兰州大学-网络教育-高等数学-命题作业-导数与积分的综合应用题(完整答案)
导数综合应用(含答案)
11.导数的综合应用（含答案）（高二）1.（15北京理科）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2．（15年安徽理科）设函数2()f x x ax b =-+.（1）讨论函数(sin )22f x ππ在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记20000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取2000,D 14aa b z b ===-≤求满足时的最大值。
兰大网络教育高等数学课程作业及答案
高等数学(2)课程作业_A 一、单选题1.(4分)图2• A.A• B.B• C.C• D.D知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析答案D2.(4分)图19-13• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：多元函数微分收起解析答案B3.(4分)图14-27• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C4.(4分)图14-24• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C5.(4分)图20-43• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案D6.(4分)图19-15• A.(A)• B.(B)• C.(C)知识点：多元函数微分收起解析答案A7.(4分)图23-18• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：重积分收起解析答案D8.(4分)图17-104• A.(A)• B.(B)• C.(C)知识点：无穷级数收起解析答案B9.(4分)图20-83• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案A10.(4分)图14-26• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：曲线积分及其应用答案C11.(4分)图12• A.A• B.B• C.C• D.D知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析答案D12.(4分)图18-44• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：常微分方程答案C13.(4分)图26-20• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案A14.(4分)图25-23• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案B15.(4分)图15-29• A.(A)• B.(B)• C.(C)• D.(D)知识点：可降阶的高阶微分方程与线性微分方程（组）收起解析答案C二、判断1.(4分)图26-4知识点：重积分收起解析答案错误2.(4分)图20-10知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案错误3.(4分)图15-13知识点：无穷级数收起解析答案正确4.(4分)图25-5知识点：多元函数及其微分学收起解析5.(4分)图14-15知识点：无穷级数收起解析答案错误6.(4分)图22-7知识点：多元函数微分收起解析答案错误7.(4分)图25-14知识点：重积分收起解析答案正确8.(4分)图20-9知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案错误9.(4分)图26-2知识点：重积分收起解析答案错误10.(4分)图1-9知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析答案错误。
导数、定积分及应用测试-答案
《导数、定积分及应用测试》参考答案：1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）11、解：11231001()()3f x dx ax c dx ax cx=+=+⎰⎰203ac ax c =+=+03x =∴12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106..=⎰xdx 。
16题、解方程组⎩⎨⎧-==2xx y kxy 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x Sk k ⎰⎰----=10102)(26)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- 又61=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2413-=k 17题、（1）323)('2-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，-∈x ，则0)('<x f 故)(x f 在)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。
（2）曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。
兰州大学-高等数学（2）课程作业-试题库A（A+B试题库保准80分以上）
兰州大学-高等数学（2）课程作业-试题库A（A+B试题库保准80分以上）一单选题1. 图20-92(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)2. 图14-29(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)3. 图25-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 4. 图22-27(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 5. 图26-26(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0用户解答： (A) 标准答案： (B)6. 图17-92(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B)7. 图14-27(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C)8. 图19-40(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 9. 图14-20(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B)10. 图18-60(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (D) 11. 图23-18(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 12. 图26-29(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 13. 图17-111(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 14. 图15-22(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D) 15. 图16-29(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 二判断题1. 图26-9错对本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答：对标准答案：错2. 图19-10错对本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答：对标准答案：错3. 图25-10错对本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答：对标准答案：对4. y'+con y =0是线性方程。
导数的综合应用答案
1专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用答案部分 2019 年1.解析 当 x =1 时， f (1) =1- 2a + 2a = 1 > 0 恒成立；当 x <1时， f (x ) = x 2- 2ax + 2a 厖0 ⇔ 2ax 2 x - 1恒成立，x 2 x 2(1 - x -1)2(1 - x )2-2 (1 - x ) +1令 g (x )=x -1 = - 1- x= - 1- x= -1- x=-(1- x ) + 1 1- x-⎛ 2(1 - x ) ⋅ 11- x ⎫ - 2 ⎪ = 0 ，⎝⎭所以 2a …g ( x )max = 0 ，即a > 0 ． 当 x >1 时， f (x )= x - a ln x 厔0 ⇔ ax ln x恒成立， 令 h (x ) = x，则 h '( x ) =ln x ln x - x ⋅ 1x (ln x )2= ln x -1 ， (ln x )2当 x > e 时， h '( x ) > 0 ， h (x )递增，当1 < x < e 时， h '( x ) < 0， h (x )递减， 所以当 x = e 时， h (x )取得最小值h (e )= e . 所以a … h (x )min = e .综上， a 的取值范围是[0, e ]．2.解析（1） f '(x ) = 6x 2- 2ax = 2x (3x -a ) ． 令 f '(x ) = 0 ，得 x =0 或x = a.3若 a >0，则当x∈(-∞, 0) ⎛ a , +∞ ⎫ 时，f '(x ) > 0 ；当 x ∈⎛ 0, a ⎫时， f '(x ) < 0 ．故 f (x ) 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭在(-∞, 0), ⎛ a , +∞ ⎫ 单调递增，在⎛ 0, a ⎫单调递减； 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭3若 a =0， f (x ) 在(-∞, +∞) 单调递增；若a <0，则当x ∈⎛-∞, a ⎫ (0, +∞) 时，f '(x ) > 0 ；当x ∈⎛ a , 0⎫时， f '(x ) < 0 ．故 f (x ) 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭在⎛ -∞,a ⎫ , (0, +∞) 单调递增，在⎛ a , 0⎫单调递减. 3 ⎪ 3 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭（2）满足题设条件的 a ，b 存在.（i ）当a ≤0 时，由（1）知，f (x ) 在[0，1]单调递增，所以 f (x ) 在区间[0，l]的最小值为 f (0)=b ，最大值为 f (1) = 2 - a + b .此时 a ，b 满足题设条件当且仅当b = -1 ，2 - a + b =1 ，即 a =0，b = -1 ．（ii ）当 a ≥3 时，由（1）知， f (x ) 在[0，1]单调递减，所以 f (x ) 在区间[0，1]的最大值为f (0)=b ，最小值为 f (1) = 2 - a + b ．此时a ，b 满足题设条件当且仅当 2 - a + b = -1 ，b =1，即 a =4，b =1．f (x )f ⎛ a ⎫= - a 3+ b （iii ）当 0<a <3 时，由（1）知，或2 - a + b ．在[0，1]的最小值为 ⎪ ⎝ ⎭27 ，最大值为 b- a 327 + b = -1 ，b =1，则 a = 33 2 ，与 0<a <3 矛盾.- a 327 + b = -1 ，2 - a + b =1，则 a = 3 3 或 a = -3 3 或 a =0，与 0<a <3 矛盾．综上，当且仅当 a =0，b = -1 或 a =4 ，b =1 时， f (x ) 在[0，1]的最小值为–1，最大值为 1． 3.解析：（Ⅰ）当a = - 3 时， f ( x ) = - 3ln x + 1 + x , x > 0 ．4 4f ' (x ) = - 3+ 1 = ( 1+ x - 2)(2 1+ x + 1) ，4x 2 1+ x 4 x 1+ x所以，函数 f (x ) 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ∞ ）．（Ⅱ）由 f (1) ≤ 1 2a，得0 < a ≤2 ．4当0 < a ≤2 时， f ( x ) ≤x 等价于x - 2 1+ x- 2ln x ≥ 0 ． 42a令t = 1，则t ≥ 2 2 ．aa 2 a若 若1 7 ⎭ ⎝ ⎭ ⎭设 g (t ) = t 2 x - 2t 1+ x - 2ln x ,t ≥ 2 2 ，则g (t ) ≥ g (2 2) = 8 x - 4 2 1+ x - 2ln x ．（i ）当x ∈⎡ 1 , +∞⎫时， 1 + ≤ 2 2 ， 则⎢⎣ 7 ⎪xg (t ) ≥ g (2 2) = 8 x - 4 2 1+ x - 2ln x ．记 p (x ) = 4x - 2 2 1+ x - ln x , x ≥1，则7p' (x ) = 2-2- 1 =2 x x + 1 - 2 x - x + 1 .xx +1 x x x +1故x1 ( 1,1) 771 (1, +∞)p'(x )-+p (x )p ( 1 ) 7单调递减极小值 p (1)单调递增所以， p (x ) ≥ p (1) = 0 ．因此， g (t ) ≥ g (2 2) = 2 p (x ) ≥ 0 ．（ii ）当x ∈⎡ 1 , 1 ⎫时， g (t )…g ⎛ 1+ 1 ⎫ = -2 x ln x - (x + 1) ．⎢⎣ e 2 7 ⎪ x ⎪ 2 x⎭ ⎝ ⎭令q (x ) = 2 x ln x + (x +1), x ∈ ⎡ 1 , 1 ⎤ ，则q' (x ) =ln x + 2 +1 > 0 ， ⎢⎣ e 2 7⎥⎦x故 q (x ) 在⎡ 1 , 1⎤ 上单调递增，所以 q (x )… q ⎛ 1 ⎫ ．⎢⎣ e 2 7⎥⎦ ⎪由（i ）得q⎛ 1 ⎫= - 2 7 p ⎛ 1 ⎫< - 2 7 p (1) = 0 ． 7 ⎪ 7 7 ⎪ 7 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以，q (x )<0 ．因此 g (t )…g ⎛1+ 1 ⎫ = -q ( x )> 0．x ⎪ 2 x ⎝ ⎭由（i ）（ii ）得对任意 x ∈ ⎡ 1 , +∞⎫， t ∈[2 2, +∞), g (t )…0 ，⎢⎣e 2 ⎪⎭即对任意x ∈⎡ 1, +∞⎫，均有 f ( x )…x ． ⎢⎣e 2 ⎪ 2a 综上所述，所求a 的取值范围是⎛ 2 ⎤0, 4 ⎥ ⎝ ⎦4.解析：（1）设g (x ) = f '(x ) ，则g (x ) = cos x -11 + x， g' (x ) = - sin x +1 . (1+ x )2当 x ∈⎛-1,π ⎫时， g' (x )单调递减，而 g'(0) > 0, g'( π) < 0 ，2 ⎪2 ⎝ ⎭可得 g' (x ) 在⎛-1,π ⎫有唯一零点，设为α. 2 ⎪ ⎝⎭则当x ∈( -1,α) 时， g'(x ) > 0 ；当x ∈⎛α, π ⎫ 时， g'(x ) < 0 . 2 ⎪ ⎝ ⎭所以 g (x ) 在(-1,α) 单调递增，在 ⎛α, π ⎫ 单调递减，故 g (x ) 在⎛-1, π⎫ 存在唯一极2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭大值点，即 f '(x ) 在⎛-1, π⎫ 存在唯一极大值点.2 ⎪ ⎝ ⎭（2） f (x ) 的定义域为(-1, +∞) .（i ）当x ∈ (-1, 0] 时，由（1）知， f '(x ) 在( -1,0) 单调递增，而 f '(0) = 0 ，所以当x ∈ (-1, 0) 时， f '(x ) < 0 ，故 f (x ) 在( -1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而x = 0 是f (x ) 在(-1, 0] 的唯一零点.（ii ）当 x ∈⎛0, π⎤ 时，由（1）知， f '(x ) 在(0,α) 单调递增，在⎛α, π⎫ 单调递减，2⎥ 2 ⎪ ⎝ ⎦ ⎝ ⎭而 f '(0)=0 f '⎛ π ⎫ < 0 ，所以存在β∈ ⎛α, π ⎫，使得 f '(β) = 0 ，且当x ∈(0,β) 时， ， 2 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭f '(x ) > 0 ；当 x ∈⎛ β, π ⎫时， f '(x ) < 0 .故 f (x ) 在(0,β) 单调递增，在⎛ β, π⎫ 单调2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 递减.又 f (0)=0 ， f ⎛ π ⎫ =1 -ln ⎛1 + π ⎫ >0 ，所以当 x ∈⎛0, π⎤时， f (x ) > 0 .2 ⎪ 2 ⎪ 2⎥从而 f (x ) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎦ 在⎛0, π⎤没有零点.2⎥ ⎝ ⎦（iii ）当x ∈⎛ π , π⎤ 时， f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在⎛ π, π⎫ 单调递减.而f ⎛ π⎫ > 0 ，2 ⎥ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎦ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭f (π) < 0 ，所以 f (x ) 在⎛ π, π⎤有唯一零点.2 ⎥ ⎝ ⎦（iv ）当x ∈(π, +∞) 时，ln(x +1) > 1 ，所以 f (x ) <0，从而 f (x ) 在(π, +∞) 没有零点. 综上， f (x ) 有且仅有2个零点.5.解析：（1）f （x ）的定义域为(0,1) (1, +∞) .因为 f '(x ) = 1+x 1( x -1) 2> 0，所以 f (x ) 在（0，1），（1，+∞）单调递增．f e =1- e +1< 0f (e 2) = 2 - e 2 +1 = e 2 - 3> 0因为 （ ），e - 1 ，e 2 -1 e 2-1所以 f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即 f （x 1 ）=0．又0 <1 <1， f ( 1) = -ln x + x 1 +1 = - f ( x ) = 0 ， x x 1x -1 1111故 f （x ）在（0，1）有唯一零点 1．x 1综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为 1 x 0 = e - ln x 0，故点 B （–ln x 0， 1 x 0）在曲线 y =e x 上．由题设知 f (x ) = 0 ，即ln x = x 0 +1 ，1- ln xx 0 -11 - x 0 + 1 故直线 AB 的斜率k = x 0= x 0 x 0 -1 = 1 ．- ln x 0 - x 0 - x 0 +1 - x x 0x 0 -1 0所以 f (x ) 的极小值为 f (1) = (1- 3)(1+ 3)2= -32 ．（3）因为 a = 0, c = 1，所以 f (x ) = x (x - b )(x -1) = x 3 - (b + 1)x 2+ bx ，f ' (x ) = 3x 2 - 2(b + 1)x + b ．因为0 < b ≤ 1 ，所以∆= 4(b + 1)2- 12b = (2b - 1)2+ 3> 0 ，则 f '(x )有2个不同的零点，设为 x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) ．曲线 y =e x 在点B ( -ln x 0 , 1) 处切线的斜率是 1 ，曲线 y = ln x 在点A ( x , ln x ) 处切线的x 0 x 00 0 斜率也是 x ，1所以曲线y = ln x 在点A ( x 0, ln x 0 )处的切线也是曲线y =e x 的切线．6.解析（1）因为a = b = c ，所以 f (x ) = (x - a )(x - b )( x - c ) = (x -a )3 ． 因为 f (4) = 8 ，所以 (4 - a ) 3 = 8 ，解得a = 2 ．（2）因为b = c ，所以 f (x ) = (x - a )(x - b )2= x 3- (a + 2b )x 2+ b (2a + b ) x - ab 2， 从而 f ' (x ) = 3(x - b ) x - ⎛2a +b ⎫．令 ⎝ 3 ⎪⎭f '(x ) = 0 ，得x = b 或x = 2 a + b 3 ． 因为a ,b ,2a + b都在集合{-3,1, 3}中，且a ≠ b ， 3 所以 2 a + b= 1, a = 3, b = -3 ． 3此时 f (x ) = (x - 3)(x + 3)2， f '(x ) = 3(x + 3)(x -1) ． 令 f '(x ) = 0 ，得x = -3 或 x =1 ．列表如下：xf '(x ) f (x )(-∞, -3)+-30 (-3,1)–10 (1, +∞)+极大值极小值1 1 13 ⎝ ⎭由 f '(x ) = 0 ，得x 1 = b +1- b 2 - b +1 3 , x 2 =b +1+ b 2 - b +13列表如下：x(-∞, x 1 )x 1(x 1, x 2 )x 2( x 2 , +∞)f '(x ) f (x )+0 –0 +极大值极小值所以 f (x ) 的极大值M = f (x 1) ．解法一： M = f ( x 1) = x 3 - (b +1)x 2+ bx⎛ x b +1 ⎫ 2 (b 2- b +1)b (b +1) = [3x 2 - 2(b +1) x 1 + b ] 1- ⎪ -x 1 + 1⎝ 3 9 ⎭9 9 -2(b 2 - b + 1)(b + 1) b (b +1) 2 3= + + 27 9 27b 2 - b + 1)= b (b +1) - 2(b -1)2 (b +1) + 2 (b (b - 1) + 1) 327 27 27≤ b (b +1) + 2 ≤4 ．因此M ≤ 4． 27 27 27 27解法二：因为0 < b ≤ 1 ，所以x 1 ∈ (0,1) ． 当x ∈ (0,1) 时， f (x ) = x (x - b )(x -1) ≤ x (x -1)2．令 g (x ) = x ( x -1)2, x ∈ (0,1) ，则g'(x ) = 3⎛ x -1 ⎫( x -1) ．3 ⎪ ⎝ ⎭令g'(x ) = 0 ，得 x = 1．列表如下：3x(0, 1) 1 33(1 ,1) 3g' (x ) g (x ) +0 –极大值所以当 x = 1时， g (x ) 取得极大值，且是最大值，故g (x ) = g⎛ 1 ⎫ = 4 ．3max⎪． (27所以当x ∈(0,1) 时， f ( x) ≤g( x) ≤4，因此M ≤4．27 277.解析：（I）由f(x)=1x3-x2+x，得4f '( x) =3x2 -2x +1 ．4令 f '(x) =1 ，即3x2 -2x +1 =1 ，解得 x = 0 或x =8.4 3又 f (0) =0, f ( 8) =8,3 27所以曲线y =f (x) 的斜率为 1 的切线方程是 y =x 与y -8=x -8，即y =x 与y =x -64. 27（II）令g(x) =f (x) -x ， x ∈[-2, 4].由g (x) =1x3 -x2 得g '( x) =3x2 -2 x .27 3 4 4令g '( x) = 0 得x = 0 或x =8 .3g '( x), g(x) 随x 的变化情况如表所示x -2 (-2,0)0⎛0, 8⎫8 ⎛8, 4 ⎫43⎪ 3 3 ⎪⎝⎭⎝⎭g '(x)+ - +g(x)-6 Z 0 ]-64Z 0 27所以 g(x) 的最小值为-6，最大值为 0，所以-6 ≤g(x) ≤ 0 ，即 x - 6 ≤f (x) ≤x .（III）由（II）知，当a ≤-3 时，M (a)≥F (0)=g (0)-a =-a > 3；当a >-3 时， M (a)≥F (-2)=当a =-3 时， M (a)= 3.综上，当M (a )最小时， a =-3.g (-2)-a = 6 +a > 3 ；8. 解析（Ⅰ）由已知，有 f '( x) = e x (cos x - sin x). 因此，当x ∈⎛2kπ+π, 2k π+5π⎫(k ∈Z) 时，有sin x > cos x ，得f '(x)< 0，则f (x)单调递减；4 4 ⎪ ⎝⎭4 2⎪ 2 2 4 2 ⎪ 4 2 4 当 x ∈⎛ 2k π -3π , 2k π + π ⎫(k ∈ Z) 时，有sin x < cos x ，得 f ' (x ) > 0 ，则 f (x ) 单调递 4 4⎪ ⎝⎭增.所以， f (x )的单调递增区间为 ⎡2k π -3π, 2k π + π⎤(k ∈ Z), f ( x ) 的单调递减区间为⎡2k π + π , 2k π + 5π⎤ ⎢⎣(k ∈ Z ) .4 4 ⎥⎦⎣⎢ 4 4 ⎥⎦（Ⅱ）记h (x ) = f (x ) + g (x )⎛ π -x ⎫ .依题意及（Ⅰ），有g (x ) = e x(cos x - sin x ) ，从而 2 ⎪ ⎝ ⎭g '( x ) = -2e x sin x .当 x ∈⎛ π, π⎫ 时，g ' (x )< 0 ， ⎝ ⎭故h '(x ) = f '(x )+ g '(x )⎛ π - x ⎫+ g (x )(-1) = g '(x )⎛ π - x ⎫< 0.2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭因此，h (x )在区间⎡ π , π⎤ 上单调递减，进而 h (x )…h ⎛ π ⎫ = f ⎛ π ⎫= 0. ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ 所以，当x ∈⎡ π, π⎤ 时， f ( x ) + g ( x ) ⎛ π - x ⎫…0 .⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎢⎣ 4 2⎥⎦ 2 ⎪（Ⅲ）依题意，u (x n )= f ⎝ ⎭(x n )-1= 0 ，即e xn cos x n =1 .记 y n = x n - 2n π ，则 y n ∈⎛ π , π ⎫ ，⎝ ⎭且 f ( y n ) = e y n cos y n = e x n -2n π cos ( x n - 2n π) = e -2n π (n ∈N ). 由 f (y n ) = e -2n π… 1= f (y 0 ) 及（Ⅰ），得y n …y 0 . 由（ Ⅱ）知，当 x ∈⎛ π , π ⎫ 时， g '(x )< 0 ， 所以 g (x ) 在⎡ π , π⎤上为减函数，因此 ⎪ ⎝ ⎭g ( y )… g ( y ) < g ⎛ π ⎫= 0.⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ n 0 ⎪⎝ ⎭又由（Ⅱ）知， f ( y )+ g (y )⎛ π - y ⎫…0， nn2 n ⎪π f (y n ) ⎝ ⎭e -2n π e -2n πe -2n πe -2n π 故 2 - y n 剟- g (y ) = - g (y ) g (y ) = e y 0 (sin y -cos y ) <sin x -cos x .n nπ e -2 n π 0 0 0 0 0 所以，2n π + 2 - x n < sin x - cos x .2010-2018 年 1．A 【解析】∵ f '(x ) = [x 2 + (a + 2)x + a - 1]ex- 1，∵f '(-2) = 0 ，∴a = -1 ，所以 f ( x ) = ( x 2 - x -1)e x -1 ， f '(x ) = (x 2 + x - 2)e x -1，令 f '(x ) = 0 ，解得x = -2 或 x = 1 ，所以当x ∈(-∞, -2) ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；当 x ∈ (-2,1) 时， f '(x ) < 0， f (x ) 单调递减；当 x ∈ (1, +∞) ， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增，所以 f (x ) 的极小值为 f (1) = (1-1-1)e 1-1 = -1，选 A ．2．D 【解析】由导函数的图象可知，y = f (x ) 的单调性是减→ 增→ 减→ 增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知， y = f (x ) 的极值点一负两正，所以 D 符合，选 D ．ln 4 ）上单调递增，在[ ln 4 ，2]上单调递减，又 f '(0) = -1< 0 ，f '(1 ) = 2- 2e > 0 ，f '(1) = 4 - e > 0，f '(2) = 8- e 2> 0，所以存在 x ∈(0, 1) 是函数 f ( x ) 的极小值点，2即函数 f ( x ) 在(0, x 0) 上单调递减，在( x 0, 2) 上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条 件 的 图 像 为 D ． 4．B 【解析】（解法一） m ≠ 2 时，抛物线的对称轴为 x = - n - 8．据题意，当m > 2时，m - 2- n - 8≥ 2 即 2m + n ≤12 ． m - 22m ⋅n ≤ 2m + n≤ 6 ∴mn ≤ 18 ． 由 2m = n 且 2⎨ ⎩⎨ 2⎨ 2m + n =12 得m = 3, n = 6 ．当 m < 2时，抛物线开口向下，据题意得，-n - 8 ≤ 1m - 2 2即 m + 2n ≤18 ．2m ⋅n ≤ 2m + n ≤9 ∴ mn ≤ 81．由2n = m 且 m + 2n = 18 得 2 2m = 9 > 2 ，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有m + 2n = 18 (m < 2, n > 8) ．所以mn = (18- 2n )n < (18 - 2⨯8) ⨯8 = 16 ，所以最大值为 18．选 B ．（解法二）由已知得 f '(x ) = (m - 2)x + n - 8，对任意的 x ∈[1, 2] ， 2f '(x ) ≤ 0，所⎧ f '(1) ≤0 ⎧m ≥ 0, n ≥ 0 ⎪，即⎪ m + 2n ≤18 ．画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 ⎪⎩ f '( x ) ≤ 0 ⎪ 2m + n ≤ 2所示，m18m +2n =1862m +n =12nO9 12令mn = t ，则当n = 0时，t = 0 ，当 n ≠ 0时，m = t n，由线性规划的相关知识，只有当直线2m + n =12 与曲线m = t n⎧ - t 相切时，t 取得最大值，由⎪ n 21 = - 12 ，解得 n = 6， tt =18 ，所以 (mn )max = 18 ，选 B ．⎪9 - n = ⎩ 2 n 5．A 【解析】令h (x ) =f ( x )，因为 f (x ) 为奇函数，所以h (x ) 为偶函数，由于xh '(x ) = xf '(x ) - f (x )，当x > 0 时， xf '(x ) - f (x ) x2 < 0 ，所以h (x ) 在(0, +∞)上单调递减，根据对称性h (x ) 在(-∞, 0) 上单调递增，又 f (-1) = 0 ， f (1) = 0 ，数形结合可知，使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是( -∞, -1)( 0,1) ．6．D 【解析】由题意可知存在唯一的整数x 0 ，使得e x0 (2x 0 -1) < ax 0 - a ，设g (x ) = e x (2x -1) ， h (x ) = ax - a ，由 g '( x ) = e x (2 x +1) ，可知g (x ) 在(-∞, - 1 )2上单调递减，在(- 1, +∞) 上单调递增，作出 g (x ) 与h (x ) 的大致图象如图所示，2以⎩ ⎨⎪ ⎪3 2 1 O–3 –2–1 –1yg (x )=e x (2x -1)h (x )= ax -a 12 x⎧h (0) > g (0) 故⎨h ( -1) ≤ g ( -1) ⎧ a < 1，即⎪-2a ≤ - ⎩ 3 ，所以 3 e2e≤ a < 1 ． 7．D 【解析】∵ f (x ) = kx - ln x ，∴f '(x ) = k - 1，∵ f (x ) 在(1, +∞) 单调递增， x所以当 x > 1 时， f '(x ) = k - 1 ≥ 0 恒成立，即k ≥ 1在(1, +∞) 上恒成立，∵ x > 1 ，∴01< x< x x 1 ，所以k ≥1，故选 D ．8．A 【解析】法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y = -x ，在(2，0)处的切线方程为 y = 3x - 6 ，以此对选项进行检验．A 选项， y = 1x 3- 1x 2- x ，显然过两个定点，又 y ' = 3x 2- x -1 ，22 2则 y ' |x =0 = -1, y ' |x =2 = 3，故条件都满足，由选择题的特点知应选 A ．法二 设该三次函数为 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ，则 f '(x ) = 3ax 2+ 2bx + c⎧f (0) = 0 ⎪f (2) = 0a 1 ,b 1 ,c 1,d 0 ⎪由题设有⎨ f '(0) = -1 ，解得 =2 = - 2 = - = ． ⎩⎪ f '(2) = 3故该函数的解析式为 y = 1 x 3 - 1 x 2- x ，选 A ．2 29．C 【解析】由正弦型函数的图象可知： f (x )的极值点x 0 满足 f (x 0 ) = ± 3 ，则πx 0 = π+ 2k π (k ∈ Z ) ，从而得x = (k + 1)m ( k ∈ Z ) ．所以不等式m 2 02x 2 +[ f (x )]2 < m2 ，即为(k + 1)2 m 2 +3 < m 2 ，变形得m 2[1- (k + 1)] > 3， 0 02 2其中k ∈ Z ．由题意，存在整数k 使得不等式m 2[1- (k + 1)] > 3 成立．2当 k ≠ -1且k ≠ 0 时，必有(k + 1)2 > 1 ，此时不等式显然不能成立，2故k = -1 或k = 0 ，此时，不等式即为3m 2 > 3 ，解得m < -2 或m > 2 ．410．A 【解析】设所求函数解析式为 y = f (x ) ，由题意知 f (5) = -2, （f - 5）= 2 ，且 f '(±5) = 0 ，代入验证易得y =1x 3 - 3x 符合题意，故选A ． 125 511．C 【解析】当x ∈ (0,1] 时，得a ≥ -3( 1 )3 -4(1 )2 + 1 ，令t = 1，则t ∈[1, +∞) ，x x x xa ≥ -3t 3 - 4t 2 + t ，令 g (t ) = -3t 3 - 4t 2 + t ， t ∈[1, +∞) ，则g '(x )= -9t 2- 8t +1= -(t +1)(9t -1) ，显然在[1, +∞) 上， g '(t )< 0 ，g (t )单调递减，所以 g (t )max = g (1) = -6 ，因此a ≥-6 ；同理，当x ∈[-2,0) 时，得 a ≤-2．由以上两种情况得-6≤a ≤-2 ． 显然当x = 0时也成立，故实数 a 的取值范围为[-6, -2] ．12．C 【解析】设 f ( x ) = e x - ln x ，则 f '(x ) = e x- 1，故 f (x ) 在(0,1) 上有一个极值点，x即 f (x ) 在(0,1) 上不是单调函数，无法判断 f (x 1 ) 与 f (x 2 ) 的大小，故 A 、B 错；构造函数 g (x ) =e x ，g '( x ) =e x (x -1)，故 g (x ) 在(0,1) 上单调递减，所以 g ( x ) > g ( x ) ，xx 212选 C ．13．【解析】B当a = 0 ，可得图象 D ；记 f ( x ) = ax 2 - x + a， g (x ) = a 2 x 3 - 2ax 2+ 2x + a (a ∈ R ) ，取a = 1， f ( x ) = 1( x -1) 2 - 1，令g '(x ) = 0 ，得 x = 2, 2 ，易知2 2 43 g (x )的极小值为 g (2) = 1 ，又 f (2) = 1，所以g (2) > f (2) ，所以图象 A 有可能；2 4同理取a = 2 ，可得图象 C 有可能；利用排除法可知选 B ． 14．C 【解析】若c = 0则有 f (0) = 0 ，所以 A 正确．由 f (x ) = x 3+ ax 2+ bx + c 得f (x ) - c = x 3 + ax 2 + bx ，因为函数 y = x 3 + ax 2 + bx 的对称中心为（0,0），所以 f (x ) = x 3 + ax 2+ bx + c 的对称中心为(0, c ) ，所以 B 正确．由三次函数的图象可知，若 x 0 是 f ( x ) 的极小值点，则极大值点在 x 0 的左侧，所以函数在区间(-∞, x 0 ) 单调递减是错误的，D 正确．选 C ． 15．A 【解析】法一：由题意可得， y 0 = sin x 0∈[-1,1] ，而由 f (x ) = e x + x - a 可知 y 0 ∈[0,1] ，当 a = 0 时， f (x ) ＝ e x + x 为增函数， ∴ y 0 ∈[0,1] 时， f (x 0 ) ∈[1, e +1]． ∴ f ( f ( y 0 ))≥ e +1 >1．∴ 不存在 y 0 ∈[0,1] 使 f ( f ( y 0 )) = y 0 成立，故 B ，D 错； 当a = e +1 时， f (x ) ＝ e x + x - e -1，当 y 0 ∈[0,1] 时，只有 y 0 = 1 时 f (x ) 才有意义，而 f (1) = 0 ， ∴ f ( f (1)) = f (0) ，显然无意义，故 C 错．故选 A ．法二：显然，函数 f (x ) 是增函数， f (x ) ≥ 0 ，从而以题意知 y 0 ∈[0,1] ．于是，只能有 f ( y 0 ) = y 0 ．不然的话，若 f ( y 0 ) > y 0 ，得 f ( f ( y 0)) > f ( y 0 ) > y 0 ，与条件矛盾；若 f ( y 0 ) < y 0 ，得 f ( f ( y 0 )) < 于是，问题转化为 f (t ) = t 在[0,1] 上有解．f ( y 0 ) < y 0 ，与条件矛盾．由t = e t + t - a ，得t 2 = e t + t - a ，分离变量，得 a = g (t ) = e t - t 2+ t ，t ∈[0,1]因为 g '(t ) = e t- 2t +1 > 0 ，t ∈[0,1] ，所以，函数 g (t )在[0,1] 上是增函数，于是有1 = g (0) ≤ g (t ) ≤ g (1) = e ， 即 a ∈[1, e ] ，应选 A ．16．D 【解析】A ．∀x ∈ R , f (x ) ≤ f (x 0) ，错误． x 0 (x 0 ≠ 0) 是 f (x ) 的极大值点，并不是最大值点；B ． - x 0 是 f (-x ) 的极小值点．错误． f (-x ) 相当于 f (x ) 关于 y 轴的对称图像，故 - x 0 应是 f (-x ) 的极大值点；C ．- x 0 是 - f (x ) 的极小值点．错误．- f (x ) 相当于 f (x ) 关于x 轴的对称图像，故 x 0 应是 - f (x ) 的极小值点．跟- x 0 没有关系；D ．- x 0是 - f (-x ) 的极小值点．正确． - f (-x ) 相当于 f (x ) 先关于 y 轴的对称，再关于 x 轴的对称图像．故 D 正确．17．B【解析】∵ y =1x2 - ln x ,∴ y'=x -1,由 y'…0 ，解得-1剟x 1 ，又x > 0 ，2 x∴0 <x … 1 故选B．18．D【解析】 f ( x) =xe x ， f '(x ) =e x (x + 1)， e x > 0 恒成立，令 f '(x) =0，则 x =-1当x <-1时，f '(x) <0 ，函数单调减，当x >-1时，则x =-1 为f ( x) 的极小值点，故选D．f '(x) >0，函数单调增，19．D【解析】f '(x) =12x2 -2ax -2b ，由f '(1) =0，即12 - 2a - 2b = 0 ，得a +b =6 ．由a > 0，b > 0，所以ab ≤(a +b)2 =9 ，当且仅当a =b =3 时取等号．选2D．20．D【解析】若x =-1为函数f ( x)e x 的一个极值点，则易知a =c ，∵选项A，B 的函数为f (x) =a(x +1)2 ，∴[ f ( x)e x ] =[ f '( x) +f (x)]e x =a( x +1)( x +3)e x ，∴x =-1 为函数 f ( x)e x 的一个极值点满足条件；选项 C 中，对称轴x =-且开口向下，∵a < 0,b > 0 ，∴f (-1) = 2a -b < 0 ，也满足条件；b>0 ，2a选项 D 中，对称轴 x =-b<0，且开口向上，∴a > 0,b > 2a ，2a∴ f (-1) = 2a - b < 0 ，与题图矛盾，故选D．21．D【解析】由题| MN |=x2 - ln x ，(x > 0) 不妨令h(x) =x 2 - ln x ，则h'(x) = 2x -1，令 h'(x) = 0解得 x =x2，因 x ∈(0,22) 时，h'(x) < 0 ，2当 x ∈(即t =2, +∞) 时，h'(x) > 0 ，所以当x =22．2时，| MN | 达到最小．2222．①③④⑤【解析】令f (x) =x3 +ax +b, f '(x) =3x2 +a ，当a ≥ 0 时，f '(x) ≥0 ，则f (x) 在R 上单调递增函数，此时x3 +ax +b = 0 仅有一个实根，所以(4)(5)对；当a =-3 时，由f '(x) =3x2 -3<0 得-1<x < 1 ，所以x = 1 是f (x) 的极小值点．由 f (1) > 0 ，得13 - 3⋅1+ b > 0 ,即 b > 2 ，(3)对． x = -1 是 f (x ) 的极大值点， 由 f (-1) < 0 ，得(-1)3- 3⋅ (-1) + b < 0 ，即 b < -2 ，(1)对．23．①④【解析】（1）设 x 1 > x 2 ，函数2x 单调递增，所有2x 1 >2x2 ， x 1 - x 2 >0 ，则 m = f (x 1 )- f (x 2 ) = 2 x 1 - 2 x 2 >0x 1 - x 2 x 1 - x 2 ，所以正确；（2）设x 1 > x 2 ，则x 1 - x 2 > 0 ，则n = g (x 1 ) - g (x 2 ) = x 122 x 1 - x 2 - x 2 +a (x 1 - x 2 ) x 1 - x 2=(x - x )(x +x +a )1 2 1 2 x - x = x + x +a ，可令 =1， 1 2 x 1 x 2 =2， a = - 4， 1 2则 n = -1< 0，所以错误； （3）因为m = n ，由（2）得：f ( x 1) - f ( x 2 )= x + x + a ，分母乘到右边，x 1 - x 21 2 右边即为g ( x 1 ) - g (x 2 ) ，所以原等式即为 f (x 1 ) - f (x 2 ) = g ( x 1 ) - g (x 2 ) ， 即为 f (x 1 ) - g (x 2 ) = f (x 1 )- g (x 2 ) ，令h (x ) = f (x ) - g (x ) ，则原题意转化为对于任意的a ，函数h (x ) = f (x ) - g (x ) 存在不相等的实数 x 1 ，x 2 使得函数值相等，h (x ) = 2 x - x 2 - ax ，则 h '(x ) = 2 x ln 2 - 2 x - a ，则h '(x ) = 2x(ln 2) - 2 ，令h '(x 0 ) = 0 ，且1 < x 0 < 2 ，可得h '( x 0 ) 为极小值． 若 a = -10000，则 h '(x 0) > 0 ，即h '(x 0) > 0 ， h (x ) 单调递增，不满足题意， 所以错误．（4）由(3) 得 f (x 1) - f (x 2 ) = g ( x 1 ) - g (x 2 ) ，则 f (x 1 ) + g (x 1 ) = g (x 2 ) + f (x 2 ) ， 设h (x ) = f (x ) + g (x ) ，有 x 1 ， x 2 使其函数值相等，则h (x ) 不恒为单调．h (x ) = 2 x + x 2 + ax ，h '(x ) = 2 x ln 2 + 2x + a ，h '(x ) = 2 x (ln 2 )2+ 2 > 0 恒成立，h '(x ) 单调递增且h '(-∞) < 0 ，h '( +∞) >0 ．所以h (x ) 先减后增，满足题意，所以正确．24．4【解析】当0 < x ≤1 时， f (x ) = - ln x ， g (x ) = 0 ，此时方程| f (x ) + g (x ) |=1即为ln x =1 或ln x = - 1 ，故 x = e 或 x = 1 ，此时 x = 1 符合题意，方程有一个实根．ee当1< x < 2 时， f (x ) = ln x ， g (x ) = 4 - x 2- 2 = 2 - x 2，方程| f (x ) + g (x ) |=1即为ln x + 2 - x 2 =1 或ln x +2 - x 2 = - 1 ，即ln x +1- x 2 = 0 或ln x +3 - x 2 = 0 ，令 y = ln x +1- x 2，则 y ¢= 1- x2x < 0，函数 y = ln x +1- x 2 在x Î(1, 2) 上单调递减，且x =1 时 y = 0，所以当1< x < 2 时，方程ln x +1- x 2 = 0 无解；令 y = ln x +3 - x 2 ，则 y ¢= 1- x2x < 0 ，函数 y = ln x +3 - x 2 在 x Î (1, 2) 上单调递减，且 x =1时 y = 2 > 0 ，x = 2时 y = ln 2 - 1 < 0 ，所以当1< x < 2 时，方程ln x +3 - x 2 = 0 有一个实根． 当 x ≥ 2 时， f (x ) = ln x ，g (x ) = x 2- 6，方程| f (x ) + g (x ) |=1 即为ln x + x 2 -6 =1或ln x + x 2 - 6 = - 1 ，即ln x + x 2 - 7 = 0 或ln x + x 2 - 5 = 0 ，令y = ln x + x 2 - 7，xy = ln 2 - 3 < 0 ， x = 3时 y = ln 3 +2 > 0 ，所以当 x ≥ 2 时方程ln x + x 2 - 7 = 0故方程| f (x ) + g (x ) |= 1 实根的个数为 4 个．)有 1 个实根．25．2【解析】由题意 f '(x ) = 3x 2- 6x = 3x (x - 2) ，令 f '(x ) = 0 得 x = 0或 x =2 ． 因 x < 0 或x > 2 时， f '(x ) > 0 ，0 < x < 2 时， f '(x ) < 0 ．∴ x = 2 时f (x ) 取得极小值．26 (1) f (x )(0, +∞) f '(x ) = - 1 - 1+ a = - x 2- ax + 1 ．【解析】 的定义域为 ， ． x2 xx 2（i ）若a ≤2 ，则 f '(x )≤ 0 ，当且仅当a = 2，x = 1时 f '(x ) = 0 ，所以 f (x ) 在(0, +∞)单调递减．（ii ）若a > 2，令f '(x ) = 0得， x = a -a 2- 4 a + 2或x =a 2 - 4 2当x ∈(0, a - a 2 -4 ) U( a + a 2 -4, +∞) 时， f '(x ) < 0 ； 2 2．当 x ∈( a - a 2 - 4 a + 2 , a 2 - 4 2 ) 时， f (x ) > 0 ． 所以 f (x ) 在(0,' a - a 2 - 42) ， ( a + 2 a 2 - 4, +∞) 单调递减，在( a - a 2- 4 , a + a 2 - 4) 2 2单调递增． (2)由(1)知， f (x ) 存在两个极值点当且仅当 a > 2．由于 f (x ) 的两个极值点 x 1 ， x 2 满足 x 2- ax +1 = 0 ，所以x 1x 2 = 1 ，不妨设 x 1 < x 2 ， 则x 2 > 1 ．由于f (x 1 ) - f (x 2 ) = - 1 -1 + a ln x 1 - ln x 2 = -2 + a ln x 1 - ln x 2 = -2 + a -2ln x 2 ，x 1 - x 2 x 1 x 2 x 1 - x 2 x 1 - x 2x 21 - x2 所以f (x ) - f (x ) 1 2x - x < a - 2等价于 - x + 2ln x < 0 ．1 2 2 1 2 x 2设函数 g (x ) = 1- x + 2 ln x ，由(1)知， g (x ) 在(0, +∞) 单调递减，又g (1) = 0 ，从而 x当x ∈ (1, +∞) 时， g (x ) < 0 ．所以 1- x + 2ln x < 0，即 f (x 1 ) - f (x 2 )< a - 2．22 2 x 1 - x 227．【解析】(1)当a =1时， f (x ) ≥1 等价于(x 2 +1)e -x-1≤ 0 ．设函数g (x ) = (x 2+ 1)e - x- 1 ，则g'( x ) = -( x 2- 2 x + 1)e- x= -( x -1)2 e -x． 当x ≠ 1 时，g'(x ) < 0 ，所以g (x ) 在(0, +∞) 单调递减．而 g (0) = 0 ，故当x ≥0 时， g (x ) ≤ 0 ，即 f (x ) ≥1 ．(2)设函数h (x ) = 1 - ax 2e - x．f (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点当且仅当h (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点．（i ）当a ≤0 时， h ( x ) > 0 ， h (x ) 没有零点；（ii ）当a > 0 时， h' (x ) = ax (x -2)e - x．当x ∈ (0, 2) 时，h'(x ) < 0 ；当 x ∈ (2,+∞) 时， h'(x ) > 0 ．xe所以h (x ) 在(0, 2) 单调递减，在(2, +∞) 单调递增． 故h (2) =1 -4a 是h (x ) 在[0, +∞) 的最小值．e22 ①若h (2) > 0 ，即a < 4， h (x ) 在(0, +∞) 没有零点；②若h (2) = 0 ，即 a = e 24， h (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点；③若h (2) < 0 a > e 24，由于 h (0) = 1 ，所以h (x ) 在(0, 2)有一个零点，由(1)知，当 x > 0时， e x> x 2，h a16a 3 16a 3 16a 3 1所 以 (4 ) =1- e4a = 1- (e 2a )2 > 1- (2a )4 = 1- a > 0 ．故h (x ) 在(2, 4a ) 有一个零点，因此h (x ) 在(0, +∞) 有两个零点．综上， f (x ) 在(0, +∞) 只有一个零点时， a = e 2．428．【解析】(1)当a = 0 时， f (x ) = (2 + x ) ln(1+ x ) - 2x ， f '(x ) = ln(1+ x )-x ． 1 + x设函数g (x ) = f ' (x ) = ln(1+ x )-x 1 + x，则g '( x ) =x ．(1 + x )2当-1< x < 0 时， g '(x ) < 0 ；当 x > 0 时， g '(x ) > 0 ．故当 x > -1时， g (x ) ≥ g (0) = 0 ，且仅当 x = 0时， g (x ) = 0 ，从而 f '(x ) ≥ 0，且仅当 x = 0时， f '(x ) = 0．所以 f (x ) 在(-1, +∞) 单调递增．又 f (0) = 0 ，故当-1< x < 0时， f (x ) < 0 ；当 x > 0 时， f (x ) > 0 ．(2)（i ）若a ≥ 0 ，由(1)知，当x > 0 时， f (x )≥ (2 + x ) ln(1+ x ) - 2x > 0 = f (0) ，这与 x = 0是 f (x ) 的极大值点矛盾．（ii ）若a < 0，设函数h (x ) = f ( x )2 + x + a x 2 = ln(1 + x ) - 2 x ． 2 + x + a x 2，即由于当| x |< min{1,1| a |} 时，2 + x + ax 2 > 0 ，故h (x ) 与 f (x ) 符号相同．又h (0) = f (0) = 0 ，故 x = 0是 f (x ) 的极大值点当且仅当x = 0 是h (x ) 的极大值点．' 12(2+x + ax 2 )- 2x (1+ 2ax ) x 2 (a 2x 2 + 4ax + 6a + 1) h (x ) = 1+ x - (2 + x + ax 2 )2 = ． (x +1)(ax 2 + x + 2)2如果6a +1 > 0 ，则当0 < x < -6a +1 ，且| x |< min{1,4a1| a |} 时，h '(x ) > 0 ，故x = 0 不是h (x ) 的极大值点．如果6a +1 < 0 ，则a 2 x 2 + 4ax + 6a +1 = 0 存在根x 1 < 0 ，故当 x ∈ (x 1 ,0)，且| x |< min{1,1| a |} 时，h '(x ) < 0 ，所以 x = 0 不是h (x ) 的极大值点．如果6a +1 = 0 ，则h '( x ) =x 3 (x - 24)( x +1)( x 2 - 6x -12)2．则当x ∈ (-1, 0) 时，h '(x ) > 0 ；当x ∈ (0,1) 时，h '(x ) < 0 ．所以 x = 0是h (x ) 的极大值点，从而 x = 0是 f (x ) 的极大值点综上，a = - 1．629．【解析】(1)因为f ( x ) = [ax 2 - (4a +1) x + 4a +3]e x ，所以 f '(x ) = [2ax - (4a +1)]e x + [ax 2 - (4a + 1)x + 4a + 3]e x（ x ∈ R ）=[ ax 2 -(2 a +1) x +2]e x．f '(1) = (1- a )e ．由题设知 f '(1) = 0 ，即(1- a )e = 0 ，解得a=1． 此时 f (1) = 3e ≠ 0 ．所以a 的值为 1．(2)由(1)得 f '(x ) = [ax 2 - (2a + 1)x + 2]e x = (ax - 1)(x - 2)e x．22若 a > 1 ，则当 x ∈(1, 2)时， f '(x ) < 0 ；2a当 x ∈(2, +∞)时， f '(x ) > 0．所以 f (x ) < 0 在 x = 2 处取得极小值．若 a ≤ 1 ，则当 x ∈ (0, 2) 时， x - 2 < 0 ， ax -1≤ 1x -1< 0 ，22所以 f '(x ) > 0 ．所以 2 不是 f (x ) 的极小值点． 综上可知， a 的取值范围是( 1, +∞) ．230．【解析】(1)由已知，h (x ) = a x - x ln a ，有h '( x ) = a xln a -lna ．令h '(x ) = 0 ，解得x = 0 ．由a >1 ，可知当 x 变化时， h '(x ) ， h (x ) 的变化情况如下表：x(-∞,0)0 (0, +∞)h '(x )h (x )-0 +极小值所以函数h (x ) 的单调递减区间(-∞,0) ，单调递增区间为(0, +∞) ．(2) 证明： 由 f '(x ) = a xln a ， 可得曲线 y = f (x ) 在点 ( x 1, f (x 1)) 处的切线斜率为x'1a 1 ln a ． 由 g ( x ) =x ln a， 可得曲线 y = g (x ) 在点(x 2, g ( x 2 )) 处的切线斜率为1 x1 x 2x ln a ．因为这两条切线平行，故有 a 1 ln a =x ln a ，即x 2 a 1 (ln a ) =1．两边取以 a 为底的对数，得log x 2 + x 1 + 2log ln a = 0 ，所以 x + g ( x ) = - 2ln ln a ．aa12ln a(3)证明：曲线y = f (x ) 在点(x 1,a x 1 ) 处的切线l 1 ： y - a x 1 = a x 1 ln a ⋅ (x - x 1) ． 曲线 y = g (x ) 在点(x 2 , log a x 2 ) 处的切线l 2 ： y - log a 1x 2 =1x 2 ln a⋅ (x - x 2 ) ． 要证明当 a ≥ e e 时，存在直线l ，使l 是曲线 y = f (x ) 的切线，也是曲线y = g (x ) 的⎩1 切线，只需证明当a ≥ e e时，存在 x 1 ∈ (-∞, +∞) ， x 2 ∈ (0, +∞) ，使得 l 1 和 l 2 重合．⎧a x 1ln a = a 1 ⎪1 ① x2 ln a 即只需证明当 ≥ e e 时，方程组⎨⎪a x 1 - x 1a x 1 ln a = log a x 2 - 1ln a有解， ②由①得x 2 =1 a x 1 (ln a )2 ，代入②，得 a x 1 - x 1a x 1ln a + x 1+ 1 ln a+ 2 ln ln a = 0． ③ ln a1因此，只需证明当a ≥ e e 时，关于 x 1 的方程③有实数解．设函数u (x ) = a x - xa xln a + x +11 ln a2 ln ln a ，ln a 即要证明当a ≥ e e 时，函数 y = u (x ) 存在零点．u '(x ) = 1 - (ln a )2 xa x ，可知x ∈ (-∞,0) 时， u '(x ) > 0 ；x ∈ (0, +∞) 时， u '(x )单调递减，又u '(0) =1 > 0 ， u '( 1(ln a )21) =1 - a (ln a )2< 0 ，故存在唯一的x 0 ，且 x 0 > 0 ，使得u '(x 0) = 0 ，即1 -(ln a )2 x 0a x 0 = 0 ．由此可得u (x ) 在(-∞, x 0 ) 上单调递增，在(x 0 , +∞) 上单调递减． u (x ) 在x = x 0 处取得极大值u (x 0 ) ． 1 因为a ≥ e e，故ln(ln a ) ≥ -1，所以u (x ) = a x - x a xln a + x + 1+ 2ln l n a 00 0 0ln a ln a= 1+ x + 2ln ln a ≥ 2 + 2ln ln a ≥ 0． x 0 (ln a )2ln a ln a下面证明存在实数t ，使得u (t ) < 0 ．由(1)可得a x≥1+ x ln a ，当x >1时，ln a有u (x ) ≤ (1+ x ln a )(1- x ln a ) + x + 1 ln a 2ln ln a ln a= -(ln a )2 x 2 + x +1+ 1 ln a2ln ln a ，ln a⎩- 2 0 ⎩所以存在实数t ，使得u (t ) < 01因此，当a ≥ e e 时，存在 x 1 ∈ (-∞, +∞) ，使得u (x 1 ) = 0 ．1所以，当 a ≥ e e 时，存在直线l ，使l 是曲线 y = f (x ) 的切线，也是曲线y = g (x ) 的切线．31．【解析】(1)函数 f (x ) = x ， g (x ) = x 2 + 2x - 2 ，则 f '(x ) = 1， g '(x ) = 2x + 2 ．f (x )g (x ) f '(x ) g '(x ) ⎧x = x 2 + 2x - 2 由 = 且= ，得⎨1 = 2x + 2 ，此方程组无解，因此， f (x ) 与 g (x ) 不存在“S 点”．(2)函数 f (x ) = ax 2- 1 ， g (x ) = ln x ，则 f '(x ) = 2ax ，g '(x ) = 1．x设 x 0 为 f (x ) 与 g (x ) 的“ S 点”，由 f (x 0) = g (x 0) 且f '(x 0 )=g '(x 0 ) ，得⎧ax 2 -1 = ln x 2 ⎪ 0 0⎧⎪ax 0 -1 = l n x 0 ⎨2ax = 1，即⎨2ax 2 = 1 ，（*）⎪ 0 x 01⎩⎪ 0 -1 1 e 得ln x 0 = - 2，即x 0 =e 2 ，则a = 12(e 2)= 2 ． 当a = e 2时，x 0=e - 12 满足方程组（*），即 x 0 为 f (x ) 与 g (x ) 的“ S 点”． 因此，a 的值为 e．2(3)对任意a > 0 ，设 h (x ) = x 3 - 3x 2 - ax + a ．因为h (0) = a > 0，h (1) =1- 3 - a + a = -2 < 0 ，且h (x ) 的图象是不间断的，所以存在 x 0 ∈ (0,1)，使得 h (x 0) = 0 ．令b =函数 f ( x ) = -x 2+ a ，g ( x ) = b e x，x2 x 3e x 0(1 - x 0)，则b > 0．。
导数的综合应用(含答案)
导数的综合应用 高考趋势：高考中对导数的应用考查的很频繁，可直接应用于对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根、不等式的恒成立、有解、证明等综合问题，填空、解答等题型均有可能，分值比重比较高，是高考的重要内容之一。
利用导数来解决函数的单调性与最值问题已成为炙手可热的热点.既有填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数、方程、不等式的综合应用. 基础训练：例题精讲：例1：（1）若2>a ，则方程013123=+-axx 在区间)2,0(上恰好有____1_____个根。
变式：讨论方程013123=+-axx 在区间)2,0(上的根的个数解析：当263<a 时，无解；当1211263≥=a a 或时，有1解；当1211263<<a 时，有2解。
（2）若关于x 的方程3232ln 21xm x x =++在区间)2,1(上有解，则实数m 的取值范围是___)2ln 310,61(-_____小结1：变式1：若关于x 的不等式3232ln 21x m x x <++在区间)2,1(上有解，则实数m 的取值范围是_2ln 310-<m ___变式2：若关于x 的不等式3232ln 21x m x x <++在区间)2,1(上恒成立，则实数m 的取值范围是61≤m ____小结2：例2：已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （1）求)(x f 、)(x g 的表达式；(2）若212)(xbx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.解析：（1）2=a ，x x x f ln 2)(2-=，x x x g 2)(-=（2）1≤b例3：已知)0(2721)(,ln )(2<++==m mx x x g x x f ，直线l 与函数)(),(x g x f 的图象都相切且与函数)(x f 的图象的切点的横坐标为1.(1)求直线l 的方程及m 值；（2）证明：1)()(+'≤x g x f ；（3）当a b <<0时，证明：aa b a f b a f 2)2()(-<-+。
兰大20春学期《高等数学(1)》平时作业-离线 答案2
《高等数学（1）》兰州大学20春离线答案
（1）
作业名称：积分的综合应用题
作业要求：
证明如下题目，这道题目中既包含了连续函数性质的应用，也包含了定积分基本性质的应用。
（2）
作业名称：导数与积分的综合应用题
作业要求：
证明如下题目，这道题目中既包含了利用导数求最值的应用，也包含了定积分基本性质的应用。
讨论为何值时，取最小值，并求出此最小值。
《高等数学（1）》答案在下一页
（1）
作业名称：积分的综合应用题
作业要求：
证明如下题目，这道题目中既包含了连续函数性质的应用，也包含了定积分基本性质的应用。
答案：
正确的参考答案是：。
兰州大学高等数学课程作业题及答案
兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题1. 图片3-5(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)2. 图片443(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (B)3. 图片363(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)4. 图片2-9(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)5. 图片1-4(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)6. 图片3-14(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (B)7. 图片4-5(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)8. 图片2-1(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)9. 图片4-9(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (D)10. 图片238(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (D)11. 图片241(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)12. 图片4-29(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)13. 图片211(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (D)14. 图片146(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (B)15. 图片234(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)16. 图片4-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)17. 图片231(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (C)18. 图片4-28(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)20. 图片4-24(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (C)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)22. 图片123(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (C)23. 图片4-20(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)24. 图片96(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)25. 图片370(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)高等数学课程作业_A一单选题1. 图片90(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (B)2. 图片2-8(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (B)3. 图片4-18(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)4. 图片189(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)5. 图片236(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)6. 图片231(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (C)7. 图片241(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)8. 图片177(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)9. 图片234(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)10. 图片3-13(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (C)11. 图片343(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (C)12. 图片146(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (B)13. 图片4-27(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (B)14. 图片61(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (D)15. 图片2-5(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)16. 图片212(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (B)17. 图片232(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (B)18. 图片1-15(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (A)19. 图片4-10(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (A)20. 图片235(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)21. 图片389(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (B)22. 图片2-7(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (B)24. 图片436(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (C)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)高等数学课程作业_A一单选题1. 图片61(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)2. 图片4-9(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)3. 图片211(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)4. 图片213(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)5. 图片4-16(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)6. 图片483(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)7. 图片370(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)8. 图片177(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)9. 图片231(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)10. 图片2-4(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)11. 图片54(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)12. 图片55(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)13. 图片2-3(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (C)14. 图片3-5(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)15. 图片90(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)16. 图片475(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)17. 图片20(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)18. 图片4-17(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)19. 图片4-14(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (B)20. 图片1-15(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)21. 图片32(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)22. 图片241(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)23. 图片123(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)24. 图片2-5(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (C)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)高等数学课程作业_B一单选题1. 图片98(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)3. 图片179(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)4. 图片500(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)5. 图片141(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)6. 图片67(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)7. 图片233(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)8. 图片366(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (A)9. 图片409(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)10. 图片1-8(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (D)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (D)12. 图片243(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)14. 图片202(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)15. 图片124(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)16. 图片237(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)17. 图片3-3(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (D)18. 图片406(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)19. 图片368(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)20. 图片11(A)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)21. 图片87(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)22. 图片479(A)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (C)23. 图片4-3(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)24. 图片426(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (D)25. 图片68(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)高等数学课程作业_B一单选题1. 图片11(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (B)标准答案： (B)2. 图片58(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (A)标准答案： (A)3. 图片124(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (A)4. 图片3-3(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (D)标准答案： (D)5. 图片339(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (D)6. 图片394(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (B)标准答案： (A)7. 图片156(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (B)8. 图片67(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (A)标准答案： (B)9. 图片265(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0用户解答： (C)标准答案： (C)10. 图片388(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (C)标准答案： (D)11. 图片368(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 0.0用户解答： (D)标准答案： (A)12. 图片342(A)(B)。
兰大网络教育高等数学2课程作业及问题详解
高等数学(2)课程作业_A一、单选题1. (4分)图6∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案 B2. (4分)图20-43∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案 D3. (4分)图26-23∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：二重积分收起解析答案 B4. (4分)图17-90∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：无穷级数收起解析答案 A5. (4分)图18-50 ∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：常微分方程收起解析答案 B6. (4分)图18-44∙ A. (A) ∙ B. (B) ∙ C. (C) ∙ D. (D)知识点：常微分方程收起解析答案 C∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案 A8. (4分)图16-20∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：多元函数及其微分学收起解析答案 A∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：常微分方程收起解析答案 B10. (4分)图15-16∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)纠错得分： 4知识点：曲线积分及其应用收起解析答案 A11. (4分)图17-87∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：无穷级数收起解析答案 A12. (4分)图14-21∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：曲线积分及其应用收起解析答案 D13. (4分)图26-20∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案 A14. (4分)图15-26∙ A. (A)∙ B. (B)∙ C. (C)∙ D. (D)知识点：微分方程的一般概念与一阶微分方程收起解析答案 C∙ A. A∙ B. B∙ C. C∙ D. D知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案 C二、判断1. (4分)图18-84知识点：常微分方程收起解析答案正确2. (4分)图15-1知识点：无穷级数收起解析答案错误知识点：多元函数微分收起解析答案正确4. (4分)图15-12知识点：无穷级数收起解析答案正确5. (4分)图20-19知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案正确6. (4分)图19-2知识点：多元函数微分收起解析答案错误7. (4分)图19-5知识点：多元函数微分收起解析答案错误8. (4分)图26-5知识点：曲线积分与曲面积分收起解析答案正确9. (4分)图1-11知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案正确10. (4分)图17-24知识点：无穷级数收起解析答案错误。
2024年高考数学总复习第三章导数及其应用真题分类13定积分与微积分基本定理
若函数 f(x)为偶函数，且在[－a，a]上连续，则a f(x)dx＝2a f(x)dx；
－a
0
若函数 f(x)为奇函数，且在[－a，a]上连续，则a f(x)dx＝0. －a
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高考·数学
1
3．(2015·天津，11，5 分)曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图形的面积为___6_____． 答案：16 由题意可得封闭图形的面积为
1
1
(x－x2)dx＝(12
x2－13
x3)| 0
＝12
－13
＝16
.
0
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真题分类13 定积分与微积分基本定理*
答案：D 由yy＝ ＝4x3x， 得 x＝0 或 x＝2 或 x＝－2(舍去).
2
∴S＝2
(4x－x3)dx＝(2x2－14
x4)| 0
＝4.
0
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真题分类13 定积分与微积分基本定理*
高考·数学
2．(2011·课标全国，9，5 分)由曲线 y＝ x ，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面 积为( )
A．130
B．4
C．136
D．6
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真题分类13 定积分与微积分基本定理*
高考·数学
答案：C
4
由题意知，所围成的面积4 0
[
x
－(x－2)]dx＝(23
3
x2
－12
x2＋2x)| 0
＝23
3
×4 2
－12
×42＋2×4＝136
.
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导数的综合应用【答案附后】
专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用2019年1（2019天津理8）已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e 2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.3.（2019浙江22）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e=2.71828…为自然对数的底数.4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.6.（2019江苏19）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 7.（2019北京理19）已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[]2,4x ∈-时，求证：()6x f x x -≤≤.(III)设()()()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[]2,4-上的最大值为()M a ，当()M a 最小时，求a 的值.8.（2019天津理20）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明π()()02f x g x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间ππ2,2π42m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明200π22sin c e os n n n x x x ππ-+-<-.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅱ）若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则21()(1)x f x x ax e -=+-的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．12．（2017浙江）函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是xxA ．B ．xxC ．D ． 3．(2016全国I) 函数2||2x y x e =-在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．4．（2015四川）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，那么mn 的最大值为A ．16B ．18C ．25D ．8125．（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是A ．()(),10,1-∞-B ．()()1,01,-+∞C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞6．（2015新课标Ⅰ）设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e7．（2014新课标Ⅱ）若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为(千米)x -6y =-A ．321122y x x x =-- B ．3211322y x x x =+- C ．314y x x =- D ．3211242y x x x =+-9．（2014新课标Ⅱ）设函数()x f x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是A ．()(),66,-∞-⋃+∞B ．()(),44,-∞-⋃+∞C ．()(),22,-∞-⋃+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为A ．3131255y x x =- B ．3241255y x x =- C ．33125y x x =- D ．3311255y x x =-+11．（2014辽宁）当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12．（2014湖南）若1201x x <<<，则A ．2121ln ln xxe e x x ->- B ．2121ln ln xxe e x x -<- C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e < 13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与2322y a x ax x a =-++()a R ∈的图像不可能．．．的是B14．（2013新课标Ⅱ）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是A ．∃()00,0x R f x ∈=B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则()0'0f x =15．（2013四川）设函数()e x f x x a =+-（a R e ∈，为自然对数的底数），若曲线xy sin =上存在点)(00y x ，使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是 A ． ]e ,1[ B ．]11e[1，-- C ． [1e 1+，] D ． [1e 1e 1--+，]16．（2013福建）设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 17．（2012辽宁）函数x x y ln 212-=的单调递减区间为 A ．(－1,1] B ．(0,1]C ． [1,+∞)D ．(0,+∞)18．（2012陕西）设函数()xf x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点19．（2011福建）若0a >，0b >，且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．920．（2011浙江）设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A B C D21．（2011湖南）设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12C．2D．2二、填空题22．（2015安徽）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==； ⑤1,2a b ==．23．（2015四川）已知函数xx f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）．对于不相等的实数21,x x ，设2121)()(x x x f x f m --=，2121)()(x x x g x g n --=，现有如下命题：①对于任意不相等的实数21,x x ，都有0>m ；②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0>n ； ③对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =； ④对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m -=． 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）． 24．（2015江苏）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程 1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ．25．（2011广东）函数32()31f x x x =-+在x =______处取得极小值． 三、解答题26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x=-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2-<--f x f x a x x ．27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数2()e =-xf x ax ．(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ；(2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．29．(2018北京)设函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++．(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 30．(2018天津)已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >．(1)求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； (3)证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线．31．(2018江苏)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；(3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．32．(2018浙江)已知函数()ln f x x =．(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-； (2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．33．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)xx f x aea e x =+--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．34．（2017新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<．35．（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =--．(1)若()0f x ≥，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．36．（2017浙江）已知函数()(x f x x e-=1()2x ≥．（Ⅰ）求()f x 的导函数；（Ⅱ）求()f x 在区间1[,)2+∞上的取值范围．37．（2017江苏）已知函数32()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围． 38．（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q∈ 满足041||p x q Aq -≥． 39．（2017山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中2.71828e =是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =-()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．40．(2016年山东)已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈． （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立． 41．(2016年四川) 设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间(1,)+∞内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．42．(2016年天津)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II)若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； (Ⅲ)设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41． 43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)xf x x e a x =-+-有两个零点．（I ）求a 的取值范围；（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 44．(2016年全国Ⅱ)(I)讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．45．(2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ． （Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．46．（2016年浙江高考）已知3a ≥，函数()F x =2min{2|1|,242}x x ax a --+-，其中min{,}p q =,>p p qq p q ⎧⎨⎩，≤ ．（I ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围； （II ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a ．47．(2016江苏) 已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠．（1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x -≥恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 48．(2015新课标Ⅱ）设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈-，都有12|()()|f x f x -1e -≤，求m 的取值范围． 49．(2015山东)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．50．（2015湖南）已知0a >，函数()sin ([0,))axf x e x x =∈+∞．记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点．证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列；（2）若a ≥，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立．51．（2014新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为－2． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．52．(2014山东）设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围． 53．（2014新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围． 54．（2014山东）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数．（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性． 55．(2014广东) 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2f x f =． 56．(2014江苏)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立．试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论．57．（2013新课标Ⅰ）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 58．（2013新课标Ⅱ）已知函数2()x f x x e -=．（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 59．（2013福建）已知函数()1x af x x e=-+（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）当1a =的值时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值．60．(2013天津)已知函数2()ln f x x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ） 证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =． （Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有2ln ()15ln 2g t t <<． 61．（2013江苏）设函数()ln f x x ax =-，()xg x e ax =-，其中a 为实数．（Ⅰ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论． 62．（2012新课标）设函数()2xf x e ax =--．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 63．（2012安徽）设函数1()(0)x x f x ae b a ae=++>． （Ⅰ）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =，求,a b 的值． 64．（2012山东）已知函数ln ()xx kf x e+=（k 为常数， 71828.2=e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '是()f x 的导数．证明：对任意的0x >，2()1g x e -<+．65．（2011新课标）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 66．（2011浙江）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．67．（2011福建）已知a ，b 为常数，且0a ≠，函数()ln f x ax b ax x =-++，()2f e =（e=2.71828…是自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =时，是否同时存在实数m 和M (m M <)，使得对每一个t ∈[,]m M ，直线y t =与曲线()y f x =(x ∈[1e，e ])都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．68．（2010新课标）设函数2()(1)xf x x e ax =--．（Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．专题三 导数及其应用 第八讲 导数的综合应用答案部分 2019年1.解析 当1x =时，()112210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，()2222021x f x x ax aax =-+⇔-恒成立，令()()()()22221112111111x x x x x g x x x x x-----+==-=-=-=----()()11221201x x x⎛⎫--+---= ⎪ ⎪-⎝⎭， 所以()max 20ag x =，即0a >．当1x >时，()ln 0ln xf x x a xax=-⇔恒成立， 令()ln x h x x =，则()()21ln ln x x x h x x -⋅'==当e x >时，()0h x '>，()h x 递增，当1e x <<时，()0h x '<，()h x 递减， 所以当e x =时，()h x 取得最小值()e e h =. 所以()min e ah x =.综上，a 的取值范围是[]0,e ．2.解析（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增； 若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. （2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．3.解析：（Ⅰ）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（Ⅱ）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥，则()2ln g t g x ≥=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-=故所以，()(1)0p x p ≥= ．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a． 综上所述，所求a的取值范围是⎛ ⎝⎦4.解析：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><， 可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α. 则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.5.解析：（1）f （x ）的定义域为(0,1)(1,)+∞.因为211()0(1)f x x x '=+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--， 所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0． 又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-， 故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-， 故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线y =e x在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．6.解析（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =．解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 7.解析：（I ）由321()4f x x x x =-+，得23'()214f x x x =-+．令'()1f x =，即232114x x -+=，解得0x =或83x =.又88(0)0,(),327f f ==所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（II ）令()()g x f x x =-，[]2,4x ∈-.由321()4g x x x =-得23'()24g x x x =-. 令'()0g x =得0x =或83x =.'(),()g x g x 随x 的变化情况如表所示所以()g x 的最小值为-6，最大值为0，所以6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （III ）由（II ）知，当3a ≤-时，()()()003M a F g a a ≥=-=->； 当3a >-时，()()()2263M a F g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.8.解析 （Ⅰ）由已知，有'()e (cos sin )x f x x x =-.因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 单调递增.所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . （Ⅱ）记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭.依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )xg x x x =-，从而'()2e sin x g x x =-.当ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <， 故'()'()'()()(1)'()022h x f x g x x g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（Ⅲ）依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n xn x =.记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n n f y y x n -π-π==-π=∈N .由()()20e 1n n f y f y -π==及（Ⅰ），得0n y y . 由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-⎪⎝⎭， 故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-=<--. 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-.2010-2018年1．A 【解析】∵21()[(2)1]x f x x a x a e-'=+++-，∵(2)0f '-=，∴1a =-，所以21()(1)x f x x x e-=--，21()(2)x f x x x e-'=+-，令()0f x '=，解得2x =-或1x =，所以当(,2)x ∈-∞-，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为11(1)(111)1f e-=--=-，选A ．2．D 【解析】由导函数的图象可知，()y f x =的单调性是减→增→减→增，排除 A 、C ；由导函数的图象可知，()y f x =的极值点一负两正，所以D 符合，选D ． 3．D 【解析】当0x时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f '=->，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合 条件的图像为D ．4．B 【解析】（解法一）2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--．据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤．2262m nm n +⋅≤≤18mn ∴≤．由2m n =且212m n +=得3,6m n ==．当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤．2292m n m n +⋅≤≤812mn ∴≤．由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>．所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18．选B ．（解法二）由已知得()(2)8f x m x n '=-+-，对任意的1[,2]2x ∈，()0f x '≤，所以1()02()0f f x ⎧'⎪⎨⎪'⎩≤≤，即0,021822m n m n m n ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤≤．画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn t =，则当0n时，0t ，当0n ≠时，tm n=，由线性规划的相关知识，只有当直线212m n +=与曲线t mn 相切时，t 取得最大值，由212192tn t n n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得6n ，18t ，所以max ()18mn =，选B ．5．A 【解析】令()()f x h x x，因为()f x 为奇函数，所以()h x 为偶函数，由于 2()()()xf x f x h x x '-'=，当0x 时，'()()xf x f x - 0<，所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减，根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增，又(1)0f -=，(1)0f ，数形结合可知，使得()0f x 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-．6．D 【解析】由题意可知存在唯一的整数0x ，使得000(21)-<-xe x ax a ，设()(21)=-x g x e x ，()=-h x ax a ，由()(21)x g x e x '=+，可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，作出()g x 与()h x 的大致图象如图所示，-a故(0)(0)(1)(1)>⎧⎨--⎩h g h g ≤，即132<⎧⎪⎨--⎪⎩a a e ≤，所以312a e ≤． 7．D 【解析】∵()ln f x kx x =-，∴1()f x k x'=-，∵()f x 在(1,)+∞单调递增， 所以当1x > 时，1()0f x k x '=-≥恒成立，即1k x≥在(1,)+∞上恒成立，∵1x >，∴101x<<，所以k ≥1，故选D ．8．A 【解析】法一 由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y x =-，在(2，0)处的切线方程为36y x =-，以此对选项进行检验．A 选项，321122y x x x =--，显然过两个定点，又2312y x x '=--， 则02|1,|3x x y y ==''=-=，故条件都满足，由选择题的特点知应选A ．法二 设该三次函数为32()f x ax bx cx d =+++，则2()32f x ax bx c '=++由题设有(0)0(2)0(0)1(2)3f f f f =⎧⎪=⎪⎨'=-⎪⎪'=⎩，解得11,,1,022a b c d==-=-=．故该函数的解析式为321122y x x x =--，选A ．9．C 【解析】由正弦型函数的图象可知：()f x 的极值点0x 满足0()f x =，则22x k m πππ=+()k Z ∈，从而得01()()2x k m k Z =+∈．所以不等式()22200[]x f x m +<，即为2221()32k m m ++<，变形得21[1()]32m k -+>，其中k Z ∈．由题意，存在整数k 使得不等式21[1()]32m k -+>成立．当1k ≠-且0k ≠时，必有21()12k +>，此时不等式显然不能成立， 故1k =-或0k =，此时，不等式即为2334m >，解得2m <-或2m >． 10．A 【解析】设所求函数解析式为()y f x =，由题意知(5)2,52f f =--=（），且(5)0f '±=，代入验证易得3131255y x x =-符合题意，故选A ． 11．C 【解析】当(0,1]x ∈时，得321113()4()a x x x --+≥，令1t x=，则[1,)t ∈+∞，3234a t t t --+≥，令()g t =3234t t t --+，[1,)t ∈+∞，则()2981(1)(91)g x t t t t '=--+=-+-，显然在[1,)+∞上，()0g t '<，()g t 单调递减，所以max ()(1)6g t g ==-，因此6a -≥；同理，当[2,0)x ∈-时，得2a -≤．由以上两种情况得62a --≤≤． 显然当0x =时也成立，故实数a 的取值范围为[6,2]--．12．C 【解析】设()ln x f x e x =-，则1()xf x e x'=-，故()f x 在(0,1)上有一个极值点，即()f x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断1()f x 与2()f x 的大小，故A 、B 错；构造函数()x e g x x =，2(1)()x e x g x x-'=，故()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()12g x g x >，选C ．13．【解析】B 当0a =，可得图象D ；记2()2a f x ax x =-+，232()2g x a x ax =-+ ()x a a R +∈，取12a =，211()(1)24f x x =--，令()0g x '=，得2,23x =，易知()g x 的极小值为1(2)2g =，又1(2)4f =，所以(2)(2)g f >，所以图象A 有可能；同理取2a =，可得图象C 有可能；利用排除法可知选B ．14．C 【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0(,)x -∞单调递减是错误的，D 正确．选C ．15．A 【解析】法一：由题意可得，00sin y x =[1,1]∈-，而由()f x =0[0,1]y ∈，当0a =时，()f x∴0[0,1]y ∈时，0()[1f x ∈．∴0(())1f f y >．∴ 不存在0[0,1]y ∈使00))((y y f f =成立，故B ，D 错；当1a e =+时，()f x当0[0,1]y ∈时，只有01y =时()f x 才有意义，而(1)0f =， ∴ ((1))(0)f f f =，显然无意义，故C 错．故选A ．法二：显然，函数()f x 是增函数，()0f x ≥，从而以题意知0[0,1]y ∈．于是，只能有00()f y y =．不然的话，若00()f y y >，得000(())()f f y f y y >>， 与条件矛盾；若00()f y y <，得000(())()f f y f y y <<，与条件矛盾． 于是，问题转化为()f t t =在[0,1]上有解．由t =2tt e t a =+-，分离变量，得2()ta g t e t t ==-+，[0,1]t ∈因为()210tg t e t '=-+>，[0,1]t ∈，所以，函数()g t 在[0,1]上是增函数，于是有1(0)()(1)g g t g e ==≤≤， 即[1,]a e ∈，应选A ．16．D 【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点；B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点；C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系；D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对称，再关于x 轴的对称图像．故D 正确．17．B 【解析】∵21ln 2y x x =-,∴1y x x'=-,由0y '，解得11x -，又0x >，∴01x<故选B ．18．D 【解析】()xf x xe =，()(1)xf x e x '=+，0>x e 恒成立，令()0f x '=，则1-=x当1-<x 时，()0f x '<，函数单调减，当1->x 时，()0f x '>，函数单调增， 则1x =-为()f x 的极小值点，故选D ．19．D 【解析】2()1222f x x ax b '=--，由(1)0f '=，即12220a b --=，得6a b +=．由0a >，0b >，所以2()92a b ab +=≤，当且仅当3a b ==时取等号．选D ．20．D 【解析】若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则易知a c =，∵选项A ，B 的函数为2()(1)f x a x =+，∴[()][()()](1)(3)xxxf x e f x f x e a x x e '=+=++，∴1x =-为函数()xf x e 的一个极值点满足条件；选项C 中，对称轴02bx a=->， 且开口向下，∵0,0a b <>，∴(1)20f a b -=-<，也满足条件； 选项D 中，对称轴02bx a=-<，且开口向上，∴0,2a b a >>， ∴(1)20f a b -=-<，与题图矛盾，故选D ．21．D 【解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x=-，令'()0h x =解得2x =，因2x ∈时，'()0h x <，当)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当x =时，||MN 达到最小．即2t =． 22．①③④⑤ 【解析】 令32(),()3f x x ax b f x x a '=++=+，当0a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上单调递增函数，此时30x ax b ++=仅有一个实根，所以(4)(5)对； 当3a =-时，由2()330f x x '=-<得11x -<<，所以1x = 是()f x 的极小值点．由(1)0f >，得31310b -⋅+>,即2b >，(3)对．1x =- 是()f x 的极大值点， 由(1)0f -<，得3(1)3(1)0b --⋅-+<，即2b <-，(1)对．23．①④【解析】（1）设12x >x ，函数2x 单调递增，所有122>2x x，120x x ，则m =1212()()f x f x x x --=121222x x x x >0，所以正确；（2）设1x >2x ，则120x x ->，则1212()()g x g x nx x 22121212()x x a x x x x12121212()()x x x x a x x a x x ，可令1x =1，2x =2，4a =-，则10n =-<，所以错误；（3）因为mn ，由（2）得：2121)()(x x x f x f --12x x a =++，分母乘到右边，右边即为12()()g x g x -，所以原等式即为12()()f x f x -=12()()g x g x -， 即为12()()f x g x -=12()()f x g x ，令()()()h x f x g x =-，则原题意转化为对于任意的a ，函数()()()h x f x g x =-存在不相等的实数1x ，2x 使得函数值相等，2()2x h x x ax =--，则()2ln 22x h x x a '=--，则()2(ln 2)2xh x ''=-，令0()0h x ''=，且012x <<，可得0()h x '为极小值． 若10000a =-，则0()0h x '>，即0()0h x '>，()h x 单调递增，不满足题意， 所以错误．（4）由(3) 得12()()f x f x -=12()()g x g x -，则1122()()()()f x g x g x f x +=+， 设()()()h x f x g x =+，有1x ，2x 使其函数值相等，则()h x 不恒为单调．2()2x h x x ax =++，()2ln 22x h x x a '=++，()2()2ln 220x h x ''=+>恒成立，()h x '单调递增且()0h '-∞<，()0h '+∞>．所以()h x 先减后增，满足题意，所以正确． 24．4【解析】当01x ≤时，()ln f x x ，()0g x ，此时方程|()()|1f x g x。
(完整版)导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。
高考数学专题复习三-3.1导数与积分-高考真题练习(附答案)
专题三导数及其应用3.1导数与积分考点一导数的概念及运算1.(2019课标Ⅱ文,10,5分)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0答案C本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算.由题意可知y'=2cosx-sinx,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.小题速解由题意得y'=2cosx-sinx,则y'|x=π=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有C符合.故选C.2.(2016山东理,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=e xD.y=x3答案A设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f'(x1)·f'(x2)=-1即可.y=f(x)=sinx的导函数为f'(x)=cosx,则f'(0)·f'(π)=-1,故函数y=sinx具有T性质;y=f(x)=lnx的导函数为f'(x)=1,则f'(x1)·f'(x2)=112>0,故函数y=lnx不具有T性质;y=f(x)=e x 的导函数为f'(x)=e x,则f'(x1)·f'(x2)=e1+2>0,故函数y=e x不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f'(x)=3x2,则f'(x1)·f'(x2)=91222≥0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.疑难突破函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应的导数之积为-1,这是解决此题的关键.评析本题为创新题,主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的条件,属于偏难题.3.(2016四川理,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lns0<<1,lns>1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A设l1是y=-lnx(0<x<1)的切线,切点P1(x1,y1),l2是y=lnx(x>1)的切线,切点P2(x2,y2),l 1:y-y1=-11(x-x1),①l2:y-y2=12(x-x2),②①-②得xP=1-2+211+12,易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),∵l1⊥l2,∴-11·12=-1,∴x1x2=1,∴S△PAB=12|AB|·|x P|=12|y1-y2=12·(1-2+2)21+212=12·(-ln1-ln2+2)21+2=12·[-ln(12)+2]21+2=12·41+2=21+2,又∵0<x1<1,x2>1,x1x2=1,∴x1+x2>212=2,∴0<S△PAB<1.故选A.思路分析设出点P1,P2的坐标,进而根据已知表示出l1,l2,然后求出点A、B的坐标及x P,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.4.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D y'=a-1r1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线,则()A.e b<aB.e a<bC.0<a<e bD.0<b<e a答案D解法一:当x→-∞时,曲线y=e x的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=e x的切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=e x的下方,∴0<b<e a,故选D.解法二:易知曲线y=e x在点P(t,e t)处的切线方程为y-e t=e t(x-t),∵切线过点(a,b),∴b-e t=e t(a-t),整理得e t(t-a-1)+b=0.令f(t)=e t(t-a-1)+b,则f'(t)=e t(t-a),当t<a时,f'(t)<0,当t>a时,f'(t)>0,∴f(t)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,∴当t=a时,f(t)取得最小值f(a)=-e a+b.由已知得,f(t)的零点的个数即为过点(a,b)的切线条数,∴f(t)有且仅有2个零点.∴f(a)=-e a+b<0,即b<e a.①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,e t(t-a-1)<0,则f(t)<0,∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.②若0<b<e a,由以上讨论可知,f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,∴f(t)min=f(a)=-e a+b<0,且limm−∞f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0<b<e a.故选D.6.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2K1r2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+2解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.解析y=2(r2)−5r2=2−5r2,所以y'=5(r2)2,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.7.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1e x;y=-1e x(不分先后)解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0,ln x0),∵y'=1,∴切线斜率k=y'|J0=10,故切线方程为y-ln x0=10(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1e x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1e x,故过坐标原点的两条切线方程为y=1e x和y=-1e x.8.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-∞,-4)∪(0,+∞)解析设f(x)=(x+a)e x,则f'(x)=(x+a+1)e x,设切点为(x0,(x0+a)e0),因此切线方程为y-(x0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0),又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)e0=(x0+a+1)·e0(-x0),整理得02+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程02+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.9.(2020课标Ⅰ文,15,5分)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.答案y=2x解析设该切线的切点坐标为(x0,y0),由y=lnx+x+1得y'=1+1,则在该切点处的切线斜率k=10+1,即10+1=2,解得x0=1,∴y0=ln1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),∴该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.10.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)=e r.若f'(1)=e4,则a=.答案1解析f'(x)=(rt1)e(rp2,则f'(1)=x(r1)2=e4,解得a=1.11.(2019天津文,11,5分)曲线y=cosx-2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cosx-2,∴y'=-sinx-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-12(x-0),即x+2y-2=0.12.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=e x lnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.答案e解析本题主要考查导数的计算.∵f(x)=e x lnx,∴f'(x)=e x ln∴f'(1)=e1×(ln1+1)=e.13.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.答案2x-y-2=0解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2lnx得y'=2.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.14.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1,∴y'=2x-12,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.15.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-1,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.16.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.17.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析∵函数y=e x的导函数为y'=e x,∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1.设P(x 0,y 0)(x 0>0),∵函数y=1的导函数为y'=-12,∴曲线y=1(x>0)在点P 处的切线的斜率k 2=-102,则有k 1k 2=-1,即1·-解得02=1,又x 0>0,∴x 0=1.又∵点P 在曲线y=1(x>0)上,∴y 0=1,故点P 的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y'=3lnx+1+x·3=3lnx+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案y=-2x-1解析令x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=lnx-3x(x>0),则f'(x)=1-3(x>0),∴f'(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.思路分析由偶函数定义,可得x>0时,f(x)的解析式,从而求出x>0时f(x)的导数,进而可求得切线斜率,最后可得切线方程.20.(2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b 与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由y=lnx+2得y'=1,由y=ln(x+1)得y'=1r1,∴k=11=12+1,∴x 1=1,x 2=1-1,∴y 1=-lnk+2,y 2=-lnk.即+2-1,-ln ,∵A 、B 在直线y=kx+b 上,∴2−ln =1+b,-ln =-1+b ⇒=1−ln2,=2.思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.21.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-1-1.(1)当a=e时,f(x)=e x-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.因此所求三角形的面积为2e−1.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1.当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=a e x-1-ln x+ln a≥e x-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.22.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以=(312−1)−213,=2+有且仅有一组解,即方程x2-(312-1)x+213+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(312-1)2-4(213+a)=0⇔4a=914−813−612+1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=914−813−612+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在−130和(1,+∞)上单调递增,在−∞,0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h−=2027,所以h(x)≥-4,所以a≥-1.解法二:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,22+a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-22+a②,因为①②表示同一直线方程,所以312−1=22,−213=−22+s则(312-1)2-813=4⇔4=914−813−612+1.下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.23.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+ax e-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+x e-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=1r1+(1-x)e-x,又f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=ln(1+x)+ax e-x有零点,即方程ln(x+1)=-ax e-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-ax e-x,因为f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一个交点.易知g'(x)=1r1,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.①若a=0,显然不满足.②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有一个交点,需g'(0)<h'(0),解得a<-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=a e,当x→-1时,g(x)→-∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)<h'(0),解得a<-1.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).考点二定积分与微积分基本定理1.(2014湖北理,6,5分)若函数f(x),g(x)满足-11 f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin12x,g(x)=cos12x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3答案C由①得f(x)g(x)=sin12xcos12x=12sinx,是奇函数,所以-11 f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的正交函数;由②得f(x)g(x)=x2-1,∴-11 f(x)g(x)dx=-11 2-1)d-x-11=-43,所以②不是区间[-1,1]上的正交函数;由③得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以-11 f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上的正交函数.故选C.2.(2014山东理,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.22B.42C.2D.4答案D由=4s=3得x=0或x=2或x=-2(舍).∴S=02 (4x-x3)dx=22-14402=4.评析本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.3.(2013湖北理,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+(t 的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5B.8+25ln113C.4+25ln5D.4+50ln2答案C由v(t)=0得t=4.故刹车距离为s= 04v(t)dt=047−3dt=-322+7t+25ln(1+p04=4+25ln5(m).4.(2013北京理,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B.2C.83答案C由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0,1),所以直线l的方程为y=1.设直线l与抛物线的交点为M、N,分别过M、N作x轴的垂线MM'和NN',交x轴于点M'、N',如图.故所求图形的面积等于阴影部分的面积,即S=4-202 24dx=83.故选C.评析本题主要考查抛物线的性质及定积分的应用.考查学生对知识的理解及应用能力,正确求解定积分是解本题的关键.5.(2012湖北理,3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2答案B由题图知二次函数的解析式为f(x)=-x2+1,其图象与x轴所围图形的面积为-11f(x)dx=2 01f(x)dx=2 01(-x2+1)dx=2-133+x01=2×-13+1=43.故选B.评析本题考查了定积分的知识,考查了学生运算求解能力.运用数形结合思想求出二次函数和定积分是解题关键.6.(2015天津理,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案16解析曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由=s=2解得x=0或x=1,所以S= 01(x-x22-13301=12-13=16.。
(完整版)导数与微分25(综合题及答案)
高等数学五、其它题型（共 121 小题，）1、讨论 0 , 1,0cos )(⎩⎨⎧>≤=x x x x f 在 0=x 点的可导性。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin )(2x x x x x f ， ， ，讨论)(x f 在 0=x 处的可导性。
3、研究.01arctan)()(2ax a x ax a x x f =≠--= ， ， ， 在 a x =点的可导性。
4、讨论000arctan )(2=≠=x x xx x f ， ，，在 0=x 处的可导性。
5、讨论x x x f cos )2()(π-=，在2π=x 处的可导性。
6、讨论 ，， ，，在处的可导性f x x x x x x ()ln .=+≥+<⎧⎨⎩=2113117、讨论 ，， ，在处的可导性f x e x x x x x ().=≥+<⎧⎨⎩=0108、讨论 ，， ，在处的可导性f x x x x x x ()cos .=-≤>⎧⎨⎩=100029、设，其中在处可导且则为的那一种类型的间断点为什么f x x t dtxx x x f x x()()cos ()()()??=⋅===⎰ϕϕϕ202000010、讨论在处的可导性f x x x ()sin .==π11、设 在处连续，讨论在处的可导性．ϕϕ()()()x x a f x x a x x a ==-=12、讨论 在处的可导性．f x x x x ()sin =-=ππ13、讨论 在处的连续性与可导性．f x x x x ()cos =-=ππ14、设 ，其中在处连续且，讨论在处的连续性与可导性．f x x ag x g x x a g a f x x a ()()()()()=-===015、[]处的可导性．在讨论为该函数的可去间断点， 设 0)(,0)0()()1()(22==--=x x g x xg x g e x f x 16、设在上有定义在此定义域上恒有且在，上有．讨论在处的可导性．f x f x f x f x x x f x x ()(,),()(),[]()()()-∞+∞+==-=12011017、讨论 ，， ，，，在与处的可导性其中．f x x a b x a x b x a b x a x b a b ()()()()(),=--≤≤∈-∞+∞⎧⎨⎩==<20Y18、?,)()sin (0,0),0()()(2为什么断点的可去间是否为函数问处可导且在有定义，在设奇函数x x f x x x x x f ⋅+==>-δδδ19、讨论在点处的连续性与可导性．f x e x x ()==020、讨论 在点处的连续性与可导性．f x x x ()arctan ==021、讨论在点处的连续性与可导性．f x x x ()=+=4022、 一质点沿抛物线运动其横坐标随着时间的变化规律为的单位是秒的单位是米求该质点的纵坐标在点，处的变化速率．,(),(,),()y x x t x t t t x M =-=1086 23、?,5..11,30,20变化速率多少对角线的问此长方形的面积以及秒的速度增加米／第二边以米／秒的速度减少，而一边以若第米另一边米 长方形的一边==y x24、?,01.0,,,30是多少问球体积的增长率厘米的速度增长其半径以每分钟由于受热膨胀质量均为的球厘米 一个半径=R 25、?,1.0,,20多少问圆盘面积的增长率为厘米／分的速率增长其半径以受热膨胀厘米的金属圆盘 一个半径=r26、一个等边三角形，其高以2厘米/秒的速增加，当高为8厘米时，面积的增长率为多少？27、??,20,10,2.0,1.0增加还是减少少环形面积的变化率为多时当增长的速率以每秒外半径的速率减少以每秒 金属圆环的内半径cm R cm r cm R cm r ==28、何？的距离增加的速率如千米／小时，问两船间船的速度为千米／小时为的速度往北Ｂ船往东，若Ａ船一码头同时出发，Ａ船 两只船Ａ和Ｂ从同40,30B29、一人在平地上散步，他以每小时2.5公里的速度沿射线方向离开高为30米的塔基，问当他离塔基40米时，他的脚离开塔顶的速率是多少？30、某人以每秒3米的速度向高为100米的直立旗竿前进。
导数及其应用综合练习(含详解答案)
第1课 导数的概念及运算一、热身训练1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是 ____________．2．已知)1()('23f x x x f +=, 则=)2('f ____________． 3．已知),(,cos 1sin ππ-∈+=x xxy ,则当2'=y 时,=x ____________．4．已知a x x a x f =)(,则=)1('f ____________．5．已知函数f （x ）在x =1处的导数为3,则f （x ）的解析式可能为____________． （1）f （x ）=（x －1）2+3（x －1） （2）f （x ）=2（x －1） （3）f （x ）=2（x －1）2 （4）f （x ）=x －16．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为____________． 7．过点（0，－4）与曲线y ＝x 3＋x －2相切的直线方程是____________．8．已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a , b , c 值。
二、范例导析例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。
从时刻0t =开始的t 秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式223q t t =+表示。
（1） 求第5秒内时的电流强度；（2） 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？例2．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y = ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+例3． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．例3变式．求曲线32y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程。
兰州大学-网络教育-高等数学(2)-课程作业题库B
一、单选题1.(4分)图15-22• A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D) 答案D解析2.(4分)图23-16• A. (A) • B. (B) • C. (C)• D. (D)答案B解析3.(4分)图14-20• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：重积分的应用收起解析答案B解析4.(4分)图19-36 • A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案C解析5.(4分)图18-37• A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D)纠错得分：0知识点：常微分方程收起解析答案B解析6.(4分)图14-19• A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D)得分：0知识点：重积分的应用收起解析答案B解析7.(4分)图20-82• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案A解析(4分)图18-45 • A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D)纠错得分：0知识点：常微分方程收起解析答案C解析9.(4分)图26-26• A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D) 纠错得分：0知识点：二重积分收起解析答案B解析10.(4分)图20-80• A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D) 纠错得分：0知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案D解析11.(4分)图26-19• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案A解析12.(4分)图18-53 • A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D)纠错得分：0知识点：常微分方程收起解析答案B解析13.(4分)图19-13• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案B解析14.(4分)图25-25• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案D解析15.(4分)图18-56• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：常微分方程收起解析答案A解析二、判断1.(4分)图17-55••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案错误解析2.(4分)图19-3••纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案正确解析3.(4分)图22-8••纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案正确解析4.(4分)图26-3••纠错得分：0知识点：重积分收起解析答案错误解析5.(4分)图17-7••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案正确解析(4分)图17-49••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案错误解析7.(4分)图17-3••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案正确解析(4分)图19-2••纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案错误解析9.(4分)图19-6••纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案错误10.(4分)图1-2••纠错得分：0知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案正确一、单选题1.(4分)图15-24• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错知识点：微分方程的一般概念与一阶微分方程收起解析答案C解析2.(4分)图22-2• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析解析3.(4分)图18-86• A. (A) • B. (B) • C. (C) • D. (D)纠错得分：0知识点：常微分方程收起解析答案B解析4.(4分)图15-22• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：微分方程的一般概念与一阶微分方程收起解析答案D解析5.(4分)图14-23• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C解析6.(4分)图19-15• A. (A)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案A解析7.(4分)图20-45• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案A解析8.(4分)图22-29• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：空间解析几何收起解析答案A解析9.(4分)图24-27• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：偏导数、全微分与微分法收起解析答案B解析10.(4分)图15-29• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：可降阶的高阶微分方程与线性微分方程（组）收起解析答案C解析11.(4分)图17-100• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案B解析12.(4分)图2• A. A• B. B• C. C• D. D纠错得分：0知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案D解析13.(4分)图16-19• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：多元函数及其微分学收起解析答案B解析14.(4分)图24-20• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：极限与连续性收起解析答案A解析15.(4分)图18-72• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)纠错得分：0知识点：常微分方程收起解析答案A解析二、判断(4分)图15-13••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案正确解析2.(4分)图25-7••纠错得分：0知识点：多元函数及其微分学收起解析答案错误3.(4分)图20-21••纠错得分：0知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案正确解析4.(4分)图24-12••纠错得分：0知识点：多元函数及其微分学收起解析答案正确解析5.(4分)图17-49••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案错误解析6.(4分)图20-10••纠错得分：0知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案错误解析7.(4分)图20-38••纠错得分：0知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案错误解析8.(4分)图17-3••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案正确解析9.(4分)图19-4••纠错得分：0知识点：多元函数微分收起解析答案正确解析10.(4分)图14-15••纠错得分：0知识点：无穷级数收起解析答案错误一单选题1. 图25-24(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(A) 标准答案：(C)图23-24• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)标准答案：(D) 图1-7答案正确2. 图20-80(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(B) 标准答案：(D)3. 图25-28(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(A) 标准答案：(C)4. 图25-23(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(D) 标准答案：(B)5. 图18-50(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分：0.0用户解答：(C)标准答案：(B)6. 函数f(x,y)=sin(x2+y)在点(0,0)处（）.(A)无定义(B)无极限(C)有极限，但不连续(D)连续.本题分值： 4.0用户得分：0.0用户解答：(A)无定义标准答案： (D)连续.7. 图15-18(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：(A) 标准答案：(A)8. 图25-19(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(D) 标准答案：(B)9. 图26-21(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：(B) 标准答案：(B)10. 图26-25(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：(D) 标准答案：(D)11. 图19-36(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(A) 标准答案：(C)12. 图25-18(D)(A)(B)(C)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(B) 标准答案：(A)13. 图5ABCD本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： D 标准答案： D14. 图17-97(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0用户得分： 4.0 用户解答：(A) 标准答案：(A)15. 图16-30(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：(D) 标准答案：(D)二判断题1. 图24-9错对本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：错标准答案：错2. 图24-14错对本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：对标准答案：错3. 图19-1错对本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：错标准答案：错4. 图17-3错对本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：错标准答案：对5. 图19-8错对本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：对标准答案：错6. 图20-25错对本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：错标准答案：错7. 图24-8错对本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：对标准答案：错8. 图25-12错对本题分值： 4.0用户得分：0.0 用户解答：对标准答案：错9. 图14-13错对本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：对标准答案：错10. 图18-84错对本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：对标准答案：对一单选题1. 图9ACD本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： C 标准答案： C2. 图14-22(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(A) 标准答案：(D)3. 图24-20(A)(B)(C)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：(A) 标准答案：(A)4. 图16-30(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答：(D) 标准答案：(D)5. 图5ACD本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答： C 标准答案： D6. 图14-26(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(B) 标准答案：(C)7. 图18-52(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(A) 标准答案：(C)8. 图22-2(A)(B)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(A) 标准答案：(C)9. 图17-76(A)(C)(D)本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答：(D) 标准答案：(C)10. 图12ABCD本题分值： 4.0 用户得分：0.0 用户解答： C 标准答案： D11. 图16-24(A)(B)。
2017兰大网络教育高等数学2课程作业及答案70086
高等数学(2)课程作业_A一、单选题1. (4分)图2• A. A• B. B• C. C• D. D知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案D2. (4分)图19-13• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：多元函数微分收起解析答案B3. (4分)图14-27• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C4. (4分)图14-24• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C5.(4分)图20-43• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案D6. (4分)图19-15• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：多元函数微分收起解析答案A7. (4分)图23-18• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：重积分收起解析答案D8. (4分)图17-104• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：无穷级数收起解析答案B9. (4分)图20-83• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案A10. (4分)图14-26• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：曲线积分及其应用收起解析答案C11. (4分)图12• A. A• B. B• C. C• D. D知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案D12.(4分)图18-44• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：常微分方程收起解析答案C13. (4分)图26-20• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案A14. (4分)图25-23• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：多元函数微分学的应用收起解析答案B15. (4分)图15-29• A. (A)• B. (B)• C. (C)• D. (D)知识点：可降阶的高阶微分方程与线性微分方程（组）收起解析答案C二、判断1. (4分)图26-4知识点：重积分收起解析答案错误2. (4分)图20-10知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案错误3. (4分)图15-13知识点：无穷级数收起解析答案正确4. (4分)图25-5知识点：多元函数及其微分学收起解析5. (4分)图14-15知识点：无穷级数收起解析答案错误6. (4分)图22-7知识点：多元函数微分收起解析答案错误7. (4分)图25-14知识点：重积分收起解析答案正确8. (4分)图20-9知识点：空间解析几何与向量代数收起解析答案错误9. (4分)图26-2知识点：重积分收起解析答案错误10. (4分)图1-9知识点：高等数学／基础知识/ 微积分收起解析答案错误。