抽屉原理习题精选

抽屉原理习题精选（含答案）

1．木箱里装有红色球3 个、黄色球5 个、蓝色球7 个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的

点数？

3.有11名学生到老师家借书，老师的书房中有A、E、C、D四类书，每名学生

最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同

4．有50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜。试证明：一定有两个运动员积分相同。

5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50 名同学来仓库拿球，规定每

个人至少拿1 个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女

生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？

7．有黑色、白色、蓝色手套各5 只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

8．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎

么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了多少堆？

9.从1, 3, 5,……,99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。

10．某旅游车上有47 名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。

11 ．某个年级有202 人参加考试，满分为100 分，且得分都为整数，总得分为

10101

分，则至少有多少人得分相同？

1 2．2006 名营员去游览长城，颐和园，天坛。规定每人最少去一处，最多去两处游

览，至少有几个人游览的地方完全相同?

13．某校派出学生 204 人上山植树 15301 株，其中最少一人植树 50 株，最多一人植 树 100 株，则至少有多少人植树的株数相同？

答案：

1．将红、黄、蓝三种颜色看作三个抽屉，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，

则最少要取出4个球。3X( 2-1 ) +1=4

2．将 14 种点数看作是 14 个抽屉，最少要抽取 29 张牌，方能保证其中至少有 3 张 牌有相同的点数。 14X( 3-1 )+1 =29 (扑克牌中的点数说明： A--K 分别为 1—13 点，大

小王点数相同，共 14 种点数。)

十个抽屉，因此必有两个学生所借的书的类型相同。 11+ 10=1……1 4．证明，所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛。即每个人要参

加 49 场比赛，这样如果假设没有运动员积分相同，因为没有全胜，则运动员的积分就有

48胜、47胜……2胜、1胜、0胜共49个积分情况，而50名运动员需要有50个不同的

积分结果，这里“ 49 个积分情况”与“需要 50 个积分结果”出现了矛盾，所以假设“没

有运动员积分相同”是错误的，因此一定有两个运动员积分相同。

5．方法同第 3 题，拿球的种类组合可以有以下六种：足球、排球、篮球、足排、足 篮、排篮，这六种组合看作六个抽屉，至少有 9名同学所拿的球种类是一致的。50- 6=8 .. 2

6．则参赛男生 46 人。

7．至少要拿出 10 只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。 8．至少把这些水果分成了 5 堆。

分四种情况：

3．证明： A 、B 、C 、D 四类书，

根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种， 分别是： A 、B 、C 、 D 、AB 、 AC 、AD 、 BC 、BD 、CD

因为有 11 名学生到老师家借书， 而只有 10 种借书情况，将这十种借书情况看作是

1+1=2

8+1=9

9．至少选出51 个数，其中必有两个数的和是100。

10．46 乘客带苹果。

11.提示：分值从0〜100,共101种可能的分值，10101-( 0+1+2 + ＋100)

1，则至少有3 人得分相同。

12．至少有335个人游览的地方完全相同。

13．则至少有5 人植树的株数相同。

第四讲：最不利原则

一、最不利原则

在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析

问题，这就是最不利原则。

例1 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各有4 个小球颜色相同？

分析与解：如果碰巧一次取出的4 个小球的颜色都相同，就回答是20 个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少4，”那么显然不对，因为摸出的4 个小球的颜色

也可能不相同。回答是“4是”从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。

“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出( )个红球、( )个黄球和( )个蓝球，此时三种颜色的球都是

( )个，却无4 个球同色。这样摸出的9 个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4 个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出( )个球。

通过上面分析，列式为：

例2 一把钥匙只能开一把锁，现有10 把钥匙和10 把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解：从最不利的情形考虑。用10 把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9 次，前8次都没打开，第9 次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙(若没打开，则第10 把钥匙与这把锁相匹配)。同理，第

二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试(为什么？)。通过上面分析，列式为：

例3 在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？

分析与解：一副扑克牌有大、小王牌各1 张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13 张，共计有54张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2 张王牌。这41 张牌中没有四种花色。剩下的正

好是另一种花色的13张牌，再抽1 张，四种花色都有了。因此最少要拿出42 张牌，才能保证四种花色都有。

热身操

1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各

个小球颜色相同？

2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共

20 个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5

20 个，其中红球4 个、黄球6个、蓝球10 个。问：