2017级高等数学(上)期中考试试题及答案1
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案近年来，高等数学的学习在大学教育中扮演着重要的角色。
通过高等数学的学习，学生们能够提高数学思维能力，培养逻辑推理和问题解决的能力。
为了帮助学生更好地掌握高等数学知识，本文将提供一些高等数学试题及答案。
第一部分：微积分1. 计算下列定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1)dxb) ∫(sinx + cosx)dxc) ∫(e^2x + 5)dx答案：a) x^3 - x^2 + x + Cb)-cosx + sinx + Cc) 0.5e^2x + 5x + C2. 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的最值点及最值。
a) 最大值b) 最小值答案：a) 最大值点：x = 1，最大值：f(1) = -1b) 最小值点：x = 2，最小值：f(2) = -4第二部分：线性代数1. 计算矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] 的转置矩阵。
答案：A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 解方程组：2x + 3y = 74x - 2y = 10答案：x = 3, y = -1第三部分：概率论与数理统计1. 已知事件 A 发生的概率为 P(A) = 0.4，事件 B 发生的概率为 P(B) = 0.3，事件 A 和事件 B 相互独立，求 P(A ∪ B)。
答案：由于事件 A 和事件 B 相互独立，所以 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)P(A ∪ B) = 0.4 + 0.3 - (0.4 * 0.3) = 0.582. 一批产品的重量服从均值为 50kg，标准差为 2kg 的正态分布。
从中随机抽取一个产品，求其重量在 52kg 以上的概率。
答案：标准化分数：z = (x - μ) / σ其中，x 为指定值，μ 为均值，σ 为标准差。
求解：P(x > 52) = 1 - P(x ≤ 52)= 1 - P(z ≤ (52 - 50) / 2)= 1 - P(z ≤ 1)= 1 - 0.8413= 0.1587第四部分：常微分方程1. 求解微分方程 dy/dx = 2x答案：对方程两边同时积分得：∫dy = ∫2xdx得：y = x^2 + C2. 求解初值问题 dy/dx = 2x，y(0) = 1答案：对方程两边同时积分得：∫dy = ∫2xdx得：y = x^2 + C代入初始条件 y(0) = 1，得：1 = 0^2 + C所以 C = 1因此，所求解为 y = x^2 + 1通过以上一系列高等数学试题及答案的学习，相信能够帮助学生们更好地掌握高等数学知识，提高他们的数学分析和解决问题的能力。
★高等数学试题及答案
★高等数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数为：A. 2x+2B. x^2+2C. 2x+1D. 2x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 3B. 1C. 0D. -1答案：A4. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. ln(x) + CC. x^2 + CD. x + C答案：A5. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1+1/2+1/3+1/4+...C. 1-1/2+1/3-1/4+...D. 1+2+3+4+...答案：C6. 函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 2C. 8D. 6答案：B7. 函数f(x)=|x|的原函数为：A. x^2/2 + CB. |x| + CC. -x^2/2 + CD. x|x| + C答案：D8. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点为：A. x=1B. x=2C. x=0D. x=-1答案：A9. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=ln(x)D. f(x)=e^x答案：B10. 函数f(x)=x^3在x=0处的泰勒展开式为：A. x^3B. 3x^2 + 3x + 1C. 3x^2 + 3xD. 3x^2答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3的二阶导数为________。
答案：6x12. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为________。
答案：013. 函数f(x)=x^2+3x+2的最小值为________。
答案：-1/414. 曲线y=ln(x)在点(1,0)处的切线方程为________。
答案：y=x-115. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点为________。
《2017年成人高考专升本《高等数学一》真题及答案
一、选择题：1～10 小题。每小题 4 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选 项 中，只有一项是符合题目要求的。把所选项前的字母填在题后的括号内。
第1题
答案：C 第2题
答案：C
第 1 页 共 11 页
第3题
答案：D 第4题
答第 21 题
答案：
第 22 题 答案：
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第 23 题 答案：
第 8 页 共 11 页
第 23 题 答案：
第 24 题 答案：
第 9 页 共 11 页
第 25 题 答案：
第 26 题 答案：
第 10 页 共 11 页
第 27 题 答案：
第 28 题 答案：
第 11 页 共 11 页
答案：0 第 15 题
答案： 第 16 题 答案：8
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第 17 题 答案： 第 18 题 答案： 第 19 题
答案： 第 20 题 答案：
第 6 页 共 11 页
三、解答题：21～28 题，前 5 小题各 8 分，后 3 小题各 10 分。共 70 分.解答 应写出推理、演算步骤。
答案：B 第6题
答案：B 第7题
答案：A 第8题
答案：A
第 3 页 共 11 页
第9题
答案：C 第 10 题
答案：C 二、填空题：11～20 小题。每小题 4 分，共 40 分.把答案填在题中横线上。
第 11 题 答案：
第 4 页 共 11 页
第 12 题
答案：y=1 第 13 题
答案：f(-2)=28 第 14 题
高等数学试题及答案
高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.a⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
全国2017年10月高等教育(工本)自学考试试题、详细答案及考点分析
全国 2017 年 10 月高等教育自学考试
高等数学(工本)试题、详细答案及考点分析
课程代码：00023
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或
钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
0
0
C． d
3 f r 2 rdr
0
0
D． d
3 f r 2 dr
0
0
解答：根据极坐标下二重积分的计算方法进行求解。由于积分区域 D 是由 y 3 x2 及
y 0 所围成，因此积分区域 D，如下图所示
D
3
3
因此，令
x
y
r r
cos sin
，则
0
r
3, 0 ，从而二重积分 f x2 y2
注意事项： 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题：本大题共 5 空，每空 2 分，共 10 分）
3 答案整理：郭慧敏 广州大学松田学院
2017 年 10 月 高等数学（工本）
6. 已知向量 2,0,3， 1,1,5，则 2
.
解答：使用向量积的方法进行计算。因为 2 2 1,1,5 2,2,10，故
u 2x sin y 2u 2x cos y.
x
yx
考核知识点：高阶偏导数（简单应用）；
考核要求：掌握二阶偏导数的求法.
8. 二次积分
2
dy
1
x2 y
2017江苏专转本高等数学真题与答案解析
XX江苏省2017年普通高校专转本选拔考试高数试题卷一、单项选择题（本大题共 6小题，没小题4分，共24分。
在下列每小题 中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1•设f （X ）为连续函数，则f （XO ^O是f （X ）在点X 。
处取得极值的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件2.当X-时，下列无穷小中与 X 等价的是（）A.tan X _sinx B ∕⅛^ + X-^^XC Λ^^1y Z4.曲线X 2-6x 8^ 2,.X 4x 的渐近线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条A.可去间断点 C.无穷间断点B.跳跃间断点 D.连续点5.设函数f （X ）在 点X=0处可导，则有（）D.1 _cosx3. X =0为函数e X-1,2, .1 f(x) 一Xsin7X 0x = 0 X 0的()XXlimA.x“f (2x) - f (3x)-f'(0)f(*f (°)"'(0)讪輕= f'(0)D.xQX1(2)平面图形D 绕X 轴旋转一周所形成的旋转体的体积(-1)n"P -n条件收敛，则常数 P 的取值范围(X _1 aIim(J)X= j-e xdx7.设 Xh X=，8.设函数y =f(X )的微分为dy = e 2xdx ,贝y f "(x)=10.设F(X)=COSX 是函数f(X)的一个原函数，则TT TT11.设a与b均为单位向量，a 与b的夹角为賈卫n12.幕级数 二^X的收敛半径为X t 2(e t-1)dt lim 丄13.求极限X )0tanx_x14.设z ~z (χ,y)是由方程z *lnZ— xy-0确定的二元函数，求Cx.A. B. 1'：：C.01D.0,1、填空题 (本大题共 6小题，每小题4分，共24分)9•设y =f (X)是由参数方程'x :±3 3t 1Ly - Sint确定的函数dy,则dx(1,1)三、计算题(本大题共 8小题，每小题8分，共64分)QOΣ 6.若级数n-1则常数a=xf(x)dx— TT3 ,则 a + b =15.求不定积分 2X 3dx(2 XarCS in XdX16.计算定积分'0；2Z217.设z =y f(y,X y )，其中函数f具有二阶连续偏导数，求XH19•求微分方程y -2y∙3y=3x 是通解.的平面闭区域22.设函数f (X)在闭区间l'^a ,a I 上连续，且f (X)为奇函数，证明:°a(I)J(X)dx —.° f(x)dx(1)平面图形D 的面积;18•求通过点(1,1,1)且与直线X 1 y _1 -1 一 2Z 1 -1及直线；4x 3y ：；2z 1=PL X _y “z_5 卫都垂直的直线方程20.计算二重积分,其中D 是由曲线 与两直线X∙y = 3 y =1围成四•证明题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.证明：当° ”： X 乞二时, XSin X 2cosx ：： 2(2)a工 f (x)dx =0五、综合题(本大题共2题，每小题10分，共20分)23.设平面图形_ XD 由曲线y=e与其过原点的切线及y 轴所围成，试求;1(2)平面图形 D 绕X 轴旋转一周所形成的旋转体的体积524.已知曲线y = f(x)通过点(-1,5),且f (X)满足方程3xf'(X )-8f (X) =12x',试求:(1) 函数f (X)的表达式；(2) 曲线y =f (X)的凹凸区间与拐点高数试题卷答案一、 单项选择题1-6 DBACD 解析： 二、 填空题 7.-18.2e2X10.XZ5-×⅛?C 二*严判LZ 唱X Z 畑鬥- W入吟认（乙'三□ + X UlS-XSOoX扌XwG 亠"3X =XPMH - X5°TX-二15.2 ∙x » 一2( .. X 3)39 ∙. X 3 C516.3■? 3 - Z 4817.2yf 2 2y 2f 21 ■ xy 2f 22x-1 y -1 z-1〒—〒〒氏辭:Trl 工) f⅛* =CIrbo Λ¾ 二〔匚 D 壮罠二〔-IJki)19.X——2y =e (C ICOS2x c 2s i n 2x) x -I e f ・(J?几2卜 H 二 Q(^f 條TX-Q Z⅛⅛%*ι c⅛χ丿二 1± 五 i■ j*%∣y l L.⅛λ= J±e*,∖0-iflnftχf⅛r⅛t二e*(G G 條仏 $肚"偈曲i(5? ⅛≡ ^∣⅛C⅛iΛ 十7 SJ 中' ，v,'10ln 2』20.2「貝昴Xb‘：尹二护二孕*f*X仝-Clh M)a一Of (t)dta--O f (x)dx四、证明题21 证.令f(x)=xsinx+1cosx-2贝y f (x) = s i rx xc o s -2s i rxf (X)=COX COX-XSirX -2c o s--XS i rx因为 O ：：： x — ■:所以f (X) ：: 0因为f(x 八所以f (χ) f (°)"所以f(x八因为 f(x)"(O)=O 所以得出 22.证(1)X = _tOaf( -t)d(-t)OLJf (t)dtaO a* f(x)dx O f(x)dxa a-- 0 f (x)dx 0f (x)dx=0五、综合题ιιe 2 ιS= 0(e x_ex)dx=e x0_；X [23. (1)21 2 1e 二■ ■—(2)6 2I √⅛⅛⅛(‰e x ) ⅛w ry t χt >e x ^李一 ',L tTr⅛⅛⅛∣才护=&%对治〕时［口,叮用F X甘皿炉 ΛT C*=L +⅛ Cl f el⑴弘侶粧呷■鋼:二殆-4釧.Z 豪尹ξ √ /曲⅛√応扌#刃鼻8524. (1) f (X ^X3-4x3(2)拐点：（0,0） （1,3）凹：（-：：,0） , （1, +：：） 凸：（0,1）a f(x)dx = ■ -a^⅜‰-⅜‰=⅛x^诸叭L J哎（虛H 如） X 广」（jψγ ClX fC ）二 X £（〜¥ Q 垃““抄 C 1打）/吨亠（幻 I I二Y-⅛^ €和（ 4 執曲C ） {⅛ιLK 披40卫）Ef ）L Og 卫。
高数期中试题及解答
⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。
2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。
3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。
4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。
5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。
6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。
7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。
8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。
=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。
10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。
11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。
12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。
高等数学A(2)复习题(统一版、2017年)(1)
7、求过点 (0,1,3) 且与平面 : x 2 y 2 z 1 0 垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.
x 1 y 1 z 垂直相交的直线的方程． 3 2 1 x3 y 2 z 9、求过点 M 0 (1,0,2) 且与平面 3 x 4 y z 6 0 平行，又与直线 L : 垂直的直线方程. 1 4 1
16、过点 ( 2,1,3) 且垂直于直线
x 1 y z 1 的平面方程为 1 2 1
．
17、设一平面通过 z 轴和点 (3,1, 2) ，则其方程为_____________________. 18、 直线
x 2 y 1 z 与平面 2 x 4 y 3 z 2 的位置关系为 1 2 2
38、函数 z x 2 y 2 在点（1,2）处沿从点 A（1,2）到点 B（2,2＋ 3 ）的方向的方向导数等于
2y 39、函数 z xe 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数等于
40、函数 z ye 2 x 在点（0,1）处沿向量 {
x 2u 2u 1、设 u arctan ，求 2 , . y x xy
u l
M
. .
xe 2 y 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0) 到点 Q(2, 1) 的方向的方向导数为
2、求三元函数 u x 的全微分 du
y z z 3、设函数 z f ( x 2 y , ), 求 , . x x y
x 0 y 0
xy 2 xy 4 sin xy x
=
26、极限 lim
x 0 y 2
.
27、极限 28、 lim x 0
河南省2017年专升本考试《高等数学》试题
河南省2017年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试《高等数学》注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效。
一、选择题（每小题2分，共60分。
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分1.函数x x y 3sin +=是（）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性2.函数()52-=x x f 的定义域是（）A.()5,∞- B.()+∞,5 C.()()+∞⋃∞-,55, D.[)∞+，53.设函数x x y 3sin 5cos -=，则y '=（）A.xx 3cos 35sin 5-- B.x x 3sin 35cos 5+C.x x 3sin 5cos - D.xx 3sin 5cos +4.设236y x z =，则yz∂∂=（）A.2218y x B.y x 312 C.2318yx D.226yx 5.()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x dt t t dx d 01ln =（）A.()x x +1ln B.()x x +-1ln C.()1ln +x x D.()x x +1 6.设∑∞=1n n b 为正项级数，∑∞=12n na 收敛，则级数()nn n nb n a +-∑∞=211（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性无法判断7.下列积分可以用牛顿-莱布尼茨公式进行计算的是（）A.⎰20dxxe xB.⎰-2011dxxC.⎰e edx xx 1ln 1 D.dxx ⎰--112118.已知极限15sin lim 0=→xbxx ，则b 的值是（）A.5B.1C.0D.519.定积分()⎰+12dx k x =2，则k 的值是（）A.0B.1C.1- D.210.二元函数322xy x z +=，则yx z∂∂∂2=（）A.x4 B.y2 C.23yD.23x11.极限3354lim x xx x +∞→的值是（）A.4B.1C.2D.512.当0→x 时，下列无穷小量中阶数最高的是（）A.2xB.xcos 1- C.11--x D.xx tan sin -13.函数3443xx y -=（）A.在()1,∞-内是单调递减B.在()0,∞-内是单调递增C.在()∞+，0内是单调递减D.在()∞+，0内是单调递增14.x y cos =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上符合罗尔中值定理结论的是ξ（）题号一二三四五总分分值602050146150班级：姓名：准考证号：A.0B.4πC.2π D.4π-15.x 2cosπ的一个原函数是（）A.x 2sin 2ππ B.x 2sin 2ππ C.x ππ2sin 2 D.2sin 2x π16.极限1cos 1lim 20--→x e x x =（）A.∞B.2C.0D.2-17.⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x 3sin 3sin lim 0（）A.4B.2C.3D.118.设()11-=x xx f ，则1=x 是()x f 的（）A.连续点B.无穷间断点C.跳跃间断点D.可去间断点19.当0→x 时，下列变量中与x 为等价无穷小量的是（）A.x2sin B.()x 21ln + C.xx sin D.xx --+1120.向量→→+b a 2垂直于向量→→-b a 4，向量→→+b a 4垂直于向量→→-b a 2，则向量→a 与向量→b 之间的夹角是（）A.0B.4π C.2π D.6π21.设()()0,0,<''<'<<x f x f b x a ，在区间()b a ,内，函数()x f y =的图形（）A.沿x 轴正向下降且为凹的B.沿x 轴正向下降且为凸的C.沿x 轴正向上升且为凹的D.沿x 轴正向上升且为凸的22.“()x f ax →lim 存在”是“()x f 在a 连续”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件23.曲线21x ey -=与直线1-=x 的交点为Q ，则曲线21x ey -=在点Q 处的切线方程是（）A.022=--y xB.022=-+y x C.032=++y x D.032=+-y x 24.函数()1ln -=x x f 的导数是（）A.()11-='x x f B.()11-='x x f C.()xx f -='11 D.不存在25.已知级数∑∞=1n na和级数∑∞=1n nb都是发散，则下列结论正确的是（）A.()∑∞=+1n n nb a必发散 B.()∑∞=1n nn b a 必收敛C.()∑∞=+1n n nb a必发散D.()∑∞=+122n nn b a必发散26.设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 2x x xx x f ，则()x f 在0=x 处（）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.连续且可导27.设()x x x f cos =，则⎪⎭⎫⎝⎛'2πf =（）A.21 B.1C.2π- D.π228.微分方程3x y y x +='的通解是（）A.c x +33B.cx x +23C.cx x +43D.c x +4329.已知平面0131=+-+∏z y mx ：与平面027:2=--∏z y x ，若21∏⊥∏，则m 的值是（）A.71 B.71-C.7D.7-30.设0x 是函数()x f 的极值点，则下列命题正确的是（）A.()00='x f B.()00≠'x f C.()00='x f 或()0x f '不存在 D.()0x f '不存在二、填空题（每小题2分，共20分）31.已知()212+=+x x f ，则()x f cos =_____________________________32.极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22212111lim n n n n n =_____________________33.已知函数x x y arctan =，则y ''=______________________34.设()12sin 3+=x y ，则y '=_________________________35.不定积分⎰xdx ex3cos 2=___________________________.36.定积分dx x ⎰3221=______________________________37.设直线pz y x 42311+=--=-与平面052=+--z y x 平行，则p =______________38.设xx ey cos =，则dy =________________________39.平行于向量()1,3,2=→u 的单位向量为__________________________40.设幂级数∑∞=1n nn x a 与nn n x b ∑∞=1的收敛半径分别是35与31，则幂级数nn nn x b a ∑∞=122的收敛半径是________________________三、计算题（每小题5分，共50分）41.求函数xye y x z +=22在点（1,1）处的全微分42.计算定积分dxe x ⎰1043.计算极限xx x 321lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→44.计算不定积分dx x ⎰2cos245.求微分方程()y y x xy ='+2的通解46.求幂级数()111ln -∞=∑+n n x n n 的收敛域47.设函数()x f y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，求=x dxdy48.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧==te y te x ttsin cos 在2π=t 处的法线方程49.设()0sin >=x xy x，求y '50.已知D 是由2x y =和2y x =所围成的闭区域，计算二重积分()⎰⎰+Ddxdyy x 四、应用题（每小题7分，共14分）51.欲围成一个面积为1502m 的矩形场地，所用材料的造价是正面6元/2m ，其余三面是3元/2m ，四面墙的高度相同，试问场地的长和宽各是多少米时，才能使所用材料费用最低？52.求由抛物线x y =22与直线42=-y x 所围成的平面图形的面积五、证明题（6分）53.已知函数()x f 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且()()11,00==f f ，证明：（1）存在()1,0∈ξ，使得()ξξ-=1f （2）存在两个不同的点()1,0∈μη，，使得()()1=''μηff。
2017年浙江省专升本高等数学真题参考答案
17.解
18.解
19.解：
20.解：f(x)在x=1处连续
21.解：
22.由题意可知，直线的方向向量分别为
i
j
k
1
-2
-3
0
1
1
所求平面的法向量为
=
由点法式可知，过点（1,2,1）且以n为法向量的平面方程为
23.定义域为
x
-1
(-1,1)
1
+
0
_
0
+
y
凹
拐点
凸
拐点
凹
四、综合题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
所以f(x)在R上单调递增，所以方程 仅有1个正根.
11.
12.0解析：
13.
14. 且图形是凹的，
所以， 且
,即
并由定积分几何意义画图可知，梯形面积大于曲边梯形的面积，即
15.4解析： 发散，所以
在
三、计算题：本题共有8小题，其中16‐19小题每小题7分，20‐23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。
题号
1
2
3
4
5
答案
D
A
C
D
D
1.D解析：
2.A解析：由积分中值定理： 若
,可见选项A正确.
3.C解析：
，可见选项C正确.
4.D解析：
5.D解析：特征方程为
可见选项D 正确.
非选择题部分
二、填空题：本大题共10小题，每小பைடு நூலகம்4分，共40分。
6.
7.ln2解析：有重要极限可知，
所以k=ln2.
高等数学(上)试题及答案6
填空题1．曲线x x y arctan +=在0=x 处的切线方程是______________。
2．3231lim(sin cos )___________2x x x x x x x →+∞+++=+。
3．523423sin 21x xdx x x -=++⎰ 。
解答题1. lim→x )1ln(cos 220x x x +⎰ （ 参考答案1）2．由方程0=-+e xy e y 确定y 是x 的隐函数，求dxdy。
3．x x e x d cos ⎰。
⎰⎰=x x e x x x e d cos d cos ⎰+=sinxdx e cos x x e x⎰+=x de sin cos x x e xdx cos sin cos x e x e x e x x x ⎰-+=x x e x d cos ⎰∴C x x e x++=)cos (sin 214．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，求212(1)f x dx -⎰。
令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dx x f dt t f dx x f＝21121122(1)x xe dx dx -+-⎰⎰ 110()22=+-=-5．求出函数23()3f x x x =-的单调区间。
函数的定义域为(,+)-∞∞ 且'()f x =令'()0f x =得到 驻点18x =，在20x =处导数不存在。
则()f x 的单调区间为(,0][8.)-∞⋃+∞ 6. 计算定积分dx xx⎰41ln 。
解：原式=dx x x ⎰'⋅41)(ln 2=⎰41)(ln 2x xd =)(ln 214ln 241x d x x x ⎰-=dx x⎰-41122ln 8 =42ln 81442ln 821-=-x7. lim x →∞xx x )11(-+ （参考答案2e ）8． 证明方程 ln 1xx e=-在区间(0,)+∞内有两个实数根。
高等数学试题及答案 (1)
《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2ln 2x x x dx C =+⎰B ）、sin cos tdt tC =-+⎰C ）、2arctan 1dx dx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ ） A ）、11cos 2y -B ）、11cos 2x - C ）、22cos y - D ）、22cos x- 14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D 14. A 15. B二.填空题1. 21e 2. 2π3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题1. T2. F3. F4. T5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
2017高等数学II(1)A参考答案
考试形式开卷（ ）、闭卷（√），在选项上打（√）
开课教研室 大学数学部 命题教师
命题时间 2017-12-5 使用学期 17-18-1 总张数 3 教研室主任审核签字
d
1
江南大学考试卷专用纸
(12) 求不定积分 ∫ arctan x dx .
解：令 x = t , 则 x = t2, dx = 2tdt .于是 ......................1'
本题 得分
三、计算题(11~ 14小题，每小题 7 分, 共 28分)
(11) 求由方程 xy + ln y = 1所确定的曲线 y = y(x) 在点 M (1,1) 处的切线的方程。 解：方程 xy + ln y = 1两边对 x 求导数,得
y + xy′ + y′ = 0, y
解得
y′ = − y2 . xy + 1
2
2e
所以特解为 y
==
−1 2e
1
x3e x2
+
1 x3 2
=
1 2e
1
x3 e − e x2
. ..............1'
本题 得分
四、证明题(15 ~ 16 小题，每小题 7 分，共 14 分)
(15) 证明：当 x > 0 时， ln(1 + x) > arctan x . 1+ x
江南大学考试卷专用纸
2017 级《高等数学 II(1)》考试卷(A)
班级
学号
姓名
(A) 0
(B) 1
(C) − π 2
(D) π 2
∫ (8) 设 f (x) = sin x sin(t2 )dt ， g(x) = x3 + x4 ， 则当 x → 0 时， f (x) 是 g(x) 的【B 】 0 (A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小
高数一试题及答案
欢迎阅读 《 高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim 53x x x kx →-+=-，则k =（ ）A. 3-B.4-C.5-D.6-2. 若21lim 21x x kx →-=-，则k =（ ）A. 13. A.y =4. A.y =5. x A.06.7.8. 当A.9.已知'(3)=2f ，0lim 2h h →=( ) 。
A. 32 B. 32- C. 1 D. -110. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。
A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内() A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12. [()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C ) A.2222(ln )(ln )f x f x x ' B. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C +15. ⎰16. A.217. 18. 19. 20. A.()df x B.()f x C.()df x ' D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x -D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求⎰．3. 求arctan xdx ⎰．4.求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6.求定积分80⎰7. 计算20cos x xdx π⎰． 8. 求2128dx x x +-⎰． 9. 求⎰11. 求12. 求13. 求14.求1. 若2.3. 4. 设5. 求6. 求由方程cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩确定的导数x y '. 7. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0x e x f x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin y y y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设14. 15.16. 1. 2.3.4.1-5： 6-10：DBCDD11-15： BCCBD16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰． 解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰ 2. 求dx x⎰．解：13(43ln )(ln )x d x =+⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则21arctan ln(1)2x x x C =-++． 4.求⎰解：⎰ 5. 求 6. 解7. 解：令2u x =，cos dv xdx =，则2du xdx =，sin v x =，于是22200000cos sin (sin )2sin 2sin x xdx x d x x x x xdx x xdx πππππ==-=-⎰⎰⎰⎰． 再用分部积分公式，得002(cos )sin 2x x x πππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dx x x +-⎰． 解：221113(1)(1)ln 28(1)963(1)x dx d x C x x x x -+=+=++-+-++⎰⎰12ln 64x C x-=++． 9.求⎰ 解：令u =32x u =-，23dx u du =，从而有11. 求2212x xe dx -⎰ 解：2222222411112x x x xe dx e dx e e e -----===-⎰⎰12. 求13. 求14.求 1. 若否则极限不存在。
2017年重庆成人高考专升本高等数学(一)真题及答案
B . 12C.e 212017年重庆成人高考专升本高等数学(一)真题及答案一．选择题（1-10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 当 X→0 时,下列变量是无穷小量的为（C ）A. 1B.2XX 2C. sin xD.l n(X+e ） Lim(1+ 2)x =2.x X→（C ）A.eB.e -1D.e -23. 若函数f (x )1 e -x,,x 0 ,2 a,x=0,在x 0 处连续，则常数a= （B ）A.0 C.1 D.24. 设函数 f (x ) x ln x ，则 f (e ) =（ D ） A. -1B.0C.1D.25. 函数 f (x ) x 3-3 x 的极小值为（ A ）A.-2B.0C.2D.46. 方程 x 2+2 y 2+3 z 2=1 表示二次曲面是（ D ） A. 圆锥面 B.旋转抛物面 C.球面D.椭球面7. 若(2x k )dx 1 ，则常数k= ( C )f (x )dx >0a b⎰ ⎰πA. -2B.-1C.0D.18. 设函数 f (x ) 在a , b上连续且 fx >0，则( A )A. B.ab b f (x )dx <0B.a f (x )dx =0 D. af (x )dx 的符号无法确定9. 空间直线x 1y 2z 3的方向向量可取为（ A ）312A.(3，-1，2) B(1，-2，3)A. (1,1，-1) D （1，-1，-1）10. 已知 a 为常数，则级数(1)n(B )n 1 n a 2A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与a 的取值有关二．选择题（11-20 小题，每小题 4 分，共 40 分）11. limx 21x 2 sin( x 2)12. 曲线 yx 1的水平渐近线方程为2x1y 12 13.若函数 f (x ) 满足 f (1) 2 ，则limf (x ) f (1)1x 1 x 2 114.设函数 f (x ) x 1，则 f (x )x1 1x 2 15. 16.2 (sin x cos x )dx221dxb∞枫叶如风01x 2217.已知曲线y x2 x 2 的切线l 斜率为 3，则l 的方程为3x y 3 018.设二元函数z ln(x2 y) ，则zx2xx2 y枫叶如风⎪∞x 19. 设f (x ) 为连续函数，则xf (t )dtf (x )n 20. 幂级x 的收敛半径为 3n0 3n三、解答题（21-28 题，共 70 分解答颖写出推理、演算步骤）21.求lime xsin x 1 x 0x 2e x sin x1【答案解析】lim2x= limx 0 e xcos x2x= lim e x sin xx 021 = 2x 1t 222.设y 1t 3dy ，求 dy dx dy dt 3t 23 == = t dxdx 2t 2dt23.已知sin x 是f (x )的一个原函数，求 xf (x )dx 。
石油大学2017-2018高等数学期中考试参考答案
2017—2018学年第一学期《高等数学（2-1）》期中考试卷答案及评分标准( 工科类)专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期2017年11月11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共8页。
一．简答与选择题（共4小题，每小题3分，共计12分）1．试说明数列}{n x 收敛与数列}{n x 有界的关系.答：数列}{n x 收敛必有界，但数列}{n x 有界，不一定收敛，例如：})1{(n -，有界，但})1{(n -发散.（不举反例也算对）-------------------------------------------（3分）2．试说明函数)(x f 在0x 点可导与连续的关系.答：若函数)(x f 在0x 点可导，则)(x f 在0x 点必连续，若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点不一定可导，例如：x x f =)(，在0=x 连续，但x x f =)(在0=x 点不可导（)0(11)0(-+'=-≠='f f ）. （不举反例也算对） -------------------------------------------------------（3分）3．选择题：设函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，=)()(x f n （ A ）;)]([!)(1+n x f n A ;)]([!)(2n x f n B;)]([)(1+n x f n C .)]([)(2n x f D-----------------------------------------------------------------（3分）4．选择题：若函数)(x f 在0x 点取得极值，则（ B ） ;0)()(0='x f A 0)()(0='x f B 或)(0x f '不存在;;0)()(0>''x f C .0)(,0)()(0<''='x f x f D-----------------------------------------------------------------（3分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 求极限：.)12111(lim 222nn n n n ++++++∞→解,11211122222+≤++++++≤+n nn n n n n n n-----------------------（ 3分 ） 而,)1lim 0lim 22+==+∞→∞→n nn n n n n 由夹逼定理， .0)12111(lim 222=++++++∴∞→nn n n n ----------------------------------------（ 3分 ）2. 求极限：.1)sin 1ln(lim220-+→x x e x解 当0→x 时， )sin 1ln(2x +~x 2sin ~2x ；12-x e ~2x ，----------（ 2分 ）1)sin 1ln(lim220-+∴→x x e x 220sin lim xx x →=.1lim 220==→x x x -----------------------------（ 4分 ）3. 求极限：).11ln 1(lim1--→x x x解 )11ln 1(lim 1--→x x x )(∞-∞（通分） )00(ln )1(ln 1lim 1x x x x x ---=→------------------------------------------------------------------（ 3分 ） 1ln 1lim 1ln 11lim 11-+-=-+-=→→x x x x x x x x x x )00( .212ln 1lim 1=+=→x x ---------------------------------------------------------------------（ 3分 ）三．（10分）设函数xx x x x f sin )4(2)(2--=，指出函数的间断点，并判断其类型.解 )(x f 的间断点为：).,2,1(,022 ±±=-k k π，，-------------------（ 2分 ）因为21sin )4(|2|lim)(lim 200-=--=→→x x x x x f x x ，所以0=x 为可去间断点； -------------------------------（ 2分 ）因为,2sin 212|2|lim 2sin 21sin )4(|2|lim )(lim 2222=--=--=+++→→→x x x x x x x f x x x,2sin 212|2|lim 2sin 21sin )4(|2|lim )(lim 2222-=--=--=---→→→x x x x x x x f x x x所以2=x 是跳跃间断点；-----------------------------------------------------------（ 2分 ）因为∞=+-=--=-→-→-→21lim 2sin 2sin )4(|2|lim)(lim 2222x x x x x x f x x x ，所以2-=x 是无穷间断点；--------------------------------------------------------（ 2分 ）因为∞=--=→∈≠→xx x x x f k x Z k k k x sin )4(|2|lim)(lim 2),0(ππ，所以),2,1( ±±==k k x π是无穷间断点. ------------------------------------（ 2分 ）四．（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 设)2017()2)(1()(+++=x x x x x f ，求.)0(f ' 解 0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x --------------------------（ 2分 ）xx x x x x )2017()2)(1(lim0+++=→)2017()2)(1(lim 0+++=→x x x x.!2017=------------------------------------------------------------------（ 4分 ）2. 设,2arctan 2141ln2xx x y +++=求.dy解 ,2arctan21)4ln(21)1ln(2x x x y ++-+=---------------------------------（ 1分 ） 22212121422111⎪⎭⎫⎝⎛+++-+='x x x x y ,41112+-++=x x x -----------------------------------------------------------------------------------（ 3分 ）.)4111(2dx x xx dx y dy +-++='=∴--------------------------------------------------（ 2分 ）3. 设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求.22dxyd 解： 方程 yx x y =两边取对数，有x yy x ln 1ln 1=，-----------------（ 1分 ） 即x x y y ln ln =，两边关于x 求导，x dx dy y ln 1)ln 1(+=+，即yxdx dy ln 1ln 1++=，-----------------------------（ 2分 ） ⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dx y d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.--------------------------------------------（ 3分 ）五．（8分）设函数,0,10),sin 1(2)(⎩⎨⎧≥-<+++=x e x x b a x f ax 试确定常数b a ,，使)(x f 在0=x 点可导，并求)0(f '.解 0)0()(lim )0(0--='+→+x f x f f x x e ax x 1lim 0-=+→a axe a ax x =-=+→)1(lim 0， ---------------------------- （ 2分 ）0)0()(lim )0(0--='-→-x f x f f x xx b a x )sin 1(2lim 0+++=-→ )sin 2(lim 0xx b x b a x +++=-→，-------------------------------------- （ 2分 ）又)(x f 在0=x 点可导，)0()0()0f f f '='='∴-+，⎩⎨⎧==++∴.,02b a b a 1-==∴b a ，------------------------------------ （ 2分 ）,1)0(-=='∴-b f ,1)0(-=='+a f 故1)0(='f .------------------------------ （ 2分 ）六．应用题（共2小题，每小题6分，共计12分）1．求摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线方程 .解 当2π=t 时，a y a x =-=00),12(π，------------- （ 2分 ）22ππ===t t dtdx dt dy dxdy.1)cos 1(sin 2=-==πt t a t a ------------------------------------ （ 2分 ）所求切线的方程为：,)12(--=-πa x a y即 .022=+--a ay x π ------------------------------------ （ 2分 ）2．如果将一个边长为6米的正方形铁皮的四角各剪去同样大小的小正方形后，制成一个无盖盒子，问剪去小正方形的边长为多少米时，可使盒子的容积最大？解 设每个小正方形的边长为x 米， 则所做盒子的容积为： .)3,0(,)26()(2∈-=x x x x V -------------------------------------- （ 3分 ）)2)(26(2)26()(2--⋅+-='x x x x V)66)(26(x x --=令 ,0)66)(26()(=--='x x x V 得3,121==x x （不符合实际意义，舍去）从而得符合实际意义唯一的驻点,1=x -------------------------------------------- （ 2分 ） 故由实际问题的意义，可知当剪去小正方形的边长为1米时，可使盒子的容积最大.--------------------------------------------- （ 1分 ）七．（10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间、极值、凸性、拐点 ．解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='， 令0)(='x f 得驻点：,2±=x,)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f 得：.0=x -------------------------------- （ 3分 ） 当),2()2,(∞+-∞-∈ x 时，,014151)(222>+-=+-='x x x x f )(x f ∴在),2[]2,(∞+-∞- 单调递增，当)2,2(-∈x 时，,014151)(222<+-=+-='x x x x f )(x f ∴在]2,2[-单调递减；----------------------------------------------------- （ 2分 ）从而)(x f 在 2-=x 取得极大值：2arctan 52)2(+-=-f ，在 2=x 取得极小值：2arctan 52)2(-=f ；------------------------------ （ 2分 ） 当)0,(∞-∈x 时，,0)1(10)(22<+=''x xx fx x x f arctan 5)(-=∴在)0,(∞-内是上凸的，当),0(∞+∈x 时，,0)1(10)(22>+=''x xx f x x x f arctan 5)(-=∴在),0(∞+内是下凸的；---------------------------- （ 2分 ）故曲线x x x f arctan 5)(-=的拐点为：.)0,0(------------------------------ （ 1分 ）八．证明题（共2小题，每小题6分，共计12分）1．证明：当1>x 时， 有 .132xx ->证明 令,132)(xx x f +-=,0)1(=f ------------------------------------------ （ 3分 ）则),1(0111)(22>>-=-='x x x x xx x f )(x f ∴在),1[∞+单调递增，从而，当1>x 时，,0)1()(=>f x f即,0132>+-x x 亦即 .132xx ->----------------------------------------- （ 3分 ） 2．设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ， 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得.0)()(='+ξξf f证明 令,)()(x f e x F x = ------------------------------------------------ （ 2分 ） 则由已知，)()(x f ex F x=在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且,)()(])([)(x f e x f e x f e x F x x x '+='=' 由0)1()0(==f f ，得,0)0()0()0(0===f f e F ,0)1()1(==f e F 即,)1()0(F F =------- （ 2分 ）根据罗尔定理，至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 ,0)(='ξF 即 ,0)]()([='+ξξξf f e由0≠ξe ， 故.0)()(='+ξξf f ----------------------------------------------- （ 2分 ）各章分值分配：第1章 25分；第2章 38分；第3章 37分．。
关于高等数学试题及答案
高等数学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） 2．()02lim1cos tt xx e e dtx-→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导 5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________.7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=L8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________.14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.dx19.计算定积分I=0.⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
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2017级高等数学（上）期中考试试题及答案
班级 学号 姓名 得分
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．设当0x →时，2
(1cos )sin x x -是ln(1)n
x +的高阶无穷小，而ln(1)n
x +又是(1)
x
x e -的高阶无穷小，则正整数n =( )
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
2．若21
lim(
)01
x x ax b x →∞+--=+，则,a b 分别为( ). (A) 1,1 (B) 1,1- (C) 1,1- (D) 1,0 3．考虑下列5个函数： ①x
e ； ②2
x e ； ③2
x e
-； ④arctan x ； ⑤2
arctan x ．
上述函数中，当x →∞时，极限存在的是 ( )
(A) ②③⑤ (B) ①④ (C) ③⑤ (D) ①②③⑤
4．设)(u f 二阶可导，)1
(x
f y =，则22
d d y x =( ) （A ）)1(x
f '' (B)
23
1121
()()f f x x x x
'''+ (C) 431121()()f f x x x x '''+ (D)431121()()f f x x x x
'''-
5．设2
211()f x x x x +=+，则1()f x x
'+=( )
(A) 22x x + (B) 322x x
- (C) 3
13x x - (D) 2222x x -
6．设()f x 在点0x =处可导，且(0)0f =，则0x =点是函数()
()f x x x
ϕ=的( ).
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点 7．设2
()()
lim
1()
x a
f x f a x a →-=--，则()f x 在点x a =处( ) (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)一定不取得极值 (D)不一定取得极值
8．设32
()1f x x x x =--+，则在区间11[,]33
-上
(A) 函数()f x 单调减少且其图形是凹的 (B) 函数()f x 单调减少且其图形是凸的 (C) 函数()f x 单调增加且其图形是凹的 (D) 函数()f x 单调增加且其图形是凸的 9．设函数()f x 与()g x 均在[,]a b 上可导，且()0g x >，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当(,)x a b ∈时有不等式 ( )
(A) ()()()()f x g b f b g x < (B) ()()()()f x g x f a g a < (C) ()()()()f x g a f a g x < (D) ()()()()f x g x f b g b < 10．设函数()f x 在点0x 处可导，则000
()()
lim
h f x h f x h h
→--+=( )
(A) 0()f x ' (B) 02()f x ' (C) 0()f x '- (D) 02()f x '-
二、填空题(每小题3分,共21分)
11．设3
sin 0()0
x x x f x x a
x -⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a = .
12．设()(1)(2)()f x x x x x n =--⋅⋅⋅-，n 为正整数，则(0)f '= . 13．函数4
3
()38f x x x =-在闭区间[1,1]-上的最小值为 ．
14．若曲线1x
k y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
具有水平渐近线3y =，则常数k = ．
15．设 1
242-=x x y ，则1n >时()
n y = .
16．抛物线2
4y x x =-在其顶点处的曲率为 .
17．设k 是正整数，且极限 2007
lim (1)k k
n n n n →∞-- 的值是非零常数，则 k ＝ ．
三、计算题(每小题5分,共40分)
18．求 011lim ln(1)x x x →⎛
⎫
-
⎪+⎝
⎭.
19. 设
0lim x
x x x c x c →∞→+⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求常数c 的值． 20．设2
2ln 2x
x
y x x =+++，求y '. 21．设0x
y
xy e e -+=，求0
x y =''
．
22．设33
cos sin x a t y a t
⎧=⎨=⎩, 求22d d y x . 23．设2sin 0()00
x
x f x x
x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
, 求()f x '.
24
．求曲线4)y x =
-的凹凸区间与拐点．
25．求内接于半径为R 的球的正圆锥体的最大体积．
四、证明题(共9分)
26．设函数(),f x ()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又
()()f a g a =，()()f b g b =．证明：（1）存在(,)a b η∈，使得()()f g ηη=； （2）存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=．
参 考 答 案
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D
二．填空题（每小题3分，共21分）
11．
16
12．(1)!n
n - 13． 2 14． ln3 15．
1(1)2!(21)n n n n x ---⋅⋅⋅- 16． 2 17．2008
三、计算题（每小题5分，共40分） 18．
1
2
19． ln 2c =- 20． (ln 1)22ln 2x
x
x x x +++ 21． 2-
22． 23sin b a t -， 23． 22sin 2sin 0()10
x x x
x f x x x ⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩
24．在(,0]-∞及[1,)+∞上是凹的，在[0,1]上是凸的；点(0,0)及(1,3)-是拐点． 25．3
max
3281
V R =
π 四、证明题（共9分）
26．（1）设(),f x ()g x 在[,]a b 上的最大值为M ，则存在12,(,)x x a b ∈（不妨设
12x x ≤），使得12()()f x g x M ==．
当12x x =时，取12x x η==，则有(,)a b η∈，且()()f g ηη=． 当12x x ≠时，令()()()h x f x g x =-，则()h x 在12[,]x x 上连续，且 1111()()()()0h x f x g x M g x =-=-≥； 2222()()()()0h x f x g x f x M =-=-≤．
由零点定理知，存在12[,](,),x x a b η∈⊂，使得()0h η=，即()()f g ηη=． （2）因为()h x 在[,],[,]a b ηη上连续，在(,),(,)a b ηη内可导，且
()()()0h a f a g a =-=，()0h η=，()()()0h b f b g b =-=，
故由Rolle 定理知，存在1(,)a ξη∈，2(,)b ξη∈，使得12()()0h h ξξ''==．
又()h x '在12[,]ξξ上可导，再由Rolle 定理知，存在12(,)(,)a b ξξξ∈⊂，使得()0h ξ''=， 即： ()()f g ξξ''''=．。