全国中学生物理竞赛真题汇编---近代物理学 参考答案

全国中学生物理竞赛真题汇编---近代物理学 参考答案

1．波长λ与频率ν的关系为 c

νλ

=

， （1）

光子的能量为 E h νν=， （2） 由式（1）、（2）可求得产生波长74.8610λ-=⨯m 谱线的光子的能量

194.0910E ν-=⨯J （3）

氢原子的能级能量为负值并与量子数n 的平方成反比： 2

1

n E k

n =-，n =1，2，3，… （4） 式中k 为正的比例常数。氢原子基态的量子数n =1，基态能量1E 已知，由式（4）可得出

1k E =- （5）

把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的n =2，3，4，5，… 各能级的能量，它们是

19221

5.45102E k -=-

=-⨯J ， 19321

2.42103E k -=-=-⨯J ，

19421

1.36104E k -=-=-⨯J ，

20521

8.72105E k -=-=-⨯J 。

比较以上数据，发现

1942 4.0910E E E ν-=-=⨯J 。 （6）

所以，这条谱线是电子从4n =的能级跃迁到2n =的能级时发出的。 评分标准：本题20分。

式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。 2。

3。

4。1．相距为ｒ的电量为Ｑ１与Ｑ２的两点电荷之间的库仑力ＦＱ与电势能ＵＱ公式为

ＦＱ＝ｋ（Ｑ１Ｑ２／ｒ２），ＵＱ＝－ｋ（Ｑ１Ｑ２／ｒ），①

现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为

Ｕ（ｒ）＝－ｋ（4ａｓ／3ｒ），

根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为

Ｆ（ｒ）＝－ｋ（4ａｓ／3ｒ2），②

设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为ｖ，因二者相距ｒ０，二者所受的向心力均为Ｆ（ｒ０），二者的运动方程均为ｍ1ｖ2／（ｒ０／2）＝ｋ（4ａｓ／3ｒ０2）．③

由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数ｎ＝1，得

2ｍ１ｖ（ｒ０／2）＝ｈ／2π．④

由③与④两式，解得

ｒ０＝3ｈ2／8π２ｍ１ａｓｋ，⑤

代入数据得

ｒ０＝1．4×10－17ｍ．⑥

2．由③、④两式，可得

ｖ＝（π／ｈ）（ｋ4ａｓ／3），⑦

由ｖ和ｒ０可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期Ｔ为

Ｔ＝2π（ｒ０／2）／ｖ＝ｈ3／2π２ｍ1（ｋ4ａｓ／3）2，⑧

代入数值得

Ｔ＝1．8×10－24ｓ，⑨

由此可知

τ／Ｔ＝0．22．（10）

因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的1／5，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的．

n 的第一激发态．已知氢原子的能量与其主量子5。为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是2

数的平方成反比．

2

1

n E K

n = （1） 又知基态（1n =）的能量为－13.58eV ，即

所以 13.58eV K =-

2n =的第一激发态的能量为

2211

13.58 3.39eV 42

E K ==-⨯=- （2）

为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为

21( 3.3913.58)eV=10.19eV E E E =-=-+内 （3） 这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即

191810.19eV=10.19 1.60210J=1.63210J h E ν==⨯⨯⨯内－－ （4） 式中ν为光子的频率，从开始碰到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有

0B A mv mv mv =++光子的动量 （5）

222011()22B A mv m v v h ν++= （6） 光子的动量h p c νν=。由（6）式可推得00

2h mv v ν

>，因为0v c <<，所以0h mv c ν>>，故（5）式中光子的动量与0

mv 相比较可忽略不计，（5）式变为

0()B B A A mv mv mv m v v =+=+ （7） 符合（6）、（7）两式的0v 的最小值可推求如下：由（6）式及（7）式可推得

2202

0011

()221()2B B A A A A mv m v v mv v h mv mv v v h νν+-+=--+=

200A A mv mv v h ν-+=

经配方得

2

20011240A m v v mv h ν⎛

⎫-- ⎪⎝⎭

+=

2

2001142A mv m v v h ν⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭+ （8） 由（8）式可看出，当01

2

A v v =时，0v 达到最小值0min v ，此时

B A v v = （9）

（10） 代入有关数据，得

40min 6.2510m /s v =⨯ （11） 答：B 原子的速度至少应为46.2510m /s ⨯．

6。（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为 220022 1.101(/)

m c v c =-

（1） 由此可解得

0.21

0.4170.42v c c =

=≈

（2） 入射光子和散射光子的动量分别为h p c ν=和h p c ν'

'=，方向如图复解19-6所121

13.58eV 1

E K ==-0min 2

h v m

ν

=图复解 19-6

光子散射方向 光子入射方向

光子入射方向

电子 θ A