(完整版)二次函数知识点总结和题型总结

二次函数知识点总结和题型总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2

y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。

这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

2. 二次函数

2

y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

⑵ a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题：

例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2

y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式

y=ax 2

+bx+c 则最值为4ac-b 24a

）

1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标

()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质例题：

1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。 2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2

+8x －2； （3）y=－14

x 2+x －4

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

4、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得 图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

5、把抛物线y=－2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者

通过配方可以得到前者，即2

2424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++ ⎪⎝⎭

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点

画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，

，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，． 当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

>-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值

244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b

x a

=-

，顶点坐标为2424b ac b a

a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2

b x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．