第14天已知两边及其中一边的对角解三角形每日一题之2017快乐暑假高二数学文人教版
考点14 解三角形-2017届高三数学(理)黄金考点总动员(解析版)
2017届高三数学33个黄金考点总动员考点14 解三角形(理）【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. (2)考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． (3)考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．2.命题方向预测：(1)利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． (2)常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.课本结论总结：（1）正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C（2）余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.（3）S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B（4）已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则（5在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．4.名师二级结论：（1）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .（2）正弦定理的变形：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．①a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； ②a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；③sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．（4）三角形的面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . （5）解三角形的常用途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．5.课本经典习题：(1)新课标A 版第10 页，第 B2 题（例题）在ABC ∆中，如果有性质B b A a cos cos =，试问这个三角形的形状具有什么特点．法二：利用余弦定理及B b A a cos cos =，得acb c a b bc a c b a 22222222-+⋅=-+⋅，化简得0))()((222=-+-+c b a b a b a ，则222c b a b a =+=或，即三角形是等腰三角形或直角三角形.【经典理由】一题多解，既可利用正弦定理进行求解，也可利用余弦定理进行求解。
2020高中数学 每日一题之快乐暑假 第12天 已知两边及其夹角解三角形 文 新人教A版
第12天已知两边及其夹角解三角形高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线（1）在中，已知，，，则a等于A．B．6C．或6 D．（2）在中，已知角的对边分别为，＝5，＝4，＝120°，则______________．（3）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝，则b=__________，sin C=__________.【参考答案】（1）A；（2）；（3），.（3）∵b2＝a2＋c2-2ac cos B＝4＋25-2×2×5×＝17,∴b＝.∵cos B＝,∴sin B＝,由正弦定理,得则.【解题必备】（1）已知两边及其夹角解三角形，必有一解．（2）已知两边及其夹角的解题步骤：①由求；②由求；③由求．（3）已知两边及其夹角，求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便．应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角．学霸推荐1．在中，，，且，则__________．2．在中,,,,则的值为__________.3．在中,已知a=2,b=2,C=15°,求角A,B和边c的值(cos 15°=,sin 15°=).1．【答案】7【解析】由已知得16cos A=l，即cos A=，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB·AC·cos A=16+36﹣2×4×6×=49，则BC=7．3．【解析】由余弦定理知c2=a2+b2-2ab cos C=4+8-2×2×2=8-4, ∴c=-.由正弦定理得,∵b>a,∴B>A,∴A=30°,∴B=180°-A-C=135°.。
已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数判定方法及其应用
已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数判定方法及其应用作者：***来源：《教育界·下旬》2015年第11期一、已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数的探讨在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A，解三角形时，解的个数有哪些情况？问题相当于：在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A画三角形时，能画多少个三角形？画法：（1）画∠MAN等于已知角A；（2）在射线AM上截取AC=b；（3）以C为圆心、a为半径画弧，交射线AN于点B（交点B的个数决定画出的三角形的个数），则△ABC就是要画的三角形。
1.当A为锐角时：（1）当a（2）当a=bsinA时，画出唯一的三角形，如图（2），只有一个解；（3）当bsinA（4）当a≥b时，画出唯一的三角形，如图（4），只有一个解.2.当A为直角或钝角时：（1）当a≤b时，无解，如图（5）、图（6）；（2）当a>b时，一个解，如图（7）、图（8）。
记忆方法：解的个数判定方法一（1）当A为锐角时；（2）当A为直角或钝角时.当已知角的对边是大边，有一解，否则，无解。
在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A解三角形，解的个数的判定方法还可以用下面方法：方法二：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得到以第三边c为未知数的一元二次方程，此方程正数解的个数即为三角形解的个数。
已知a，b，A，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得c2-（2bcosA）c+b2=a2=0，（l）若方程无解或无正数解，则三角形无解；（2）若方程有唯一正数解，则三角形有一解；（3）若方程有两个不同的正数解，则三角形有两解。
二、已知三角形两边及其中一边的对角时三角形解的个数判定方法应用举例1.已知三角形两边及其中一边的对角时判定解的个数。
例1：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列条件，不解三角形判断有几组解？。
解三角形练习题及答案
第一章 解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9D ．1∶2∶34．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25B ．5C ．25或5D ．10或55．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3B ．23C ．3或23D ．28．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b ＝( )． A ．231+ B ．1＋3C ．232+ D ．2＋39．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．A ．3B ．23C ．3或23D ．310．有一电视塔，在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°，若AB ＝120米，则电视塔的高度为( )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ． 12．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 13．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则CB A cb a sin sin sin ++++＝ ．14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，那么AD ＝ ． 16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ． 三、解答题17． 已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)a cos A ＝b cos B ； (2)A a cos ＝B b cos ＝Cccos ．20．△ABC 中，己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题 1．B解析：设三边分别为5k ，7k ，8k (k ＞0)，中间角为 α， 由cos α＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 α＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°． 2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac bc a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22代入后消去a ，c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1，故选B ． 9．C 10．A 二、填空题 11．56． 12．2． 13．23． 解析：设A asin ＝B b sin ＝Cc sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23．14．32π． 15．43． 16．－41． 三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小． 解法1：由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2，c ＝6，3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°，∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°． 故b ＝Aasin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 解法2：由余弦定理得b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4， ∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又(6)2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21，∠C ＝60°或∠C ＝120°， 所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°． 18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．解：∵B b sin ＝Ccsin ， ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21．∵b ＞c ，∠B ＝60°，∴∠C ＜∠B ，∠C ＝30°，∴∠A ＝90°． 由勾股定理a ＝22＋c b ＝2， 即a ＝2，∠A ＝90°，∠C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． (1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·(bc a c b 2222-+)＝b ·(ac c b a 2222+-)⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0，∴(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0， ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 解法2：由正弦定理得 sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ，∠A ，∠B ∈(0，π) ⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得A A R cos sin 2＝B BR cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B Bcos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ． ∵∠A ，∠B ，∠C ∈(0，π)， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ， ∴△ABC 为等边三角形．20．解析：利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理，用a ，c 的代数式表示cos C ，这样可以建立a ，c 的等量关系；再由a ＋c ＝8，解方程组得a ，c ．解：由正弦定理A asin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ，得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝C csin ，∴cos C ＝ca2．由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+，∵b ＝4，a ＋c ＝8， ∴a ＋c ＝2b ，∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5，∴c a2＝ac a 43－5， 整理得(2a －3c )(a －c )＝0， ∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8， ∴a ＝524，c ＝516．。
2018高中数学每日一题之快乐暑假第12天已知两边及其夹角解三角形理新人教A版
第12天已知两边及其夹角解三角形高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线（1）在中，已知，，，则a等于A．B．6C．或6 D．（2）在中，已知角的对边分别为，＝5，＝4，＝120°，则______________．（3）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝，则b=__________，sin C=__________【参考答案】（1）A；（2）；（3），.（3）∵b2＝a2＋c2-2ac cos B＝4＋25-2×2×5×＝17,∴b＝.∵cos B＝,∴sin B＝,由正弦定理,得则.【解题必备】（1）已知两边及其夹角解三角形，必有一解．（2）已知两边及其夹角的解题步骤：①由求；②由求；③由求．（3）已知两边及其夹角，求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便．应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角．学霸推荐1．在中，，，且，则__________．学科￥网2．在中,,,,则的值为__________.3．在中,已知a=2,b=2,C=15°,求角A,B和边c的值(cos 15°=,sin 15°=).1．【答案】7【解析】由已知得16cos A=l，即cos A=，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB·AC·cos A=16+36﹣2×4×6×=49，则BC=7．3．【解析】由余弦定理知c2=a2+b2-2ab cos C=4+8-2×2×2=8-4, ∴c=-.由正弦定理得,∵b>a,∴B>A,∴A=30°, ∴B=180°-A-C=135°.。
知一边及其对角的三角形的最值问题
我们有一个三角形，已知一边长度和它所对的角，我们要找出这个三角形的最大面积和最小周长。
假设三角形的三边长度分别为a, b 和c，其中已知边长为a，已知角度为角A，对应的边长为b。
根据题目，我们可以建立以下方程和不等式：三角形的面积公式是：面积= (1/2) × a × b ×sin(A)。
三角形的周长是：周长= a + b + c。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即：a + b > c, a + c > b, b + c > a。
同样地，任意两边之差小于第三边，即：|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。
现在我们要来解这个问题，找出三角形的最大面积和最小周长。
为了找到三角形的最大面积，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
假设三角形的三边长度分别为a, b 和c，其中已知边长为a，已知角度为角A，对应的边长为b。
根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：面积= sqrt[3] * (p * p * q) / (2 * q)其中，p 是半周长，q 是半周长减去已知边长a。
通过求导数并令其为0，我们可以找到面积的最大值。
最大面积是：0.5为了找到三角形的最小周长，我们可以使用不等式来求解。
根据不等式，三角形的周长可以表示为：周长= a + b + c根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即：a + b > c, a + c > b, b + c > a。
通过求解不等式组，我们可以找到周长的最小值。
最小周长是：2.8284271247461903。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
第14天已知两边及其中一边的对角解三角形-每日一题之2018快乐暑假高二数学(理)人教版
高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆
（1）在 中， ， ， ，则 的值为
A． B．
C． 或 D． 或
（2） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则
A． B．
C．2D．3
（3）已知在 中， ， ，角B的 平分线 ，则BC=____________．
【参考答案】（1）D；（2）D；（3） ．
（2）由余弦定理，得 ，解得 （负值舍去）．故选D．
（3）在 中，由正弦定理得 ，所以 所以∠ADB=45°，
所以∠ABD=15°，所以∠ABC=30°，所以∠ACB=30°，所以 ．在 中，由余弦定理得 ．
【解题必备】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形，有两解、一解或无解三种情况．
（2）求解此类问题的一般方法及步骤（以已知 为例）：
方法1：①由正弦定理经讨论求 ；②由 求 ；③由 求 ；
方法2：根据余弦定理，列出以边 为未知数的一元二次方程 ，根据一元二次方程的解法求边 ，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素．
1．在 中，若 ， ， ，则 边上的高为
A． B．
C． D．
2． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ， ， ，则 _____________．
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3．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a= ，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．学科-网
2．【答案】
【解析】由正弦定理 ，得 ，
结合 可得 ，
判断已知两边及其中一边的对角的三角形的解的教学探究
---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 判断已知两边及其中一边的对角的三角形的解的教学探究“判断已知两边及其中一边的对角的三角形的解是否存在。
若存在，求出它的解；若不存在，请说明理由。
”这是学生在解直角三角形时遇到的一道难题。
为解决这个问题，我引导学生开展了一次专题探究活动。
我有目的地把学生所学的知识转化为问题，把问题设计成符合学生实际的情境，使“判断已知两边及其中一边的对角的三角形的解”的教学探究活动圆满完成。
4001[关键词]自主质疑创设情境联系实际合作探究1 / 3一、适度设计情境，利于提出问题教学活动中，要想学生真正地探究学习，问题情境的设计是关键；而情境的设计，必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验的基础上，即按照学生“最邻近发展区”要求来设计，学生以“激疑”为起点，通过独立探究去“化疑”，并在新的问题情境中“生疑”。
通过“激疑”“化疑”、，再到“生疑”，从而激发学生的求知欲望，增强学生的学习信心，并培养学生自主质疑、合作探究的能力。
二、适时启发引导，利于质疑探究建构主义认为，学习者要想完成对所学知识的意义建构，即达到对该知识所反映事物的性质、规律以---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------及该事物与其他事物之间联系的深刻理解，最好的办法是让学习者到现实世界的真实环境中去感受、去体验，而不是仅仅聆听别人（例如老师）关于这种经验的介绍和讲解。
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案)高中数学解三角形在高中数学中，解三角形是一个重要的概念和技巧。
掌握解三角形的方法对于理解和解决几何问题至关重要。
本文将介绍几种常见的解三角形的方法，并附上相应的答案，帮助读者巩固和拓展数学知识。
一、解决直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
解决直角三角形的方法主要有三种：勾股定理、正弦定理和余弦定理。
勾股定理适用于已知两条边求第三边的情况，其公式为：c² = a² + b²，其中c为斜边的长度，a和b分别为两个直角边的长度。
正弦定理适用于已知一个角和两条角边的情况，其公式为：sinA/a = sinB/b = sinC/c，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，a、b、c 分别为对应的边长。
余弦定理适用于已知三条边求角度的情况，其公式为：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)，其中A为夹在b和c之间的角，a为对应的边长。
二、解决等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
解决等腰三角形的方法主要有两种：勾股定理和正弦定理。
勾股定理适用于已知两条等腰边求底边的情况，其公式与直角三角形相同。
正弦定理适用于已知一个角和两条等腰边的情况，其公式与直角三角形相同，只是此时的两条边为等腰边。
三、解决一般三角形一般三角形是指三个角和三个边都不相等的三角形。
解决一般三角形的方法主要有两种：正弦定理和余弦定理。
正弦定理适用于已知一个角和两条边的情况，公式同上。
余弦定理适用于已知三条边求角度的情况，公式同上。
答案示例：1. 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，请计算斜边的长度。
解法：根据勾股定理，斜边的长度c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度c = √25 = 5cm。
2. 已知一等腰三角形的底边长度为5cm，两条等腰边的长度分别为4cm，请计算顶角的度数。
第14天已知两边及其中一边的对角解三角形每日一题之2017欢乐暑假高二数学文人教版
第14天已知两边及其中一边的对角解三角形 高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆典例在线（1）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，若8,7,60a b B ===︒，则c =A ．3B ．5C ．3或5D ．无法求解（2）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，若5a =，2c =，2cos 3A =，则b = A ．2B ．3C ．2D ．3（3）已知在ABC △中，120A =︒，2AB =，角B 的平分线3BD =，则BC =____________．【参考答案】（1）C ；（2）D ；（3）6．（2）由余弦定理，得3222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （负值舍去）．故选D ． （3）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BD ADB A ∠=，因此·sin 2sin =2AB A ADB BD ∠=因此∠ADB =45°，因此∠ABD =15°，因此∠ABC =30°，因此∠ACB =30°，因此2AC AB ==ABC △中，由余弦定理得222cos 6=AB AC A B AC A C B +-⋅⋅=【解题必备】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形，有两解、一解或无解三种情形． （2）求解此类问题的一样方式及步骤（以已知,,a b B 为例）： 方式1：①由正弦定理经讨论求A ；②由180A B C ++=︒求C ；③由sin sin a cA C=求； 方式2：依照余弦定理，列出以边为未知数的一元二次方程222(2cos )()0c a B c a b -+-=，依照一元二次方程的解法求边，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素．学霸推荐1．在ABC △中，若13AB =，BC =3，120C =︒∠，则AC = A ．1B ．2C ．3D ．42．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC 的长为 A ．4B ．5C ．4或5D ．无法求解3．ABC △中，角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，若3a =，7c =，60C ∠=︒，则b = A ．5B ．8C ．5或−8D ．−5或83．B 【解析】由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴49＝9＋b 2－3b ，即(b －8)(b ＋5)＝0．∵b ＞0，∴b ＝8．故选B ．。
已知两边及一边的对角解题策略
已知两边及一边的对角解题策略
对于已知两边及一边的对角解题策略，我们可以运用几何学中的知识来解决这
类问题。
首先，我们需要了解对角线和正方形两边之间的关系。
在一个正方形中，对角线将它分成两个相等的直角三角形。
由正弦定理，我们
知道在一个直角三角形中，对角线的长度等于两条直角边的长度的平方和的平方根。
因此，如果我们已知两边的长度，并要求解对角线的长度，我们可以使用勾股定理来计算。
假设两边的长度分别为a和b，而对角线的长度为c。
根据勾股定理，我们有
c² = a² + b²。
通过求解该方程，我们可以得到对角线的长度。
举例来说，假设我们已知一个正方形的一条边长度为3，另一条边长度为4。
我们可以将这些值代入勾股定理的方程c² = 3² + 4²，进而得到c² = 9 + 16，最终解
得c的值为5。
这种对角解题策略可以在解决一些几何学或物理学领域中的问题时非常有用。
通过了解正方形的性质和勾股定理，我们可以轻松计算已知两边及一边的对角线长度。
记住，对角线的长度是两条边长度的平方和的平方根。
高中数学第一章解三角形1
A为钝角⇔a2>b2+c2.
知识拓展a2=b2+c2⇒△ABC为直角三角形;
a2>b2+c2⇒△ABC为钝角三角形;
a2<b2+c2 △ABC为锐角三角形.
说明:a2<b2+c2只能得到cos A>0,即只能得到角A为锐角,但是不
能保证角B,C也为锐角,所以不能得到△ABC为锐角三角形.
∴sin Bsin C=cos Bcos C.
∴cos Bcos C-sin Bsin C=0.即cos(B+C)=0.
∴B+C=90°.∴A=90°.
∴△ABC为直角三角形.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解法二将已知等式变为
b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C.
1
得 cos A=
=
= ,
2
2×2 2×( 6+ 2)
2
2
2
2
2
2 +2 -
(2 3) +( 6+ 2) -(2 2)
2
cos B=
=
= .
2
2×2 3×( 6+ 2)
2
∵A,B∈(0,π),∴A=60°,B=45°.
∴C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°.
题型一
题型二
2··
=
设 AC 边上的中线长为 x,
由余弦定理,得 x =
2
2
2
=4 +9 -2×4×9×
2
3
高中数学暑假作业 第一部分 解三角形(2)
解三角形（2）一、知识点1、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.2、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。
3、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 4、三角形中常用结论(1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）(2)sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）(3)在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+二、练习1、ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，,1,3A a b π===则c 等于（ ）A ． B.3 1 D.2、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么他的顶角的余弦值为（ ）A ．518 B.34 C. D.783、在不等边三角形ABC 中，a 为最大边，且2a ＜22b c +，则A 的取值范围是（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4、在ABC V 中，2cos ,22A b c c +=则ABC V 的形状为 （ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形5、在ABC V 中，下列结论；①若2a ＞22b c +，则ABC V 为钝角三角形 ②若2a =22b c +bc +，则A=60° ③若22a b +＞2c ，则ABC V 为锐角三角形 ④若A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=1:2:3其中正确的个数是 （ ）A ．1 B.2 C.3 D.46.在ABC V 中，D 为BC 边上一点，3,135,BC BD AD ADB ==∠=︒若,AC =则__________.BD =7.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22,sin ,a b C B -==则A 等于（ ）A ．30° B.60° C.120° D.150°8.某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A.2sin 2cos 2a a -+B.sin 3a a +C.3sin 1a a +D.2sin cos 1a a -+9.设ABC V 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，且22sin sin sin sin 33A B B B ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g .（1）求角A 的值；（2）若12,AB AC a ⋅==u u u r u u u rb ，c （其中b ＜c ）.解三角形21A2D3C4A5A6.分析：如图1-13所示，设,AB k =则,AC =再设,BD x =则2,DC x =在ABD V 中，由余弦定理得22222222k x x x x ⎛⎫=+-⋅-=++ ⎪ ⎪⎝⎭①。
利用余弦定理讨论“已知两边和其中一边的对角解三角形”的问题
利用余弦定理讨论“已知两边和其中一边的对角解三角形”的
问题
李新初
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1989(000)003
【摘要】初中代数第四册教材用正弦定理并借助于作图,对“已知a,b和A,解三角形”的情况进行了讨论。
此种情形解的情况很复杂,有时无解,有时有唯一解,还有时有两个解。
教材只着重介绍了用正弦定理解这类问题,但这类问题也可用余弦定理解决,有时比用正弦定理更简明,用余弦定理解这类问题,实际上是归结为讨论一元二次方程有无正根的问题。
下面我们用余弦定理来讨论这种类
【总页数】2页(P23-24)
【作者】李新初
【作者单位】安徽临泉县于寨中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数判定方法及其应用 [J], 马耀勇
2.已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数判定方法及其应用 [J], 马耀勇;
3.已知两边及一边的对角解三角形的教学反思--一节“生本导学课”的教学反思[J], 李延梅
4.关于“已知三角形两边及其中一边的对角”的解判定的一种新方法 [J], 桂大军;
5.余弦定理在一类解三角形问题中的\"功\"与\"理\"\r——对已知\"两边一对角\"这类三角形的解法探究 [J], 杨亚军
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正弦定理已知两边及一边的对应角解三角形 判断解的情况
正弦定理已知两边及一边的对应角解三角形 判断解的情况：
1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角解三角形，先判断三角形是否有解？有解的
作出解答．
（3）b=10, c=56 C=60
2．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积是( )
3 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于(
4 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b
＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S
＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠A ＝________.
6 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是
7 在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长是 8 △ABC 中，角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，且a (cos B ＋
cos C )＝b ＋c . 求证：A ＝π2；
9 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＋c ＝2＋1，
sin A ＋sin B ＝2sin C ，则c ＝________；若C ＝π3，则△ABC 的面积S ＝________. (1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°
； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.。
2019高中数学 每日一题之快乐暑假 第12天 已知两边及其夹角解三角形 文 新人教A版
第12天已知两边及其夹角解三角形高考频度：★★★☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线（1）在中，已知，，，则a等于A．B．6C．或6 D．（2）在中，已知角的对边分别为，＝5，＝4，＝120°，则______________．（3）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝，则b=__________，sin C=__________.【参考答案】（1）A；（2）；（3），.（3）∵b2＝a2＋c2-2ac cos B＝4＋25-2×2×5×＝17,∴b＝.∵cos B＝,∴sin B＝,由正弦定理,得则.【解题必备】（1）已知两边及其夹角解三角形，必有一解．（2）已知两边及其夹角的解题步骤：①由求；②由求；③由求．（3）已知两边及其夹角，求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便．应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间上是不单调的），应先求较小边所对的角，因为它必是锐角．学霸推荐1．在中，，，且，则__________．2．在中,,,,则的值为__________.3．在中,已知a=2,b=2,C=15°,求角A,B和边c的值(cos 15°=,sin 15°=).1．【答案】7【解析】由已知得16cos A=l，即cos A=，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB·AC·cos A=16+36﹣2×4×6×=49，则BC=7．3．【解析】由余弦定理知c2=a2+b2-2ab cos C=4+8-2×2×2=8-4,∴c=-.由正弦定理得, ∵b>a,∴B>A,∴A=30°,∴B=180°-A-C=135°.。
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第14天已知两边及其中一边的对角解三角形
高考频度：★★★☆☆难易程度：★★★☆☆ 典例在线
（1）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8,7,60a b B ===︒，则c =
A ．3
B ．5
C ．3或5
D ．无法求解
（2）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5a =，2c =，2cos 3
A =，则b = A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
（3）已知在ABC △中，120A =︒，2AB =，角B 的平分线3BD =，则
BC =____________．
【参考答案】（1）C ；（2）D ；（3）6．
（2）由余弦定理，得3
222452⨯⨯⨯-+=b b ，解得3=b （负值舍去）．故选D ． （3）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BD ADB A ∠=，所以·sin 2sin =2AB A ADB BD ∠=所以∠ADB =45°，所以∠ABD =15°，所以∠ABC =30°，所以∠ACB =30°，所以
2AC AB ==ABC △中，由余弦定理得
222cos 6AB AC A B AC A C B +-⋅⋅=．
【解题必备】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形，有两解、一解或无解三种情况．
（2）求解此类问题的一般方法及步骤（以已知,,a b B 为例）：
方法1：①由正弦定理经讨论求A ；②由180A B C ++=︒求C ；③由
sin sin a c A C =求； 方法2：根据余弦定理，列出以边为未知数的一元二次方程222(2cos )()0c a B c a b -+-=，
根据一元二次方程的解法求边，然后应用正弦定理或余弦定理求其他元素．
学霸推荐
1．在ABC △中，若13AB =，BC =3，120C =︒∠，则AC =
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝
910，则BC 的长为 A ．4
B ．5
C ．4或5
D ．无法
求解 3．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，7c =，60C ∠=︒，则b =
A ．5
B ．8
C ．5或−8
D ．−5或
8
3．B 【解析】由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴49＝9＋b 2
－3b ，即(b －8)(b ＋5)
＝0．∵b ＞0，∴b ＝8．故选B ．。