《立体几何》综合测试题.

《立体几何》综合测试题

选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1 .已知直线 m 、n 和平面a,贝U m//n 的一个必要不充分的条件是( )

(A) m//a 、n// a,

(B ) m 丄a 、n 丄a (C) m// a 、n a (D)m 、n 与a 成等角。

2. a 、b 是异面直线，以下命题正确的是(

)

(A )过不在a 、b 上的一点P , —定可以作一条直线和 a 、b 都相交; (B) 过不在a 、b 上的一点P , —定可以作一个平面和 a 、b 都平行; (C) 过a 一定可以作一个平面与 b 平行; (D )过a 一定可以作一个平面与 b 垂直。

3. 如图1，正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，EF 为异面直线 A i D 和AC 的公垂线，则直线 EF 与BD i 位置关系是(

)

(A )异面直线

(B )平行

7 ?圆柱的轴截面的对角线长为定值，为了使圆柱的侧面积最大，轴截面对角线与底面所成 的角为(

(C )相交且垂直

(D) 相交且不垂直

4 .如图2 ,三棱柱ABC —A i B i C i 中，侧棱BB i 在下底面上射影平行于 底面所成的角为30°,/ B i BC=60°,则/ ACB 的余弦应为(

)

.3

(D)

5.在直截面是直角三角形的圆锥内，有一个内接圆柱,

它的全面积等于圆锥的侧面积，此圆锥的顶点到圆柱上底的距离等于圆锥母线长的(

)

1

i

i

2 (A ) —;

(B ) — ;

(C ) — ;

(D )-

2 3 4

3

6 .已知P 为矩形ABCD 平面外一点，PA 丄平面ABCD , P 点到B 、C 、D 三点的距离分别为

5、 ■ i7、. i3，则P 点到BD 的距离是(

)

(A ) 2

(B ) 3

(C ) 4

(D) 5

C i

C 图i

图2

B i

)

(A)-

3

8 ?如果四面体的四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面一共有(

(C)

6

(D)

i2

(A ) i 个 (B ) 3 个

(C ) 4 个

(D )7 个

9 .若a 、b 是异面直线，P 是空间一点，过 P 点与a 、b 成60°角的直线有且只有3条，则异

面直线a 、 b 所成的角是( (A ) 30°

(B ) 450

(C ) 600

(D )75°

10.如图3, 正方体 ABCD — A i B i C i D i 中上，点P 在侧面BCC i B i 及 其边界上运动，并且总是保持 AP 丄BD i ，则动点P 的轨迹是(

(A )线段B i C

(B )线段BC i

(C ) BB i 中点和CC i 中点连成的线段 (D ) BC 中点和B i C i 中点连成的线段

ii . 一张长方形纸片 ABCD 沿一条折痕 EF 对折，使A 、C 两点重合，再把它展成 70°的二面

角A — EF — C ,则AC 与EF 所成的角为 (A ) 600

(B) 700

800

(D) 90 0

AE CF

i2.正四面体 ABCD 中，E 、F 分别在 AB 、CD 上，且 —— EB FD

，记f()

(其中 表示EF 和AC 所成的角， 表示EF 和BD 所成的角)

，则(

(A )

(B ) (C ) (D) f( f ( f( f( )在(0 , + a )上单调递增； )在(0 , + )上单调递减； )在(0, 1)上单调递增，f()在(1 , + a )上单调递减; )在(0 , + a )上为常数；

填空题：(本大题共4小题，每题4分，共i6分

)

高为h ,则四面体 ACB i C i 的体积为

O

i3 .如图4, P 是平面a 外一动点， A 、B 是平面a 内两定点,

i5.北纬300圈上的甲、乙两城市分别位于东经i200和西经i200线上，设地球的半径为R

千米，沿地球表面铺设石油管道，最少需要管道 ___________________ （千米）（不考虑地形和埋设深度）。

16 .在三棱锥P—ABC中，作平行于AC与BP的截面EFGH，给出下列五个条件：

①点P在平面ABC上的射影是ABC的垂心；②PC丄AB, PA丄BC :③ABC是正三角形；④

侧面ABP与侧面BCP是全等三角形；⑤BA = BC，且/ PBA=Z PBC。上述条件中能使截面EFGH 是矩形的某一条件是_______________________ （把你认为符合条件的序号都填上）

三. 解答题：（本大题共6小题，共74分）

17. 在二面角a—MN —卩中，等腰Rt △ ABC的斜边BC a, —直角边AC 卩，BC与卩

i—

所成的角的正弦为—，求AB与平面卩所成的角。（12分）

4

18. 如图6,已知正方体ABCD —A i B i C i D i的棱长为a。

（1 ）判断平面A1C1B与对角面BB1D1D是否垂直，并加以证明。

（2）求点D到平面A1C1B的距离。（12分）

19. 如图7, △ SAB是圆锥SO的轴截面，C是底面圆周上一点，/ ASC=90° , CD丄AB于D , （1）求证：平面SAC丄平面SCD ;

（2）若圆锥的底面半径为3,高为.3，求二面角B—AS—C的大小。（12分）C C1

20. 如图8,已知正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1的每一条棱长均为 a , M 为棱A i C i 上的动点 （1 ）当M 在何处时，BC//平面MB i A ，并证明之；

（2）在（1 ）下，求平面 MB i A 与平面ABC 所面的二面角的大小； （3 ）求三棱锥B — AB i M 体积的最大值。（12分）

21. 如图9,矩形ABCD 中，AB=a, AD=b, E 为CD 上的动点，将△ ADE 沿AE 折起得直二面 角D }

—AE —B ，求B 、D 、间的最短距离。（13分）

22. 如图10,正四棱锥P —ABCD 中，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 （1）求侧面FAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；

（2） 若E 是FB 中点，求异面直线 FD 与AE 所成角的正切值; （3） 在侧面FAD 上寻找一点 F ，使EF 丄侧面PBC 。 试确定F 点的位置，并加以证明（13分）

《立体几何》综合测试题答案

DCBAA ,

ABDCA , DD ；

A

B

图9

C