刚体的定轴转动及转动定律

d ct ，积分 解 由题意，令 ct ，即 dt t 1 2 d c tdt 得 ct 0 0 2
当t=300s 时


18000r min 600π rad s
1
1
所以
2 2 600 π π 3 3 c 2 rad s rad s 2 t 300 75
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
刚体的一般运动： 质心的平动
+
绕质心的转动
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
一、刚体转动的角速度和角加速度 1、角坐标:
约定:
(t )
z


(t )
沿逆时针方向转动 : >0 r r 沿顺时针方向转动 : < 0
2、角位移：
2、加速度与角加速度
e v
t
at
a r et r en
2
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动而均 匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和在此时间 内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度； （3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加 速度 .
第三章 刚体的转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
M ij
O
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
Mij M ji
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
二
转动定律
1、 单个质点 m 与转轴刚性连接（ F 在转动平面内）
受力： F 力矩：M
3– 1 刚体的定轴转动
2 3
第三章 刚体的转动
2 150 d π 3 2 rad s t 由角速度的定义 dt 150 t π 3 2 d rad s t dt 得 0 0 150 π 3 3 有 rad s t 450
在 300 s 内转子转过的转数
第三章 刚体的转动
l 的均匀细长棒，求通过棒中心并与
O
O
l 2
O´
dr
l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r O´ dr
2
l
解： 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´为 的质量元 dm dr
r处
12 12 l 如转轴过端点且垂直于棒： J r 2 dr 1 ml 2 0
0
dJ r dm r dr l/2 1 3 1 2 2 J 2 r dr l ml
Ft Fn
r (Ft Fn )
M
O
z
r
m
Ft
Fn

F
M F r ma r

r Ft rFt k
mr
2

at r
即:
M mr
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
2、刚体转动定律 质元 m j 受力为：
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm

dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm ：质量面密度


dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
：质量体密度
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量 例1 一质量为 m 、长为 棒垂直的轴的转动惯量 .
4、角加速度（矢量）
大小：
d dt
若 2
方向：
> 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式 匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
2、转动惯量的计算方法： 1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J m j rj2 m1r12 m2 r22
j
2）质量连续分布刚体的转动惯量：
J m r r dm
2 j j 2 j
d m ：质量元
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
质量连续分布刚体的转动惯量
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解： （ 1） 0
设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动

0
t
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0
0 5π π 1 2 rad s rad s 30 6
2
(5 π ) 75π rad 2 2 (π 6)
z
k
O
1）若力 F 不在转动平面内
F F F
则：
Fz

F
F
M r F r ( F F ) r F rF sin k
2）合力矩等于各分力矩的矢量和:
r
M M1 M 2 M 3
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
O
z Fij
rj
Fej
m j
Fj Fej F ij
其合力矩为：
M j Mej Mij
则该质元的合力矩为：
M j Mej Mij mj rj
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
由此可得，质点系（刚体）的合力矩为：
M
j
ej
M ij (m r )
第三章 刚体的转动
刚体平动的特点： （1）、刚体内所有点具有相同的位移、速度和加 速度。 （2）、刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动 规律。 2、转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
刚体转动的特点：
（1）、刚体内所有的点（质元）具有相同的角位移、 角速度和角加速度。 （2）、刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚 体定轴转动的规律。 3、刚体的运动：一般情况下，刚体都可看成是平动 和转动的合成运动。
M r F
大小：M
Fr sin Fd
M
O
M
F
*
方向：右手定则 例
z
F F Fi 0 , Mi 0
F F
r
d
P

Fi 0 , Mi 0
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
讨论
v v0 at
x v0t at
1 2 2
0 t
0t t
1 2 2
v v 2ax
2 2 0
2
2 2 0
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
三、角量与线量的关系 1、速度与角速度


a
an r
v ret
x
参考平面
参考轴
(t t) (t)
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
3、角速度（表示刚体转动的快慢） 角速度的大小：
d lim t 0 t dt
角速度的方向：
v r
右手螺旋定则

3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
π 2 2 at r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 ´ × × an r 0 .2 ( 4 π ) m s 31 .6 m s
该点的切向加速度和法向加速度
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截 面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速度 0 0 ，经300s 后， 其转速达到 18000r· min-1 . 已知转子的角加速度与时间成正比 . 问 在这段时间内，转子转过多少转？
2
3
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例2、一质量为m 、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r

圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
RR
O
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr
m m 其中： 2 V r h
所以：J
mr dv
2
1 2 mR 2

R
0
2rh r dr
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
四 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量为：
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
75π N 37.5 r 2π 2π （2）t 6s 时，飞轮的角速度
转过的圈数

t （ 3）
π 1 1 0 t (5π 6)rad s 4π rad s 6
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
4-1、刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. 一、刚体的运动形式：平动、转动 . 1、平动：若刚体中所有点的运动轨迹 都保持完全相同，或 者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的
初始位置间的连线 .
刚体平动
质点运动
3– 1 刚体的定轴转动
c 2 t (π 75) rad s 1 2 π 3 2 ct rad s t 转子的角速度
π N (300 )3 3 10 4 2π 2π 450

3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
一 力矩 刚体上P点的力 F 对转轴 Z 的力矩为：
d
C
mO
J O J C md
2
P 1 圆盘对P 轴 2 2 J P mR mR 的转动惯量 2
R O m
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 容 易 控 制 ？
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三
转动惯量
j 1、物理意义： 描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
J m j rj2 , J r 2dm
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2 j j j
M ij 0
j
j
内力矩之和为零
M M ej ( m r )
2 j j
即：质点系的合力矩为所受外力力矩之和
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
M ( m j rj2 )
转动惯量（J）： J
m r
j
2 j j
转动定律：
M J
J 2π r dr
3 0 R
而
4
m π R
2

2
πR
所以
1 2 J mR 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：
dm dV 2 r h dr