江苏省梅村高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题

江苏省梅村高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题

一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1.不等式

4

01x x

->-的解集是 ． 2.在等差数列51，47，43，……中，第一个负数项是第 项．

3.若直线210ax y ++=与直线(1)10x a y +--=互相平行，那么a 的值等于 ．

4.已知两点()3,1A 、()4,1--B 分别在直线013=++y ax 的异侧，则a 的取值范围 是 ．

5.在△ABC

中，若π

,4

B b ∠=

=，则C ∠= ． 6．已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a ． 7.已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则2

12

b a a +的值

为 ．

8.已知正数a 、b 满足210a b +=，则

b

a 2

1+的最小值为 ． 9．在正项等比数列{}n a 中，公比,1≠q ,2log ),log (log 21

932

1721521a a Q a a P +=+= 则P 与Q 的大小关系是 ．

10.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知2,,3

c C ABC π

==∆的

则a b += ．

11.已知2,,z x y x y =+满足2y x

x y x m ≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值

是 ．

12．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中 的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ．

13．若0a >，0b >，2a b +=．则下列不等式：①1ab ≤；

+≤

； ③222a b +≥； ④

11

1>+b

a .其中成立的是 (写出所有正确命题的序号)． 14．定义函数[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[]1.5＝1，

[]1.3-＝－2．当[)()0,x n n N *∈∈时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元

素个数构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为_________．

二．解答题（本大题共6小题，计90分） 15.（本小题14分）

在△ABC 中，已知234AB BC CA ===，，，AD 是BAC ∠的平分线，AM 是BC 边上的中线.（1）求BD 的长；（2）求AM 的长.（写出推理过程）

16．（本小题14分）

已知在等比数列{}n a 中，143,81a a ==，若数列{}n b 满足：3log n n b a =，数列{}n c 满足：1

1

n n n c b b +=，且数列{}n c 的前n 项和为n S ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）求n S ．

17．（本小题14分）

已知在△ABC 中， a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且2

72cos )]cos(1[2=-+-A C B （1）若C B A cos sin 2sin =，试判断△ABC 的形状； （2）若a=

3，b+c=3，求b 和c 的值．

18.（本小题16分）

某市欲在2014年4月中旬举办一次花卉展，现有一占地1800平方米的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃（如图），种植有不同品种的观赏花卉，周围则均是宽为1米的赏花小径，设花圃占地面积为s 平方米,设矩形一边的长为x (如图所示) (1)试将s 表示为x 的函数;

(2)问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积s 取得最大值．

19.（本小题16分）

若关于x 的实系数方程20x ax b ++=有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间 (1,3)内，记点

(,)a b 对应的区域为S ．

（1）设2z a b =-，求z 的取值范围；

（2）过点(5,1)-的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域S ，求反射光线所在直线经过区域S 内的整点

（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程． 20．（本小题16分）

已知()x x f m log =(m 为常数，0>m ，且1≠m )，

设()()()n a f a f a f ,,,21 ()+∈N n 是首项为4，公差为2的等差数列.

()1求证：数列{}n a 是等比数列；

()2若()n n n a f a b ⋅=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，当2=

m 时，求n S ；

()3若n n n

a a c lg =，问是否存在m ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的范围；

若不存在，说明理由.

江苏省梅村高级中学2013—2014学年度第二学期

高一数学期中试卷答案

二．解答题

15. 解：（1）1BD =；(参见教材第10页例5) …7分

（2）AM =

.(参见教材第16页例6) …14分 16． 解：（1） ∵ 在等比数列{}n a 中，143,81a a ==， ∴ 3q =

∴ 113n n n a a q -== ……………………………………………5分 （2） ∵ 3log n n b a = ∴ 3log 3n n b n ==…………………………9分 （3） 由（2）可得 111

(1)1

n c n n n n =

=-

++ ∴ 1111111

(1)()()()223341n S n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-

+

1111

n

n n =-=

++ . ……………………………………14分