广东省汕头市高中信息技术信息学竞赛班数据结构专项培训教程07树

树

§7.1 树的概念

【定义】 树（Tree ）是n （n>0）个结点的有限集合T ，它满足如下两个条件：

(1) 有且仅有一个特定的称为根（Root ）的结点；

(2) 其余的结点可分为m （m ≥0）个互不相交的有限集合，其中每一个集合又都是一颗树，并称为根的子树（Sub Tree ）。

【基本术语】k

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。 结点拥有的子树数称为结点的度（degree ）。 如图7.1，A 的度为3，C 的度为1，F 的度为0。

度为0的结点称为叶子（leaf ）或终端结点。例如K 、L 、F 、G 、M 、I 、J 。 度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。

除根结点外，分支结点也称为内部结点。

树的度是树内各结点的度的最大值，如图7.1中树的度为3。

结点的子树的根称为该结点的孩子（Child ），该结点称为孩子的双亲（parent ）。

如图7.1.1，B 为A 的子树的根，则B 是A 的孩子，而A 则是B 的双亲。

同一个双亲的孩子之间互称为兄弟（sibling ），例如B 、C 、D 互为兄弟。

将这些关系进一步推广，可认为D 是M 的祖父。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。例如，M 的祖先为A 、D 、H 。

反之，结点的子树中的任一结点都称为该结点的子孙，如B 的为E 、F 、K 、L 。

5. 结点的层次（level ）是从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。

若某结点在第x 层，则其子树的根就在x+1层。

树中结点的最大层次称为树的高度或深度（depth ）。如图7.1的树的深度为4。

6. 如果将树中的结点的各子树看成从左到右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树,否则称为无序树。如图

7.1.2。

7. 森林（forest ）是m （m ≥0）棵互不相交的树的集合。

§7.2 二叉树

§7.2.1 二叉树的定义 二叉树（binary tree ）是一种树型结构，它的每个结点至多只有二棵子树（即二叉树中不存在度大于2结点），并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。 （如图7.2.1）

满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树。 满二叉树是指深度为k ，且有2k -1个结点的二叉树。

完全二叉树是指深度为k ，有n 个结点，当且仅当每一个结点都与深度为k 的满二叉树中编号从1到n 的结点一一对应时。

§7.2.2 二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i 层上至多有 ① 个结点（i ≥1）。

性质2：深度为k 的二叉树至多有 ② 个结点（k ≥1）。

性质3：对任意一棵二叉树，如果度为2的结点数为n 2，则其叶子结点数为 ③。

性质4：具有n 个结点的完全二叉树的深度为 ○A ○B ○C ○D

○E ○F ○G ○H ○I ○J

○K ○L ○

M 图7.1.1 ○A ○A ○B ○C ○C ○B 图7.1.2 两棵不同的有序树 ○A

○B ○C

○D ○E ○F ○G

○H ○I ○J

图7.2.1 ○1 ○2 ○3 ○4 ○5 ○6 ○7 ○

8 ○9 ○10 ○11 ○12 ○13 ○14 ○15 图7.2.2 满二叉树 ○1 ○2 ○3 ○4 ○5 ○6 ○7 ○8 ○9 ○10 ○11 ○12 图7.2.3 完全二叉树 ○1 ○2 ○3

○4 ○5 ○6 ○7 ○8 ○9 ○10 ○11 ○12 图7.2.4 非完全二叉树

性质5：如果对一棵有n 个结点的完全二叉树．．．．．

的结点按层序编号（每层从左到右），则对任一结点i （1≤i ≤n ），有：

① 如果i=1，则结点i 是二叉树的根；如果i>1，则其双亲结点是

i div 2 ② 如果2*i>n ，则结点i 无左孩子（结点i 为叶子结点）；否则其左孩子为2*i

③ 如果2*i+1>n ，则结点i 无右孩子，否则其右孩子为2*i+1

[参考答案及证明]：

① 2i-1 证明：利用归纳法 当i=1时，只有一个根结点，显然，2

i-1=20=1 正确；

假设对所有的j ，1≤j

由假设，第i-1层上至多有2i-1个结点，由于二叉树中的每个结点的度至多为2，故在第i 层上的最

大结点数为第i-1层上最大结点数的2倍，即2*2i-2=2i-1

② 2k -1

证明：深度为K 的二叉树的最大结点数为

③ n 2+1

证明：设叶子结点数为n 0，度为1的结点数为n 1，则该数结点的总数为：

n ＝ n 0 + n 1 + n 2 （1）

树中结点之间的连线称为分支。树中除根结点外，其余每个结点都有一个分支进入，设B 为二叉树分支的总数，则有：

B ＝ n –1 另一方面，这些分支是由度为1或2的结点射出的，所以：

B ＝ n 1 + 2n 2

所以： n – 1 ＝ n 1 + 2n 2 （2）

由式（1）和（2）得：

n 0 + n 1 + n 2 – 1 ＝ n 1 + 2n 2

即： n 0 ＝ n 2 + 1

④

证明：假设深度为K 的完全二叉树的结点数为n ，则根据性质2和完全二叉树定义有：

或

于是

∵ k 是整数 ∴ ⑤ 证明略

§7.2.2 二叉树的存储结构

1．顺序存储结构

将二叉树的所有结点按一定的次序，存储到一片连续的存储单元中。这种结构，较适用于满二叉树或近似满二叉树。

如图7.2.5中完全二叉树的存储结构如下： A B C D E F G H I J K L M

图7.2.6中的二叉树的存储结构如下：

可以看出，当二叉树较稀疏时，采用顺序存储将造成浪费。

[练习] 如果完全二叉树最多有n 层，那么存储该树的数组最少设________个单

元；

某结点存储于S[i]，则存在双亲结点的条件： if ______________________

其双亲结点位于S[ ____ ]，其左孩子结点位于S[ ____ ]； A B C D F G I M ○A ○B ○C ○D ○E ○F ○G ○H ○ ○J ○K ○L ○M 图7.2.5 ○A

○B ○C

○D ○F ○G

○I ○

M 图7.2.6