模式识别 第七章 特征提取与选择

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7.2 类别可分性判据 (3)
构造可分性判据
判据具有“距离”的某些特性， 判据具有“距离”的某些特性，即 ：
J i j > 0 ，当 i ≠ j 时；
J i j = 0 ，当 i = j 时； Ji j = J ji
(4) 对特征数目是单调不减，即加入新的特征后， 对特征数目是单调不减，即加入新的特征后， 判据值不减。 判据值不减。
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7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据 ( 四) 类内距离
1 2 d (ω i ) = Ni r (i ) r (i ) T r (i ) r (i ) ∑ (xk − m ) ( xk − m )
k =1 Ni
类内均方欧氏距离
类内均方距离也可定义为： 类内均方距离也可定义为：
k =1 Ni
i = 1,2, L , c
c r r m = ∑ Pi m ( i ) 各类模式的总体均值矢量
i =1
为相应类的先验概率， Pi 为相应类的先验概率，当用统计量代替先验概 率时，总体均值矢量可表示为： 率时，总体均值矢量可表示为：
c c r r (i ) N i r (i ) 1 c Ni r ( i ) 1 N r m = ∑ Pi m = ∑ m = ∑∑ xk = ∑ xl N i =1 k =1 N l =1 i =1 i =1 N
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第七章 特征提取与选择
7.2
类别可分性判据
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7.2 类别可分性判据
构造可分性判据
为确立特征提取和选择的准则： 为确立特征提取和选择的准则：引入类别可分性 判据，来刻划特征对分类的贡献。 判据，来刻划特征对分类的贡献。为此希望所构造 的可分性判据满足下列要求： 的可分性判据满足下列要求： (1) 与误判概率(或误分概率的上界、下界)有单调关系。 与误判概率(或误分概率的上界、下界)有单调关系。 (2) 当特征相互独立时，判据有可加性， 当特征相互独立时，判据有可加性，即 ：
k =1 l =1
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Ni
7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据 (七)各类模式之间的总的均方距离
c r 1 c 1 2 d ( x ) = ∑ Pi ∑ Pj 2 i =1 j =1 N i N j
r (i ) r ( j ) ∑∑ d ( xk ,xl )
2 k =1 l =1
r r (i ) 1 d ( x , {a k }) = Ni
2
r r (i ) ∑ d ( x, ak )
2 k =1
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Ni
7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据 ( 三) 类内及总体的均值矢量
r (i ) 1 类的均值矢量： 类的均值矢量： m = Ni r (i ) ∑ xk
在特征空间中，当类内模式较密聚， 在特征空间中，当类内模式较密聚，而不同类的 模式相距较远时，从直觉上我们知道分类就较容 模式相距较远时， 易，由各判据的构造可知，这种情况下所算得的 由各判据的构造可知， 判据值也较大。 判据值也较大。由判据的构造我们还可以初步了 解运用这类判据的原则和方法。 解运用这类判据的原则和方法。
r r s 1− s r J C = − ln ∫ p( x ω1 ) p( x ω 2 ) dx
Ω
∆ J C (ω1 , ω 2 ;s ) ∆ J C ( s;x1 , x2 , L , xn )∆ J C ( s ) 0 < s <1
k =1
Ni
r (i ) r r (i ) r T 类间离差 S B = ∑ Pi ( m − m )( m − m )
r r r T 1 N r 总体离差 ST = ∑ ( xl − m )( x l − m ) = SW + S B N l =1
易导出
r d ( x ) = Tr[ SW + S B ] = Tr[ S T ]
1 ( d c (ωi ) = d 2 ( xki ) , xl( i ) ) ∑∑ N i ( N i − 1) k =1 l =1
2 Ni Ni
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7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据 ( 五) 类内离差矩阵
Sω i
( 六)
1 = Ni
r (i ) r (i ) r (i ) r (i ) T ∑ (xk − m )( xk − m )
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7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据 ( 一) 点与点的距离
1/ 2 r r T r r 1/ 2 n r r 2 d (a , b ) = (a − b ) (a − b ) = ∑ (a k − bk ) k =1
[
]
( 二)
点到点集的距离 用均方欧氏距离表示 均方欧氏距离表示
Ω
∫
1
表示特征空间。在最小误判概率准则下， 式中 Ω 表示特征空间。在最小误判概率准则下，误判 概率有
P0 ( e ) ≤ [P ( ω 1 ) P ( ω 2 ) ] exp [− J B ]
22
1 2
7.2.2基于类的概率密度函数的可分性判据 7.2.2基于类的概率密度函数的可分性判据
（二） Chernoff 判据 ( J C )
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7.2 类别可分性判据
7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据
一般来讲， 一般来讲，不同类的模式可以被区分是由于它们 所属类别在特征空间中的类域是不同的区域。 所属类别在特征空间中的类域是不同的区域。 显然，区域重叠的部分越小或完全没有重叠， 显然，区域重叠的部分越小或完全没有重叠，类 别的可分性就越好。 别的可分性就越好。 因此可以用距离或离差测度（散度） 因此可以用距离或离差测度（散度）来构造类别 的可分性判据。 的可分性判据。
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7.2.2基于类的概率密度函数的可分性判据 7.2.2基于类的概率密度函数的可分性判据 可用两类概密函数的重叠程度来度量可分性， 可用两类概密函数的重叠程度来度量可分性， 构造基于类概密的可分性判据。 构造基于类概密的可分性判据。此处的所谓重叠 程度是指两个概密函数相似的程度。 程度是指两个概密函数相似的程度。
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7.2 类别可分性判据
7.2.2基于类的概率密度函数的可分性判据 7.2.2基于类的概率密度函数的可分性判据
考虑两类问题。上图是一维的两类概率分布密度。 考虑两类问题。上图是一维的两类概率分布密度。 表示两类是完全可分的。 (a) 表示两类是完全可分的。 (b)是完全不可分的。 (b)是完全不可分的。 是完全不可分的
[
]
个原始特征中的任意d 个特征， 式中xi1 , xi 2 , L , xid 是n 个原始特征中的任意 个特征， 上式表示直接寻找n 维特征空间中的d 维子空间。 上式表示直接寻找 维特征空间中的 维子空间。 主要方法有：分支定界法、 主要方法有：分支定界法、用回归建模技术确定相 关特征等方法。 关特征等方法。 等方法
分类识别的正确率取决于对象的表示、 分类识别的正确率取决于对象的表示、训练学 习和分类识别算法， 习和分类识别算法，我们在前面各章的介绍中详细 讨论了后两方面的内容。 讨论了后两方面的内容。本章介绍的特征提取与选 择问题则是对象表示的一个关键问题。 择问题则是对象表示的一个关键问题。
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第七章 特征提取与选择
J i j ( x1 , x 2 ,L, x d ) = ∑ J i j ( x k )
k =1 d
x 式中， 是对不同种类特征的测量值， 式中， 1 , x 2 ,L , x d 是对不同种类特征的测量值，Ji j (⋅)
表示使用括号中特征时第i 类与第j类可分性判据函数 类可分性判据函数。 表示使用括号中特征时第 类与第 类可分性判据函数。
7.1概述 概述
通常在得到实际对象的若干具体特征之 后，再由这些原始特征产生出对分类识别最 有效、数目最少的特征， 有效、数目最少的特征，这就是特征提取与 选择的任务。从本质上讲， 选择的任务。从本质上讲，我们的目的是使 在最小维数特征空间中异类模式点相距较远 类间距离较大）， ），而同类模式点相距较近 （类间距离较大），而同类模式点相距较近 类内距离较小）。 （类内距离较小）。
Ni
Nj
当取欧氏距离时，总的均方距离为 当取欧氏距离时， N N c c r (i ) r ( j ) T r (i ) r ( j ) 1 1 2 r d ( x ) = ∑ Pi ∑ Pj ∑∑ ( xk − xl ) ( xk − xl ) 2 i =1 j =1 N i N j k =1 l =1
2
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7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据
J1 = Tr S S B
[
−1 W
]
Tr[ S B ] J3 = Tr[ SW ]
SB J 2 = ln SW SW + S B ST J4 = = SW SW
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7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据
k =1
Ni
显然 两类之间的距离
1 2 d (ω i , ω j ) = Ni N j
Ni Nj 2 k =1 l =1
d (ω i ) = Tr[ Sωi ]
2
r (i ) r ( j ) ∑∑ d ( xk , xl )
Nj
1 d (ω i , ω j ) = Ni N j
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r (i ) r ( j ) T r (i ) r ( j ) ∑∑ ( xk − xl ) ( xk − xl )
i j
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7.2.1基于几何距离的可分性判据 7.2.1基于几何距离的可分性判据 ( 八) 多类情况下总的类内、 多类情况下总的类内、类间及总体离差矩阵