相关系数的显著性检验
相关系数检验法步骤
相关系数检验法步骤一、相关系数检验法步骤相关系数检验法是一种用于检验两个变量之间关系强度的统计方法。
它可以衡量两个变量之间的相关性，并判断这种相关性是否显著。
以下是相关系数检验法的步骤：1. 收集数据：首先，需要收集相关的数据，包括两个变量的观测值。
这些数据可以通过实地调查、实验或其他可靠的数据源获得。
2. 计算相关系数：接下来，需要计算两个变量之间的相关系数。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量，而斯皮尔曼相关系数适用于等级变量或非线性关系。
3. 假设检验：在进行相关系数检验前，需要先建立假设。
通常，零假设为两个变量之间不存在相关关系，备择假设为两个变量之间存在相关关系。
4. 计算检验统计量：根据所选的相关系数和样本大小，计算相关系数的检验统计量。
检验统计量的计算方式与所选的相关系数有关。
5. 确定显著性水平：确定显著性水平，通常将其设定为0.05或0.01。
显著性水平表示拒绝零假设的临界值。
6. 判断是否拒绝零假设：将计算得到的检验统计量与显著性水平进行比较。
如果检验统计量的值小于显著性水平对应的临界值，则拒绝零假设，认为两个变量之间存在相关关系；如果检验统计量的值大于临界值，则接受零假设，认为两个变量之间不存在相关关系。
7. 解释结果：最后，根据检验结果对两个变量之间的相关性进行解释。
如果拒绝了零假设，可以说明两个变量之间存在相关关系，并根据相关系数的值来判断相关关系的强度和方向。
二、相关系数检验法的应用相关系数检验法广泛应用于各个领域的研究中。
以下是一些常见的应用场景：1. 经济学研究：在经济学中，相关系数检验法常用于分析不同变量之间的关系，如GDP与失业率、通货膨胀与利率等。
通过相关系数检验，可以了解变量之间的关系强度，为经济政策的制定提供依据。
2. 市场营销研究：在市场营销领域，相关系数检验法可以用来分析产品销售与广告投入、价格变动等因素之间的关系。
16 方差、相关系数及比率的显著性检验
方差、相关系数及比率的显著性检验
一 方差的差异性检验
二 相关系数的显著性检验
仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确定变量之间是否存在相关。只有通过对相关系数显著性的检验，才能确定相关关系是否存在。 对相关系数进行显著性检验包括三种情况（即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0；三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。
1．积差相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验即样本相关系数与总体相关系数的差异检验。 包括两种情况： ρ=0和ρ=ρ0 对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著； 对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总体的相关系数是否为ρ0 。
根据样本相关系数 r 对总体相关系数ρ进行推断，是以 r 的抽样分布正态性为前提的，只有当总体相关系数为零，或者接近于零，样本容量 n 相当大（n＞50或n＞30）时，r 的抽样分布才接近于正态分布。
⑴．H0：ρ＝0条件下， 相关系数的显著性检验
检验形式：双侧检验 统计量为t，检验计算公式为：
（19．4）
例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩之间存在显著相关?
解： 提出假设 H0：ρ=0，H1： ρ≠0 选择检验统计量并计算 对积差相关系数进行ρ=0的显著性检验，检验统计量为t
计 算
统计决断 根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得t(8)0.01=3.355， |t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著 应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究假设 结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在极其显著的相关。
另一种方法：查积差相关系数临界值表
根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中找到对应的积差相关系数临界值为0.765。 计算得到的r=0.780，大于表中查到的临界值。因此应接受该相关关系极其显著的结论，而拒绝相关关系不显著的零假设。
相关系数t检验和回归系数t检验
相关系数t检验和回归系数t检验引言相关系数t检验和回归系数t检验是统计学中常用的假设检验方法，用于判断两个变量之间的相关性和回归模型的显著性。
本文将详细介绍相关系数t检验和回归系数t检验的原理、应用场景以及计算方法。
相关系数t检验定义相关系数t检验用于检验两个变量之间的相关性是否显著。
原理相关系数t检验的原理基于相关系数的分布。
在零假设成立的情况下，相关系数服从自由度为n-2的t分布。
步骤进行相关系数t检验的步骤如下： 1. 提出零假设和备择假设： - 零假设（H0）：两个变量之间没有显著的相关性。
- 备择假设（H1）：两个变量之间存在显著的相关性。
2. 计算样本相关系数r的值。
3. 计算相关系数的标准误差： - 标准误差 = sqrt((1-r^2)/(n-2)) 4. 计算相关系数的t值： - t值 = r / 标准误差5. 根据自由度为n-2的t分布表，查找对应的临界值。
6. 判断t值是否落在拒绝域内： - 如果t值大于临界值，则拒绝零假设，认为两个变量之间存在显著的相关性。
- 如果t值小于临界值，则接受零假设，认为两个变量之间没有显著的相关性。
应用场景相关系数t检验适用于以下场景： - 研究两个变量之间的相关性。
- 判断某个变量是否可以作为预测另一个变量的依据。
回归系数t检验定义回归系数t检验用于检验回归模型中的回归系数是否显著。
原理回归系数t检验的原理基于回归系数的分布。
在零假设成立的情况下，回归系数服从自由度为n-k-1的t分布，其中n为样本容量，k为回归模型中的自变量数量。
步骤进行回归系数t检验的步骤如下： 1. 提出零假设和备择假设： - 零假设（H0）：回归系数为零，即自变量对因变量没有显著影响。
- 备择假设（H1）：回归系数不为零，即自变量对因变量有显著影响。
2. 进行回归分析，得到回归模型。
3. 计算回归系数的标准误差： - 标准误差 = sqrt(残差平方和 / 自变量的总变差) 4. 计算回归系数的t值： - t值 = 回归系数 / 标准误差 5. 根据自由度为n-k-1的t分布表，查找对应的临界值。
相关系数检验_相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验也包括两种情况：一种情况是样本相关系数r与总体相关系数ρ的比较；另一种情况是通过比较两个样本r的差异(r1 -r2)推论各自的总体ρ1和ρ2是否有差异。
一、相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验即样本相关系数与总体相关系数的差异检验。
由于相关系数r的样本分布比较复杂，受ρ的影响很大，一般分为ρ＝0和ρ≠0两种情况(一)ρ≠0时图7—11 样本相关系数r的分布图7—11表示从ρ＝0及ρ＝．8的两个总体中抽样(n＝8)样本r的分布。
可看到ρ＝0时r的分布左右对称，ρ＝．8时r的分布偏得较大。
对于这一点并不难理解，ρ的值域-1～+1，r的值域也是-1～+1，当ρ＝0时，的分布理应以0为中心左右对称。
而当ρ＝0．8时，r的范围仍然是-1～+1，但r 值肯定受ρ的影响，趋向+'的值比趋向+1的值要出现得多些，因而分布形态不可能对称。
所以，一般认为ρ＝0时r的分布近似正态；ρ≠0时r的分布不是正态。
在实际研究中得到r＝．30(或其他什么值)时，自然会想到两种情况：①由于r＝．30，说明两列变量之间在总体上是相关的(ρ≠0)。
②虽然r＝．30，但这可能是偶然情况，总体上可能并无相关(ρ＝0)。
所以需要对r＝．30进行显著性检验。
这时仍然可以用t检验的方法。
H0：ρ＝0H1 ：ρ≠0(df=n-2) (2-27) 如果t>t.05/2，则拒绝H0，说明所得到的r不是来自ρ＝0的总体，或者说r是显著的。
若t< t.05/2，则说明所得到的r值具有偶然性，从r值还不能断定总体具有相关关系。
或者说r 不显著。
[例1] 18名被试进行了两种能力测验，结果r＝．40，试问这两种能力是否存在相关解：H0：ρ＝0H1 ：ρ≠0查附表2，t．05／2＝2．12t＝1．798<2．12不能拒绝H0所以r＝．40并不显著，即不能推翻ρ＝0的假设。
在实际应用中，更多地是直接查表来断定r是否显著。
相关分析通过了显著性检验,但相关系数低
SPSS做相关分析，通过了显著性检验，但相关系数低，怎么解释？
总是有小伙伴在SPSSAU的答疑群中咨询，“我的数据通过了显著性检验，但相关系数低，应该怎么解释啊？”，每次答疑后，没隔几天就又会冒出其他人提问类似的问题，看来大家对显著性和相关性之间的关系，还不是很清楚，那么咱们就简单的说明一下。
●P值，也就是Sig值或显著性值。
如果P值小于0.01即说明某件事情的发生至少有99%
的把握，如果P值小于0.05（并且大于0.01）则说明某件事情的发生至少有95%的把握。
当P<0.01或P<0.05，则为说明水平显著。
●相关系数，是研究变量之间线性相关程度的量，用于说明两个变量之间是否存在相关关
系，以及相关关系的紧密程度。
分为pearson相关系数、Spearman相关系数。
一般相关系数在0.7以上说明关系非常紧密；0.4~0.7之间说明关系紧密；0.2~0.4说明关系一般。
显著性回答的问题是他们之间是否有关系，显著性说明得到的结果是不是偶然因素导致的（具有统计学意义）；相关系数回答的问题是相关程度强弱。
假如说我得到P<0.05相关系数R=0.279，意味着二者之间确实（P<0.05）存在相关关系，而相关性为0.279。
而如果P>0.05相关系数R=0.799，则意味着二者之间相关性很强（R=0.799），而这个高相关的结果可能是偶然因素导致的，即不具有统计学意义。
SPSSAU相关分析操作
SPSSAU中区分了X和Y，所以对应放入即可。
如果并不区分X或者Y，此时直接把所有项放入“分析项Y（定量）”框中即可。
SPSSAU输出结果。
应用回归分析_第2章课后习题参考答案.
2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定？答：1. 解释变量 1x , ,2x ,p x 是非随机变量，观测值,1i x ,,2 i x ip x 是常数。
2. 等方差及不相关的假定条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠=====j i n j i j i n i E j i i ,0),,2,1,(,),cov(,,2,1,0)(2 σεεε 这个条件称为高斯-马尔柯夫(Gauss-Markov)条件，简称G-M 条件。
在此条件下，便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差2σ估计的一些重要性质，如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。
3. 正态分布的假定条件为⎩⎨⎧=相互独立n i n i N εεεσε,,,,,2,1),,0(~212 在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2σ估计的进一步结果，如它们分别是回归系数的最及2σ的最小方差无偏估计等，并且可以作回归的显著性检验及区间估计。
4. 通常为了便于数学上的处理，还要求,p n >及样本容量的个数要多于解释变量的个数。
在整个回归分析中，线性回归的统计模型最为重要。
一方面是因为线性回归的应用最广泛；另一方面是只有在回归模型为线性的假设下，才能的到比较深入和一般的结果；再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回归问题进行处理。
因此，线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。
1. 如何根据样本),,2,1)(;,,,(21n i y x x x i ip i i =求出p ββββ,,,,210 及方差2σ的估计;2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验；3. 如何根据回归方程进行预测和控制，以及如何进行实际问题的结构分析。
2.2 考虑过原点的线性回归模型 n i x y i i i ,,2,1,1 =+=εβ误差n εεε,,,21 仍满足基本假定。
求1β的最小二乘估计。
答：∑∑==-=-=ni ni i i i x y y E y Q 1121121)())(()(ββ∑∑∑===+-=--=∂∂n i n i ni i i i i i i x y x x x y Q111211122)(2βββ 令,01=∂∂βQ 即∑∑===-n i ni i i i x y x 11210β 解得,ˆ1211∑∑===ni ini ii xyx β即1ˆβ的最小二乘估计为.ˆ1211∑∑===ni ini ii xyx β2.3 证明： Q (β0，β1)= ∑(y i-β0-β1x i )2因为Q (∧β0,∧β1)=min Q (β0,β1 )而Q (β0,β1) 非负且在R 2上可导,当Q 取得最小值时，有即-2∑(y i-∧β0-∧β1x i )=0 -2∑(y i-∧β0-∧β1x i ) x i =0又∵e i =yi -( ∧β0+∧β1x i )= yi -∧β0-∧β1x i ∴∑e i =0，∑e i x i =0（即残差的期望为0，残差以变量x 的加权平均值为零）2.4 解：参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在εi~N(0, 2 ) i=1,2，……n 的条件下等价。
从统计学看线性回归（2）——一元线性回归方程的显著性检验
从统计学看线性回归（2）——⼀元线性回归⽅程的显著性检验⽬录1. σ2 的估计2. 回归⽅程的显著性检验 t 检验（回归系数的检验） F 检验（回归⽅程的检验） 相关系数的显著性检验 样本决定系数 三种检验的关系⼀、σ2 的估计 因为假设检验以及构造与回归模型有关的区间估计都需要σ2的估计量，所以先对σ2作估计。
通过残差平⽅和（误差平⽅和）（1）（⽤到和，其中）⼜∵（2）∴（3）其中为响应变量观测值的校正平⽅和。
残差平⽅和有n-2 个⾃由度，因为两个⾃由度与得到的估计值与相关。
（4）（公式（4）在《线性回归分析导论》附录C.3有证明）∴σ2的⽆偏估计量：（5）为残差均⽅，的平⽅根称为回归标准误差，与响应变量y 具有相同的单位。
因为σ2取决于残差平⽅和，所以任何对模型误差假设的违背或对模型形式的误设都可能严重破坏σ2的估计值的实⽤性。
因为由回归模型残差算得，称σ2的估计值是模型依赖的。
⼆、回归⽅程的显著性检验 ⽬的：检验是否真正描述了变量 y 与 x 之间的统计规律性。
假设：正态性假设（⽅便检验计算）1. t 检验 ⽤t 检验来检验回归系数的显著性。
采⽤的假设如下：原假设 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系）对⽴假设 H1：β1 ≠ 0 回归系数的显著性检验就是要检验⾃变量 x 对因变量 y 的影响程度是否显著。
下⾯我们分析接受和拒绝原假设的意义。
（1）接受 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系） 此时有两种情况，⼀种是⽆论 x 取值如何， y 都在⼀条⽔平线上下波动，即，如下图1，另⼀种情况为， x 与 y 之间存在关系，但不是线性关系，如图2。
图 1图 2 （2）拒绝 H0：β1 = 0 （x 对解释 y 的⽅差是有⽤的） 拒绝原假设也有两种情况，⼀种是直线模型就是合适的，如图 3，另⼀种情况为存在 x 对 y 的线性影响，也可通过 x 的⾼阶多项式得到更好的结果，如图 4。
两个变量之间存在显著相关关系
两个变量之间存在显著相关关系
首先，我们可以通过计算皮尔逊相关系数来衡量两个变量之间
的线性相关性。
皮尔逊相关系数的取值范围在-1到1之间，0表示
没有线性相关性，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
如果计
算得到的皮尔逊相关系数显著大于0，那么可以认为这两个变量之
间存在正相关关系；反之，如果相关系数显著小于0，则可以认为
存在负相关关系。
其次，斯皮尔曼相关系数用于衡量两个变量之间的等级相关性，即使得两个变量之间的关系不是严格的线性关系，也可以通过斯皮
尔曼相关系数来进行衡量。
当斯皮尔曼相关系数显著大于0时，可
以认为两个变量之间存在正相关关系；反之，当相关系数显著小于
0时，则可以认为存在负相关关系。
除了相关系数，我们还可以通过散点图来观察两个变量之间的
关系。
如果散点图呈现出明显的趋势，比如向上或向下的趋势，那
么可以初步判断这两个变量之间存在相关关系。
此外，还可以进行假设检验来验证两个变量之间的相关性是否
显著。
通过计算相关系数的置信区间或者进行相关性检验，可以得
出两个变量之间的相关性是否显著。
综上所述，我们可以通过计算相关系数、绘制散点图以及进行假设检验来全面、多角度地判断两个变量之间是否存在显著相关关系。
当然，对于不同类型的数据和研究问题，需要综合考虑不同的方法来进行判断。
显著相关系数
显著相关系数
显著相关系数，指的是在统计学中用来衡量两个变量之间线性关系强度的一种指标。
在实际应用中，我们经常需要研究两个变量之间的关系，例如身高和体重之间的关系、温度和电力需求之间的关系等等。
在这些研究中，显著相关系数是非常有用的，因为它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在相关性，以及相关性的强度。
显著相关系数的计算方法主要是通过Pearson相关系数来进行计算。
Pearson相关系数是一种用于衡量两个连续变量之间线性关系强度的指标，其取值范围为-1到1之间。
当相关系数为1时，表示两个变量之间存在完全的正相关关系；当相关系数为-1时，表示两个变量之间存在完全的负相关关系；当相关系数为0时，表示两个变量之间不存在线性相关关系。
显著相关系数的计算需要用到假设检验的方法。
通常情况下，我们需要确定一个显著性水平，例如0.05或0.01，表示我们接受某种假设的概率不超过这个水平。
在计算相关系数时，我们不仅需要计算出相关系数的值，还需要计算出它的显著性水平。
如果显著性水平小于设定的显著性水平，我们就可以认为两个变量之间存在显著的线性相关关系。
显著相关系数在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生物医学领域中，我们可以用显著相关系数来研究某种疾病与其风险因素之间的关系；在经济学领域中，我们可以用显著相关系数来研究某种经济指标与其影响因素之间的关系。
总之，显著相关系数是一种非常强大的统计工具，可以帮助我们发现两个变量之间的关系，并进一步深入研究其本质。
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三、相关系数的等距转换及其合并
• 例如： • 教科书第261页。
四、相关系数的显著性检验
• （一）相关系数的抽样分布
• 制作方法：
• 形态：
• 1．=0时，如果n比较大，则呈正态分布；
•
如果n比较小，则呈t分布。
• 2．0时，如果n很大，则接近于正态分布;
•
如果n比较小，则呈偏态分布。
• 究竟是正偏态还是负偏态，得由值决定。
感谢下 载
可编辑
把协方差变成一个相对量数，即将离差除以各 自的标准差，变成用标准分数表示，然后将两个标 准分数的乘积除以n，所得的商就是积差相关系数。 用公式表示为：
r ( X X )(Y Y )
n X Y
(X X )(Y Y) 2875.60
n=15 代入积差相关的计算公式中，得
r 2875.60 0.74 15 12.90 20.12
4．用下列统计量来计算
X
公式为：
Y
SX
SY
r XY ：根据上表中的数据计算得，
X X 32.40 n
SX
n
n
1
X
13.35
Y Y 38.73 n
SY
n
n
1
Y
20.83
XY 21700
n=15
r 2170015 32.40 38.73 0.74 1413.35 20.83
3．用下列统计量来计算
X
公式为：
Y
X
Y
r XY n X Y
n X Y
XY
解：根据上表中的数据计算得，
X X n
32.40
X
X 2 (X )2 12.90 nn
Y Y 38.73 n
Y
Y 2 (Y )2 20.12 nn
XY 21700 n=15
r 2170015 32.40 38.73 0.74 1512.90 20.12
2．用原始数据计算
公式为： XY (X )(Y ) / n
r X 2 (X )2 / n Y 2 (Y )2 / n
解：根据上表中的数据计算得，
X 486
Y 581 XY 21700
X 2 18242 Y 2 28577
n=15
r
21700 486 581 15
0.74
18242 486 2 15 28577 581 2 15