空间角和距离专题

空间角和距离专题

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． （１）求异面直线所成的角

分别在直线n m ,上取两个定向量,,b a

则异面直线n m ,所成的角β等于向量b a ,所成的角或其补角θ，则||

cos cos ||||a b a b βθ⋅==⋅

特殊情形：0a b a b ⊥⇔= , 即异面直线a 垂直于b 。

例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成角的余弦值； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离

（２）求线面角

特殊情形：当(0)a n R λλλ=∈≠ 且，则直线a 与平面α垂直。

一般情形：在直线L 上取定AB （或与直线Ｌ共线的a ），求平面α

的法向量n （如图所示），再求cos ||||

AB n AB n θ⋅=⋅

则sin cos βθ==1||

cos ||||

AB n AB n θ⋅=⋅

注：,AB n θ〈〉= ，1,BA n θ〈〉= 且 1180θθ+= 如例1（2）问

（３）求二面角

方法1：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三

角形求角．

方法2：（法向量法）构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、 （都取向上的方向，如图所示）

1）若二面角βα--l 是“钝角型”的如图甲所示，那么其大小φ等于两法向量21n n 、的夹角的补角，

即 12

12cos cos .||||

n n n n φθ⋅=-=-⋅

2）若二面角βα--l 是“锐角型”如图乙所示，那么其大小φ

等于两法向量21n n 、的夹角即 12

12cos cos .||||n n n n φθ⋅==⋅

例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A ''是矩形，。平面平面ABCD B B A A ⊥'' （Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'

DAC 的距离．

（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角

A C A D -'-的大小为？ 60

例３．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．

（Ⅰ）求证：直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小的余弦值

2.求空间距离问题

图甲

构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离（推广到线面、面面之间的距离）

方法：如图，易知点A 到平面α的距离||cos ,d PA θ=

而

||cos ||||PA n PA n θ= ， ||||

PA n d n ∴=

其中n 是平面α的一个法向量，PA

是平面α的斜向量则

点A 到平面α的距离d 等于

在n 上的射影长，即点Ａ到平面α的距离为：|

|n d =

（２）求异面直线的距离

法一、找平面β使b β⊂且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面

β的距离．

法二：如图，d 是异面直线a 与 b 的距离，

n

是直线a 与b 的一个法向量 A 、 B 分别是

直线a , b 上的点，显然：||cos ,d AB θ=

又||cos ,||||AB n AB n θ= ||||

AB n d n ∴=

例4.如图，在正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D ，E 分别是棱BC 、1CC 的中点，12,AB AA == （Ⅰ）证明：1BE AB ⊥； （Ⅱ）求二面角1B AB D --的大小；

（Ⅲ）求异面直线1AB 与BE 的距离。 练习：

1、在正四面体S ABC -中，棱长为a ，E,Ｆ分别为SA 和BC 的中点，求异面直线BE 和SF 所成角的余弦值．

2、在边长为１的菱形ABCD 中，60ABC ︒

∠=，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD

＝１，求二面角B AC D --的余弦值．

3、在直三棱柱111ABC A B C -中，90A ︒

∠=，1,,O O G 分别为111,,BC BC AA 的中点，且

12AB AC AA ===．

（1）、求1O 到面11ACB 的距离；

（2）

（2）、求BC 到面11GBC 的距离．

4、 如图，在三棱椎P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，

90,BAC ∠= D ，E ，F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，

AB=AC=1，PA=2，

（Ⅰ）求直线PA 与平面DEF 所成角的大小； （Ⅱ）求点P 到平面DEF 的距离。

5、如图，直三棱ABC-A 1B 1C 1中， ∠ACB=90°，AC=AA 1=1，

，

AB 1与A 1B 相交于点D ，M 为B 1C 1的中点。

（1）求证：CD ⊥平面BDM ；（2）求平面B 1BD 与平面CBD 所成二面角的大小。