江苏省梅村高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省梅村高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1.不等式401x x->-的解集是 ． 2.在等差数列51，47，43，……中，第一个负数项是第 项．3.若直线210ax y ++=与直线(1)10x a y +--=互相平行，那么a 的值等于 ．4.已知两点()3,1A 、()4,1--B 分别在直线013=++y ax 的异侧，则a 的取值范围 是 ．5.在△ABC中，若π,4B b ∠==，则C ∠= ． 6．已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a ． 7.已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 ．8.已知正数a 、b 满足210a b +=，则ba 21+的最小值为 ． 9．在正项等比数列{}n a 中，公比,1≠q ,2log ),log (log 219321721521a a Q a a P +=+= 则P 与Q 的大小关系是 ．10.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知2,,3c C ABC π==∆的则a b += ．11.已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是 ．12．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中 的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ．13．若0a >，0b >，2a b +=．则下列不等式：①1ab ≤；+≤； ③222a b +≥； ④111>+ba .其中成立的是 (写出所有正确命题的序号)． 14．定义函数[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[]1.5＝1，[]1.3-＝－2．当[)()0,x n n N *∈∈时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为_________．二．解答题（本大题共6小题，计90分） 15.（本小题14分）在△ABC 中，已知234AB BC CA ===，，，AD 是BAC ∠的平分线，AM 是BC 边上的中线.（1）求BD 的长；（2）求AM 的长.（写出推理过程）16．（本小题14分）已知在等比数列{}n a 中，143,81a a ==，若数列{}n b 满足：3log n n b a =，数列{}n c 满足：11n n n c b b +=，且数列{}n c 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）求n S ．17．（本小题14分）已知在△ABC 中， a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且272cos )]cos(1[2=-+-A C B （1）若C B A cos sin 2sin =，试判断△ABC 的形状； （2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值．18.（本小题16分）某市欲在2014年4月中旬举办一次花卉展，现有一占地1800平方米的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃（如图），种植有不同品种的观赏花卉，周围则均是宽为1米的赏花小径，设花圃占地面积为s 平方米,设矩形一边的长为x (如图所示) (1)试将s 表示为x 的函数;(2)问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积s 取得最大值．19.（本小题16分）若关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间 (1,3)内，记点(,)a b 对应的区域为S ．（1）设2z a b =-，求z 的取值范围；（2）过点(5,1)-的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域S ，求反射光线所在直线经过区域S 内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程． 20．（本小题16分）已知()x x f m log =(m 为常数，0>m ，且1≠m )，设()()()n a f a f a f ,,,21 ()+∈N n 是首项为4，公差为2的等差数列.()1求证：数列{}n a 是等比数列；()2若()n n n a f a b ⋅=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，当2=m 时，求n S ；()3若n n na a c lg =，问是否存在m ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.江苏省梅村高级中学2013—2014学年度第二学期高一数学期中试卷答案二．解答题15. 解：（1）1BD =；(参见教材第10页例5) …7分（2）AM =.(参见教材第16页例6) …14分 16． 解：（1） ∵ 在等比数列{}n a 中，143,81a a ==， ∴ 3q =∴ 113n n n a a q -== ……………………………………………5分 （2） ∵ 3log n n b a = ∴ 3log 3n n b n ==…………………………9分 （3） 由（2）可得 111(1)1n c n n n n ==-++ ∴ 1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+1111nn n =-=++ . ……………………………………14分18．解：(1) 由题知(2)2(3)(38)s a x a x a x =-+-=-，又180033,a x +=则6001,a x=- 所以6004800(1)(38)18083s x x x x=--=--；………………………8分 (2)480016001808318083()180********s x x x x=--=-+≤-=.(当且仅当40x = 时取等号)，此时另一边长为45米．答：当40x =米，另一边长为45米时花圃占地面积s 取最大值1568平方米．… 16分 19．解：（1）方程20x ax b ++=的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是：函数2()y f x x ==ax b ++与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，由此可得不等式组(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即010390b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩，………………………………………3分 则在坐标平面aOb 内，点(,)a b 对应的区域S 如图阴影部分所示，易得图中,,A B C 三点的坐标分别为(4,3),(3,0),(1,0)---, ………5分 令2z a b =-，则直线2b a z =-经过点A 时 z 取得最小值，经过点C 时z 取得最大值，即min max 11,2z z =-=-，又,,A B C 三点的值没有取到，所以112z -<<-； ………10分（2）过点(5,1)-的光线经x 轴反射后的光线必过点(5,1)--，……………11分 由图可知可能满足条件的整点为(3,1),(3,2),(2,2),(2,1)----，再结合不等式知点(3,1)-符合条件， ………………………………………13分所以此时直线方程为：1(1)1(5)3(5)y x --+=⋅+---，……………………………………14分即4y x =+ ………………………………………16分20. （1）由题意()42(1)22n f a n n =+-=+，即22,22log +=∴+=n n n m m a n a 2222)1(21m m m a a n n nn ==∴++++∴m>O 且m ≠1,∴m 2为非零常数，∴数列{}n a 是以4m 为首项，2m 为公比的等比数列………………………4分 （2）由题意222222)22(log )(+++⋅+===n n m n n n n m n m m a f a b当2=m 时，212)1(2)22(++⋅+=⋅+=n n n n n b25432)1(242322+⋅+++⋅+⋅+⋅=∴n n n S ① ①式乘以2，得326542)1(22423222++⋅++⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②②—①并整理，得3265432)1(222222++⋅++-----⋅-=n n n n S ，3333254332)1(21]21[222)1(]2222[2+++⋅++----=⋅++++++--=n n n n n nn n n n n ⋅=⋅++-+-=++333322)1()21(22 ………………………………………10分（3）由题意m m n a a c n n n n lg )22(lg 22+⋅+==， 要使c n-1<c n 对一切n ≥2成立，即m m n m n lg )1(lg 2⋅⋅+<对一切n ≥2成立， ①当m>l 时，n<(n+l)m 2对n ≥2恒成立 ………12分②当O<m<1时，n>(n+1)m 2221m m n ->∴对一切n ≥2成立，只需2122<⋅-m m 解得3636<<-m ，考虑到O<m<l ，360<<∴m。