高考数学压轴题秒杀(20200617000431)
【2020山东高考压轴卷数学】2020年6月山东省2020届高考压轴模拟考试数学试卷含答案
谐项”，则数列{an)的所有“和谐项”的平方和为
A． 1 411 + 8
3
3
B． 1 411 − 4
3
3
C． 1 410 + 8
3
3
D． 1 412 − 4
3
3
8．已知函数
f
(x)
=
1 3 −
x2 − 1 x3
4 3
+
x + 4, x2 − x
x≥1, + 10
,
x＜1,
，若关于
x
的不等式
f
(x)≥
4 9
x−a
在
3
3
R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为
பைடு நூலகம்A．
−
44 27
,
92 27
B．
−
44 27
,
263 81
C．
263 81
,
92 27
D．
−∞,
−
44 27
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9．下图是 2010—2020 年这 11 年我国考研人数统计图，则关于这 11 年考研人数下列说 法错误的是
A． − 17 8
B． 7 8
C． 7 8
D．3
4．已知 a=log23，b=ln3，c=2－0.1，则 a，b，c 的大小关系为
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
5．古希腊时期，人们把宽与长之比为 5 −1 ( 5 −1≈0.618) 的矩形称为黄金矩形，把 22
浙江省2020年高考数学压轴卷含解析
浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}-{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）21+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．B ．8CD ．835．若实数满足不等式组，则( ),x y 02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值22-83-83C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值，无最大值2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x xe f x x e +=-e A ．B ．C ．D ．8．已知、，且，则（ ）a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b<sin sin a b>1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,210若对圆上任意一点，的取22(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为521x __________．13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()222210x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为l_________.14．已知函数，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．(1)a b cλλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数若在区间上方程只有一()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．m三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.()()222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求的单调递增区间;()f x (2)当时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱的底面是菱形，1111ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面平面；1ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.60BAD ∠=︒OB 11A B C20．等比数列的各项均为正数，且.{}n a 212326231,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log nn b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8AB ()03,My （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.AE ABC ∆22．已知函数.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）12011111x x t +->+0t ()f x参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.21+i =1-i 1+i 【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为，，d 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，{}n a 若，则.m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；224S ==h ==所以该四棱锥的体积是.11433V Sh ==⨯=故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；2222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩……设，则直线是一组平行线；3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；A z 022y x y =⎧⎨-=⎩(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）f （x ），()()()111111x x x x x x e e e x e x e x e--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，<0，()e 111e f +=-∴排除B ，故选A ．8．【答案】C 【解析】对于A 选项，取，，则成立，但，A 选项错误；1a =1b =-a b >11a b >对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；对于C 选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭项正确；对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >22a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】依题意表示到两条平行343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+(),P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，340x y a -+=3490x y --=22(1)(1)1x y -+-=故圆心到直线的距离，解得或（舍去）()1,1340x y a -+=3415ad -+=≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点S ABC -,,SA SB SC 111,,A B C则，设与平面所成角，111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅SB SAC θ，证毕.11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABCB SACSA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，P ABCD -,PE PF x y PB PD ==212343P ABCDV -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCDP ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y-=+即，又，3,31x x y xy y x +==-01,0131xx y x ≤≤≤=≤-解得112x ≤≤所以体积，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在递减，在递增()V t 1[,1]2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值，最大值，()V t 4(1)3V =13(2)()22V V ==四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【答案】1031165【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，n a {}n a 设数列的前n 项和为，则，解得，{}n a n S ()51512512a S -==-1531a =所以，.2110231a a ==()10105123116512S -==-故答案为：，.1031165【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．【答案】 325【解析】展开式的通项为，5552215521()r rrr r r T C C x x --+==令，解得，55022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1255T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.1x =5232=点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2y =【解析】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离l 1x ya b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得，又ab d c ===24ab =224163a b c =，代换可得，展开得：，同时除以222b c a =-()2224163a c a c -=224416162a c a c -=得：，整理得，解得或，又，4a 2416163e e -=()()223440e e --=243e =40b a >>所以，所以；2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ===b a ===by x a =±=故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】，(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=1a ∴=易知时，；0x <()2(0,1)xf x =∈又时，递增，故，0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需，()f x 20()0a log a ->⎧⎨-⎩…解得：.10a -<…故答案为：，.1[1,0)-15．【答案】1+【解析】令，则，因为，()1n b cλλ=+- n == 12λ-≤≤所以当，，因此当与同向时的模最大，1λ=-max n == n aa n + max 1a n a n +=+=+16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，4242A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．17．【答案】或1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩1}m =【解析】当时，由，得，即；当时，由01x ≤≤()1f x =()221x x m +=212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩2y x m =+上的大致图象如下图所示：[1,1]-结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡-⎣【解析】(1) 函数，()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-令，求得，222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈故函数f(x)的增区间为；,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦262x ππ-=-值为−2；当时，函数f(x).263x ππ-=⎡-⎣【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2（1）证明：由底面可得，1A O ⊥ABCD 1AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为，所以平面，1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，BD ⊂11BB D D 所以平面平面.1ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图1A O ⊥ABCD O OB OC 1OAx y z 所示空间直角坐标系，O xyz-则，，，，(1,0,0)BC (0,A 1(0,0,1)A ，，11A B AB ==()11A C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)m x y z =由，取得，1110000m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x=1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又，(1,0,0)OB =所以，cos ,||||OB mOB m OB m ⋅===所以与平面.OB 11A B C 20．【答案】（1）（2）13n n a =21nn -+（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a2a 6得＝9,所以q 2＝．23a23a24a 19由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．1313故数列{a n }的通项公式为a n ＝．13n（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．()21n n +故．()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列的前n 项和为1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭21n n -+21．【答案】（1）（224y x =【解析】（1）由题意知,126x x +=则,1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=抛物线的标准方程为∴24y x=（2）设直线:（）,AB x my n =+0m ≠由,得,24x my n y x =+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m∴+=,即,212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即,AB ()23y m m x -=--()5y m x =--可得点C 的坐标为,()5,0直线:,即,AB 232x my m =+-2230x my m -+-=点C 到直线的距离,∴AB d ()21412S AB d m ∴=⋅=+令,则（,t =223m t =-0t <<令,()()244f t t t=-⋅,令,则,()()2443f t t'∴=-()0ft '∴=t =在上；在上,⎛⎝()0f t '>()0f t '<故在单调递增,单调递减,()ft ⎛ ⎝当,即,∴t =m =maxS =22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭解析.【解析】（1）由，得，2()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭设，；则；2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()xx x g x e x +-'=⋅由，解得，()0g x '…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，()gx 1)1,)-+∞所以1min()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '…(0,)+∞所以；1(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.()f x ()fx a >因此有两个根，设为，且，()0f x '=10,tt 1001t t <<-<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又，，当充分大()1(0)1f t f >=()22()(1)(1)x x xf x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即()f x ()f x ()00f t <；()200010t t e a t +-⋅<又因为；()()0000220tf t t e at '=+-=所以：，解得，所以；()()000002202t tt t e t e +-⋅+<0t>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.()f xa ⎫+∞⎪⎪⎭（ⅱ）先证明不等式，若，，则.12,(0,)x x ∈+∞12x x≠211221112x x x xnx nx -+<<-证明：不妨设，即证，210x x >>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设，，，211x t x =>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+只需证且；()0g t <()0h t >因为，，()0g t '=<22(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.12011111x x t +->+由得；()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以，两边取对数得：()()2212221211xx x e x e x x ++=；()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即.()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为，()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x-+-+-<--+-++++所以，121221112x x x x +<<+++因此，要证.12011111x x t +->+只需证；1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，()f x ()0,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-只需证，即证，其中；()()1012f x f t x <-()()00f t x f t x +<-()0,0x t ∈-设，，只需证；()()00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得；()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--.()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦由在上单调递增，()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得，()()0003030y t e t <++--=所以；即在上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：；()0()(0)20r x r f t '''>==即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。
2020届江苏省高三下学期6月高考押题数学试题(解析版)
2020届江苏省高三下学期6月高考押题数学试题一、填空题1．已知集合{}1,0,1,2M =-，集合{}220N x x x =+-=，则集合M N =____________.【答案】{}1【解析】解出集合N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂. 【详解】{}1,0,1,2M =-，{}{}2202,1N x x x =+-==-，因此，{}1M N ⋂=.故答案为：{}1. 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数221z i i=++（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为_______． 【答案】1i -【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简得z ，再由共轭复数的定义得答案． 【详解】22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -∴=+=+=-+=+++- ∴1z i =-． 故答案为1i - 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题． 3．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[]50,150中，其频率分布直方图如图所示.已知在[)50,100中的频数为24，则n 的值为____________.【答案】60【解析】先求出[)50,100的概率，再用[)50,100中的频数除以概率即可. 【详解】根据直方图[)50,100的概率=()0.0040.012250.4+⨯= 又在[)50,100中的频数为24 所以总数24600.4n == 故答案为：60 【点睛】此题考查根据直方图部分样本数和概率计算总体样本数，注意直方图中概率就是频率等于纵坐标乘以组距，属于简单题目.4．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为____________.【答案】16 【解析】模拟运行程序，得到输出的b 的值. 【详解】1,1a b ==,3a ≤成立， 2,2,3b a a ==≤成立，224,3b a ===，3a ≤成立，4216,4b a ===，3a ≤不成立，输出16b =.故答案为：16. 【点睛】本题考查了读程序框图，得到运行结果，属于基础题.5．已知、、A B C 三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么A 排在C 后一天值班的概率为____________. 【答案】13【解析】用列举法求解出所有值班的情况，再找出满足题意的情况，用古典概型计算公式求解. 【详解】A ，B ，C 三人在三天中值班的情况有(),,A B C ，(),,A C B ，(),,B A C ，(),,B C A ，(),,C A B ，(),,C B A ，共6种；其中A 排在C 后一天值班的情况有(),,B C A ，(),,C A B ，共2种. 故所求概率2163P ==. 故答案为：13. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题；其重点是列举出所有可能，并找出满足条件的可能.6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为____________.【答案】4+【解析】求出斜高，计算各面的面积，求和可得正四棱锥的表面积. 【详解】如图所示，2,1PO OH ==，则PH =122PCD S =⨯=△故正四棱锥的表面积为2245445⨯+=+. 故答案为：445+【点睛】本题考查了求正四棱锥的表面积，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线经过点()3,6，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则该双曲线标准方程为____________.【答案】2219y x -=【解析】根据渐近线方程设双曲线的方程为229x y λ-=，将点()3,6的坐标代入双曲线的方程，求得实数λ的值，即可得出该双曲线的标准方程. 【详解】由于双曲线的两条渐近线方程是3y x =±，设该双曲线的方程为229x y λ-=， 将点()3,6的坐标代入双曲线的方程，得(229369λ=⨯-=-，所以，双曲线的方程为2299x y -=-，因此，该双曲线的标准方程为2219y x -=.故答案为：2219y x -=.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题. 8．已知5sin cos 5αα+=24sin cos αα+的值为____________. 【答案】1825【解析】先平方求出sin 2α，再利用二倍角公式求出4cos α，即可求解. 【详解】25sin cos 5αα+=()24sin cos 1sin 25ααα∴+=+=即1sin 25α=- 2123412sin 2122525cos αα=-=-⨯= 123182452525sin cos αα+=-+=故答案为：1825【点睛】此题考查二倍角公式，关键熟记二倍角的各种变形，属于简单题目.9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若351021,100a a S -==，则20S 的值为____________. 【答案】400【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出1,a d ，再利用前n 项和公式，求出20S . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由351021,100a a S ==﹣，则1112(2)(4)1109101002a d a d a d +-+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，得1a 1,d 2， 2012019204002S a d ⨯=+=. 故答案为：400. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 10．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如：2115315=+，它可以这样理解，假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人115，这样每人得11315+.形如2(5,7,9,)n n =…的分数的分解2115315=+，2117428=+，2119545=+，按此规律，2n=__________()5,7,9,n =….【答案】221(1)n n n +++ 【解析】由条件归纳可得2111(1)22n n n n =+++，化简即可得解.【详解】由题意2111151515315522=+=+++⨯，2111171717472228=+=+++⨯，2111191919592425=+=+++⨯⋅⋅⋅依次类推可得211221(1)1(1)22n n n n n n n =+=+++++.故答案为：221(1)n n n +++. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(2)4C x y -+=，点P 是圆C 外的一个动点，直线,PA PB 分别切圆C 于,A B 两点.若直线AB 过定点（1，1），则线段PO 长的最小值为____________.【解析】设()()()112200,,,A x y B x y P x y ，，，得出过A 点、B 点的圆C 的切线方程，又由点P 在过A 、B 的圆C 的切线上，可得出直线AB 的方程，由直线AB 过定点（1，1），得出关系002+y x =，表示PO =，根据二次函数的最值情况可求得线段PO 的长的最小值. 【详解】由圆22:(2)4C x y -+=，得22:40C x y x +-=，设()()()112200,,,A x y B x y P x y ，，，则过A 点的圆C 的切线方程为()111+2+0x x y y x x -=，过B 点的圆C 的切线方程为()222+2+0x x y y x x -=，又点P 在过A 、B 的圆C 的切线上，所以()101010+2+0x x y y x x -=，()222+2+0x x y y x x -=，所以直线AB 的方程为：()000+2+0x x y y x x -=，又直线AB 过定点（1，1），所以()000+2+10x y x -=，即002+y x =，所以()22222000000+224+4POx y x x x x =+=+=+，当01x =-时，线段PO 的长取得最小值2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及两点间的距离的最值，属于较难题.12．已知正实数,x y 满足211x x y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1x y +的最小值为____________.【答案】2【解析】将已知等式变形为214x yx y y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值.【详解】2222112141x x x x x x x x y y y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，214x y x y y x ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭， 214424x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=+≥⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当4x y y x =，即2y x =时取等号）， 12x y∴+≥，即1x y +的最小值为2.故答案为：2 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够将已知等式变形、配凑成符合基本不等式的形式.13．如图，在平行四边形ABCD 中， 2,,AB AD E F =分别为,AD DC 的中点，AF 与BE 交于点O .若125AD AB OF OB ⋅=⋅，则DAB ∠的余弦值为____________.【答案】317【解析】设,,AD a AB b DAB θ==∠=，,AO AF BO BE λμ==，确定O 点位置，又||2||b a =，将其它向量全部用基底,a b 表示出来，再化简125AD AB OF OB ⋅=⋅可得答案. 【详解】设,,AD a AB b DAB θ==∠=，,AO AF BO BE λμ==， 则12AF a b =+，12BE a b =-，得2AO a b λλ=+，2BO a b μμ=-， 又AB AO OB =+，得()()22b a b μλλμ=-++，则0212μλλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得24,55λμ==，得3335510OF AF a b ==+，2455BO a b =-， 设||,a m =则||2b m =，由125AD AB OF OB ⋅=⋅，有3324125()()51055a b a b a b ⋅=+⋅-+ 得222261824245(cos )252525m m m m θ=-++，得3cos 17θ=. 故答案为：317【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，向量共线的应用，平面向量数量积的运算，考查了学生分析能力，运算能力，难度较大.14．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且431tan tan A B +=，则3c b的最大值为____________. 【解析】先对431tan tan A B+=进行等价变形为4cos sin 3sin cos sin sin A B A B A B +=，再利用正弦定理()3sin 33sin sin sin A B c C B b B+==化简，再利用辅助角公式即可求最大值. 【详解】 由题意得4cos 3cos 1sin sin A B A B+=，即4cos sin 3sin cos sin sin A B A B A B +=根据正弦定理()3sin 33sin 3sin cos 3cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin sin A B c C A B A B A B A B A A B B B Bb ++-=====-即3sin cos 4c A b A A π⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭【点睛】此题考查正弦定理解三角形，三角函数的和差公式，辅助角公式，关键点是对式子的恒等变形，属于较易题目.二、解答题15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知向量(,2)m b a c =-，(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥．（1）求sin sin CA的值； （2）若2,35a m ==，求△ABC 的面积S ．【答案】（1）2（2）4【解析】（1）先根据向量垂直得到边角关系：(cos 2cos )+(2)cos 0b A C a c B --=，再由正弦定理将边的关系化角的关系，结合两角和的正弦以及三角形角的关系，即可求解；（2）由向量模的定义知22(2)45b a c +-=，又由（1）知2c a =，而2,a =所以三边都已确定，再由余弦定理求出cos A 的值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）(cos 2cos )+(2)cos 0m n b A C a c B ⊥⇒--=，由正弦定理得sin cos 2sin cos +sin cos 2sin cos B A B C A B C B --sin()2sin()sin 2sin 0A B B C C A =+-+=-=，所以sin 2sin CA=； （2）由35m =得22(2)45b a c +-=，又由（1）知2c a =，而2,a =所以解得4,3c b ==，由余弦定理得222715cos ,sin 28b c a A A bc +-===， 因此三角形面积为11153153422S bcsinA ==⨯⨯⨯=【考点】正余弦定理16．如图直三棱柱111ABC A B C -中12AC AA =，AC BC ⊥，D 、E 分别为11A C 、AB 的中点．求证：（1）AD ⊥平面BCD ；（2）1A E ∥平面BCD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)由判断定理，BC⊥AD，CD⊥AD，则AD⊥平面BCD. (2)A 1E//OD ，而OD ⊂平面BC D ∴A 1E//平面BCD 试题解析：（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC∴CC 1⊥BC，又∵AC⊥BC，AC CC 1=C ，AC ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ∴BC⊥平面AA 1C 1C ，而AD ⊂平面AA 1C 1C ∴BC⊥AD ① 又该直三棱柱中AA 1⊥A 1C 1，CC 1⊥A 1C 1 由已知AA 1=12AC=A 1D ，则∠A 1DA=4π同理∠C 1DC=4π，则∠ADC=2π，即CD⊥AD…由①BC⊥AD，BC CD=C ，BC ，CD ⊂平面BCD 得AD⊥平面BCD… （2）取BC 中点O ，连结DO 、OE ，∵AE=EB，CO=BO ∴OE 平行等于12AC ， 而A 1D 平行等于12AC ，∴A 1D 平行等于OE ∴四边形A 1DOE 为平行四边形… ∴A 1E//OD ，而A 1E ⊄平面BCD ，OD ⊂平面BCD ∴A 1E//平面BCD点睛：证明线面平行问题的答题模板第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线； 第二步：证明线线平行；第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行； 第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范．17．如图，某大型厂区有三个值班室,,A B C ，值班室A 在值班室B 的正北方向3千米处，值班室C 在值班室B 的正东方向4千米处．（1）保安甲沿CA 从值班室C 出发行至点P 处，此时2PC =，求PB 的距离； （2）保安甲沿CA 从值班室C 出发前往值班室A ，保安乙沿AB 从值班室A 出发前往值班室B ，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？ 【答案】（1）55BP =；（2）413小时．【解析】（1）在Rt ABC 中求得cos C 后，在PBC 中利用余弦定理可求得结果； （2）设甲乙出发后的时间为t 小时，在AMN 中，利用余弦定理可用t 表示出2MN ，解29MN >可求得结果. 【详解】（1）在Rt ABC 中，3AB =，4BC =，则5AC =，4cos 5C ∴=， 在PBC 中，由余弦定理得：2224362cos 1641655BP BC CP BC CP C =+-⋅=+-⨯=，655BP ∴=； （2）设甲乙出发后的时间为t 小时，甲在线段CA 上的位置为M ，乙在线段AB 上的位置为N ，则55AM t =-，3AN t =，且[]0,1t ∈，由（1）知：3cos 5A =， 在AMN 中，由余弦定理得：2222cos MN AM AN AM AN A =+-⋅， 即()()222218559555268255MN t t t t t t =-+--=-+， 若甲乙不能通话，则3MN >，即25268259t t -+>，解得：413t <或1t >， 又[]0,1t ∈，40,13t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭， ∴两人不能通话的时间为413小时. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点6⎛ ⎝⎭，离2.,A B是椭圆上两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为12.（1）求椭圆C 的方程； （2）求直线AB 的斜率；（3）设直线AB 交圆222:O x y a +=于,C D 两点，且6AB CD =求COD △的面积. 【答案】（1）22142x y +=；（2）22±；（3）2. 【解析】（1）利用离心率和已知点代入求出,a b 即可求出结果；（2）设()(),,,A x y B x y ''，设直线AB 的方程：y kx m =+，代入椭圆方程消y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理和直线OA 与OB 的斜率之积为12求出k 即可；（3）先写出直线方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式代入已知条件求出23m =，再利用面积公式即可得出结果. 【详解】（1）由题意得：2c e a ==和22222161,4a b c a b +=+=， 则224,2a b ==，所以椭圆C 的方程：22142x y +=.（2）设()(),,,A x y B x y ''， 又直线OA 与OB 的斜率之积为12， 所以直线AB 存在斜率，设为k ， 设直线AB 的方程：y kx m =+，代入22142x y +=整理得：()222124240k xkmx m +++-=，则()()2222221641224042k m kmm k ∆=-+->⇒<+，且2224122412km x x k m xx k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=+'⎩'⎪ ， 则()22222412m k yy k xx km x x m k -'''=+++=+，由题意得22241242OA OB yy m k k k xx m '-==='-， 即212k =，即2k =±， 所以直线AB的斜率为：2±. （3）由（2）知不妨设直线AB的斜率为2， 则直线AB的方程为：y x m =+， 设O 到直线AB 的距离为d ，则,d CD ===又AB x '=-=又AB CD =23m =， 所以122S COD d CD ==. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，利用韦达定理求直线的斜率，弦长公式等.属于中档题.19．已知数列{}()*n a n N ∈的前n 项和为nS，()2n n nS a λ=+（λ为常数）对于任意的*n N ∈恒成立．（1）若11a =，求λ的值； （2）证明：数列{}n a 是等差数列；（3）若22a =，关于m 的不等式21m S m m -<+有且仅有两个不同的整数解，求λ的取值范围．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）将1n =代入已知等式即可求得结果；（2）利用11n n n S S a ++-=可得到递推关系()1121n n n a n a na λ++=+-+，将1n +换成n 后两式作差可得到112n n n a a a +-+=，从而证得结论； （3）将不等式化为()2312m m m λ-⋅-<+，令22t λ-=，则不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个，通过分析可知除3m =以外只能有1个m 符合要求；当4m ≥时，通过导数可求得()max 1534m m m ⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦，分别讨论54t ≤、5342t <<和32t ≥时m 的取值，得到符合题意的范围后，解不等式求得结果. 【详解】（1）当1n =时，()11112S a a λ=+=，112a a λ∴=+，解得：11a λ==； （2）由（1）知：()()()11221n n n n S n a S n a λλ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，()1121n n n a n a na λ++∴=+-+，*n N ∈，()()1112121n n n n n n a n a na a na n a λλ++-⎧=+-+⎪∴⎨=--+⎪⎩，则()()11122121n n n n n a a n a na n a ++--=+-+-， ()()()111121n n n n a n a n a +-∴-+-=-，又2n ≥，*n N ∈，10n ∴->，∴112n n n a a a +-+=对任意2n ≥，*n N ∈成立，∴数列{}n a 是等差数列；（3）由（2）可知：21m S m m -<+，即()11212m m ma d m m -+-<+， 即()()12212m m m m m λλ-+--<+，()2312m m m λ⋅∴--<+， 令22t λ-=，题目条件转化为满足不等式()31t m m m -<+的正整数解只有两个， 若1m =符合，则22t <，即1t <；若2m =符合，则23t <， 1.5t <； 若3m =符合，则t 为任意实数，即除3m =以外只能有1个m 符合要求.当4m ≥，*m N ∈时，()31tm m m -<+，解得：()13m t m m +<-，令15x m =+≥，则()()()1143145m x m m x x x x+==----+， 令()45f x x x =-+，则()222441x f x x x-'=-=， 当5x ≥时，()0f x '>恒成立，()f x ∴在[)5,+∞上单调递增，()()min455f x f ∴==，()max 1534m m m ⎡⎤+∴=⎢⎥-⎣⎦，∴当54t ≤时，至少存在2m =、3、4满足不等式，不符合要求； 当5342t <<时，对于任意4m ≥，*m N ∈都不满足不等式，1m =也不满足， 此时只有2m =、3满足； 当32t ≥时，只有3m =符合； 故5342t <<，即523422λ-<<，解得：112λ-<<-或952λ<<； ∴λ的取值范围是191,,522⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到数列中的项的求解、根据递推关系式证明数列为等差数列、根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题；本题中求解参数范围的关键是能够将不等式进行化简，结合最值采用分类讨论的方式确定整数解的个数，从而构造不等式求得结果，属于难题.20．已知函数()ln 1xf x ax =+（a ∈R ，且a 为常数）． （1）若函数()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -（e 为自然对数的底数），求a 的值；（2）若函数()y f x =在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围； （3）已知(),1,2x y ∈，且3x y +=．求证：()()23ln 23ln 011x x y y x y --+≤--．【答案】（1）1-或2e e -；（2）{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭；（3）详见解析． 【解析】（1）根据导数几何意义知()()211f e e e '=-，由此构造方程求得结果；（2）将问题转化为1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠恒成立的问题，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，分别在0a =、0a >和102a -≤<或1a ≤-时，结合函数单调性确定最小值，令()min 0x ϕ≥，从而求得a 的取值范围；（3）根据（2）的结论可知()f x 在()1,2上单调递增，分类讨论可确定()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--，将不等关系代入所求不等式左侧，结合对数运算可整理得到结果. 【详解】（1）由题意得：()()()()2211ln 1ln 11ax a x ax ax xx f xax x ax +-+-'==++ ()y f x =的图象在x e =处的切线的斜率为()211e e -，()()211f e e e '∴=-，()()221ln 111ae ae e e ae e e +-∴=+-，解得：()()2211ae e +=-，()11ae e ∴+=±-，1a ∴=-或2e e-； （2）函数()f x 在()1,2上单调递增，∴对于任意的()1,2x ∈，都有()0f x '≥恒成立即1ln 0ax ax x +-≥且10ax +≠，当0a =，10≥恒成立，满足题意； 当0a ≠时，由1x a ≠-得：()11,2a-∉，即0a >或102a -≤<或1a ≤-，令()1ln x ax ax x ϕ=+-，则()ln x a x ϕ'=-，①当0a >且()1,2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ∴在()1,2上单调递减， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()20ϕ≥， 即212ln 20a a +-≥，解得：122ln 2a -≥-，0a ∴>满足题意；②当102a -≤<或1a ≤-，且()1,2x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()1,2上单调递增， 要使得1ln 0ax ax x +-≥恒成立，即要求()10ϕ≥， 即1ln10a a +-≥，解得：1a ≥-；102a ∴-≤<或1a =-综上所述：a 的取值范围是{}11,2⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭； （3）由（2）可知：当1a =-时，函数()f x 在()1,2上单调递增，此时()ln ln 11x xf x x x==-+-， 当312x <≤时，()332ln 22f x f ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，而230x -≤，()()()3232ln 232x f x x ∴-≥--，即()()()ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤--， 当322x ≤<时，()332ln 22f x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，而230x -≥，()()()3232ln 232x f x x ∴-≥--，即()()()2ln 3232ln 2312x x x x -≥---， ()()()23ln 32ln 2312x x x x -∴≤-- 综上，对于任意()1,2x ∈，都有()()()23ln 32ln 2312x x x x -≤--，()()()()()()()23ln 23ln 3332ln 232ln 232ln 22611222x x y y x y x y x y --∴+≤-+-=+---0=，结论得证.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式；本体证明不等式的关键是能够通过分类讨论的方式将()()23ln 1x xx --进行放缩，属于难题.21．曲线221x y +=在矩阵00a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()0,0a b >>对应的变换下得到曲线2219x y +=． （1）求矩阵A ；（2）求矩阵A 的特征向量． 【答案】（1）3001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）10⎡⎤⎢⎥⎣⎦和01⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）根据对应关系可得到x axy by ''=⎧⎨=⎩，代入椭圆方程整理，结合圆的方程可构造方程组求得,a b ，从而求得结果；（2）由()3001f λλλ-==-可求得1λ=或3，分别在1λ=或3两种情况下求得特征向量. 【详解】（1）设曲线221x y +=上的任意一点(),x y 在矩阵A 的对应变换作用下得到的点为(),x y ''，则00a x x b y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，x ax y by =∴=''⎧⎨⎩，222219a x b y ∴+=，22191a b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩， 又0,0a b >>，3a ∴=，1b =，3001A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦；（2）由()()()331001fλλλλλ-==--=-得：1λ=或3；当1λ=时，由200000x y x y -+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩得对应的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当3λ=时，由000020x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+=⎩得对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦；综上所述：矩阵A 的特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦和10⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵问题中的曲线的变换、特征向量的求解问题，属于常考题型. 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的坐标系中，直线l 的极坐标方程为()sin cos 2ρθθ+=，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求线段AB 的值.【解析】把曲线C 化简为直角坐标方程，和直线l 化成参数方程，利用参数的几何意义，求出弦长即可. 【详解】曲线22x C :y 14+=，直线l :x y 20+-=，设直线l的参数方程为222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入曲线C，得25t 240++=，设,A B 的参数分别为1t ，2t .>0∆成立，1t 5∴=-，2t =-∴弦长AB 12t t =-=【点睛】本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程，属于基础题．23．已知,,a b c 为正实数，满足3a b c ++=，求149a b c++的最小值．【答案】12【解析】利用柯西不等式可知()14936a b c a b c ⎛⎫∴++++≥⎪⎝⎭，由此求得结果. 【详解】 ,,a b c 均为正实数，()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴++++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=（当且仅当22249b c a ==时取等号），又3a b c ++=，14912a b c ++≥∴，即149a b c ++的最小值为12. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求解最值的问题，关键是能够将所求式子配凑成符合柯西不等式的形式.24．五个自然数1、2、3、4、5按照一定的顺序排成一列．（1）求2和4不相邻的概率；（2）定义：若两个数的和为6且相邻，称这两个数为一组“友好数”．随机变量ξ表示上述五个自然数组成的一个排列中“友好数”的组数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．【答案】（1）35；（2）分布列详见解析，()45E ξ=． 【解析】（1）利用插空法可求得2和4不相邻的事件总数，根据古典概型概率公式可求得结果；（2）确定ξ所有可能的取值，结合排列组合知识可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；利用数学期望计算公式计算可得期望.【详解】（1）记“2和4不相邻”为事件A ，则()32345535A A P A A ==； （2）ξ的所有可能取值为0,1,2，()22322355125A A A P A ξ===，()222223552215A A A P A ξ===，()121212242424225522205C A C A C A A P A ξ++===， ξ∴的分布列如下：()22140125555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，涉及到排列组合的相关知识；解题关键是能够准确确定随机变量可能的取值，并利用排列组合的知识求得每个取值对应的概率.25．已知2,*n n ≥∈N ，数列12:,,,n T a a a 中的每一项均在集合{}1,2,,M n =⋯中，且任意两项不相等，又对于任意的整数,(1)i j i j n ≤<≤，均有i j i a j a +≤+.记所有满足条件的数列T 的个数为n b .例如2n =时，满足条件的数列T 为1，2或2，1，所以22b =.（1）求3b ；（2）求n b .【答案】（1）3=4b （2）12n n b -=【解析】（1）直接利用关系式的应用求出结果．（2）直接利用数列的通项公式的应用和递推关系式的应用求出结果．【详解】（1）若a 1＝3，则1+3≤2+a 2，则a 2≥2，任意两项不相等，故a 2＝2，则a 3＝1． 若a 2＝3，则2+a 2≤3+a 3，则a 3≥2，故a 3＝2，则a 1＝1．若a 3＝3，则a 1＝1，a 2＝2，或a 1＝2，a 2＝3．所以当n ＝3时，满足条件的数列T 为3，2，1；1，3，2；1，2，3；2，1，3．故满足条件的T 为4，即3=4b .（2）设满足条件的数列T 的个数为b n ，显然b 1＝1，b 2＝2，b 3＝3．不等式i +a i ≤j +a j 中取j ＝i +1，则有i +a i ≤i +1+a i +1，即a i ≤1+a i +1．①当a 1＝n ，则a 2＝n ﹣1，同理a 3＝n ﹣2，…，a n ＝1．②当a i ＝n ，（2≤i ≤n ），则a i +1＝n ﹣1，同理a i +2＝n ﹣2，…，a n ＝i ．即a i ＝n 以后的各项是唯一确定的．a i ＝n 之前的满足条件的数列的个数为b i ﹣1．所以当n ≥2时，b n ＝b n ﹣1+b n ﹣2+…+b 1+1．（）．当n ≥3时，b n ﹣1＝b n ﹣2+b n ﹣3+…+b 1+1．代入（）式得到b n ＝b n ﹣1+b n ﹣1＝2b n ﹣1，且满足b 2＝2b 1．所以对任意n ≥2的，都有b n ＝2b n ﹣1，又b 1＝1，所以12n nb -=． 综上所述，满足条件的数列T 的个数12n nb -=.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，综合性较强．。
秒杀题型01圆锥曲线方程
2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型一：圆锥曲线方程【说明】：圆锥曲线方程是曲线的代数（方程）表示，由方程的特点确定其几何图形的特点及其具备的性质。
不同的方程代表不同的曲线，同类曲线方程不同其图形也有差异，这一专题重点解决这两个问题，即不同类曲线与同类曲线间的不同点。
且注意方程中的量与图形中的量的对应。
【考点涉及内容精荟】：I.椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>表示焦点在x 轴的椭圆的标准方程;22221(0)y x a b a b+=>>表示焦点在y 轴椭圆的标准方程。
(秒杀方法．．．．：分母大的为焦点所在轴。
) 几何性质：ⅰ.关于x 轴、y 轴成轴对称图形,关于原点成中心对称图形; ⅱ.222a b c =+，下图中可找见对应的特征直角三角形．．．．．．．．．．．．．．．．22OF B ；．应用：作图法找椭圆的焦点：以短轴的两个端点为圆心．．．．．．．．．．．,．以半长轴为半径作圆．．．．．．．．．,．与长轴的两个交点为椭圆的．．．．．．．．．．．． 焦点。
．．．II.双曲线：22221(0,0)x y a b a b -=>>表示焦点在x 轴上双曲线的标准方程;22221(0,0)y x a b a b-=>>表示焦点在y 轴上双曲线的标准方程(秒杀方法．．．．：系数为正的为焦点所在轴。
) 几何性质：ⅰ.关于x 轴、y 轴成轴对称图形,关于原点成中心对称图形; ⅱ.222c a b =+，特征三角形：原点、虚轴端点、实轴端点构成的直角三角形； III.抛物线：ⅰ.焦点在x 轴上:22y px =±;ⅱ.焦点在y 轴上:22x py =±(0)p >,p 表示焦点到准线的距离（秒杀方法：二次对应焦点所在轴．．．．．．．．．．．．．．）;ⅲ.焦点坐标:,02p ⎛⎫±⎪⎝⎭或0,2p ⎛⎫± ⎪⎝⎭;ⅳ.准线方程:2px =±或2p y =±。
2020年江苏省高考数学压轴试卷(6月份)(含答案解析)
2020年江苏省高考数学压轴试卷（6月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．2.已知复数，则______．3.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______．4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为______．5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是______．6.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．7.已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为，则的最小值是______．8.已知，都是锐角，，，则的值等于______．9.在体积为9的斜三棱柱中，S是上的一点，的体积为2，则三棱锥的体积为______10.在等差数列中，，则数列的前11项和等于______ ．11.如图，三棱锥中，已知平面ABC，是边长为2的正三角形，E为PC的中点．若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，则PA的长为______．12.如图，在四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交MN的延长线于不同的两点P，Q，则的值为______．13.已知函数，若有两个零点，，则的取值范围______．14.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求a的值；若，求周长的取值范围．16.如图，在直三棱柱中，，D，E分别是AB，AC的中点．求证：平面；求证：平面平面．17.如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处靠近B点，百米，，，百米，．求区域的面积；为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求当水管CH最短时的长．18.己知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．求椭圆C的方程；设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点，求直线PQ的斜率．19.数列的前n项和记为，且，数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若，且存在不小于3的正整数k，m，使若，，求，证明：数列为等差数列；若，是否存在整数m，k，使，若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由．20.已知函数．当时，求函数的图象在处的切线方程；若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围；若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围．21.求椭圆C：在矩阵对应的变换作用下所得曲线的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；在平面直角坐标系xOy中，，，M是曲线C上任意一点，求面积的最小值．23.已知x，y，z均为正数，且，求证：．24.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家库房中视为数量足够多的每件产品合格的概率为，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；若厂家发给商家20件产品，其中有4不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．25.已知数列满足，，其中m为常数，．求m，的值；猜想数列的通项公式，并证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：解析：【分析】利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解答】解：集合，，．故答案为：．2.答案：解析：解：复数，则，故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：8解析：解：高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，每个个体被抽到的概率是高二年级有40名学生，要抽取人，故答案为：8首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，求出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，是基础题．4.答案：205解析：解：模拟程序语言的运行过程，得：，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，满足条件，执行循环体，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为205．故答案为：205．根据已知中的程序代码，可知本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案．本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，以便得出输出的结果，是基础题目．5.答案：解析：解：由已知可知离心率，，即，双曲线焦点在y轴，渐近线方程为，即．故答案为：．利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：解析：【分析】由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的分几类还是分步的分几步，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：；他们同时选中B食堂的概率也为：；故们在同一个食堂用餐的概率故答案为：7.答案：7解析：【分析】本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，属于基础题．过P作准线l，交l于D，求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的定义，可得：当A，P，D三点共线时，取最小值．【解答】解：抛物线的焦点，准线l：，过P作准线l，交l于D，由抛物线的定义：，当且仅当A，P，D三点共线时，取最小值，最小值为，故答案为7．8.答案：解析：【分析】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．【解答】解：，都是锐角，，又，，，，则．故答案为：9.答案：1解析：解：如图，设三棱柱的底面积为，高为h，则，，再设S到底面ABC的距离为，则，得，，则S到上底面的距离为．三棱锥的体积为．故答案为：1．由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：132解析：解：等差数列中，，即，，，．故答案为：132．由已知条件，利用等差数列的通项公式推导出，由此利用等差数列的前n项和公式能求出．本题考查数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．11.答案：2或解析：解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，2，，0，，1，，1，，1，，，2，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得a，，直线AE与平面PBC所成角的正弦值为，，解得或．的长为2或．故答案为：2或．以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA的长．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.答案：0解析：解：设，，，则，，，，，，，，，，，又，，故答案为：0．建立坐标系，设，，，求出和的坐标，即可得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使运算较简单．13.答案：解析：解：当时，，则，，当时，，则，，综上可知，，令，得，依题意，有两个根，，不妨设，当时，，当时，，令，则，，设，则，在上单调递减，，的取值范围为．故答案为：．分析可知，，则有两个根，，令，则，故，再构造函数，利用导数求其取值范围即可．本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想及运算求解能力，属于较难题目．14.答案：解析：解：因为，当且仅当时取得等号，令，，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数，表示圆弧上一点到点点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值；故可得又，故可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．故答案为：．由已知可得，令，，可得，数形结合可知，又，可得，当且仅当，，也即三角形为等边三角形时，取得最大值．本题考查三角形中边角互化、面积以及利用基本不等式求最值时，代数式的变形技巧，本题的难点一是不会建立已知条件与目标式之间的关系；二是式子结构较复杂不会变形，三角函数与基本不等式交汇一直是高考考查的热点，也是难点，属于难题．15.答案：解：中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，利用三角函数关系式的展开式整理得，，，利用正弦定理得，解得．由得，，所以，整理得．所以三角形的周长为，，由于，故，所以所以三角形的周长的范围为．解析：直接利用三家函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．利用的结论和正弦定理及正弦型函数的性质的应用求出三角形的周长的范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力16.答案：证明：因为D，E分别是AB，AC的中点，所以，分又因为在三棱柱中，，所以分又平面，平面，所以平面分在直三棱柱中，底面ABC，又底面ABC，所以分又，，所以，分又，平面，且，所以平面分又平面，所以平面平面分解析：证明，即可证明平面；证明平面，即可证明平面平面．本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.答案：解：由题意得：，，，在中，，，解得百米分平方百米．分记，在中，，即，，，分当时，水管长最短，在中，百米分解析：由余弦定理求出百米，由此能求出区域的面积．记，在中，，求出，，当时，水管长最短，由此能求出当水管CH最短时的长．本题考查三角形面积的求法，考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.答案：解：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，所以，所以，故椭圆C的方程为：设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，设，，线段PQ的中点为，，，即因为，则，所以，化简得，解得或．解析：因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，由此列方程组可解得a，b，c．设直线PQ的方程为，当时，代入，得：，得到PQ的中点N的坐标后利用，则，所以，可解得．本题考查了椭圆的性质，属中档题．19.答案：解：由，得，，，；由，得，两式相减，得，，，两式相减，得，数列为等差数列；由题意，得，，，，，，且，，又，且为奇数，时，是整数，此时，，．解析：本题考查了等差中项和等差数学的证明，考查了方程思想和运算能力，属难题．根据，和，取，可直接求出；由，得，利用作差法可得，从而证明数列为等差数列；根据，可得关于m，k的方程，再由m，k为整数，可最终得到m，k的值．20.答案：解：时，，，则，又，故函数在处的切线方程为，即；，故，且，，，当即时，在恒成立，故在递增，故时，，故满足条件；当时，即时，由，得，，当时，，则在递减，故当时，，这与时，恒成立矛盾，故不满足条件，综上，a的范围是；当时，区间恒成立，故在递增，故不存在极值，故不满足条件，当时，，故函数的定义域是，由，得，，列表如下：x00递增极大值递减极小值递增由于在递减，此时极大值大于极小值，不合题意，故不满足条件；当时，由，解得：，列表如下：x2递减极小值递增此时仅存在极小值，不合题意，故时满足题意，当时，函数的定义域是，且，，列表如下：x00递增极大值递减递减极小值递增故存在极大值和极小值，此时，，故，，，，故，即，故满足题意，综上，a的范围是解析：代入a的值，根据以及，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数恒成立确定a的范围即可；通过讨论a的范围，结合函数的单调性结合函数的极值确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.答案：解：设是曲线上的任意一点，它是椭圆上的点在矩阵对应变换作用下的对应点，则：即：，所以代入椭圆，得到．解析：直接利用矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：矩阵的变换的应用，伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，曲线C的直角坐标方程为，将，代入得曲线C的极坐标方程为：．设点到直线AB：的距离为d，则，当时，d有最小值，．所以面积的最小值．解析：本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．曲线C的参数方程消去参数得到曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．设点到直线AB：的距离，求出d有最小值，由此能滶出面积的最小值．23.答案：证明：因为x，y，z均为正数，所以，，均为正数，由柯西不等式得，当且仅当时，等式成立．因为，所以，所以．解析：由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．24.答案：解：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，，，，的分布列为：012P因为只有件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件B，则，商家拒收这批产品的概率为．解析：“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，由此能求出至少有2件是合格品的概率．该商家可能检验出不合格产品数，可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；只有2件都合格时才接收这批产品，从而商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，由此能求出商家拒收这批产品的概率．本题考查概率、离散型别随机变量的分布列的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.答案：解：因为，所以，所以，此时；猜想：，用数学归纳法证明如下：当时，由可知结论成立，假设时结论成立，则有，则时，，由得：，又，于是，所以，故时结论也成立，由得，，解析：由，可求出，此时；猜想：，用数学归纳法证明即可．本题主要考查数列的递推式，以及数学归纳法，是中档题．。
2020年浙江省高考数学压轴试卷 (含答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<2}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {−1,0，1，2} 2. 复数5i−2的共轭复数是( )A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i3. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 84. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则四棱锥的表面积为( )A. 83B. 4√3C. 4√5+1D. 4(√5+1)5. 已知x 、y ∈R ，不等式组{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k 所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知直线l 1:mx +y −1=0，直线l 2:(m −2)x +my −1=0，则“l 1⊥l 2”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 函数f(x)=(e x +1)lnx 2e x −1(e 是自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.8. 已知实数a >b >0,m ∈R ，则下列不等式中成立的是( )A. (12)a <(12)bB. a −2>b −2C. m a >m bD. b+m a+m >ba 9. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB =2PN ，则三棱锥N −PAC 与四棱锥P −ABCD 的体积比为( )A. 1：2B. 1：3C. 1：6D. 1：810. 若对圆(x −1)2+(y −1)2=1上任意一点P(x,y)，|3x −4y +a|+|3x −4y −9|的取值与x ，y无关，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤−4B. −4≤a ≤6C. a ≤−4或a ≥6D. a ≥6二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为______ ．12. 在二项式(√2+x)9的展开式中，常数项是_____________，系数为有理数的项的个数是______________．13. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)，焦距为2c ，直线l 经过点(a,0)和(0,b)，若(−a,0)到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为______． 14. 已知函数f(x)={|x +a|+|x −1|,x >0x 2−ax +2,x ≤0的最小值为a +1，则实数a 的取值范围为____________． 15. 若平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|2a ⃗ +b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b⃗ 的取值范围是______． 16. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务活动，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人中至少有一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务活动的日期不相邻，那么不同的安排方法种数为________(用数字作答)．17. 若方程x +m =√4−x 2有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x −1．(1)求函数f(x)的递增区间；(2)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60∘．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB，求PC与平面PBD所成角的正弦值20.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21.已知点F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，一点M(0,√2)满足线段MF的中点在抛物线C2上．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．22.已知函数f(x)=lnx+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的两个零点为x1，x2,且x2x1⩾e2，求证：(x1−x2)f′(x1+x2)>65．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B.解：∵集合A={x||x|<2}={x|−2<x<2}，B={−1,0，1，2，3}，∴A∩B={−1,0，1}．故选C．2.答案：C解析：解：复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=5(−2−i)5=−2−i的共轭复数为−2+i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：C解析：本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，∵a4+a5=24，S6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4，∴{a n }的公差为4．故选C ．4.答案：D解析：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长2，高为2，则四棱锥的斜高为√22+12=√5．所以该四棱锥侧面积为：4×12×2×√5=4√5，底面积为：2×2=4，故表面积S =4+4√5=4(√5+1)，故选：D由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，进而可得答案． 本题考查三视图复原几何体形状的判断，几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 5.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域：则k >0由{x +2y =0y =k，解得{x =−2k y =k ，即A(−2k,k)， 由{x −y =0y =k，解得{x =k y =k ，即B(k,k) ∵平面区域的面积是9，∴12(3k)k =6，即k 2=4解得k =±2，解得k =2或k =−2(舍)，故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，以及三角形的面积公式的计算，比较基础． 6.答案：B解析：解：直线l 1：mx +y −1=0，直线l 2：(m −2)x +my −1=0，若“l 1⊥l 2”， 则m(m −2)+m =0，解得m =0或m =1，故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件，故选：B ．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：f(−x)=(e −x +1)ln(−x)2e −x −1=(1+e x )lnx 21−e x =−(e x +1)lnx 2e x −1=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C ．当x >1时，f(x)>0，排除D ，故选：A ．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值的符号是否对应进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及对称性是解决本题的关键． 8.答案：A解析：解：∵函数y =(12)x 在R 上单调递减，∴当a >b >0时，(12)a <(12)b ．故选：A ．根据函数y =(12)x 在R 上单调递减知当a >b >0时，(12)a <(12)b ．本题考查了利用函数的单调性判断比较大小和不等式的基本性质，属基础题．。
2020年高考全国1卷数学，多种方法解析压轴题（全）
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2020年高考全国1卷文科数学从五个不同方向解析第21题第（2）问。
高考数学大招秒杀压轴版
超强圆锥曲线结论总结结论1:过圆2222x y a +=上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线,则两条切线垂直.结论2:过圆2222x y a b +=+上任意点P 作⿰木阴圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,则两条切线垂直.结论3:过圆2222(0)x y a b a b +=->>上任意点P 作双曲线22221x y a b-=的两条切线,则两条切线垂直.结论4:过圆222x y a +=上任意不同两点,A B 作圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆:2222x y a +=.结论5:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意不同两点,A B 作椭圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=+.结论6:过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>上任意不同两点,A B 作双曲线的切线,如果切线垂直.且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=-.结论7：点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y ya b+= 结论8:点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为 ,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b+=. 结论8:(补充)点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）内,过点M 作椭圆的弦AB (不过椭圆中心),分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b+=. 结论9:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上,过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y ya b-= 结论10:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b-=. 结论10:（补充）点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b-= 结论11:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>上,过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+.结论12:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+.结论12:（补充）点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>内，过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()00y y p x x =+.结论13:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b--+=上,过点M 作椭圆的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=结论14:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=上,过点M 作双曲线的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b -----=结论15:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-上,过点M 作抛物线的切线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=.结论17:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=外,过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线方程为()()0022()() 1.x m x m y n y n ab-----=结论18:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-外,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:（补充）点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心）,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab----+=.结论17:(补充)点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b ---=内,过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab-----=结论18:(补充)点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-内,过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论19:过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ,且MF 垂直切点弦AB .结论20:过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论21:过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论22:AB 为椭圆的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论23:AB 为双曲线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论24:AB 为抛物线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在准线上.结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论26:点M 是双曲线准线与实轴的交点,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是其通径.结论28：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m ->作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 所在的直线必过点(,0)N m .结论29:过椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n 作⿰木阴圆的两条切线,切点分别为,A B .(1)当0,||n m a =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭; (2)当0,||m n b =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点20,b Q n ⎛⎫⎪⎝⎭.结论30:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴上任意一点(,0)(||)M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论31：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,弦AB 的中点为N ,则直线MN 必与其对称轴平行.结论32:若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>共焦点,则在它们交点处的切线相互垂直.结论33:过椭圆外一定点P 作其一条割线,交点为,A B ,则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论34:过双曲线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论35:过抛物线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论36:过双曲线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论37:过椭圆外一点P 作其一条割线,交点为,A B 过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论38:过抛物线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论39:从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论40:从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论41:F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点,M 是椭圆上任意一点,则焦半径[,]MF a c a c ∈-+.结论42:F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点,M 是双曲线上任意一点.(1)当点M 在双曲线右支上,则焦半径MF c a ≥-;(2)当点M 在双曲线左支上,则焦半径MF c a ≥+.结论43:F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,M 是抛物线上任意一点,则焦半径022p p MF x =+≥. 结论44:椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角)，亦即椭圆的光学性质.结论45：双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即双曲线的光学性质.结论46:抛物线上任一点M 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角,亦即抛物线的光学性质.结论47:椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论48:双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论49:抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ,且MF PQ ⊥.结论50:椭圆上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ,则MQ 必与该椭圆相切,且MF PQ ⊥.结论51:双曲线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ,则MQ 必与该双曲线相切，且MF PQ ⊥.结论52:抛物线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ,则MQ 必与该抛物线相切，且MF PQ ⊥.结论53:焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标(纵坐标)成等差数列.结论54:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论55:焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论56:椭圆上一个焦点2F 关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点1F .结论57:双曲线上一个焦点2F 关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点1F .结论58:椭圆上任一点P (非顶点),过P 的切线和法线分别与短轴相交于£, ?Q S 则有,,P Q S 及两个焦点共于一圆上.结论59:双曲线上任一点P （非顶点)，过P 的切线和法线分别与短轴相交于,Q S ,则有,P Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论60:椭圆上任一点P (非顶点)处的切线与过长轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论61:双曲线上任一点P (非顶点）处的切线与过实轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论62:以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆. 结论63:以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆. 结论64:以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切.结论65：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B ,B '的连线分别交x 轴（或y 轴）于,P Q ,则2P Q x x a =(或)2P Q y y a =.结论66:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M (非顶点)与实轴的两个顶点,B B '的连线分别交y 轴（或x 轴）于,P Q ,则(2P Q y y b =-或)2P Q x x b =-.结论67:P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点),则12PF F ∆与边2PF (或1PF )相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论68:P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点,则12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论69:AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦(非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于N ,则||2||AB NF e=. 结论70:AB 是过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的一条弦（非通径,且为单支弦),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF e=. 结论71:AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦（非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF =. 结论72:AB 为抛物线的焦点弦，分别过,A B 作抛物线的切线,则两条切线的交点P 在其准线上.结论73:AB 为椭圆的焦点弦,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论74:AB 为双曲线的焦点弦,分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论75:AB 为过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论76:AB 为过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）.结论77:AB 为过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交,截得的圆弧度数为定值,且为12arccos e. 结论78：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切,则该曲线必为抛物线.结论79:以圆雉曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论80:以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交,则该曲线必为双曲线,此时截得的圆弧度数为定值,且为12arccose结论81:AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB =12x x p ++结论82:AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB 122a e x x =-+结论83:AB 为过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y .若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+-;若AB 为双支弦，则|12|||2AB e x x a =++ 结论84:F 为抛物线的焦点,,A B 是抛物线上不同的两点,直线AB 交其准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论85:F 为椭圆的一个焦点,,A B 是椭圆上不同的两点,直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论86:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（同一支上),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论87:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠.结论88:AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦,点P 是椭圆上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论89:AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过焦点F 的弦,点P 是双曲线上异于,A B任一点,直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论90:AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为2p -.结论91:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线PA PB 、分别交直线2(0)a x m a m=<<于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=结论92：,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EM FN m -+-⋅=.结论93:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆上任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EN FM m -+-⋅=结论94:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb FM FN m -+-⋅=结论95:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值,且有()()2222222a mb a m EM EN m +--⋅=结论96:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb BM FN m -+-⋅=结论97:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb AM FN m ---⋅=结论98:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m --⋅=结论99:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=.结论100:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EM FN m -++⋅=结论101:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EN FM m -++⋅=结论102:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m FM FN m -+-⋅=结论103:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值，且有()()2222222a mb a m EM EN m ++-⋅=结论104:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amBM FN m -++⋅=结论105:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amAM FN m -+-⋅=结论106:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m -+⋅=结论107:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=-结论108:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有2221AN BM b k k e a ⋅=-=-结论109:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论110:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值，且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论111:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=-+结论112:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,结论113:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的任一直径（中心弦),P 为椭圆上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅=-=-结论114:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则OM AB k k ⋅为定值,且有2221OM ABb k k e a⋅=-=-结论115:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221PQ ABb k k e a⋅=-=-结论116:过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点(P 不是其顶点)作椭圆的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅=-=-结论117:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m a m a -<<,过F 的弦的端点为A ,B ,过点A ,B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为,DC ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论118:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=-结论119:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),(,0)F m a m a m -<<≠,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接AE BE 、,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k m a⋅=- 结论120:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=结论121:,A B 为双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有21AN BM k k e ⋅=-结论122:,A B 双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论123:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线AP BP 、分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值,且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论124:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=+ 结论125:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,且有222EN FMb k k a m⋅=+ 结论126:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的任一直径,P 为双曲线上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅==- 结论127:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M 为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则AB OM k k ⋅为定值,且有22AB OMb k k a⋅= 结论128:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221AB PQb k k e a⋅==- 结论129:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P (不是其顶点)作双曲线的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅==- 结论130:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 的弦的䇄山端点为,A B ,过,A B 分别作直线2a x m =的垂线,垂足分别为,D C ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论131:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦AB ,E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=- 结论132:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 任作一条弦,AB E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k a m ⋅=- 结论133:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 的弦的端点为,A B 过A ,B分别作直线x m =-的垂线,垂足分别为,D C ,直线x m =-与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论134:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、,分别与准线x m =-相交,P Q ,则1FP FQ k k ⋅=-结论135：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、分别与直线x m =-相交,P Q ,则2FP FQ p k k m⋅=-结论136:过抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的弦（焦点弦）与抛物线相交于A ,B ,过B 作直线BC 与x 轴平行,且交准线于C ,则直线AC 必过原点（即其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点).结论137:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论138:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论139:过圆锥物线(可以是非标准状态下)焦点弦的一个䇄山端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个弦的端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论140:AB 为垂直于椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b+=>>≠长轴上的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该椭圆上.结论141:AB 为垂直于双曲线2222(0)x y a bλλ-=≠实轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该双曲线上.结论142:AB 为垂直于抛物线2y tx =或()2(0)x ty t =≠对称轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该抛物线上.结论143:AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线)）的动弦，其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该圆锥曲线上.结论144:圆锥曲线的焦点弦AM (不为通径,若双曲线则为单支弦),则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论145：过F 任作圆锥曲线的一条弦AB (若是双曲线则为单支弦),分别过,A B 作准线l 的垂线(Q 是其相应准线与x 轴的交点),垂足为11A B 、,则直线1AB 与直线1A B 都经过QF 的中点K ,即A 、1K B 、及1B K A 、、三点共线.结论146:若AM BM 、是圆锥曲线过点F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴(双曲线）或对称轴（抛物线）),则四线1111AM BN NB MA 、、、共点于K .结论147:,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点和左顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且椭圆外定点为2,0a Q m ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及椭圆内定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论148:,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点和左顶点,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2()a x m a m=>于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且双曲线内定点为2,0a Q m ⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及双曲线外定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论149:过直线(0)x m m =≠上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且有()22222AB MN b m k k a a m ⋅=-.结论150:过直线(0)x m m =≠上但在双曲线222210,0) (x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫⎪⎝⎭,且有()22222AB MNb m k k a m a⋅=-. 结论151:过直线 0x m m =≠（）上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域)一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点(,0)N m -,且有2AB MN pk k m⋅=结论152:设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上)，过点M 向圆锥曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM AB ⊥.结论153:过直线1mx ny +=上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B 则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论154:过直线1mx ny +=上但在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外(即双曲线中心所在区域)一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论155:过直线10 mx ny m +=≠）（上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论156:,A B ,是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上),直线PA 及PB 分别与椭圆相交于,M N ,则直线MN 必与x轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论157:,A B 是在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点(P 不在双曲线上),直线PA 及PB 分别与双曲线相交于,M N ,则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结论158:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若直线AB 过定点(2,0)N p ,则OA OB ⊥，且A ,B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论159:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则直线AB 必过定点(2,0)N p ,且,A B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论160:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,过O 作OM AB ⊥,则动点M 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠.结论161:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则()2min 4AOB S p ∆=结论162:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB⊥的充要条件是直线AB 过定点()002,N x p y +-结论163:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则(0)MA MB k k λλ=≠的充要条件是直线AB 过定点002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论164:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b a b ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭特别地,(1)当M 为左、右顶点时,即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()2222,0a a b N a b ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭。
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题及解析
2020届浙江省高三下学期高考压轴卷数学试题★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =<,{1,0,1,2,3}B =-,则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 试题分析：由,得,选C .【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),是数集还是点集,如集合,,三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的集合运算中,常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助Venn 图；对连续的数集间的运算,常利用数轴；对点集间的运算,则通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能．另外,不可忽略空集是任何集合的子集．2.复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. 1i -+B. 1i -C. 1i +D. 1i --【答案】C【解析】先化简复数为代数形式,再根据共轭复数概念求解.【详解】因为211i i=-+,所以其共轭复数是1i +,选C. 3.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为d ,45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,611656615482S a d a d ⨯=+=+=,联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如{}n a 为等差数列,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+.4.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是( )A. 3B. 8C. 33D. 83【答案】C【解析】 根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形,且各侧面的斜高是2,求出四棱锥的底面积和高,计算它的体积.【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形,且各侧面的斜高是2, 画出图形,如图所示；。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
【精准解析】2020山东省高考压轴卷+数学+Word版含解析byde
高中学习讲义2020山东省高考压轴卷数学一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x︱x>－2}且A∪B=A，则集合B可以是（）A. {x︱x2>4 }B. {x︱2y x=+}C. {y︱22,y x x R=-∈} D. {－1,0,1,2,3}2.若()22z i i-=-（i是虚数单位），则复数z的模为（）A.12B.13C.14D.153.已知4log5a=，2log3b=，sin2c=，则a、b、c的大小关系为（）A. a b c<< B. c a b<<C. b c a<< D. c b a<<4.若对任意的正数a，b满足310a b+-=，则31a b+的最小值为A. 6B. 8C. 12D. 245.如图，在四边形ABCD中，AD BC∥，AD AB=，45BCD∠=︒，90BAD∠=︒，将ABD∆沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是（）A. 平面ADC⊥平面ABCB. 平面ADC⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDCD. 平面ABD⊥平面ABC6.()52112xx⎛⎫--⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A. 112B. 48C. -112D. -487.已知F是双曲线22:145x yC-=的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OP OF，则OPF△的面积为（）高中学习讲义A.32B.52C.72D.928.已知函数2()2log xf x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（） A. 0x a < B. 0x a > C. 0x b < D. 0x c <二．多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020年天津市高考数学压轴试卷(6月份) (含答案解析)
2020年天津市高考数学压轴试卷(6月份)一、选择题（本大题共9小题，共40.0分）1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|3<x<5}，则A∪B=()A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<5}D. {x|1<x<5}2.已知(m+2i)(2−i)=4+3i,m∈R,i为虚数单位，则m的值为()A. 1B. −1C. 2D. −23.关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是()A. −1<m<−12B. −1<m≤0 C. −2<m<1 D. −3<m<−124.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则()A. B.C. D.5.在等差数列{a n}中，a4=6，a3+a5=a10，则a12=()A. 10B. 12C. 14D. 166.已知双曲线x2a2−y22=1的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线的离心率为()A. 2√33B. 2√63C. √3D. 27.已知sinα=√55,sin(α−β)=−√1010,α,β均为锐角，则β=()A. 5π12B. π4C. π3D. π68.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. 45B. 35C. 25D. 159.已知函数f(x)=x|x−a|+(a−1)x−1，a>0，若方程f(x)=1有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A. (0,2)B. (1+2√22,+∞) C. (1+2√22,2) D. (0,1+2√22)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.若函数f(2x+1)=x2−2x，则f(3)=______________．11.(x−1x )(2x+1x)5的展开式中，常数项为______．12.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．13.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若BPPD1=12，则三棱锥M−PBC的体积为________．14.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，若f(x)在[0,2π]上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______．15.已知a，b∈R，a>b且ab=1，则a2+b2a−b的最小值等于________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）16.设函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x+a．(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数a的值．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M是AB的中点．(1)求证：BC1//平面MCA1．(2)若△BMC是正三角形，且AB=BC1，求直线AB与平面MCA1所成角的正弦值．18.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若vAPD的面积为√62，求直线AP的方程．19.已知函数f(x)=lnx+12ax2+x，a∈R.．(1)求函数f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．.求数列{a n}的前n 20.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1−2a n=2n(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=a n2n 项和S n．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合并集的求法，考查基本知识，属于基础题目． 直接利用并集的求法，求出A ∪B 即可．解：由已知，集合A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|3<x <5}， 所以A ∪B ={x|1≤x <5}． 故选C ．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．由复数代数形式的乘除运算化简等式左边为a +bi(a,b ∈R)的形式，再由复数相等的条件列式求得实数m 的值．解：因为(m +2i)(2−i) =2m +2+(4−m)i =4+3i ， 所以{2m +2=44−m =3，解得m =1．故选A ．3.答案：A解析：本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．关于x 的不等式mx 2+2mx −1<0恒成立，m =0时，可得：−1<0，m ≠0时，可得：{m <0Δ=4m 2+4m <0，解得m 范围，再结合选项寻找充分不必要条件即可． 解：关于x 的不等式mx 2+2mx −1<0恒成立， m =0时，可得：−1<0，恒成立，m≠0时，可得：{m<0Δ=4m2+4m<0,解得−1<m<0，综上可得：−1<m≤0．∴关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是−1<m<−12．故选：A．4.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，有20.6<2<log313<log327=3，又由f(x)在(0,+∞)上单调递增，则有f(20.6)<f(−log313)<f(−3)．故选C．5.答案：C解析：解：∵a4=6，a3+a5=a10，∴2a4=a4+6d，∴d=16a4=1，∴a12=a4+8d=6+8=14，故选：C．根据等差数列的性质和通项公式即可求出本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题6.答案：A解析：本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质，属于基础题，由题意可得斜率为√2|a|的渐近线的倾斜角为π6，由tanπ6=√2|a|，求得a的值，可得双曲线的离心率．解：双曲线x2a2−y22=1的一条渐近线的倾斜角为π6，可得斜率为√2|a|的渐近线的倾斜角为π6，∴tanπ6=√2|a|=√33，求得|a|=√6，∴双曲线的离心率为c|a|=√6+2√6=2√33，故选A．7.答案：B解析：本题主要考查了两角差的余弦公式及同角平方关系的应用，解题的关键是利用了拆角的技巧：β=α−(α−β)，要注意一些常用的拆角变换．由已知可求cos(α−β)，cosα，而β=α−(α−β)，再利用两角差的三角公式可求cosβ，结合已知β的范围可求答案．解：，，，，∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)=2√55×3√1010+√55×(−√1010)=√22，，故选B．8.答案：C解析：本题考查古典概型的概率计算，属于基础题，直接利用古典概型求概率即可．解：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同的取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P=410=25．故选C．9.答案：C解析：本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：①当x ≥a 时，②当x <a 时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可． 解：①当x ≥a 时，方程可化为x 2−x −2=0， 解得：x =2或x =−1， 又a >0，所以当0<a ≤2时，此时方程有一个实数根， ②当x <a 时，方程可化为x 2+(1−2a)x +2=0， 由题意有此方程必有两不等实数根， 设g(x)=x 2+(1−2a)x +2 (x <a)， 由二次方程区间根问题有：{(1−2a)2−8>0−1−2a 2<ag(a)>0, 解得：−1<a <1−2√22或1+2√22<a <2，综合①②可得： 实数a 的取值范围为：1+2√22<a <2，故选：C ．10.答案：−1解析：本题考查函数解析式的求法，使用换元法求出函数f(x)的解析式，再将x =3代入进行求解． 解：令t =2x +1，则x =t−12则f(t)=(t−12)2−2·t−12=14t 2−32t +54∴f(x)=14x 2−32x +54∴f(3)=−1故答案为−1．。
2020届山东省数学高考6月压轴试题试卷模拟测试题及答案
2020届山东省数学高考6月压轴模拟试题一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣2}．且A∪B＝A，则集合B可以是（）A．{x|x2＞4}B．{x|y＝}C．{y|y＝x2﹣2，x∈R}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）若z（2﹣i）2＝﹣i（i是虚数单位），则复数z的模为（）A．B．C．D．3．（5分）已知a＝log45，b＝log23，c＝sin2，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a4．（5分）若对任意的正数a，b满足a+3b﹣1＝0，则的最小值为（）A．6B．8C．12D．245．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A﹣BCD，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC6．（5分）（x2﹣1）（﹣2）5的展开式的常数项为（）A．112B．48C．﹣112D．﹣487．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝2x+log2x，且实数a＞b＞c＞0，满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c二．多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分．9．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，给出下面四个命题：①函数f（x）的最小值为；②函数f（x）有两个零点；③若方程f（x）＝m有一解，则m≥0；④函数f（x）的单调减区间为．则其中错误命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④10．（5分）已知点A是直线上一定点，点P、Q是圆x2+y2＝1上的动点，若∠P AQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n（S n≠0），且满足a n+4S n﹣1S n＝0（n≥2），a1＝，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}的前n项和为S n＝B．数列{a n}的通项公式为a n＝C．数列{a n}为递增数列D．数列{}为递增数列12．（5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个命题：（）A．A′D⊥BCB．三棱锥A′﹣BCD的体积为C．CD⊥平面A′BDD．平面A′BC⊥平面A′DC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）二项式（ax+）n（a＞0，b＞0）的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“常数项”值为C，若A＝B＝256，C＝70，则含x6的项为．“所有项的系数和”为B，14．（5分）已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是AC的中点，M是边BC上一点，则的最小值是．15．（5分）已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为；若双曲线（a＞0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是．16．（5分）每项为正整数的数列{a n}满足a n+1＝，且a6＝4，数列{a n}的前6项和的最大值为S，记a1的所有可能取值的和为T，则S﹣T＝．四、解答题.本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（1）求角A；（2）若，b+c＝5，求△ABC的面积．18．（12分）设数列{a n}满足a1•2a2•3a3•…•na n＝2n（n∈N*）⋅（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n⋅19．（12分）如图1，在Rt△PDC中，∠D＝90°，A，B，E分别是PD，PC，CD中点，PD＝4，．现将△P AB沿AB折起，如图2所示，使二面角P﹣AB﹣C为120°，F是PC的中点．（1）求证：面PCD⊥面PBC；（2）求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值．20．（12分）五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分．从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖．每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球中最大得分，求（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）求某人抽奖一次，中奖的概率．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点，右焦点F是抛物线y2＝8x的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C分别交于M，N两点．试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在求出点Q的坐标：若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2，a∈R，（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f（x）+（x﹣a）cos x﹣sin x，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．。
全国卷Ⅰ2024年高考数学压轴卷理含解析
（全国卷Ⅰ）2024年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面对量a ，b，满意(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024 C ．2024D ．20248．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市实行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成果大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参与全市座谈沟通，设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的随意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可解除选项A ，B ；32m =，1n =时，可解除选项C ， 由指数函数的性质可推断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面对量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 其次次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024，故选B ．8．【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病，事务B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】视察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必需取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n n n S +=-．18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分） 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，依据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 留意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ． 设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
2020全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)含解析
17.（本小题 12 分）
4sin2 A B 4sin Asin B 2 2
△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
2
（1）求角 C 的大小；
（2）已知 b 4 ，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
18. （本小题 12 分）
BC CD 1 AB 2
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），
上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ）
A. 二升
B. 三升
C. 四升
D. 五升
9.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a 3, c 2
3,bsinA
21. （本小题 12 分）
设函数 f x a2 ln x x2 ax a R .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）求使 e 1 f x e2 对 x 1, e 恒成立的 a 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于 2 的圆； 设弦心距为 d，由题意可得 22+d2=4，求得 d=0， 可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0， 即 a+b=1，再由 a＞0，b＞0，可得
4 1 =（ 4 1 ）（a+b）=5+ 4b a ≥5+2
ab ab
ab
4b a 9 ab
e
e
e
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第五章压轴题秒杀很多朋友留言说想掌握秒杀的最后一层。
关于秒杀法的最难掌握的一层, 便是对于高考数学压轴题的把握。
压轴题, 各省的难度不一致, 但毫无疑问, 尤其是理科的, 会难倒很多很多很多人。
不过, 压轴题并不是那般神秘难解, 相反, 出题人很怕很怕全省没多少做出来的, 明白么？他很怕。
那种思想, 在群里面我也说过, 在这里就不多啰嗦了。
想领悟、把握压轴题的思路, 给大家推荐几道题目。
全是数学压轴题, 且是理科（09的除山东的外我都没做过, 所以不在推荐范围内）。
08全国一, 08全国二, 07江西, 08山东, 07全国一一年过去了, 很多题目都忘了, 但这几道题, 做过之后, 虽然一年过去了, 可脉络依然清晰。
都是一些可以秒杀的典型压轴题, 望冲击清华北大的同学细细研究。
记住, 压轴题是出题人在微笑着和你对话。
具体的题目的“精”, 以及怎么发挥和压榨一道经典题目的最大价值, 会在以后的视频里面讲解的很清楚。
不过, 我还是要说一下数列压轴题这块大家应该会什么（难度以及要求依次增高）\ 1：通项公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案, 或者问老师, 这里必考。
尤其推荐我押题的第一道数列解答题。
）2.：裂项相消（各种形式的都要会）、迭加、迭乘、错位相减求和（这几个是最基本和简单的数列考察方式, 一般会在第二问考）3：数学归纳法、不等式缩放基本所有题目都是这几个的组合了, 要做到每一类在脑中都至少有一道经典题想对应才行哦。
开始解答题了哦, 先来一道最简单的。
貌似北京的大多挺简单的。
这道题意义在什么呢？对于这道题在高考中出现的可能性我不做解释, 只能说不大。
意义在于, 提醒大家四个字, 必须必须必须谨记的四个字：分类讨论！！！！！！！下面07年山东高考的这道导数题, 对分类讨论的考察尤为经典, 很具参考性,类似的题目在08、09、10年高考题中见了很多。
(22)(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b> 时, 判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln( )都成立.这道题我觉得重点在于前两问, 最后一问..有点鸡肋了~这道题, 太明显了对吧？看压轴问的形式, 想想我之前关于压轴题思路的讲解, 看出来么？第三问其实就是直接利用第一问和第二问的结论, 很明显的令1/n 为x 这道题就出来了。
这也证明了我之前对压轴题的评述吧。
当然这只是例子之一了, 绝大多数压轴题都是这样的。
下面, 下面, 下面, 重点来了。
大家是否眼熟这个不等式呢？ ln X<= X--1 你可以利用导数去证明这个不等式的正确性, 但我想说的是, 这个小小的不等式, 太有用了。
什么用？将一个对数形式的函数转化为一个X--1 这样简单的线性函数, 多么漂亮的一个式子！可以说, 导数不等式证明中, 见到自然对数, 我第一个想的就会是这个不等式, 看能否利用这个不等式将题目转化为特别容易做的一道题。
这也是一种很重要而且经典的缩放！不信的话大家去看07--10年的全国各地高考题,看看有多少省用到了这个不等式的！而下面这道我认为导数解答题中特经典的一道的简单解法, 就是用了这个不等式！再次强调：压轴题中, 见到对数函数式的不等式证明, 第一个要想的是这个不等式！再举几个例子：1.一个三角形的三内角成等差数列, 对应的三边成等比数列, 则三内角所成等差数列的公差等于__解：这个题真算的话有点难度也挺麻烦但考试的时候完全可以秒杀直接特殊化为等边三角形答案就出来了等边三角形满足题意么？满足, 只要不违背题意条件随你加, 随你加强所以公差为0几秒钟一道很难的题这就是秒杀的目的所在这个题条件很强, 既有角的限制又有边的限制, 就说明答案唯一可是, 那是考试现场时的秒杀。
对一道能秒杀的题, 不仅要秒杀, 还要真正做出来才算详解：假设A<=B<=CA+C=2B b平方=ac用正弦定理得出COS(A-C)=1也可用余弦定理求出ABC。
第六章再说秒杀和压轴题以下为视频讲解内容：秒杀也分几类：最常用的一般是特殊性（有些人理解的特殊值, 其实特殊值也是特殊化的一种罢了, 还有其实技巧不在这里, 而在于这个特殊值你如何取, 取得好, 那叫艺术, 取得不好.......嗯！）第一题：A[N]是任意等比数列, 它的前n项和, 前2n项和, 前3n项和分别是x,y,z,则下列等式恒成立的是1.X+Y=2Y2.Y(Y-X)=Z(Z-X)3.Y平方=XZ4.Y(Y-X)=X(Z-X)如何秒杀呢, 很明显, 取特殊值, 如何取呢？以前说过, 见到A[N]是任意等比数列的等等或者说见到任意两字的, 往往就是我们发挥的地方。
我们令A[N]=1, 呵呵, 很特殊了吧, 还不止, 我们这里再令N=1, 这样题目变成什么了呢？我翻译一下：已知A[N]是任意等比数列, 它的前1项和x, 前2项和Y, 前3项和是z,则下列等式恒成立的是?你猜, 呵呵, 这样直接可以排除2,3了, 那么1, 4呢？我们假设A[1]=1, A[2]=2, A[3]=4, 这样符合题意吧？很明显1不正确, 4任然正确, 答案是 4第二题：如图, 在中, 点是的中点, 过点的直线分别交直线, 于不同的两点, 若, , 则的值为．向量如何秒杀呢, 其实就只说向量, 也有两三钟秒杀的方法, 我觉得好用的就是特殊化+坐标化！！呵呵, 就是把三角形特殊化为等腰直角三角形, 这意思也是任意三角形吧,按照题意, 我们画出MN的直线, 若, , 根据上面的两个公式, 可以求出, 大家记得吗---是直线的截距式（不记得的都面壁去吧, 这可是基础）根据截距式我们得出MN的直线方程为MX+NY=1, 我们还有个条件没有用, 直线MN过中点, 明显BC中点为（1/2,1/2）,对吧, 带入得M+N=2这个是07年江西的一道高考题, 常规方法要比这个麻烦的多, 而且可能大部分同学还不会做, 而换成秒杀的—就是最基本的加减运算啦！！其实秒杀呢, 每张卷子都能用到的是那种集合, 求范围等等的题目, 就不举例子了！！还有就是三角函数, 解析几何（这个主要是取特殊位置的直线）, 至于三角函数, 也分好多种吧, 比如, 题目让你求一个三角函数表达式的值, 而且是道选择题。
比如哦：tanA*tanB+conA*sinB等等的算式吧, 然后选择项里面都是常数, 也就是和AB无关, 那么很明显, 不管AB取什么, 结果都一样, 这时候, 我们就可以随便给AB值, 就可以得出最后结果, 这样的题我见过不少！！上面说的都是一些简单但很常用的, 难一点的应该算是变换, 或者用到复指数等, 比如函数旋转等等, 就可以利用复向量的旋转特性去解决, 哦, 对了, 还有一种很常用的, 我随便出题：X平方+Y平方=1, 求X+Y的取值范围常规的方法肯定是画图等等, 或者消元了呗, 但我们可以用三角函数去做, X 平方+Y平方=1, 令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范围, 明显是正负根2, 是吧？一眼就看出来了, 当然, 一般题目不会这么简单, 比如：3X平方+4Y平方=1, 求X,Y取值范围, , 这时候画图就不好使了哦, 因为不是园, 但三角函数依然可以, 我们令3X平方=conA平方, 4Y平方=sinA平方, 然后是不是和上面一样了呢！！好了秒杀就这样吧！压轴题下面这道是我高考的压轴题, 是道椭圆的题, 不算难。
大家应该知道, 压轴题一般会在数列不等式, 解析几何两者之间选一道, 数列的也想整一道例题, 可时间有限, 就算了。
下面是09年的山东理科数学压轴题：第一问：送分第二问：, 呵呵, 我还记得在考场上, 我看到时就笑了, 高考题考来考去也就是这些基本的不变的东西。
这个代表什么呢？这个是题眼, 其实我们都很清楚。
OA*OB=0（向量点乘）, 其实看到这里, 后面的不用想也能再脑中出来一推东西, 我大概说下：首先OA*OB=0, 所以X1X2+Y1Y2=0明显韦达定理要用了, 然后要连立直线了, 比如设直线AB为：Y=KX+M （设出来这个直线的时候, 脑子里面应该本能的想到一个词“分类”, 就是K不存在的情况, 一定要分类, 给大家说, 只要能分类的, 一定要分类, 因为每一个分类就有一定的分, 我们的目的就是拿分！！）然后可以得出K和M的一个等式, （有一个式子, 那肯定能根据题目其它的一个条件得出另外一个式子, 这两个式子联立, 一般就可以做出来了）哦, 这个说明下, 这是看到OA*OB=0后出来的一推东西, 后面的还没看呢, 继续看, 呵呵出来了, 切线, 我们都知道, 根据切线, 肯定能得出一个等式, 这样题目思路就清晰了！上面这些, 大家是不是都能熟练的背下来呢, 其实这道题难得不是这些, 难在你是不是明白题意。
还有对圆锥曲线问题, 大家心里一定一定要坚定一个信念----那就是直线和曲线联立！！这句话很重要, 只有你能找到直线和曲线联立（一定要找对哦, 比如说这道题,你总不能OA和椭圆联立吧？！只有你能想到用AB去联立, 那么后面的一直到韦达定理, 一般就可以得8分了。
大家可能会想, 谁都知道用AB联立, 可是到了高考那样的氛围, 你还能像平时一样大脑清醒吗？而且万一不是一条直线呢等等的情况,你真不一定找到）题目还要：并求|AB |的取值范围, 若不存在说明理由玄长公式, 对吧, 因为知道了K和M 的关系, 所以玄长公式里面只有一个K , 而K又有一定的范围, 所以再结合不等式的知识, 可以求出范围, 当然还要考虑K不存在的情况, 不然又要扣分！啰嗦了这么多, 想告诉大家的：其实就是一定要有思路。
思路哪里来的？是不是从OA*OB=0这里展开一系列的想法呢？可以说, 思路就是一个题眼, 得出一个总体框架, 然后在实际做题中把各个细节填满, 问题在于, 你如何知道哪里是题眼？就是知道, 你如何正确处理？嗯, 问到点子上了, 我记得我高二高三的时候, 每做一道很典型的题,我都会把这道题想的很透很透, 然后, 闲暇时, 脑子里想的就是最近做过的和新学得知识, 时间上了, 基本上见些东西, 就能本能的搜索到相应的应对方法。
大家可能会问, 高考题是会变的, 而且数学又是一门很灵活的东西, 随便一点变化, 都可以出来很多很多的题目。
其实高考是在变, 而且变的很灵活。
但是高考中更多的是不变, 所谓不变就是知识点不变, 考点不变（相对来说吧）,以及更重要的是难题的入手点不变！！或者就是说题眼不变, 最多就是变个说法！！就拿OA*OB=0来说, 可以衍生出很多不同的说法, 比如中点, 角分线等等,还有比如向量AF=3FB向量, 这个也是大题中常见的。