数学形态学讲解

第九章 数学形态学
主要内容：
9.1 引言 9.2 二值形态学
数学形态学又称图像代数，其基本思想：用具 有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的 对应形状以达到对图像分析和识别目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论， 即用集合来描述图像目标，描述图像各部分 之间关系，描述目标的结构特点。
数学形态学是由一组形态学的代数运算子组 成，基本运算有：膨胀(或扩张)、腐蚀(或侵 蚀)、开启和闭合。
结构元素参与形态学运算的参考点。 参考点可包含在结构元素中，也可不包含在结构元 素中。但运算结果会不同。
选取结构元素的遵循原则：
结构元素必须在几何上比原图像简单，且有界。 一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。 当选取性质相同或相似结构元素时，以选取图像某些 特征的极限情况为宜。
结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆形、 十字架形、方形等。
+ ++ ++ + + +
+++ +++ +++
+
解：图(c)中阴影部分表示结构元素 S的映射。
图(d)中阴影部分，蓝色部分表示集合 A；红色部分 表示为膨胀 (扩大)部分。则蓝色和红色部分合起来 就为集合 A? S。
例2：膨胀运算示例
图(a)中阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度值为 低(一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来膨胀A所得到的集合。
位移：A用x=(x1,x2)位移，记为 (A)x,定义为：
(A)x ? {y | y ? a ? x,a ? A}
(a)图表示集合
A; (b) 图表示b点; (c)图表示集合 A的位移 ; (d) 图表示集合 A的映射。
9.2 二值形态学
二值数学形态学的运算对象是集合。在实际运算中 涉及两个集合时，如集合 X和S，一般设集合 X为目 标图像集合，集合 S为结构元素。
9.2.2 膨胀和腐蚀
d
d/4
d
·d/4 膨
胀
例
子
· · · ··
· ·
··Βιβλιοθήκη · ·dd/4
d
·d/4 腐
蚀
例
子
·· · ··
··
·
· ··
膨胀和腐蚀运算为最基本的形态变换。 (1) 膨胀运算（扩张运算）
算符为? 。 X用结构元素 S来膨胀记为 X? S，定义为：
X ? S ? {x | [(S V )x ? X] ? Φ
+ + ++ + ++ +
++ + ++
解：腐蚀结果如图 (c)所示。阴影部分中，蓝色部 分表示腐蚀掉消失部分；红色部分表示为腐蚀后留 下的部分。
则图(c)红色部分就为集合 A S。
(3) 原点(即结构元素参考点 )不包含在结构元素中 时的膨胀和腐蚀
当原点不包含在结构元素中时，相应结果有所不同。 ? 对膨胀运算来说，只有 1种可能，即 A? A? S。 ? 对腐蚀运算来说，有 2种可能，或 A S? A，
用结构元素S腐蚀X的文字描述为：
用结构元素 S来腐蚀X得到的集合为： 结构元素 S 平移x后完全包括在集合 X中时结构元素 S的参考 点位置的集合。
例3 ：腐蚀运算示例
图(a)中阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度值为 低(一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来腐蚀A所得到的集合。
主要内容：
数学形态学的基本概念 二值图像的数学形态学 灰度图像的数学形态学
9.1 引言
一、基本符号和术语：
1、集合和元素： 集合：对于一些可区别客体，有共同特征的客体的
全体称为集合 (或集) 。 元素：组成集合的各个客体，称为该集合的元素。
集合通常用大写字母 A，B，C，…表示。 元素通常用小写字母 a,b,c, …表示。
如果某种客体不存在，称为空集，记为 ? 。 任何客体都不是 ? 的元素，即 a?? 。 例如：把一幅图像称为一个集合，记为集合 A。则 集合 A与图像是一一对应的。
对于图像 A，如果点 a在A区域以内，则 a是A的元素， 记为a? A;否则记为 a? A。
a? A b? A
2、子集、并集、交集、补集、差集：
例如：对于两幅图像 A和B B? A
3、击中(Hit )与击不中 (Miss )：
设有两幅图像，分别为集合 A和B。 如果A? B?? ，那么称B击中A。 如果A? B=? ，那么称 B击不中A。
4、位移 (平移 )和映射 (反射)：
映射 ：A映射记为 AV ，定义为 AV ? {x | x ? ? a, a ? A}
或
X ? S ? {x | [(S V )x ? X] ? X
用结构元素S膨胀X的文字描述为：
用结构元素S膨胀X所得到的集合为对结 构元素S作关于原点的映射所得的映像位移 x 后与集合X至少有1个非零元素相交时结构元 素S的参考点位置的集合。
例1：膨胀运算示例
图(a)是一幅二值图像 ,阴影部分代表灰度值为高 (一 般为1)区域,阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度 值为低 (一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元 素S(标有“+”处为原点,即结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来膨胀A所得到的集合。
子集：集合B中的每个元素都为集合 A的元素，则 B 为A的子集，记为 B? A。
并集：A和B所有元素组成的集合，记为 A? B。 交集：A和B公共元素组成的集合，记为 A? B。
补集：A的补集，记为 Ac，定义为Ac={x|x? A}。
差集：A和B的差集记为 A-B ，定义为：
A-B={x|x? A, x? B}=A? Bc
数学形态学运算是用结构元素S对图像集合X 进行操作。
注意：结构元素本身实际上也是 1个图像集合。
9.2.1 结构元素
定义：在考察分析图像时，要设计一种收集图像信
息的探针，称为结构元素。 观察者在图像中不断移动结构元素便可观察图像中 各部分关系 ,从而提取有用特征进行分析和描述。
参考点：对于每个结构元素，指定一个原点，作为
++ ++++ ++++
++ +
解：图(c)中阴影部分表示结构元素 S的映射。
图(d)中阴影部分，蓝色部分表示集合 A；红色部分 表示为膨胀 (扩大)部分。则蓝色和红色部分合起来 就为集合 A? S。
(2) 腐蚀运算（侵蚀运算） 算符为 。 X用结构元素 S来腐蚀记为 X S ，定义为：
X S={x|(S)x? x}