃⊃，且1()0()2n n n b a b a n -=-→→∞及()f x 在[,]n n a b 上无界．由区间套定理，存在一点(),n n a b ξ∈（1,2,3,n =），且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==．又()f x 在ξ连续，则对任意的0ε>，存在0δ>，当(,)x ξδξδ∈-+时，有()()f x f ξε-<，即()()()f f x f ξεξε-<<+． 令{}max (),()M f f ξεξε=-+，则()f x ≤M ．由推论1，取n 充分大可使[](),,n n a b ξδξδ⊂-+，上述不等式与()f x 在闭区间[,]n n a b 上无界矛盾．故()f x 在闭区间[],a b 上有界．以下内容省略……结束语通过对闭区间套定理的简单分析探究，掌握了该定理的结构形式，学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程，分析讨论了闭区间套定理的实际应用．首先将闭区间套定理在R 推广，即在一维空间上将条件[][]11,,n n n n a b a b ++⊂减弱为()()11,,n n n n a b a b ++⊂，得到严格开区间套定理．紧接着，联想到一般完备度量空间的特性和闭区间套定理良好的构造性，从而推广得到闭集套定理．最后，应用闭区间套定理和推广后的闭集套定理证明了证明连续函数必有界、数列的单调有界定理、一个不动点问题以及n R 上的开区域套定理．至于能否将闭区间套定理推广到空间以及能否在一般度量空间推广聚点定理、有限覆盖定理，并且运用推广得到的闭集套定理证明它们两个问题未做讨论．参考文献[1] 李宗铎，陈娓．再谈闭区间套定理的推广及其应用[J]．长沙大学学报，2000，14(4)：4-5．[2] 华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1991，第2版．[3] 陈传璋．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，1983，第2版．[4] 毛一波．闭区间套定理的推广[J]．渝西学院学报，2005，14(2)：26~27．[5] 朱俊恭．关于闭区间套定理[J]．遵义师范学院学报．2002，4(1)：72-73．[6] 熊金城．点集拓扑讲义[M]．北京：高等教育出版社，2003，第3版．[7] 常进荣，王林．闭区间套定理的推广及应用[J]．石家庄职业技术学院学报，2003，15(6)：16-17．[8] 钱吉林．数学分析题解精粹[M]．武汉：崇文书局，2003．（注：参考文献各条目用五号宋体字，各条目的序号应正文中尾注的序号相一致）致谢（注：①“致谢”内容单独用一个版面；②在“致谢”中主要叙述自己写作本文的经历、感受、收获等，表达对指导老师或帮助者的感谢之意．）注：本模版中红色字体是说明部分，在具体操作时应将其删除．未尽事宜按《内江师范学院毕业论文（设计）指导手册》实施．。
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理摘要：一、引言二、闭区间套定理简介三、单调有界数列收敛定理证明1.准备工作2.闭区间套定理应用3.推导过程4.结论四、实例分析五、总结与展望正文：一、引言在数学分析中，收敛定理是研究数列行为的重要工具。
其中，单调有界数列收敛定理是收敛定理的一个核心部分。
本文将通过对闭区间套定理的证明，揭示单调有界数列的收敛性，并通过实例分析加深对这一定理的理解。
二、闭区间套定理简介闭区间套定理是拓扑学中的一个重要定理，它揭示了闭区间序列的性质。
该定理表述如下：设（Ai）i∈N是一个闭区间序列，如果每个区间Ai都包含在某个更大的闭区间Bi中，那么存在一个极限点，使得极限点属于所有的Bi，但不属于任何Ai。
三、单调有界数列收敛定理证明（1）准备工作首先，我们需要明确单调有界数列的定义。
设（an）n∈N是一个实数数列，如果满足以下条件：1.单调性：对于任意的n，有an+1 ≤ an；2.有界性：存在实数M，使得对于任意的n，有-M ≤ an ≤ M。
（2）闭区间套定理应用根据闭区间套定理，我们可以找到一个极限点，使得极限点属于所有的闭区间[an, M]，但不属于任何[an+1, M]。
这里，闭区间[an, M]表示数列（an）n∈N的有界区间。
（3）推导过程根据极限点的定义，我们有：lim(n→∞) an = λ其中，λ表示极限点。
（4）结论由于数列（an）n∈N是有界单调递减的，所以当n趋向于无穷大时，an 的极限存在且唯一。
这就证明了单调有界数列收敛定理。
四、实例分析为了更好地理解这一定理，我们可以举一个具体的例子。
考虑数列（an）n∈N，其中an = n - 4。
这个数列是有界且单调递减的。
我们可以找到一个极限点，例如λ = 2，使得数列（an）n∈N收敛于2。
五、总结与展望本文通过对闭区间套定理的证明，揭示了单调有界数列的收敛性。
这一定理在数学分析中具有广泛的应用，是研究数列行为的重要工具。
闭区间套定理推论
闭区间套定理推论
闭区间套定理（也称为Cantor定理）是实分析中的一个重要结果，它陈述了在完备的度量空间中，若一个闭区间序列满足闭区间的长度趋于零，那么这个闭区间序列存在唯一的公共点。
根据闭区间套定理可以得出以下推论：推论1：闭区间套定理的推论是由闭区间无限分割的情况，即若一个完备的度量空间中存在一列闭区间，并且每一个闭区间都是前一个闭区间的子集，且闭区间的长度趋于零，那么存在唯一的公共点，这个点是所有闭区间的交点。
推论2：闭区间套定理的推论可以推广到一般的度量空间，其中的“闭区间”可以替换为“紧集”。
紧集是在度量空间中满足有界闭的性质，类似于闭区间的性质。
推论3：闭区间套定理的推论在实际问题中被广泛应用。
例如，通过使用闭区间套定理的推论可以证明实数轴上的二分法定理，可用于证明函数的连续性，以及在数值计算中的近似解等问题。
注意，以上是闭区间套定理的一些常见推论，但具体的推论可能还会涉及到更具体的数学领域和应用领域。
cauchy-cantor闭区间套定理_概述及解释说明
cauchy-cantor闭区间套定理概述及解释说明大纲：1. 引言1.1 概述本文旨在概述和解释Cauchy-Cantor闭区间套定理。
该定理是数学分析中重要的基本定理之一，涉及到实数集合的闭区间套及其性质。
通过本文的介绍，读者将更好地理解这一定理的定义、原理和应用。
1.2 文章结构文章由引言、概述、解释说明、实例分析和结论五个部分组成。
在引言部分，我们将简要介绍整篇文章的目标和内容安排，帮助读者了解本文的写作意图以及预期得到的阅读收获。
1.3 目的本文旨在全面介绍Cauchy-Cantor闭区间套定理，并通过具体例子进行解释说明。
希望通过阐述相关概念和原理，使读者能够深入了解该定理所涉及的数学知识框架，并能够应用于实际问题中。
以上所述为文章“1. 引言”部分内容。
2. cauchy-cantor闭区间套定理概述在实数集上，定义了一种称为Cauchy-Cantor闭区间套的特殊序列。
这个定理是由Augustin-Louis Cauchy和Georg Cantor发现和研究的，它提供了一种描述实数集合中无限个紧凑子集之间包含关系的方法。
闭区间是指由两个实数端点所确定的区间，即包含了这两个端点及其之间所有实数的集合。
Cauchy-Cantor闭区间套定理涉及到一系列嵌套的闭区间，其中每一个闭区间都是前一个闭区间的子集。
具体而言，在给定一段大闭区间时，我们可以得到一个相似但更小的子闭区间。
然后，在这个子闭区间基础上再次构建一个更小且相似的子闭区间。
如此往复，依次进行下去。
根据Cauchy-Cantor闭区间套定理，如果我们取任何一个实数集合并通过以上方式构建出无穷多个嵌套的闭区间，则对于这些闭区间来说存在唯一的实数，它同时属于每一个终结点所围成的小闭区间。
换句话说，在这些嵌套的子闭区间中，存在着一个共同元素或极限点。
这个定理的证明基于实数集的完备性以及闭区间套的特殊构造方式。
通过递归的方式，我们可以得到一系列越来越小的闭区间，并且根据闭区间端点的构造，我们可以确保这些闭区间之间有相应的包含关系。
闭区间上连续函数的推广及其应用
知识文库 第2期187闭区间上连续函数的推广及其应用路宗娅本文通过闭区间上连续函数的性质,得出在开区上或无穷区间上连续的函数,只要加上适当的条件后,就可以得到与闭区间上连续函数相类似的性质。
有界性定理的推广：f 在（a,b）上连续，且f(a+0),f(b-0)存在，则f 在（a,b）上有界。
证明：令F（x）= 因为f 在（a,b）内连续，则在（a,b）内F（x）=f(x)连续，又F （a+0）= F(b-0)=f(b-0)=F(b) 所以F 在x=a 处右连续，在x=b 处左连续，故F 在上连续，由闭区间上连续函数的有界性知，存在M 大于零，使得任意x∈,∣有F(x) M,从而任意x∈(a,b), f(x) = F(x) M 即f 在（a,b）上有界介值性定理的推广：若f(X)在(a,b)上连续，f(a+0),f(b-0)存在， 且 A≠B，则存在m 为介于A,B 间的实数。
令F（x）=,因为f 在(a,b)上连续，则在(a,b)内F(x)=f(x)连续， 又有x=a 在(a,b)上至少存在一点，使得F(，当且仅当其中x 时，F(x)=f(x)，从而定理得证。
零点定理的推广： f(x)在开区间上可导，lin x→a +f(x)=lin x→b 有F(x)’ =H(x)，且H(x)在(a,b)上有定义，则存在，使得H(ξ)’=0。
令F （x）=，则在(a,b)内又有F（a+0）=lim x→a 且有F(b-0)=lim x→b -F(x)=lin x→b -f(x)=f(b-0)=F(B)f(b-0)=F(b)所以F 在x=a 右连续，在x=b 左连续，因此F 在[a,b]上连续，又在(a,b)上可导，则由罗尔定理知在(a,b)上至少有一点，使得F(ξ) ’=0，当x(a,b)时，F(，从而定理得证。
最值定理的推广：若函数f(x)在开区间（a,b）上连续，且与都为有限值，则（1）若存在∈（a,b）,使f (≥max{A,B}，则f(x)在（a,b）内能取到最大值。
闭区间套定理的证明、推广及应用
重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名姜清亭年级 2009级学号 ************指导教师刘学飞2011年5月闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班）摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。
同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。
其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。
关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明1 空间上的区间套定理定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一数属于l 。
所有的闭区间（即[]1,n n n a b l ∞==），且lim lim n n n n a b l →∞→∞== 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ，1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞=l ．由条件2 有()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞→∞→∞→∞=-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞→∞==，对任意取定的,n k N k +∈∀,有k nn k a a b b ≤≤，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞→∞≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间．证明l 唯一性．假设还有一个'l 也属于所有的闭区间，从而'',,,,n n n n n N l l a b l l b a +⎡⎤∀∈∈-≤-⎣⎦有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的．2 闭区间套定理的推广定理2 （开区间套定理）若开区间列｛(),n n a b ｝，若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 )(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =l证：由条件⑴知：1221b b b a a a n n ≤≤⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤， 即{}()的数列，是单调增加有上界1b a n {}的数列。
(完整word版)闭区间套定理的推广及应用
昌吉学院论文(设计)分类号：本科毕业论文(设计) 密级:闭区间套定理的推广及应用系院数学系学科门类理学专业数学与应用数学学号XXXXXXXXX姓名XXXXX指导教师教师职称讲师二零一三年五月三日毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。
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本人授权本学院及以上级别优秀毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索，可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文.声明人签名：导师签名：年月日年月日摘要在介绍了1R空间上闭区间套定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，形成了1R空间上严格半开半闭区间套定理和严格开区间套定理，增大了区间套定理的应用范围.同时给出了n R上的区域套定理，紧接着结合一般完备度量空间的性质,把区间套定理推广到一般完备度量空间,使得区间套定理的应用范围更为广泛。
最后结合一些实例分析说明区间套定理的应用，比如应用区间套定理证明Rolle中值定理、Lagrange中值定理、重要极限的存在性，同时也证明了闭区间上的连续函数性质等。
分析、讨论了闭区间套定理及其推广形式的实际应用,从实际应用中还可以看出区间套定理主要刻画了实数的完备性，说明了区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值。
关键词：区间套；完备性;等价；推广；应用The application and extension of the theorem of close nested intervalsAbstractBased on introducing the theorem of 1R space supra—closed nested interval, we popularize the theorem of closed nested interval through the comprehensive application of analogy method, analytic method and rationalistic method, forming the strictly theorem of half closed interval nested interval and the open nested interval in n R space, which increases the application range of nested interval theorem。
确界原理证明区间套定理
确界原理证明区间套定理区间套定理也称闭区间套定理，是实数中的一个非常重要的定理，它为实数序列的收敛性提供了一个有效的判定准则。
在证明区间套定理之前，我们首先需要了解确界原理。
确界原理（或称最大最小值定理）是关于实数集合的重要定理，它告诉我们，非空有上界的实数集合必定有上确界，也就是存在一个最小的上界，记为sup(A)。
类似地，非空有下界的实数集合必定有下确界，记为inf(A)。
确界原理是实数的一个基本性质，是我们研究实数性质的基础。
现在我们来证明区间套定理。
假设我们有一列区间[a1, b1]，[a2, b2]，[a3, b3]，...，其中ai≤bi（i=1, 2, 3, ...）。
我们要证明存在一个实数x，它属于所有这些区间，也就是说对于任意的i，x属于区间[ai, bi]。
证明方法如下：1. 首先，我们观察到这些区间是递减的，也就是说对于任意的n，有bn≥bn+1、这是因为当n增加时，an是递增的，同时bn是递减的。
我们可以通过归纳法证明这一点：对于n=1，我们有b1≥b2，这是显然成立的。
假设对于n=k，有bk≥bk+1，那么我们可以证明对于n=k+1，有bk+1≥bk+2、根据区间的定义，bk≥ak+1，同时bk+1≥bk+1，所以bk≥bk+1、因此这个性质成立。
2. 接下来，我们证明这些区间是有界的。
由于这些区间是递减的，所以对于所有的n，有ak≤ak+1≤...≤an≤bn≤bn-1≤...≤b1、也就是说，[a1, b1]是一个紧区间，而[a1, b2]，[a1, b3]，...等等都是[a1,b1]的子集，所以它们也是紧区间。
根据闭区间套定理，这些区间都有交集。
3. 最后，我们要证明这些区间的交集不为空。
我们假设交集为空，也就是说对于一些i，[ai, bi]与[ai+1, bi+1]没有非空交集。
根据确界原理，这意味着bi≤ai+1，而这与条件ai≤bi相矛盾。
因此，这个假设是错误的，这些区间的交集不为空。
区间套定理证明
区间套定理证明1. 引言区间套定理是实分析中的一个重要定理，它在数学分析、拓扑学以及其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍区间套定理的定义、证明思路和具体证明过程。
2. 定义首先，我们来定义区间套。
定义1：区间套设给定一系列闭区间[a n,b n]，其中n∈ℕ。
如果满足以下两个条件：1. 区间之间存在包含关系，即对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n； 2. 区间长度逐渐趋于0，即lim n→∞(b n−a n)=0。
则称闭区间序列[a n,b n]为一个区间套。
3. 区间套定理接下来，我们将介绍区间套定理。
定理2：区间套定理如果存在一个闭区间套{[a n,b n]}，满足上述定义，并且这个闭区间套的长度逐渐趋于0，则存在唯一的实数c，使得c∈[a n,b n]对于所有n∈ℕ成立。
简言之，区间套定理表明，在实数轴上的闭区间套中，存在一个实数c，它同时属于每一个闭区间[a n,b n]。
4. 证明思路我们将使用实数完备性公理来证明区间套定理。
实数完备性公理：如果对于任意的实数序列{a n}满足a1≤a2≤a3≤⋯≤a n，则存在一个实数L，使得L=lim n→∞a n。
我们将利用实数完备性公理来证明区间套定理。
首先，我们构造两个序列{a n}和{b n}，使得a n是闭区间[a n,b n]的左端点，b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
然后证明这两个序列分别满足单调有界条件，并利用实数完备性公理得出结论。
5. 证明过程步骤1：构造两个序列给定一个闭区间套{[a n,b n]}，我们构造两个序列{a n}和{b n}： - 序列{a n}：每一项a n是闭区间[a n,b n]的左端点； - 序列{b n}：每一项b n是闭区间[a n,b n]的右端点。
步骤2：证明序列{a n}和{b n}满足单调有界条件由定义可知，对于任意自然数n，都有a n+1≤a n且b n+1≥b n。
闭套区间定理
闭套区间定理引言闭套区间定理是数学中一个重要的定理，用于研究实数的性质和数学分析中的连续函数。
本文将深入探讨闭套区间定理的概念、证明以及应用。
闭套区间的定义闭套区间（Closed Interval）是指由两个实数a和b构成的区间[a, b]，其中a和b可以是任意实数，且满足a ≤ b。
闭套区间包含了区间内的所有实数，并且区间的两个端点a和b也属于这个区间。
闭套区间定理的表述闭套区间定理（Bolzano-Cauchy定理）指出：如果一个实数区间[a, b]上的函数f(x)在这个区间内连续，并且f(a)和f(b)异号，那么在这个实数区间内至少存在一个数c，使得f(c)=0。
闭套区间定理的证明证明思路闭套区间定理的证明基于实数的完备性和连续函数的性质。
证明的思路是通过构造两个数列a_n和b_n，使得这两个数列分别逼近于f(a)和f(b)，然后利用实数的完备性证明这两个数列的极限存在，并且极限值恰好是f(x)=0的解。
证明步骤1.首先定义两个数列a_n和b_n，使得a_n递增，并且a_n逼近于f(a)，b_n递减，并且b_n逼近于f(b)。
具体地，令a_0=a，b_0=b，然后通过递推公式a_(n+1)=(a_n+b_n)/2和b_(n+1)=(a_n+b_n)/2来逐步逼近f(a)和f(b)。
2.经过无穷次递推后，得到的两个数列a_n和b_n满足a_n<=a_(n+1)<=b_(n+1)<=b_n，且lim(a_n)=lim(b_n)。
根据实数的完备性，可以证明这两个数列的极限值分别存在，并且极限值分别等于f(a)和f(b)。
3.由于f(a)和f(b)异号，根据连续函数的中值定理可知，在[a, b]这个闭区间内，存在一个数c，使得f(c)=0。
闭套区间定理的应用闭套区间定理在数学分析中有广泛的应用，特别是在求方程的根、函数的零点和极值等问题上。
以下是一些具体的应用场景：1. 方程的根闭套区间定理可以帮助我们找到一个函数f(x)=0的根的存在性。
解析高考数学中的区间套定理及应用
解析高考数学中的区间套定理及应用高考中的数学学科不仅是考试中的一个科目，更是学生学习中的核心学科之一。
其中，区间套定理是高考数学中的重要概念之一。
本文将深入解析区间套定理及其应用。
一、区间套定理的定义区间套定理是指，当一个闭区间序列{l_n}满足两个条件时，其中必存在一个实数c，该实数同时位于所有的闭区间中。
1.所有闭区间长度收敛于02.所有闭区间互相包含，即若i<j，则l_i包含于l_j中。
该定理看似无趣，但实际上应用广泛。
在高等数学和实分析中，区间套定理被用作连续函数和序列极限的证明。
二、区间套定理的应用1. 證明收緊性定理收缩映射定理是指，对于一个收缩映射f，如果有一个不动点，那么这个不动点是唯一的。
根据区间套定理，我们可以证明收缩映射定理的原理。
假设我们要证明该定理，我们可以选择一个初始点c，并通过递归地应用收缩映射f来构建一个闭区间序列。
由于该序列必须互相包含且长度必须趋于零，因此我们知道该序列收敛到一个不动点。
同时，由于f是一个收缩映射，它必须收缩区间的长度，并将其映射到自身上，从而满足定理的条件。
2. 证明序列的极限另一个区间套定理的应用是证明序列的极限。
如果我们有一个收敛的序列{a_n}，则我们可以构建一个闭区间序列{[a_n, a_n+1]}。
由于{a_n}收敛，我们知道该闭区间序列的长度趋向于零。
根据区间套定理，我们也知道存在一个实数c，它同时包含于所有闭区间中。
此时，我们可以推断出该实数c即为该序列的极限。
3. 求解方程区间套定理还可用于求解方程。
如果我们要解一个方程f(x) = 0，我们可以选择两个不同的实数a和b，然后构建一个闭区间序列{[a, b]}。
我们接下来计算出f(c)的值，其中c是该闭区间的中间点。
如果f(c)为0，则我们已经找到了方程的解。
否则，我们可以根据f(c)的符号和中间点c的位置递归地选择一个新的子区间。
我们不断重复这一过程，直到我们找到一个f(c) = 0的解。
闭区间套定理的应用及推论
闭区间套定理的应用及推论作者：孙雪梅来源：《空中英语教室·社会科学版》2011年第02期【摘要】介绍闭区间套定理及其证明方法，给出开区间套定理的正确表述，近一步讨论区间套定理在证题中的应用。
【关键词】闭区间套；开区间套；应用【中图分类号】O172【文献标识码】A【文章编号】1001-4128(2011)02-0171-03作者简介：孙雪梅,副教授。
1 闭区间套定理在实数连续性的描述中，闭区间套定理是数学分析的一个基本定理。
定义1：设｛[a n,b n]｝(n1)是R中的闭区间，如果满足：（1）[a n+1,b n+1][a n,b n] (n1)；（2）lim n→∞(b n-a n)=0则｛[a n,b n]｝叫做R中的一个闭区间套定理1：（闭区间套定理）设有闭区间列｛[a n,b n]｝，若：（1）[a1,b1][a2,b2]L[a n,b n]L（2）lim n→∞(b n-a n)=0，则存在唯一实数属于所有闭区间（即I∞n=1[a n,b n]=L且lim n→∞a n=lim n→∞b n=L证一：应用公理证明闭区间套定理证明：由条件1）数列{a n}单调增加有上界b1，数列{a n}单调减少有下界a1，即：a1a2L a nL b nL b2b1根据公理，数列{a n}收敛，设lim n→∞a n=L由条件2）有lim n→∞b=lim n→∞(b n-a n+a n)=lim n→∞(b n-a2)+lim n→∞a n=0+L=L，于是lim n→∞a n=lim n→∞b n=L对于任意取定的k∈N+ n>k有a k a na k lim n→∞a n=L=lim n→∞b n b k或a k Lb k即L属于所有的闭区间。
证明L的唯一性，假设还有一个L′也属于所有的闭区间，从而n∈N+有L,L′∈[a n,b n]，有｜L-L′｜b n-a n，由条件2）有L=L′即L是唯一的，证毕。
区间套定理的拓展及应用
2012届本科毕业论文区间套定理的拓展及应用姓名：系别：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学学号：指导教师：2012年04月20日目录摘要 (1)关键词 (1)ABSTRACT (1)KEY WORDS (1)0引言 (2)R上的推广 (2)1 区间套定理在12区间套定理在一般度量空间上的推广 (4)R上的推广 (5)3区间套定理在n4 区间套定理的应用举例 (6)参考文献 (9)致谢 (9)区间套定理的拓展及应用摘要通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用.关键词区间套;拓展;应用The expansion and application of the nested interval theoremAbstracts everal theorems which are testified are got after the expanding of the nested interval theorem through the application of analogy,analysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples.Key wordsnested interval;expansion;application0 引言区间套定理是数学分析中的一个重要的定理，它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、数列的单调有界定理和柯西收敛准则一样反映了实数的完备性，也是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.由于它具有较好的构造性，因此区间套定理在证明与实数相关的命题中有广泛的应用，如证明闭区间上的连续函数必有最大值和最小值、闭区间上的连续函数必定一致连续、闭区间的连续函数的介值性定理等.故区间套定理不仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理
闭区间套定理证明单调有界数列收敛定理闭区间套定理（Nested Interval Theorem）是实数完备性的一个等价表述，可以用来证明单调有界数列的收敛性。
以下是对这个定理的证明：假设有一个单调递增的实数数列{a_n}，同时它也被一个实数数列 {b_n} 上界限制。
我们要证明 {a_n} 收敛，并找到它的极限L。
这里的上界约束意味着对于每个n，a_n ≤b_n，其中{b_n} 是一个递减数列。
首先，我们观察到闭区间[a_1, b_1]。
由于{a_n} 单调递增，我们有 a_1 ≤ a_n ≤ b_n ≤ b_1。
这意味着每个闭区间都包含在前一个闭区间中。
接下来，我们构造一个数列{I_n}，其中每个元素是之前闭区间的中点。
也就是说，I_n = (a_n + b_n) / 2。
由于 {a_n} 是递增的且 {b_n} 是递减的，我们可以得到 I_1 ≤ I_2 ≤ I_3 ≤ ...。
根据闭区间套定理（Nested Interval Theorem），存在唯一的实数 c，满足 c ∈⋂[a_n, b_n]。
也就是说，c 同时存在于每个闭区间 [a_n, b_n] 中。
我们现在证明 c 是该数列 {a_n} 的极限。
由于 {a_n} 单调递增，对于任何n，a_n ≤c。
另一方面，对于任何k，通过数列{I_n} 的构造方式，我们有 c ≤ I_k ≤ b_k。
而这意味着 c ≤ a_k ≤ b_k，对于所有的 k，得到 c ≤ a_k ≤ b_k ≤ b_1。
因此，c 是{a_n} 的上界。
接下来，我们证明 c 是 {a_n} 的最小上界，也就是它是数列的上确界。
假设存在一个上界 d，满足 d < c。
那么存在一个 n，使得 d < a_n ≤ c，这与 c ∈⋂[a_n, b_n] 矛盾。
因此，c 是 {a_n} 的上确界。
综上所述，我们证明了闭区间套定理可以用来证明单调有界数列的收敛性。
有限覆盖定理证明闭区间套定理
有限覆盖定理证明闭区间套定理
有限覆盖定理证明闭区间套定理是指：对于有界闭区间[a，b]的一个(无限)开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。
(区间套定理：若[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。
)证明：用反证法假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。
记这个子区间为[a1,b1],则
[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。
记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-
a)/2^2.重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。
但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间
[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间
(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0N时,a0<an<=c<=bn<b0.这表明，只用开区间(a0,b0)就覆盖了区间[an,bn].这与挑选[an,bn]时假设“[an,bn]不能用H中有限个开区间覆盖”矛盾。
从而证得，必存在H中有有限个开区间能覆盖[a,b].。
区间套定理证明
区间套定理证明（最新版）目录1.区间套定理的概念和背景2.区间套定理的证明方法3.区间套定理的应用示例4.总结正文一、区间套定理的概念和背景区间套定理，又称为 Bolzano 定理或 Bolzano-Weierstrass 定理，是微积分学中一个重要的定理。
该定理指出，若函数在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b)，则至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = 0。
该定理是由 19 世纪意大利数学家 Bolzano 和德国数学家Weierstrass 分别独立发现的，它是分析学中的一个基本定理，被广泛应用于数学分析、物理学、经济学等各种学科领域。
二、区间套定理的证明方法区间套定理的证明方法有很多种，其中比较常见的证明方法是采用实数完备性定理，也就是采用ε-δ语言进行证明。
证明：假设函数 f(x) 满足题目中的条件，即在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且 f(a) = f(b)。
我们需要证明至少存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = 0。
我们采用反证法，假设在区间 (a, b) 内，函数 f(x) 的导数恒不为零，即对于任意的 x ∈ (a, b)，都有 f"(x) ≠ 0。
由于 f"(x) 在 (a, b) 内恒不为零，我们可以找到一个δ > 0，使得当|x - x0| < δ时，有|f"(x) - f"(x0)| < ε，其中ε是任意小的正数。
由于 f(a) = f(b)，根据拉格朗日中值定理，存在一点 c ∈ (a, b)，使得 f"(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
由于 f"(x) 在 (a, b) 内恒不为零，我们可以得到|c - x0| < δ，进而有|f"(c) - f"(x0)| < ε。
闭区间套定理证明
闭区间套定理证明闭区间套定理（compact nested intervals theorem）是实分析中的一个基本定理，它描述了有限个闭区间的交集为非空且是一个闭区间。
以下是闭区间套定理的证明：设$I_1, I_2, ..., I_n$ 是$n$ 个实数区间，其中$I_1$ 是$[a_1, b_1]$，$I_2$ 是$[a_2, b_2]$，...，$I_n$ 是$[a_n, b_n]$。
假设这些区间是按照长度递增的顺序排列的，即$b_1 \leq b_2 \leq ... \leq b_n$。
我们需要证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是非空的，并且是一个闭区间。
首先，我们可以证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是非空的。
假设$\bigcap_{i=1}^n I_i = \emptyset$，则对于任意$i \in \{1, 2, ..., n\}$，$I_i$ 不包含任何实数。
因此，$b_i < a_i$，这意味着$I_1 \cap I_2 \cap ... \cap I_n = \emptyset$，与假设矛盾。
因此，$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是非空的。
接下来，我们需要证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 是一个闭区间。
为了证明这一点，我们需要证明$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 的左端点和右端点都是实数。
设$x$ 是$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 的左端点，即$x \leq b_1, b_2, ..., b_n$。
由于$I_i$ 是一个闭区间，因此$b_i$ 是$I_i$ 的右端点。
因此，$x \leq b_i$ 对于所有$i \in \{1, 2, ..., n\}$ 都成立。
由于这些区间是按照长度递增的顺序排列的，因此存在一个$j$，使得$b_j < x$。
因此，$x$ 是一个实数。
类似地，设$x$ 是$\bigcap_{i=1}^n I_i$ 的右端点，即$x \geq a_1, a_2, ..., a_n$。
区间套定理和b—ω定理的推广
区间套定理和b—ω定理的推广
闭区间：数轴上任意两点a、b和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间，用[a,b]表示。
与闭区间相对应的是开区间，开区间是不包含这两点的两点之间的线段所组成的区间，用(a,b)表示。
闭区间嵌套定理:闭区间有无限个，第二个闭区间包含在第一个区间中，第三个包含在第二个区间中，以此类推(后一段会包含在前一段中)。
这些区间的长度形成了一个无限序列。
如果数列的极限趋近于0(即这些线段的长度最终趋近于0)，这些区间的左端点最终趋近于右端点，即左右两端点收敛于数轴。
闭区间定理中的闭区间条件是必要的，否则结论可能不成立。
例如区间列In=(0,1/n)，n=1,2,3……，满足定理中除了闭区间外的其他全部条件，但是所有区间的交集是空集。
但是，如果将上下界的单调性改为严格的，就有“开区间套”定理：
若In=(an,bn)，n为自然数，
a1<a2<……<an<……<bn<……<b2<b1，且有当n趋近于无穷时|In|=bn-an趋近于0，
则存在唯一一点c属于所有区间In的交集。
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重庆三峡学院数学分析课程论文闭区间套定理的证明、推广及应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名姜清亭年级 2009级学号 ************指导教师刘学飞2011年5月闭区间套定理的证明、推广及应用姜清亭（重庆三峡学院 数学与统计学院 09级数本（1）班）摘 要 闭区间套定理是数学分析中一个重要定理,可以应用到数学教学、科学研究及日常生活中。
同时得到与之相应的若干定理，并使闭区间套定理得到推广。
其中在数学教学中的应用最突出的地方是证明某些数学定理,如零点定理。
关键词 开区间套定理 闭区闭套定理 聚点定理证明 有界性定理证明1 空间上的区间套定理定理1 (闭区间套定理) 设有闭区间列｛[],n n a b ｝若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一数属于l 。
所有的闭区间（即[]1,n n n a b l ∞==），且lim lim n n n n a b l →∞→∞== 证明:由条件1可知，数列增加有上界1b ，数列｛n b ｝单调减少有下界1a ，1221.........n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤根据公理，数列｛n a ｝收敛，设lim n n a →∞=l ．由条件2 有()lim lim ()lim lim 0n n n n n n n n nx n n b b a a b a a l l →∞→∞→∞→∞=-+=-+=+=于是，lim lim n n n n a b l →∞→∞==，对任意取定的,n k N k +∈∀,有k nn k a a b b ≤≤，从而，lim lim k n n k n n a a l b b →∞→∞≤==≤， 或k k a l b ≤≤，即l 属于所有的闭区间．证明l 唯一性．假设还有一个'l 也属于所有的闭区间，从而'',,,,n n n n n N l l a b l l b a +⎡⎤∀∈∈-≤-⎣⎦有有有条件2),有'l l =即l 是唯一的．2 闭区间套定理的推广定理2 （开区间套定理）若开区间列｛(),n n a b ｝，若1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 )(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理知，存在唯一数l 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =l证：由条件⑴知：1221b b b a a a n n ≤≤⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅⋅⋅≤≤， 即{}()的数列，是单调增加有上界1b a n {}的数列。
是单调减少有下界1a b n根据公理：{}{}收敛。
收敛，n n b a设,lim l a n n =∞→由⑵知：()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b即：l b a n n n n ==∞→∞→lim lim对任意取定的k ，(){}{}单调减少，单调增加，，n n b a n ∀于是：k n n n n k b b l a a ≤==≤∞←∞→lim lim即：,k k b l a ≤≤ 即l 属于所有的闭区间。
证明：l 是唯一性，应用反证法。
假设还有l l ≠'也属于所有的闭区间，从而对任意[]n n n n a b l l b a l l N n -≤'-<∈'∈0,,,,有有.根据极限的不等式性质有：()0lim >'-≥-∞→l l a b n n n ，与条件⑵矛盾，所以l 是唯一的。
闭区间套定理也是实数连续性的一种描述，即不是实数集可能不成立。
例1. 在有理数集上，[]n n b a ,，,11,111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n b n a这是一个闭区间套列，但是在有理数集上不存在一点属于所有的区间。
推论1 （半开半闭区间套定理） 若半开半闭区间列{}(,]n n a b 满足：1 11,a n nn n n N a b b +++∀∈≤有2 lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一数属于l 所有的开区间（即()1,n n n a b l ∞==）1 lim lim n n n n a b l →∞→∞==2 [](),123.........n n a b n ξ∈=同理 半闭半开区间列在相应条件下，有相同的结论．特别的，若定理1和推论1中区间 列的端点组成的数列{}n a 时结论（1）为lim n n a b ξ→∞==推论2 若开区间列｛(),n n a b ｝满足1 ,n N +∀∈，11nn n n a ab b ++<<<2 lim()0n n n b a →∞-=则存在一个实数l 属于所有的开区间｛()1,n n n a b l ∞==｝，且l =lim lim n n n n a b →∞→∞= 证明 据条件1 和2 由定理1和定理2显然可得l =lim lim n n n n a b →∞→∞=且(),nn l ab ∈n=1，2，3，．．．．3 闭区间套定理的应用例1 用区间套定理证明有界性定理证明:()f x 在[],a b 上无界，则等分[],a b ，即[],a b = ,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，至 少有一个子区间上()f x 无界，不妨为()11,a b ，将()11,a b 等分，则存在子()22,a b ，使得()f x 在()22,a b 上无界，依此类推，不断等分区间，则得到无穷区间列(),n n a b1 [][][]1122,,....,....n n a b a b a b ⊃⊃⊃2 1102n n nb a b a --=→ n →∞ 3 ()f x 在(),n n a b 上无界， 由1 和2根据区间套定理∃唯一[],,a b ξ∈使lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==而由于3n z +∀∈[](),,nx n n n a b f x n ∃∈使，从而 得到一点列{}()()n s t x ,0n n n x f x f x ξ→→及函数列，且 n →∞由数列极限与连续函数极限的关系应用n x ξ→、()()f x fξ→，这与()f x →∞矛盾所以假设不成立 从而有界性定理得证． 例2 用闭区间套证明聚点聚点定理：有界无限点集E 至少有一个聚点ξ定义：设E 是数轴上的点集，ξ是一个定点，若点ξ的任意邻域内都含有E 的不同于ξ的一点，则称点ξ是点集E 的聚点。
证明 因为点集E 有界，所以存在闭区间[]11,a b ,使[]11,E a b ⊂ 将闭区间[]11,a b 二等分1111,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，至少有一个闭区间含有额的无限多个点，否则闭区间[]11, a b 只含有E 的有限个点，与已知条件矛盾，设含有E 的无限多个点的哪个闭区间表为[]22,a b ，如果二个闭区间都含有111,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦都含有E 的无限多个点，则任取其一．再将闭区间[]22,a b 二等分为222222,,22a b a b a b ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，同样至少有一个闭区间E 含有无限多个点，将此闭区间表为[]33,a b ． 同样方法 无限次作下去，构造闭区间套1 [][][][]112233,,,.....,.....n n a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃2 ()111lim lim02n n n n n b a b a -→∞→∞--==每个闭区间[],n n a b 都含有E 的无限多个点，根据闭区间套定理，存在唯一ξ所有的闭区间[],n n a b n N +∀∈，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==，已知有n N +∀∈，有n n a b ξ≤≤，根据极限的保序性，0ξ∀k N +∃∈有k a ξςξξς-≤+即[]()(),,,k k a b ξςξςξς⊂-+=，已知闭区间(),k k a b 含有E 的无限多个点，从而(),ξς因为含有E 的无限多个点，即ξ是E 的聚点．参考文献1 刘玉琏等编 数学分析讲义上册 [M], 北京：.高等教育出版社（第四版） 2003R空间的区间套定理【J】高等数学研究 2004，7（1）2张伟、许宏伟n3陈娓区间套定理极其应用[J] 长沙大学学报 200014（2）4刘玉琏等编数学分析讲义下册 [M], 北京：.高等教育出版社（第四版） 20035 毛一波.闭区间套定理的推广[J].渝西学院报（自然）The proof close nested interval theorem and its extension and applicationJiangQingTing(Class one of Grand 2009,Mathematics and statistics institute,College,Chongqing institute Three Goreges University (404000) )Abstract The Closed interval set of theorem is an important theorem in mathematics analysis, can be applied to the mathematics teaching, scientific research and daily life. And get some corresponding theorem and make closed interval set of theorem promoted. In mathematics teaching of the application is the most prominent place to prove some math theorem, such as zero theorem.Keywords Closed interval set of theorem CloseTheorem of Interval Accumulation point theorem proving Boundedness theorem .。