MATLAB教程【9】工具箱

dsolve('D2y=-a^2*y','y(0)=1','Dy(pi/a)=0') ans = cos(a*t) y=dsolve('D2y+2*Dy+2*y=0','y(0)=1','Dy(0)=0')
y=
exp(-t)*cos(t)+exp(-t)*sin(t) >>ezplot(y)
例5：解微分方程组
• 符号微积分
• 符号微分方程
符号微分方程求解
符号微分方程求解指令：dsolve 命令格式：s=dsolve(‘f1’, ‘f2’,’g’,’x’) • f1,f2— 微分方程，可多至12个微分方程的求 解；g为初始条件 • 默认自变量为 ‘t',可任意指定自变量‘x', 'u'等 • 微分方程的各阶导数项以大写字母D表示
d 3u 0, u(0) 1 3 dx u' (0) 1, u'' π
d2y cos 2 x y 2 dx y(0) 1 y ' ( 0) 0
练习：求二阶微分方程
d2y a 2 y dt 2 y(0) 1, y ' ( a) 0 d2y dy 2 2 y 0, dt 2 dt y(0) 1, y ' (0) 0
df dt 3 f 4 g s=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g') df dg 3 f 4 g s= dt 4 f 3 g f: [1x1 sym] dt f ( 0 f , ( 0 ) 1 dg ) 4 0 g 3 g g: [1x1 sym] dt
x
dy 2 y 4x2 dx y(1) 2
《数学物理方程的Matlab解法与可视化》 彭芳麟 清华大学出版社
1.在一个图形窗口中以子图形式同时绘制正弦、 余弦、正切、余切曲线。给每条曲线设置不同 的颜色、线形，每个子图加上标题。
x=linspace(0,2*pi,60); y=sin(x);z=cos(x); t=sin(x)./(cos(x)+eps); ct=cos(x)./(sin(x)+eps); subplot(2,2,1); plot(x,y,'k:p');title('sin(x)');axis ([0,2*pi,-1,1]); subplot(2,2,2); plot(x,z,'r*');title('cos(x)');axis ([0,2*pi,-1,1]); subplot(2,2,3); plot(x,t,'g');title('tangent(x)');axis ([0,2*pi,-40,40]); subplot(2,2,4); plot(x,ct);title('cotangent(x)');axis ([0,2*pi,-40,40]);
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Signal Processing Toolbox——信号处理工具箱 Spline Toolbox——样条工具箱 Statistics Toolbox——统计工具箱 Symbolic Math Toolbox——符号数学工具箱 Simulink Toolbox——动态仿真工具箱 System Identification Toolbox——系统辨识工具 箱 • Wavelet Toolbox——小波工具箱 等等
[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1')
df 求微分方程组的解 g( x ) f ( x ) x 2 dx dg 2 g( x ) x dx
[f,g]=dsolve('Df=g-f+x^2,Dg=-2g-x','x')
（椭圆型）矩形区域的拉普拉斯方程
任意选取定解问题中参数的值,例如 取μ =1,a=1,b=1 事实上, 这个问题是有解析解如下式
（椭圆型）单位圆盘的泊松方程
该问题的公式为 -ΔU=1 边界上U=0。 该问题的精确解为
1 x2 y2 U ( x, y) 4
（抛物线型）受热金属块的热传导
例：用微分方程的数值解法和符号解 法解方程，并对结果进行比较。 解：1.先将方程写成一阶微分方程 令y(1)=x, y(2)=dx/dt,
dy (1) y ( 2) dt dy ( 2) 4 dt
d2x a ( a 4) 2 dt x0 2 v0 1
4.符号解法 s=dsolve('D2x=4','x(0)=2','Dx(0)=1')
• 前面课程所介绍的数值计算、符号运算、以 及绘图都是matlab主工具箱的内容，是 matlab的基本部分，也是我们课程的重点。 Matlab主工具箱位于： c:\matlab\toolbox\matlab matlab主工具箱是任何版本的matlab都不可 缺少的。
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1.6.1 符号运算工具箱
replaces OLD with NEW in the symbolic expression S.
0 -0.7071 -1.0000 -0.7071 -0.0000
dsolve('Dy=1+y^2') ans = dy 1 y2 tan(t+C1) dt
练习：求微分方程的通解
dy x 2 y 2 (1) y=dsolve('Dy=(x^2+y^2)/x^2/2','x') (1) 2 dx 2x y= dy x*(log(x)-2-C1)/(log(x)-C1) (2) x 2 2 xy e x dx
例3：求二阶微分方程
y=dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x') y= (1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))* sin(x)+(1/6*cos(3*x)1/2*cos(x))*cos(x)+4/3*co s(x) 例4：求三阶微分方程 u=dsolve('D3u=u','u(0)=1','Du(0)=-1','D2u(0)=pi','x')
• • • • • • • • • Matlab Main Toolbox——matlab主工具箱 Control System Toolbox——控制系统工具箱 Communication Toolbox——通讯工具箱 Financial Toolbox——财政金融工具箱 Fuzzy Logic Toolbox——模糊逻辑工具箱 Image Processing Toolbox——图象处理工具箱 Neural Network Toolbox——神经网络工具箱 Optimization Toolbox——优化工具箱 Partial Differential Toolb：
虚拟现实工具箱电力系统工具箱 仪器仪表控制工具箱报告编辑工具箱
工具箱的扩充功能：
用户可以修改工具箱中的函数， 更为重要的是用户可以通过编制 m 文件来任意地添加工具箱中原来没 有的工具函数。此功能充分体现了 matlab语言的开发性。
二、通用工具箱
1. Matlab主工具箱
一块受热的有矩形裂纹的金属块， 金属块的左侧被加热到100摄氏度， 在右侧热量以恒定速率降低到 周围空气中，其它边界独立。 即： (1) u=100 左侧（dirichilet条件） (2) u’=-10 右侧（Neumann条件） (3) u’=0 其它边界（Neumann条件） Rcdao.m
（双曲线型）方形薄膜的横向振动的波动方程
(2) y=dsolve('Dy*x^2+2*x*y-exp(x)','x') y= 1/x^2*exp(x)+1/x^2*C1 练习：求微分方程的特解 dy 2 xy 2 , y(0) 1 dx y=dsolve('Dy=2*x*y^2','y(0)=1','x') y= -1/(x^2-1)
方形薄膜左侧和右侧固定（u=0）, 前后两端自由（u’=0） 初始条件：t=0 u(0)=atan(cos(pi/2*x)) dudt(0)=3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y))
作业： dy x 1.求微分方程的解 dx y 1 x 2
y(1) 2
2.用微分方程的数值解法和 符号解法解方程，并对结果 进行比较。 3.演示p106页的例子。 推荐书目：
1.6.1 偏微分方程工具箱
• 工程中许多问题可以归结为偏微分方程问题， 这些由偏微分方程及边界条件、初始条件等构 成的数学模型，只有在十分特殊的条件下才能 求得解析解。 • 随着计算机技术的发展，各种数值方法应运而 生，如有限元法，有限差分法、拉格朗日元法 等。利用数值法，可以求得这些问题的数值解。 它不是问题的精确解，但可以无限接近精确解。 • MATLAB采用有限元法求解偏微分方程的数 值解。
• 主要功能以符号为对象的数学。 • 在大学教学中，符号数学是各专业都能 用到的。
• 符号运算无须事先对独立变量赋值，运 算结果以标准的符号形式表达。 • 特点： 运算对象可以是没赋值的符号变量 可以获得任意精度的解