因式分解技巧及练习题附解析
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5．若三角形的三边长分别为 、 、 ，满足 ，则这个三角形是（）
A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
首先将原式变形为 ，可以得到 或 或 ，进而得到 或 ．从而得出△ABC的形状．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 或 (舍去)，
∴ 或 ，
∴△ABC是等腰三角形．
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
16．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题的关键．
19．下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣1＝
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．
【详解】
A．4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B．a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C．a2﹣2a﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；
4．已知 ，则 的值为( )
A． B．2C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用因式分解以及积的乘方的逆用将 变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．
【详解】
∵ ，
∴
=x3y3(2x-y)
=(xy)3(2x-y)
=23×
= ，
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【详解】
A、（x+2）（x-2）=x2-4，是多项式乘法，故此选项错误；
B、x2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；
C、x2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误；
D、x2-4=（x+2）（x-2），正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
20．已知 、 、 为 的三边长，且满足 ，则 是（）
直接提取公因式进而计算得出答案．
【详解】
（-2）201+（-2）200
=（-2）200×（-2+1）
=-2200．
故选：A．
【点睛】
此题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．多项式 提公因式后，另一个因式为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
各项都有因式y（a-b），根据因式分解法则提公因式解答.
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
18．多项式 与 的公因式是()
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接将原式分别分解因式，进而得出公因式即可．
【详解】
解：∵a2-25=（a+5）（a-5），a2-5a=a（a-5），
∴多项式a2-25与a2-5a的公因式是a-5．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）
A．60B．16C．30D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．
故选：C.
【点睛】
考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．
13．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）
A．（a+3）（a-3）=a2-9B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1C．a2b+ab2=ab（a+b）D．x2+1=x（x+ ）
【答案】C
C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查因式分解．
2．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）
A．2x B．﹣4x C．4x4D．4x
【答案】A
【解析】
【分析】
分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.
【详解】
=
= ，
故提公因式后，另一个因式为： ，
故选：B.
【点睛】
此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.
10．若 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将原式进行变形， ，然后利用完全平方公式的变形 求得a-b的值，从而求解．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
∴
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
所以，a2−b2＝0或c2−a2−b2＝0，
即a＝b或a2＋b2＝c2，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
14．下列各因式分解的结果正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．
【详解】
=a（a+1）（a-1），故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
不能分解因式，故D错误，
故选：C．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．
15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．12xy2＝3xy•4yB．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．
6．已知 ，那么 的值为（）
A．2018B．2019C．2020D．2021．
【答案】B
【解析】
【分析】
将 进行因式分解为 ，因为左右两边相等，故可以求出x得值．
【详解】
解：
∴
∴x=2019
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．
11．下列变形，属于因式分解的有（ ）
①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16；④x2+x＝x（x+1）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】
∵矩形的周长为10，
∴a+b=5，
∵矩形的面积为6，
∴ab=6，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=30．
故选：C．
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
8．计算 的结果是（）
A． B． C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因式分解技巧及练习题附解析
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2
C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
【详解】
A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；
B、x2-x=x（x-1），故选项正确；
C、x-1=x（1- ），不是分解因式，故选项错误；
D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
17．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是
A．8a2b=2a·4abB．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)
C．4x2+8x-4=4x D．4my-2=2(2my-1)
故选A.
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.
3．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2-x+2=x（x-1）+2B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1- ）D．（x-1）2=x2-2x+1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、因式中含有分式，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【详解】A、4x2+ Nhomakorabea+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；
B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
D、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．
【详解】
A选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.
B选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.
C选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.
D选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：①x2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；
②x2+3x-16=x（x+3）-16，不是因式分解；
③（x+4）（x-4）=x2-16，是整式乘法；
④x2+x=x(x+1))，是因式分解．
故选B．
12．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（）
A． B．
C． D．
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．
【详解】
移项得，a2c2−b2c2−a4＋b4＝0，
c2（a2−b2）−（a2＋b2）（a2−b2）＝0，
（a2−b2）（c2−a2−b2）＝0，
A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
首先将原式变形为 ，可以得到 或 或 ，进而得到 或 ．从而得出△ABC的形状．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ 或 或 (舍去)，
∴ 或 ，
∴△ABC是等腰三角形．
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
16．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）
A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题的关键．
19．下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣1＝
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．
【详解】
A．4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；
B．a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；
C．a2﹣2a﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；
4．已知 ，则 的值为( )
A． B．2C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用因式分解以及积的乘方的逆用将 变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．
【详解】
∵ ，
∴
=x3y3(2x-y)
=(xy)3(2x-y)
=23×
= ，
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【详解】
A、（x+2）（x-2）=x2-4，是多项式乘法，故此选项错误；
B、x2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；
C、x2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误；
D、x2-4=（x+2）（x-2），正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
20．已知 、 、 为 的三边长，且满足 ，则 是（）
直接提取公因式进而计算得出答案．
【详解】
（-2）201+（-2）200
=（-2）200×（-2+1）
=-2200．
故选：A．
【点睛】
此题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．多项式 提公因式后，另一个因式为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
各项都有因式y（a-b），根据因式分解法则提公因式解答.
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
18．多项式 与 的公因式是()
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接将原式分别分解因式，进而得出公因式即可．
【详解】
解：∵a2-25=（a+5）（a-5），a2-5a=a（a-5），
∴多项式a2-25与a2-5a的公因式是a-5．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是因式分解中提取公因式和平方差公式，正确的掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）
A．60B．16C．30D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．
故选：C.
【点睛】
考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．
13．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）
A．（a+3）（a-3）=a2-9B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1C．a2b+ab2=ab（a+b）D．x2+1=x（x+ ）
【答案】C
C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题考查因式分解．
2．将多项式4x2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）
A．2x B．﹣4x C．4x4D．4x
【答案】A
【解析】
【分析】
分别将四个选项中的式子与多项式4x2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案.
【详解】
=
= ，
故提公因式后，另一个因式为： ，
故选：B.
【点睛】
此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.
10．若 ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将原式进行变形， ，然后利用完全平方公式的变形 求得a-b的值，从而求解．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
∴
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
所以，a2−b2＝0或c2−a2−b2＝0，
即a＝b或a2＋b2＝c2，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
14．下列各因式分解的结果正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．
【详解】
=a（a+1）（a-1），故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
不能分解因式，故D错误，
故选：C．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．
15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A．12xy2＝3xy•4yB．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．
6．已知 ，那么 的值为（）
A．2018B．2019C．2020D．2021．
【答案】B
【解析】
【分析】
将 进行因式分解为 ，因为左右两边相等，故可以求出x得值．
【详解】
解：
∴
∴x=2019
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．
11．下列变形，属于因式分解的有（ ）
①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）；②x2+3x﹣16＝x（x+3）﹣16；③（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16；④x2+x＝x（x+1）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】
∵矩形的周长为10，
∴a+b=5，
∵矩形的面积为6，
∴ab=6，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=30．
故选：C．
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
8．计算 的结果是（）
A． B． C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因式分解技巧及练习题附解析
一、选择题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2
C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
【详解】
A、x2-x+2=x（x-1）+2，不是分解因式，故选项错误；
B、x2-x=x（x-1），故选项正确；
C、x-1=x（1- ），不是分解因式，故选项错误；
D、（x-1）2=x2-2x+1，不是分解因式，故选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫做分解因式．掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，是多项式乘法，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
17．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是
A．8a2b=2a·4abB．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)
C．4x2+8x-4=4x D．4my-2=2(2my-1)
故选A.
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.
3．下列分解因式正确的是（ ）
A．x2-x+2=x（x-1）+2B．x2-x=x（x-1）C．x-1=x（1- ）D．（x-1）2=x2-2x+1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、因式中含有分式，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【详解】A、4x2+ Nhomakorabea+2x，不是完全平方式，不能利用完全平方公式进行因式分解，故符合题意；
B、4x2+1-4x=(2x-1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
D、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．
【详解】
A选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.
B选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.
C选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.
D选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：①x2-16=（x+4）（x-4），是因式分解；
②x2+3x-16=x（x+3）-16，不是因式分解；
③（x+4）（x-4）=x2-16，是整式乘法；
④x2+x=x(x+1))，是因式分解．
故选B．
12．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（）
A． B．
C． D．
A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．
【详解】
移项得，a2c2−b2c2−a4＋b4＝0，
c2（a2−b2）−（a2＋b2）（a2−b2）＝0，
（a2−b2）（c2−a2−b2）＝0，