广西省贺州市2020年高考数学调研试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )
A ．αγβ>>
B ．αβγ=>
C ．γβα>>
D ．αβγ>=
2．已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-与b 的夹角为150,则b 的取值范围是（ ） A ．
B ．[1,3]
C ．
D ．[3,2]
3．已知2
π
()12cos ()(0)3
f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12
min
πx x -=，则2ω=；
②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫
⎪⎢
⎭
⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.
其中，判断正确的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
5．已知α满足1sin 3α=
，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．
718
B ．
7
9
C ．718
-
D ．79
-
6．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且
21PF PF >，椭圆的离心率为
1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2
133
e e +的最小值为（ ）
A ．623+
B ．622+
C ．8
D ．6
7．已知函数1222,0,()log ,0,
x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2
()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围为（ ）
A ．163,5⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(3,4)
D ．(]3,4
8．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y bx a =+近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25
B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83
C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87
D ．线性相关关系太弱，无研究价值
9．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =
B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =
C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠
D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠
10．已知函数e 1()e 1
x x f x -=+，()
0.32a f =，()
0.3
0.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系
为（ ） A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
11．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X
N σ，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+= A ．177
-
B ．717
- C ．177
D ．
7
17
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则32z x y =+的最小值为______．
14．已知函数()sin ()4f x x N πωω⎛⎫
=+
∈ ⎪
⎝
⎭在[]0,π上仅有2个零点，
设()28x g x f x π⎛⎫
⎛
⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
则()g x 在区间[]0,π上的取值范围为_______． 15
．设1021001210)x a a x a x a x =+++
，则2a =_____，
（)()2
2
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+的值为______．
16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3
a
f x x =+，则()f a 的值为___________________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，当(1,)x ∈+∞时，有()0f x >，且(2)1f =.
（1）求不等式(4)(1)2f t f t --<的解集； （2）对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，22sin 52(62)44f x x a f a ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
恒成立，求实数a 的取值范围. 18．（1）求曲线2y
x
和曲线y =
（2
︒
．
19．（6分）已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线1C ：22221(0)x y y a b +=≤和曲线2C ：22
221(0)
x y y a b
-=>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆面积的最大值. 20．（6分）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；
（2）若4b =，点M 是线段BC 的中点，10AM =ABC 的面积. 21．（6分）已知函数2
1()ln ()2
f x x ax x a R =-+∈，函数()23
g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1
()()()2
F x f x ag x =+
的单调性； （Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.
22．（8分）已知函数2
()(1)1(,)x g x e a x bx a b R =----∈，其中e 为自然对数的底数.
（1）若函数()()f x g x '=在区间[0,1]上是单调函数，试求a 的取值范围； （2）若函数()g x 在区间[0,1]上恰有3个零点，且(1)0g =，求a 的取值范围.
23．（8分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表： 送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数
10
15
10
10
5
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； （2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】
如图，1111111，D C CC C E AC ==，设O 为11A C 的中点，1O 为11C E 的中点， 由图可知过1AB 且与1BC 平行的平面α为平面11AB D ，所以直线l 即为直线1AD ， 由题易知，11，D AB O CB ∠∠的补角，1D AC ∠分别为αβγ，，， 设三棱柱的棱长为2，
在1D AB ∆中，1125225，，D B AB AD ===
2
2
1
25425
55cos cos 1010
2225
D AB α+-∠=
=
∴=⨯⨯；
在1O BC ∆中，11
1125，，O B BC OC =
()(
)
2
2
1
541155cos cos 225
，O CB β+-
∠=
=-
∴=⨯⨯；
在1D AC ∆中，114225，，CD AC AD ===，
155cos cos 55
25
，D AC α∠=
=
∴=
， cos cos cos ，αβγαβγ=<∴=>.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养. 2．C 【解析】
试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==则AC DB a b ==-，因为a b -与b 的夹角为150，即
150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ
=︒
，所以sin 2sin sin 30a b θθ=
⨯=︒
，所以02b <≤，故选C ．
考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质． 3．B 【解析】 【分析】
对函数()f x 化简可得π
()sin(2)6
f x x ω=+
，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】
因为2
π2ππ
()12cos ()cos(2)sin(2)336
f x x x x ωωω=-+
=-+=+，所以周期2ππ2T ωω=
=.
对于①，因为12
min
1π2x x T -==，所以ππ2T ω
==，即1
2ω=，故①错误；
对于②，函数()f x 的图象向右平移6π
个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36
y x ωω=-+，其图象关于y
轴对称，则π
ππ
π()3
62
k k ω-+
=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；
对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+
=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω
=-， 因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ
212x ωω
=-，所以第7个零点
7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则
8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω
=-+=-+=，
所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得4147
2424
ω≤<，故③正确； 对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ
2662πππ
2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩
，解得23ω≤，又0>ω，所
以2
03
ω<≤，故④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题. 4．C 【解析】 【分析】
2
1i
z =
+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)
z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 5．A 【解析】 【分析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果. 【详解】
1
sin 3
α=，
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
()()222
11cos cos cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2
117
122318
⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2
133
e e +，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c
e a
=
，2c e a ='，设2PF m =
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
1222m PF PF a a c +=⇒=
+，2122
m
PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
68≥+=
当且仅当7
3
a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
7．B
【解析】
【分析】
令()
f x t=，则2230
t at a
-+=，由图象分析可知2230
t at a
-+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.
【详解】
令()
f x t=，则2230
t at a
-+=，如图
y t
=与()
y f x
=顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程[]2
()2()30
f x af x a
-+=有
六个不相等的实数根，则2230
t at a
-+=有两个不同的根12,(2,4]
t t∈，
设2
()23
g t t at a
=-+由根的分布可知，
2
4120
(2,4)
(2)0
(4)0
a a
a
g
g
⎧∆=->
⎪
∈
⎪
⎨
>
⎪
⎪≥
⎩
，解得
16
3
5
a
<≤.
故选：B.
【点睛】
本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.
8．B
【解析】
【分析】
根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.
【详解】
散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，
故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，
且直线斜率小于1，故选B. 【点睛】
本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养. 9．C 【解析】 【分析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】
A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；
B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；
C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；
D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】
可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.
【详解】
12()111
e e x x x
f x e -==-++在R 上单调递增，且0.30.3
0.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力. 11．C 【解析】 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的
性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R
⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知(
)2
2,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5
P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式
方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是
“1
2x x
+
≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 12．B 【解析】
由θ是第二象限角且sinθ =
1213知：5cos 13θ==-，5
t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457
tan()4
1tan tan 4517
π
θθθ+︒+
=
=--︒．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．2 【解析】 【分析】
作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2. 故答案为：2
【点睛】
本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 14．5214⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
先根据零点个数求解出ω的值，然后得到()g x 的解析式，采用换元法求解()g x 在[]0,π上的值域即可. 【详解】
因为()sin ()4f x x N πωω⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭在[]0,π上有两个零点，
所以,444x πππωωπ⎛⎫⎡⎤+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以24
34πωπππωππ⎧
+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩
，所以71144ω≤<且N ω∈，
所以2ω=，所以()sin 24f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 所以()22sin 2sin cos sin 2284x g x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
+-=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
令sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以2sin 21x t =-，所以()2
215124
g x t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 因为[]0,x π∈，所以5,444x πππ⎛
⎫⎡⎤
+
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦224x π⎛
⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭
，所以2t ⎡⎤∈-⎣⎦， 所以()
2
max
1522124g x ⎫=-=⎪⎭ ，()2
min 115
5224
4g x ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，
所以(
)514g x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：514⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难. 对形如
sin cos sin cos y x x a x x =++的函数的值域求解，关键是采用换元法令sin cos x x t +=，然后根据
()
2
sin cos 12sin cos x x x x +=+，将问题转化为关于t 的函数的值域，同时要注意新元t 的范围.
15．720 1
【解析】 【分析】
利用二项展开式()n a b +的通式1C r n r r
r n T a b -+=可求出2a
；令1021001210)x a a x a x a x =+++中的
1x =，1x =-得两个式子，代入)()22
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+可得结果.
【详解】
利用二项式系数公式，2
822210720T C x x ==，故2720a =，
10100110012101),1)a a a a a a a ++⋯+=-+-⋯+=，
故（)()2
2
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+
=()(
)10
10
0110012101)1)1a a a a a a a ++⋯+-+-⋯+==，
故答案为：720；1. 【点睛】
本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题. 16．0 【解析】 【分析】
由题意可得：(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧
+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()
f a 的值即可. 【详解】
解：
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
.
由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133
a a
+
=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.
故答案为：0. 【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭；（2）53
a -. 【解析】 【分析】
（1）利用定义法求出函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，由()()()f xy f x f y =+和(2)1f =，求出
(4)f ，求出(4)[4(1)]f t f t <-，运用单调性求出不等式的解集；
（2
）由于2
2sin 52(62)44f x x a f a ππ⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫+
---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦
恒成立，由（1）得出()y f x =在(0,)+∞
上单调递增，22sin 526244620x x a a a ππ⎧⎛⎫⎛⎫+---+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪->⎩
恒成立，设2()2sin 5244g x x x a ππ⎛⎫⎛
⎫=+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，利用三角恒等变换化简()g x ，结合恒成立的条件，
构造新函数，利用单调性和最值，求出实数a 的取值范围. 【详解】
（1）设120x x >>，
()()()()()1111222222220x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴-=⋅-=+-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增， 又因为()()()f xy f x f y =+和(2)1f =，
则(4)(22)(2)(2)2f f f f =⨯=+=，
所以(4)(1)2(1)(4)[4(1)]f t f t f t f f t <-+=-+=-
得4010
44(1)t t t t >⎧⎪
->⎨⎪<-⎩
解得011
2
t t t ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪<⎩，即1
02t <<，
故t 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
；
（2）
由于2
2sin 52(62)44f x x a f a ππ⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫+
---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣
⎦
恒成立，
⇔22sin 526244620x x a a a ππ⎧⎛
⎫⎛⎫+---+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪->⎩
恒成立，
设2
()2sin 5244g x x x a ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
---+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则2
()2sin 5244g x x x a ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
---+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
1cos 2cos 5+2222x x x a π⎫⎛
⎫=-+-+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ 32sin cos 2(cos sin )5x x x x a =+-+-，
令cos sin 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，
则t ∈，
所以2
2
()252(1)51h t t t a t a =--+=--+
在区间上单调递增， 所以min ()51h t a =-+，
根据条件，只要5162620a a a -+-⎧⎨
->⎩
， 所以53
a -. 【点睛】
本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂
公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力. 18．（1
）1
3
（2）2 【解析】 【分析】 （1）求曲线2y
x 和曲线y x =围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求2
x x -在区间[]0,1上的定积分．
（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出()()
cos 201sin 20cos10
sin10︒
︒︒
︒
=
-⋅+，
()2
cos35cos10sin10︒︒︒=
+ 然后再整体代入可得； 【详解】 解：
（1）联立2y x
y x
⎧=⎪⎨=⎪⎩解得10x =，21x =，所以曲线2y
x 和曲线y x =围成的图形面积
331
2
311312
200002121211()()|||3333333
S x x dx x x x x ==-=-=-=⎰． （2）()()2cos 201sin 201sin 201sin 20︒︒
︒
︒
=-=
-+
()()2
001sin20cos10sin10︒=-+
()()1sin 20cos10sin10︒
︒︒
=
-+
()cos35cos 4510cos45cos10sin45sin10︒︒︒︒︒︒︒=-=+
()2
cos10sin102
︒︒=
+
∴
︒
=
=【点睛】
本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.
19．（Ⅰ）221(0)2016x y y +=和2
21(0)2016x y y -=>.；
（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3
. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由23(2,0),(6,0)F F -，可得2222
36
4
a b a b ⎧+=⎨-=⎩，解出即可； (Ⅱ)设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，设直线:()b
l y x m a
=
-，与椭圆方程联立可得：()222220x mx m a -+-=，利用>0∆，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1(0)2016
x y y +=，且4(6,0)F ，设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，与椭圆方程
联立可得：(
)2
2
5448640n
y
ny +++= ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、
基本不等式的性质，即可求解. 【详解】 (Ⅰ)由题意：
23(2,0),(6,0)F F -，
2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016a b ⎧=⎨=⎩
，
则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=和221(0)2016
x y y -=>.
(Ⅱ)证明：由题意曲线2C 的渐近线为：b
y x a
=±， 设直线:()b
l y x m a
=
-， 则联立22
22
()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222
220x mx m a -+-=
， ()
22
2480m m a ∴∆=-->，解得：m <<，
又由数形结合知2a m a <
.
设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，
则12x x m +=，22
122m a x x -=，
02m x ∴=
，02bm y a
=-， 00b
y x a
∴=-，即点M 在直线b y x a =-上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1:1(0)2016
x y C y +=，点4(6,0)F ，
设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，
∴联立22612016x ny x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得：()22
5448640n y ny +++=，
()
22(48)464540n n ∴∆=-⨯⨯+>21n ⇒>，
设()()3344,,,C D x y y x ，
3424854n y y n ∴+=-
+，34
2
64
54y y n =+，
34y y ∴-=
=，
1CDF ∴∆
面积123411822S F F y y =-=⨯=
令0t =>，221n t ∴=+
，
1654S t t
∴=
=+
当且仅当32t =
，即n =1CDF ∆. 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题. 20
．（1）1
cos 4
A =（2）ABC S =△【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cos A 的值；
（2）由题意得出2AB AC AM ，两边平方，化简得出4c =，根据三角形面积公式，即可得出结论.
【详解】 （1）
cos (4)cos a B c b A =-
由正弦定理得sin cos (4sin sin )cos A B C B A =- 即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A += 即sin 4cos sin C A C =
在ABC 中，sin 0C ≠，所以 1cos 4A = （2）因为点M 是线段BC 的中点，所以2AB AC
AM
两边平方得2
2
2
24AB AC AB AC AM ++⋅=
由14,10,cos ,sin 44
b AM A A ===
=
得22
124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯ 整理得216240c c ++=，解得4c =或6c =-（舍）
所以ABC 的面积1
sin 2
S bc A == 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题. 21． (1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上单调递减;(2)114. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数
()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1
120h x ax t x
'=-+-≤对任意
[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I ）由题意得()()()()2113
ln 1222
F x f x ag x x ax a x a =+
=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()2111
1ax a x F x ax a x x
-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=
. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；
当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a
>. 故函数()y F x =在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增； 当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
（II ）由题意知0t ≥.
()2111ax x f x ax x x
-+==
'+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增． 不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，
所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤
()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，
即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立. 记()()()()2
1ln 1232
h x f x tg x x ax t x t =+=-
+-+， 由题意得()h x 在[]
1,2上单调递减. 所以()()1
120h x ax t x
'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()1
12H a xa t x
=-++-，[]2,1a ∈--，
则()()max 1
22120H a H x t x
=-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立.
故max
1212t x x ⎛⎫
-≥+ ⎪⎝⎭， 而1
2y x x
=+
在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为9
2
.
由9212t -≥，解得11
4
t ≥
. 故实数t 的最小值为11
4
．
22．（1）3,1,22
⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
e ；（2）(1,2)e -.
【解析】
【分析】
（1）求出()()g x f x '=，再求()0,[0,1]f x x '≥∈恒成立，以及()0,[0,1]f x x '≤∈恒成立时，a 的取值范围；
（2）由已知(1)(0)0g g ==，()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为()()f x g x '=在区间(0,1)内恰有两个零点，由（1）的结论对a 分类讨论，根据()f x 单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论. 【详解】
（1）由题意得()2(1)=---x f x e a x b ，则()2(1)x
f x e a '=--，
当函数()f x 在区间[0,1]上单调递增时，
()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立.
∴()
min
2(1)
1-=x
a e （其中[0,1]x ∈），解得3
2
a
. 当函数()f x 在区间[0,1]上单调递减时，
()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立，
∴()
max
2(1)
-=x
a e e （其中[0,1]x ∈），解得12
+e a
. 综上所述，实数a 的取值范围是3,1,22
⎛
⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣
⎭
e .
（2）()2(1)()'=---=x
g x e a x b f x .
由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调. ∴()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x . ∴()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点. 由（1）易知，当3
2
a
时，()f x 在区间(0,1)上单调递增， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意. 当12
+e
a
时，()f x 在区间[0,1]上单调递减， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意， ∴
3122
<<+e
a .令()0f x '=，得ln(22)(0,1)x a =-∈，
∴函数()f x 在区间(0,ln(22)]-a 上单凋递减， 在区间(ln(22),1)-a 上单调递增. 记()f x 的两个零点为()1212,x x x x <，
∴12(0,ln(22)],(ln(22),1)∈-∈-x a x a ，必有(0)10,(1)220=->=-+->f b f e a b . 由(1)0g =，得+=a b e .
∴11()102f a b e ⎛⎫
=-+=-<
⎪⎝⎭
又∵(0)10,(1)20=-+>=->f a e f a ， ∴12-<<e a .
综上所述，实数a 的取值范围为(1,2)e -. 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 23．（1）
29
140
；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解析】 【分析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当
40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a =时，X ．X 的所有可能取值．可得X
的分布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出． 【详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单， 记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，
则()3
3035029
140
C P A C ==．
（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则
当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=； 当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=． 所以X 的分布列为
13111
E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
()228234240247254238.6
5105510
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
380.2390.2400.3410.2420.139.8
+⨯=元，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2
<，所以小张应选择甲公司应聘．
因为238.6239.2
【点睛】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设x，y满足
24
1
22
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则z x y
=+的取值范围是（）
A．[]
5,3
-B．[]
2,3C．[)
2,+∞D．(],3
-∞
2．在ABC
∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()2
2cos cos
b A a B c
+=，3
b=，3cos1
A=，则a=（）
A．5B．3 C．10D．4
3．如图，在ABC
∆中，点M，N分别为CA，CB的中点，若5
AB=，1
CB=，且满足
22
3AG MB CA CB
⋅=+，则AG AC
⋅等于（）
A．2 B．5C．
2
3
D．
8
3
4．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）
A．36πB．64πC．144πD．256π
5．已知函数()2
ln2,0
3
,0
2
x x x x
f x
x x x
->
⎧
⎪
=⎨
+≤
⎪⎩
的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1
y=-的对称点在1
y kx
=-的图像上，则实数k的取值范围是（）
A．
1
,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
13
,
24
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．
1
,1
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．
1
,2
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
6．复数z满足()
113
z i i
-=，则复数z等于（）
A．1i-B．1i+C．2 D．-2
7．如图，双曲线()
22
22
:10,0
x y
C a b
a b
-=>>的左，右焦点分别是()()
12
,0,,0,
F c F c
-直线
2
bc
y
a
=与双
曲线C的两条渐近线分别相交于,A B两点.若12,
3
BF F
π
∠=则双曲线C的离心率为（）
A ．2
B ．
42
C ．2
D ．
23
8．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）
A ．物理化学等级都是
B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人
C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人
D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人
9．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+i
B ．1i -
C ．1133
i --
D ．1133
i -+
10．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6
π
,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．
12
B ．32
-
C ．12
-
D ．
32
11．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222
111()324
f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ）
A ．0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,63ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ C ．,3π⎛⎫
π
⎪⎝⎭
D ．,6π⎛⎫
π
⎪⎝⎭
12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;
② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;
③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为
5
6
. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．
14
．设1021001210)x a a x a x a x =+++
，则2a =_____，
（)()2
2
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+的值为______． 15．平面向量a 与b 的夹角为
12
a π
=，，1b =，，则32a b -=__________．
16．已知α的终边过点(3,2)m -，若()1
tan 3
πα+=
，则m =__________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S na n =+，n ∈+N ，22a =， （1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式﹔ （2
）设n b =
121n n T b b b =++
+<.
18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
1F 与短轴两端点的连线相互垂直. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若圆222
:O x y a +=上存在两点M ，N ，椭圆C 上存在两个点,P Q 满足：1,,M N F 三点共线，
1,,P Q F 三点共线，且0PQ MN ⋅=，求四边形PMQN 面积的取值范围.
19．（6分）已知抛物线2
4C y x =：的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 在抛物线上，直线PF 与
抛物线C 交于另一点A .
（1）设直线MP ，MA 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +常数；
（2）①设PMA ∆的内切圆圆心为(,)G a b 的半径为r ，试用r 表示点G 的横坐标a ； ②当PMA ∆的内切圆的面积为
1
2
π时，求直线PA 的方程. 20．（6分）已知2
()2(01)f x ax x x =-≤≤，求()f x 的最小值.
21．（6分）已知两数()ln f x x kx =+． （1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点； （2）当0k =时，若()0(,)b
f x a a b R x
+
-∈恒成立，求11a e b --+的最大值． 22．（8分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A ，B ，C ，D 四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D ，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D ，其中x A x B x C x D 和y A y B y C y D 都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X ＝（x A ﹣y A ）2+（x B ﹣y B ）2+（x C ﹣y C ）2+（x D ﹣y D ）2，用X 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度． （1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．
（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率； （ⅱ）求X 的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；
（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X ＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．
23．（8分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．
乙生产线样本的频数分布表 质量指标 [15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45]
合计 频数
2
18
48
14
16
2
100
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；
（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．
()20P K k ≥ 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.
【详解】
由题知x，y满足
24
1
22
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，可行域如下图所示，
可知目标函数在点()
2,0
A处取得最小值，
故目标函数的最小值为2
z x y
=+=，
故z x y
=+的取值范围是[)
2,+∞.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
2．B
【解析】
由正弦定理及条件可得()
2sin cos sin cos sin
B A A B c C
+=，
即()
2sin2sin sin
A B C c C
+==.
sin0
C>，
∴2
c=，
由余弦定理得22222
1
2cos 2322393
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=。

∴3a =.选B 。

3．D 【解析】 【分析】
选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】
由题意G 是ABC ∆的重心，
2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1
()()
2
BA BC BC BA =-⋅+221111
52222
BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅
222
2
2
()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，
∴
91
7222
BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅22221213
()()()
332322
AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223
=-+=， 故选：D ． 【点睛】
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作． 4．C 【解析】 【分析】 【详解】
如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，。