黄冈师范学院数学专业专升本复习资料(含本校历年期末考试真题)

试卷一

一填空题

1 是矩阵的特征多项式的个特征根，，。

2 实对称矩阵的特征值均为；实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是。

3 设（该字母为花体）是维线性空间的线性变换，则是的，

。

4 ，的特征多项式为，的最小多项式为，写出矩阵的三个线性相无关的特征向量、、。

5 由标准正交基到标准正交基的过度矩阵是。正交矩阵的行列式= ，正交矩阵的实特征值= 。

6 是正定矩阵，则。

7 是正交矩阵，则 , 。

8 若是的子空间，且,则，。

9 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则它的解空间的维数是

。

二判断题

1 二次型的标准型是唯一的。

2 可逆的变换是双射。

3 度量矩阵是正定的。

4 矩阵可逆的充分必要条件是的特征值都不为零。

5 设是的子空间，则，都是的子空间。

6 属于相同特征值的特征向量是线性无关的。

7 是有限维线性空间的线性变换，则是单射当且仅当是满射。

8 特征子空间中的向量都是特征向量。

三计算题

1 在中，定义线性变换，求在基下的矩阵。

2 ，利用定理求。

3 为4级方阵，与相似，的特征值为。求行列式的值。

4 在二维欧氏空间中，是的一组基，它的度量矩阵是，求的一组标准正交基。

5 求正交矩阵使成对角矩阵，其中。

四证明题

1 设是欧氏空间的一组基，证明：

（1）如果，使。那么。

（2）如果，使对有，那么。

2 设是线性变换的两个不同的特征值，是分别属于的特征向量。证明不是的特征向量。

3 为级正定矩阵，为实对称矩阵，且满足。证明为正定矩阵。

4 在欧氏空间中，证明三角不等式。

5在欧氏空间中,证明正交向量组是线性无关的。

6 设，若是的属于的特征向量，证明是的属于特征值的特征向量。

试卷二

一写出下列矩阵所表示的二次型

（1）

（2）

二在线性空间中，子空间，,

（1），。

（2）分别写出的一组基。

（3）证明。

三，. 与是否合同？如果合同求出可逆矩阵，使得。

四已知二次型的秩为2，求。

五化二次型为标准型，并指出所作的非退化线性替换。

六在中，与为它的两组基。其中求出基到基的过度矩阵。

七一个实二次型可以分解成两个实系数的一次多项式的乘积，证明二次型的秩为1或秩等于2符号差为零。

八证明：矩阵正定的充分必要条件是存在可逆矩阵，使得。

试卷三

一用非退化的线性替换化二次型为规范性，并指出所作的非退化线性替换。

二若二次型正定，求的取值范围。

三指出下列线性空间的维数与一组基。

四证明题

1 设，证明是的子空间，并写出子空间的两组基。

2 正定，证明、也正定。

3 设分别是齐次线性方程组和齐次线性方程组的解空间，

（1）求出的一组基和维数；

（2）证明.

试卷四

一判断题

1 初等函数的原函数都是初等函数。

2 若函数f(x)在闭区间[a,b]上不连续，则f(x)在[a,b]上一定不可积。

3 凸函数一定可导。

4 任何可积函数一定是有界的。

5 实轴上的任一有界无限点至少有一个聚点。

二填空题

1 函数带有佩亚诺的麦克劳林公式为。

2 点（1，3）为曲线的拐点，则a= ,b= 。

3 设f在的某邻域内一阶可导，在二阶可导，且，。若，则f在取极值。

4 开区间（a,b）的聚点集合为。

5 若函数f在[a,b]上连续，，。

6 。

二计算题

1 2

3 4

5

四求一正整数a，使它与其倒数之和最小。

五设f(x)在[-a,a]上可积，证明：若f(x)为奇函数，则。

六求抛物线与直线所围的平面图形的面积A。

试卷五

一填空题

1 设f为闭区间[a,b]上的连续函数，且f(x)>=0,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积为。

2 （填“=”或“”）。

3 。

4 当时，无穷积分收敛。

5 可积积分有界，有界函数可积（填“一定”或“不一定”）。

6 收敛的无穷积分绝对收敛，绝对收敛的无穷积分收敛（填“一定”或“不一定”）。

7 幂级数的收敛半径是，收敛区域是。

8 级数是（填“收敛”或“发散”）。

9 函数在x=1处的泰勒展开式是。

二计算题

1 求椭圆所围的面积A。

2 利用定积分定义求极限。

3 计算积分。

4 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判别下面级数的敛散性

5 设，计算积分。

三证明题

1 利用级数收敛的必要条件，证明。

2 证明函数列，,在上一致收敛。

试卷六

一填空题

1 函数在点（1，1）处的全微分。

2 设平面曲线L为下半圆周，则曲线积分。

3 设函数z=z(x,y)由方程确定，则等于。

4 质点在变力的作用下，沿圆周逆时针运动一周，则所作的功等于。

5 改变二次积分的积分次序，则等于。

二选择题

（1）设D为矩形区域：。则下列式子中正确的是（）

A B

C D

（2）函数在条件x+y=1下的极值为（）

A B C D

（3）设区域D为，并且，则a的值为（）

A B C D

（4）已知，那么（）

A B C D

（5）极限的值为（）

A B C D

三计算题

1 设，其中,，求。

2求曲面积分，其中S是立方体表面的外侧.

3 求曲面积分，其中S为球面在第一卦限的部分。

4 计算，其中V是曲面与为界面的区域。

5 计算含参量积分的值。其中b>a>0。

四证明题

1 证明：（中值定理）若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在，使得，（是区域的面积）。