事件的关系及运算

§1.3事件的关系及运算

⑴如果事件A 的发生必然导致事件B 的发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记作

B A A B ⊂⊃或.

⑵如果事件B 包含事件A ，且事件A 包含事件B ，即

B A A B ⊂⊃且；

也就是说，二事件A 与B 中任一事件发生必然导致另一事件的发生，则称事件A 与B 相等，记作

B A =.

⑶“二事件A 与B 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件A 与B 的并，记作

B A .

“n 个事件n

A A A ,,,21 中至少有一事件发生”这一事件叫做事件n

A A A ,,,21 的并，记作 )(121i n

i n A A A A = 简记为. ⑷“二事件A 与B 都发生”这一事件叫做事件A 与事件B 的交，记作

。或AB B A

“n 个事件n A A A ,,,21 都发生”这一事件叫做n A A A ,,,21 的交，记作

).(12121i n

i n n A A A A A A A = 简记为或

⑸如果二事件A 与B 不可能同时发生，即

,φ=AB

则称二事件A 与B 是互不相容的(或互斥的).

通常把两个互不相容事件A 与B 的并记作

B A +.

如果n 个事件n

A A A ,,,21 中任意两个事件不可能同时发生，即

),1(n j i A A j i ≤≤≤=φ

则称这n 个事件是互不相容的(或互斥的).

通常把n 个互不相容事件n

A A A ,,,21 的并记作 ).(121∑=+++n

i i n A A A A 简记为

⑹如果二事件A 与B 是互不相容的，并且它们中必有一事件发生，即二事件A 与B 中有且仅有一事件发生，即

,Ω=+=B A AB 且φ

则称事件A 与事件B 是对立的(或互逆的)，称事件B 是事件A 的对立事件(或逆事件)，同样事件A 也是事件B 的对立事件(或逆事件)，记作

-

-==B A A B 或. 对于任意的事件A ，我们有

.,,

Ω=+==----

A A A A A A φ

⑺如果n 个事件n

A A A ,,,21 中至少有一个事件一定发生，即

,1Ω==i n i A

则称这个事件为完备事件组.

以后对我们特别重要的是互不相容的完备事件组.设n 个事件n

A A A ,,,21 满足下面的关系式: ⎪⎩⎪⎨⎧Ω=≤<≤=∑=,),1(1

n i i j i A n j i A A φ 则称这n 个事件构成互不相容的完备事件组.

显然，样本空间Ω中所有的基本事件构成互不相容的完备事件组.

如果把事件A (或B )所包含的基本事件构成的集合简称为集合A (或B )，则事件的关系及运算可以用集合的关系及运算表述如下:

与集合运算性质类似，事件的运算具有下面的性质.对于任意的事件A ，C B ,有

⑴交换律:

.

,BA AB A B B A == ⑵结合律:

).

()(),()(BC A C AB C B A C B A == ⑶分配律:

).

)(()(,)(C A B A BC A AC AB C B A == ⑷德摩根(De Morgen)定律：

.,___________

___________B A AB B A B A ==

德摩根(De Morgen)定律可以推广到多个事件的情形.对于任意的n 个事件n

A A A ,,,21 ，有 i i n i i i n i A A A A n i n i ____

1_____________1_________

1,1

======

由此可见，德摩根(De Morgen)定律表明:若干个事件的并的对立事件就是各个事件的对立事件的交，若干个

事件的交的对立事件就是各个事件的对立事件的并.