辅助角公式及其应用
高中数学必修四-二倍角公式及辅助角公式
二倍角公式及辅助角公式知识集结知识元辅助角公式的简单应用知识讲解辅助角公式一、辅助角公式及其应用函数可化为其中，，，此公式称为辅助角公式，通过辅助角公式可以将函数化为标准型的形式，从而解决许多相关问题，比如值域、最值、对称性、单调区间和周期等．二、公式汇编1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2、正弦、余弦和正切的二倍角公式（1）；（2）；（3）.3、辅助角公式.例题精讲辅助角公式的简单应用例1.函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．（0，0）D．例2.已知函数的图象关于直线对称，若f（x1）f（x2）=-4，则|x1-x2|的最小值为（）A．B．C．4D．例3.函数f（x）=sin2x+cos2x的对称中心坐标为（）A．（+，0）（k∈Z）B．（+，0）（k∈Z）C．（+kπ，0）（k∈Z）D．（+kπ，0）（k∈Z）利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值知识讲解二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角公式及其推导1、正弦二倍角公式推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，化简得：，此公式称为正弦的二倍角公式，记作.2、余弦二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：,又∵，，∴，此公式称为余弦的二倍角公式，记作.3、正切二倍角公式的推导∵，由角的任意性可将上式中的用替换：，此公式称为正切的二倍角公式，记作.二倍角公式的注意事项：1、在公式、和中，当时，就可以得到公式、和.在公式和中，角没有限制，在公式中，只有当时，公式才成立.2、二倍角公式不仅可用于的2倍情况，还可以运用于诸如将作为的2倍，将作为的二倍等.例如：.3、在一般情况下，，如.当且仅当时，才成立.同样，一般情况下，，.例题精讲利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值例1.若sin66°=m，则cos12°=（）A．B．C．D．例2.（sin15°+cos15°）2的值为（）A．B．C．D．例3.已知，则=（）A．B．1C．2D．利用二倍角公式进行化简知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行化简例1.若，α是第二象限的角，则的值为（）A．B．2C．4D．-4例2.cos15°∙cos75°=（）A．B．C．D．例3.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5利用二倍角公式进行给值求值运算知识讲解1．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．例题精讲利用二倍角公式进行给值求值运算例1.若4cosα+1=0（0<α<π），则sin2α=（）A．B．C．D．例2.已知，则tan2θ=（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，若，则sin2A的值为（）A．B．C．D．利用半角公式求值知识讲解一、半角公式及其推导1、正弦半角公式由二倍角公式得．2、余弦半角公式由二倍角公式得．3、正切半角公式由正弦半角公式和余弦半角公式得，∴，∴．综上：．半角公式说明：1、和中的角是任意角，中的角要求．要注意半角是相对的，不能认为才是半角，比如是的半角，是的半角等．2、半角公式的结构特点：上述半角公式中由于含有根式，因此也成为半角公式无理式．其特点是用表示、和．可以将半角公式看作倍角公式的变形．3、正负号的选取：它取决于、和的正负，而不是取决于的正负，取正负号的关键是判断出角终边所在的象限，从而确定、和的符号，当角的范围不明确时，需要在根号前保留正负号．例题精讲利用半角公式求值例1.已知cosα=，α∈（），则cos等于（）A．B．-C．D．-例2.如果|cosθ|=，<θ<4π，那么cos的值等于（）A．B．-C．D．-例3.已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα=0，则tan=（）A．2B．C．-2D．-降幂升角公式的简单应用知识讲解降幂升角公式及其推导1、升角公式由得．2、降幂升角公式由得；由得．例题精讲降幂升角公式的简单应用例1.已知tan A=2，则=（）A．B．C．3D．5例2.cos475°-sin475°的值为（）A．-B．C．-D．例3.已知tanα=3，则=（）A．2B．-2C．3D．-3三角函数关系式的综合应用知识讲解利用三角函数关系处理综合性问题。
高一T同步(辅助角公式及其应用2星)
同步：辅助角公式及其应用 (★★)教学目标辅助角公式是三角函数中的两角和与差的正弦或预先公式的变形，是求与三角有关的函数的周期、单调区间、图像变换及最值的重要变换手段。
灵活地使用它对理解三角函数的知识有着重要的意义，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为()sin y A x k ωϕ=++的形式.本节课教学目标是熟练运用辅助角公式.导入辅助角公式的另一个种推到方案：首先要说明，若0a =或0b =时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有0ab ≠.1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标, b 为纵坐标描一点P(a , b )如右图所示,则总有一个角ϕ,它的终边经过点P.设OP =r ,r =22r a b =+,由三角函数的定义知22sin b br a bϕ==+, 22cos a ar a bϕ==+. 所以sin cos a b θθ+=2222cos sin sin cos a b a b ϕθϕθ+++=()22sin a b θϕ++.(其中tan b aϕ=)知识梳理1.辅助角公式： 22sin cos sin()a x b x a b x ϕ+=++（其中22sin b a b ϕ=+ , 22cos a a b ϕ=+ ,tan baϕ=, ）2.应用辅助角公式的步骤：一、“提”常数（即提取22a b +）222222sin cos (sin cos )a b a x b x a b xxa ba b+=++++rOϕ的终边 P(a ,b )yx∙二、“定”ϕ值 令22sin b a b ϕ=+ , 22cos a a b ϕ=+，于是得到22sin cos sin()a x b x a b x ϕ+=++三、“用”处多应用公式 22sin cos sin()a x b x a b x ϕ+=++ 可求最值（值域）、周期、单调区间、对称轴及对称点等。
精品辅助角公式及应用
在学习过程中，我发现自己在某些方面还存在不足，如对某些复杂问题的理解不够深入、解题速度不够 快等。为了改进这些不足，我将继续加强学习，多做练习题，提高自己的解题能力和思维水平。
对未来学习的建议
01
深入学习相关数学知识
为了更好地理解和应用辅助角公式，建议同学们深入学习相关的数学知
识，如三角函数的基本性质、三角恒等式等。
辅助角公式推导过程
推导思路
通过三角函数的基本性质和变换公式，逐步推导出辅助角公 式。
具体步骤
首先，根据三角函数的基本性质，将原函数表达式进行化简 ；然后，通过引入辅助角，将化简后的表达式进一步转化为 简单的三角函数形式；最后，根据已知条件求解辅助角，从 而得到原函数的解。
02
辅助角公式在三角函数中的应用
03
辅助角公式在解三角形中的应用
利用辅助角求三角形内角
辅助角公式
通过引入辅助角，将三角形的内 角和公式转化为与辅助角相关的 表达式，从而求解三角形内角。
应用场景
在已知三角形两边及夹角或已知三 角形三边长度的情况下，可以利用 辅助角公式求解三角形的内角。
求解步骤
首先根据已知条件选择合适的辅助 角，然后利用三角函数性质及三角 形内角和定理，构建方程并求解。
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感谢观看
求解三角函数值
已知三角函数值求角度
利用辅助角公式，可以将复杂的三角 函数表达式转化为简单的形式，从而 方便求解对应角度。
已知角度求三角函数值
通过辅助角公式，可以将角度转化为 与特殊角相关的表达式，进而求出对 应的三角函数值。
判断三角函数单调性
判断单调增区间
利用辅助角公式，可以确定三角函数在哪些区间内是单调增加的，从而方便进行 相关的数学分析和计算。
3关于辅助角公式的一个定理及其应用
3关于辅助角公式的一个定理及其应用定理：辅助角公式在三角形ABC中，设∠A=α，∠B=β，∠C=γ，辅助角公式指出：sin α = sin(β+γ)sin β = sin(α+γ)sin γ = sin(α+β)证明：由三角形的内角和可知：α+β+γ=180°根据三角函数的定义：sin α = BC / AC，sin β = AC / BC，sin γ = BC / AC而辅助角公式又可以写作：sin α = sin(β+γ)，sin β =sin(α+γ)，sin γ = sin(α+β)因此，我们只需要证明两个三角形的对边与邻边比值相等即可。
以辅助角公式的第一个式子sin α = sin(β+γ)为例：根据三角函数的定义，我们有：BC / AC = sin α = sin(β+γ)进一步展开，sin(β+γ) = sin β cos γ + cos β sin γ代入三角形 ABC 中的对应边长关系，得到：BC/AC = AC/BC * cos γ + BC/AC * sin γ得出两边通分，化简得：(BC^2 - AC^2) / AC * BC = 2 * BC * AC * sin γ进一步变换为：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin γ再将γ角所对的边记为a，则有：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin a我们知道在三角形ABC中，AC和BC是确定的，而辅助角公式表明，只要两个角度α、β或γ中的一个改变，那么第三个角度的值也会发生相应改变。
而当γ角度改变时，我们可以由辅助角公式推导得到较为简洁的表达式：AC^2 - BC^2 = 2 * AC * BC * sin γ应用：辅助角公式在解决三角形问题时有广泛的应用。
以下是三个辅助角公式的一些具体应用。
应用1：角度相同的三角形当两个三角形的一个角度相等时，可以利用辅助角公式求解对应的边长。
三角函数辅助角公式总结
三角函数辅助角公式总结三角函数是高中数学中一个很重要的模块，它有着多种用途。
三角函数辅助角公式在计算三角函数有着重要作用，本文将总结三角函数辅助角公式的特点及使用方法。
首先，三角函数辅助角公式是一组用于计算三角函数的公式。
它包括正弦定理、余弦定理、正割定理和余割定理四个主要公式。
这四种定理各自有以下形式：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理：a = b + c 2bc cos A正割定理：tanA/a = tanB/b = tanC/c余割定理：a = b + c 2bc tan A其次，三角函数辅助角公式的使用方法也是本文的重点。
首先，要使用三角函数辅助角公式，必须把直角三角形变换成一般三角形，因为三角函数辅助角公式只适用于一般的三角形，而不适用于直角三角形。
然后，根据所给的条件，我们可以计算出相应的角度值。
例如，假设给出等腰直角三角形ABC，已知a=6、b=6，我们可以使用余弦定理来计算出C角的度数。
根据余弦定理：a = b + c 2bc cosA，可以求得：6 = 6 + c 12*cosA，因此，由于 cos A = 0.5，所以c=12/cosA，C角度数=cos1(0.5)=60°。
最后，要使用三角函数辅助角公式，必须要正确使用正弦、余弦、正割和余割的运算符号，以及在一般三角形中的a、b、c和A、B、C的表示方法。
综上所述，三角函数辅助角公式是一组用于计算三角函数的公式，其包括正弦定理、余弦定理、正割定理和余割定理四个主要公式。
为了正确使用三角函数辅助角公式，我们必须把直角三角形变换成一般三角形，并正确使用正弦、余弦、正割和余割的运算符号，以及在一般三角形中的a、b、c和A、B、C的表示方法。
三角函数中辅助角公式的应用
辅助角公式在高考三角题中得应用对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b 222222(sin cos )··。
上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由a a bb a b2222+=+=cos ,sin θθ来确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期例1 求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
解：)6x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x2sin 3)2x 2sin(x2sin 3)4x sin()4x cos(2y π+=+=+π+=+π+π+= 所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值例2. 已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。
若x ∈[,]02π，求f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224sin()x π。
由0242434≤≤≤≤x x ππππ⇒--。
当244x -=-ππ，即x=0时，sin()24x -π最小值-22； 当24238x x -==πππ，即时sin()24x -π取最大值1。
浅谈辅助角公式的应用
浅谈辅助角公式的应用辅助角公式是在初中数学中常常用到的一个重要的角公式，也是解决三角函数相关题目的一个重要方法。
它主要用于将给定的三角函数值转化为其他数值，或者将角度转化为其他角度。
下面我将从几个方面来谈一谈辅助角公式的应用。
首先，辅助角公式可以用来计算三角函数值。
在解决一些三角函数相关的问题时，通常会给出一些角的三角函数值，需要求出另一个角的三角函数值。
这时可以利用辅助角公式将这个已知角转化为其他角，再通过已知公式计算出所需的三角函数值。
例如，在直角三角形中，已知一个角的正弦值为1/2，需要求出这个角的余弦值。
我们知道，在一个直角三角形中，有一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，即sinA=cosB。
因此，可以利用辅助角公式sin(A)=cos(90-A)，将已知角的正弦值转化为余弦值，即cos(90-A)=1/2，解方程可得A=60°，所以所求的角的余弦值为cos(60°)=1/2其次，辅助角公式可以用来求解三角方程。
三角方程是指含有未知角的三角函数的方程。
解三角方程的关键是要将未知角转化为已知角，以便求解。
辅助角公式可以帮助我们将未知角转化为已知角，并进一步简化方程的求解过程。
例如，求解sinx=1/2的解。
我们可以通过辅助角公式sin(A)=sin(180-A)，将方程转化为sin(A)=1/2的解。
然后再通过调整角度，将未知角A转化为已知角，例如，我们可以将A调整为30°或150°。
这样，就可以通过已知三角函数值解方程，得到x=30°或x=150°。
此外，辅助角公式还可以用来计算复合角的三角函数值。
复合角是指两个或多个角度按照一定的方式相加或相减而形成的新角。
当计算复合角的三角函数值时，可以利用辅助角公式将复合角转化为简单角的和或差，便于计算。
例如，要求sin(60°+30°)的值，可以利用辅助角公式cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，将复合角转化为正弦和余弦的乘积，即sin(60°+30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°，然后再通过已知角的三角函数值计算出所需的复合角的三角函数值。
辅助角公式及应用课件
利用代数方法推导
总结词
通过代数方法，我们可以将三角函数问 题转化为代数问题，从而推导出辅助角 公式。
VS
详细描述
利用代数方法，我们可以将三角函数问题 转化为代数问题。通过设置方程并求解， 我们可以得到辅助角公式的一般形式。这 种方法需要一定的代数基础和技巧，但适 用范围较广，可以处理各种复杂的三角函 数问题。
等。
在三角函数求值中的应用
辅助角公式可以用于求解某些特定类型的三角函数值，例如求正弦、余弦或正切值 。
通过使用辅助角公式，可以将复杂的三角函数问题转化为更易于解决的形式，从而 快速准确地找到答案。
辅助角公式还可以用于求解一些特殊角度的三角函数值，例如30度、45度或60度等 。
在三角函数图像变换中的应用
辅助角公式及应用课 件
汇报人：
202X-01-04
目录
CONTENTS
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的注意事项 • 辅助角公式的扩展 • 习题与解答
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于将一个复杂的三角函数式转化 为易于处理的形式的公式。它通过引入一个辅助角，将原函 数表示为简单三角函数的组合。
辅助角公式可以用于对三角函 数图像进行平移、伸缩或翻转 等变换操作。
通过使用辅助角公式，可以将 图像变换问题转化为数学表达 式，从而更方便地进行图像处 理和操作。
辅助角公式还可以用于研究三 角函数图像的性质和特点，例 如周期性、对称性或极值点等 。
04
辅助角公式的注意 事项
公式的适用范围
适用角度范围
公式的误差分析
近似误差
辅助角公式在应用过程中会产生近似误差，主要来源于将复杂的 三角函数转化为简单的三角函数。
高一数学专题辅导讲义7辅助角公式及其应用
高一数学补充讲义7：辅助角公式及其应用一．问题提出：三角恒等变换在函数中的常见问题、方法及注意点(1)常见问题：求三角函数的周期、值域、对称轴、单调区间等.(2)常见方法：利用辅助角公式把函数化成一个角的三角函数的形式，进而求以上问题.在变换过程中，常用换元、逆用公式等数学思想.二．教学过程：1．辅助角公式 引例：化简(1) （2（3公式：,b a b a ϕϕ其中所在象限由的正负决定，且tan = 推导：化为一个角的三角函数形式说明：1）对形如cos sin (,,y a x b x a b ωωω=+均为非零常数）的三角式，可以转化为形如sin()y A x ωϕ=+的三角式，使问题得到简化，体现了化归思想。
2）类似的cos sin a x b x ωω+也可以转化为cos()A x ωϕ±的形式，应用时可灵活处理3)对定义R 上的函数cos sin y a x b x ωω=+ 思考：若6sin ),(,),x x x ϕϕππϕ-=+∈-求的值sin cos a x b x +x x ⎫=+⎪⎭cos sin ϕϕ==（令)sin cos cos sin x x ϕϕ+=()x ϕ=+sin cos a x b x +()x ϕ=+1sin cos 22x x -cos x x+cos )x x -sin cos a x b x +2．应用例题讲解例1．化简下列各式，并求所给函数的最小正周期及值域()1cos y x x =()2y x x =()2312sin cos y x x x =-+()4sin(2)sin 23y x x π=-+变式：1．已知()cos ,(0,)f x x x x π=+∈，求()f x 的值域．2．分别求()3sin 4cos f x x x =+ 在下列范围的值域： ()1x R ∈； ()202x π≤≤．例2．已知()sin 2cos 2f x x a x =+的一条对称轴方程为8x π=-，求a 的值．变式：设函数()sin cos (0)f x a x b x ωωω=+>，已知函数()f x 的最小正周期为π，且当6x π=时()f x 取最大值为2，求满足()1f x >的x 的取值范围。
辅助角的三大不同的用途
辅助角的三大不同的用途一、辅助角公式：asin x+bcos x=错误!未找到引用源。
(sin x·错误!+cos x·错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
sin(x+ϕ)(其中ϕ为辅助角);二、辅助角的三大用途：1.：等于“特殊值”时，直"tanϕ"接收拢成常规三角函数【典例】(12分)(2013年高考山东卷,文18)设函数f(x)=错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为错误!未找到引用源。
.(1)求ω的值;(2)求f(x)在区间[π,3π错误!未找到引用源。
]上的2最大值和最小值.解:(1)f(x)=错误!错误!未找到引用源。
sin2ωx-sin ωxcos ωx=错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
1cos22x ω--错误!未找到引用源。
sin 2ωx=错误!未找到引用源。
cos 2ωx-错误!未找到引用源。
sin 2ωx=-sin(2ωx-错误!未找到引用源。
).…………………………4分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为错误!未找到引用源。
,又ω>0,所以错误!未找到引用源。
2π2ω=4×错误!未找到引用源。
, 因此ω=1.…………………………………………6分”的取值范围达目的：的具体值，以便求出“写出注意的三角函数式”，但要收拢成“含不等于“特殊值”时，ϕϕϕϕtan tan (2)【典例】 在△ABC 中,B=60°,AC=错误!未找到引用源。
,则AB+2BC 的最大值为 .解析:设AB=c,BC=a,AC=b,则由正弦定理得,错误!未找到引用源。
sin cC =错误!未找到引用源。
,∴c=2sin C.同理a=2sin A,∴AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin 错误!未找到引用源。
三角函数辅角公式及应用
三角函数辅角公式及应用
asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
1.辅助角公式是一种高等三角函数公式，其主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。
该公式已被写入中学课本，表达式为asinx+bcosx=√(a+b)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。
在使用该公式时，无论用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，分母的位置永远是用来表示函数名称的系数。
2. 三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
3. 生活中常见的停车场设计就会用到三角函数，比如在一些形状或地形较为特殊的地段，要规划停车场的话，需要用三角函数计算车位和可用车场的面积。
食品的外包装问题也是三角函数运用较多的领域，尤其是大包装内部还有独立的小包装，就需要通过三角函数计算出外包装最佳的尺寸，做到既能容纳所有食品，还能做到用料最少。
4、三角函数的辅助角公式：。
三角函数cos辅助角公式
三角函数cos辅助角公式三角函数是数学中的重要概念，cos函数是其中一个重要的三角函数。
在使用cos函数的过程中，辅助角公式是一个十分重要的概念，特别是对于求解三角方程、证明三角恒等式等问题非常有帮助。
在本文中，我们将详细介绍cos辅助角公式，并讲解其应用于解决问题的具体步骤。
首先，我们先来回顾一下cos函数的定义：cosθ等于直角三角形斜边长与斜边和横坐标之比。
在单位圆中，cosθ也等于角θ对应的弧长与单位圆半径之比。
当我们面对一些复杂的三角函数问题时，通过引入辅助角来简化问题是一种常见的方法，也是解决问题的有效途径之一、辅助角公式即为cos(180°-θ) = -cosθ，它的推导思路之一是用钝角来替代θ，从而将原始问题转化为了一个更简单的问题。
这一公式通常应用于求解三角方程和证明三角恒等式等问题。
下面，我们以一些具体的例子，来说明cos辅助角公式的应用。
例1：求解三角方程cos3x = sinx解：首先，我们将cos3x用cos(x)的多角公式展开：cos3x = 4cos³(x) - 3cos(x)则原方程可改写为：4cos³x - 3cosx - sinx = 0接下来，我们定义函数f(x) = 4cos³x - 3cosx - sinx，并使用cos辅助角公式将cos³x转化为(-cosx)³。
则有：f(x) = -4cos³x - 3cosx - sinx= -4(-cosx)³ - 3cosx - sinx令t = -cosx，则有：f(t) = -4t³ - 3t - st我们可以通过求导的方法，找到函数f(t)的极值点，从而解得方程的解。
这个过程中，使用了常见的求导技巧和辅助角公式，最终可以得到方程的解。
例2：证明三角恒等式cos(x-y)cos(y-z)cos(z-x) + sin(x-y)sin(y-z)sin(z-x) = 1解：我们将左侧的三角函数展开，并利用cos辅助角公式将cos(x-y)等于-cos(y-x)，sin(x-y)等于sin(y-x)，以及cos辅助角公式cos(180°-θ) = -cosθ，sin(180°-θ) = sinθ等的性质，有：左侧 = cos(x-y)cos(y-z)cos(z-x) - sin(x-y)sin(y-z)sin(z-x)= -cos(y-x)cos(z-y)cos(x-z) - sin(y-x)sin(z-y)sin(x-z)= -cos(y-x)cos(z-y)cos(z-x) - sin(y-x)sin(z-y)sin(x-z)= -cos(y-x)cos(z-y)(-cos(x-z)) - sin(y-x)sin(z-y)sin(x-z)= cos(y-x)cos(z-y)cos(x-z) + sin(y-x)sin(z-y)sin(x-z)=1通过引入辅助角，并利用cos辅助角公式，我们将左侧表达式化简为1，证明了该三角恒等式成立。
辅助角公式及其推导过程
辅助角公式及其推导过程辅助角公式是解决三角函数运算中角度变化的一种方法，它是通过将一个角转换成一个补角或余角，从而简化计算的过程，减轻难度。
本文将介绍辅助角公式的概念、应用以及推导过程。
一、辅助角公式概念辅助角公式是数学中三角函数计算中常使用的一种转换公式。
在三角函数计算中，有时我们需要将一个角度转换成另一个角度，从而使得计算更加简单。
这时就可以用到辅助角公式，将原来的角度转换成一个补角或余角，从而达到计算的目的。
辅助角公式的应用：1、sin(a+b) = sinacosb + cosasinb2、cos(a+b) = cosacosb - sinasinb3、tan(a+b) = (tana + tanb)/(1 - tana tanb)4、sin(a-b) = sinacosb - cosasinb5、cos(a-b) = cosacosb + sinasinb6、tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tana tanb)以上公式都是辅助角公式，我们可以通过它们将一个角度转换成另一个角度来达到简化计算的目的。
二、辅助角公式的推导过程下面我们以sin(a+b)和cos(a+b)的推导过程为例，阐述辅助角公式的推导过程。
1、sin(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：sin(a+b) = sin[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] + cos[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果把b用余角代替，即b=90-a，则sin(a+b) = sin[(a/2)+(90-a)/2)]cos[(a/2)-(90-a)/2)] + cos[(a/2)+(90-a)/2)]sin[(a/2)-(90-a)/2)]= sin(45)cos((a-45)/2) + cos(45)sin((a-45)/2)= (√2/2)cos((a-45)/2) + (√2/2)sin((a-45)/2)= √2/2(sin(a/2) + cos(a/2))即sin(a+b) = sinacosb + cosasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则sin(a+b) = sin[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] + cos[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = cos(45)cos((45-b)/2) + sin(45)sin((45-b)/2)= √2/2(cos(b/2) - sin(b/2))即sin(a+b) = cosacosb - sinasinb2、cos(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：cos(a+b) = cos[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] - sin[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果我们把b用余角代替，即b=90-a，则cos(a+b) = cos[(a/2)+(90-a)/2]cos[(a/2)-(90-a)/2] - sin[(a/2)+(90-a)/2]sin[(a/2)-(90-a)/2]= cos(45)cos((a-45)/2) - sin(45)sin((a-45)/2)= √2/2(cos(a/2)-sin(a/2))即cos(a+b) = cosacosb - sinasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则cos(a+b) = cos[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] - sin[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = sin(45)cos((45-b)/2) - cos(45)sin((45-b)/2)= √2/2(sin(b/2)+cos(b/2))即cos(a+b) = sinacosb + cosasinb三、结论辅助角公式是数学中必备的工具之一，通过它们可以简化计算过程，便于我们在实际应用中更快捷地求出正弦、余弦、正切等三角函数的值。
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
[ 感谢观看 ]
辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
精品 辅助角公式及应用
达标测评
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
2已知函数
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经 过怎样的平移和伸缩变换得到?
课堂小结
一个公式：
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题
⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
资料整理
仅供参考,用药方面谨遵医嘱
精品 辅助角公式及应用
通过前面四个题目我们发现，是不是任何一个同角的异名函数可以转换成一个角的三角函数值呢？如果能，则又是怎么转化的呢则这节课我们就来研究一下这个问题。
思考：
辅助角公式的推导及简单应用
认定目标
1、了解辅助角公式 的推导过程
3、会利用辅助角公式解决三角函数问题
②从三角函数的定义出发进行推导
公式推导
在平面直角坐标系中,以a为横坐标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P.设OP=r,r= ,由三角函数的定义知
r
图1
O
的终边
x
所以
辅助角公式
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把上述公式叫做辅助角公式
2、 会将 （a、b不全为零）化为只含有一个正弦的三角形式
例1:求证：
导学达标
引例
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右 “凑”, 使等式得到证明,并得出结论:
可见， 可以化为一个角的三角函数形式
思考：一般地， 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
公式推导
例2：将 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时， 已经是一个角的 三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
必修4辅助角公式
02 辅助角公式的推导过程
利用三角函数的和差化积公式推导
总结词
通过三角函数的和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数式转化为单一的三角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的和差化积公式，我们可以将两个或多个三角函数的和差形式转化为单一的三角函数形式。例如， 利用正弦和差化积公式，我们可以将表达式$sin(x+alpha)-sin(x)$转化为 $2cos(x+frac{alpha}{2})sin(frac{alpha}{2})$，从而简化计算。
算精度来减小。
近似误差
由于辅助角公式是利用近似值进 行计算的，因此存在近似误差。 这种误差的大小取决于公式的近
似程度和角度的范围。
范围限制误差
由于辅助角公式适用于特定范围 内的角度，因此当角度超出这个 范围时，公式可能不准确，导致
误差。
辅助角公式的适用范围与局限性
适用范围
辅助角公式适用于解决一些特定类型 的三角函数问题，如求三角函数的值、 化简三角函数表达式等。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三 角函数形式，从而简化计算。
详细描述
利用三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数转化为两个角相等的三角 函数形式。例如，利用正弦的倍角公式，我们可以将表达式$sin(2x)$转化为 $2sin(x)cos(x)$，从而简化计算。
03 辅助角公式的应用实例
三角函数图像的变换
辅助角公式在三角函数图像变换中的应用，可以将正弦、余 弦、正切函数等三角函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换 ，从而得到新的三角函数图像。
例如，利用辅助角公式可以将正弦函数图像向右平移，得到 余弦函数图像；也可以将正弦函数图像进行伸缩变换，得到 周期不同的三角函数图像。
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辅助角公式及应用微课教案
单位：封开县江口中学 授课教师： 吴英欢
（授课内容属人教A 版必修4第3.2辅助角公式）
一、教学目标
（1）了解辅助角公式推导
（2）能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。
二、重点难点
（1）重点：能利用辅助角公式进行简单的三角函数化简并求最值。
（2）难点：辅助角公式推导
三、教学内容
1.学前测评
________
)sin()1(=+βα ________
)sin()2(=-βα ________
)6sin()3(=+πx ________)65sin()4(=+
πx ________)6
5sin()5(=-πx ________)6sin()6(=-π
x
2. 思考： 通过前面四个题目我们发现，是不是任何一个同角的异名函数可以转换成一个角的三角函数值呢？如果能，那么又是怎么转化的呢?那么这节课我们就来研究一下这个问题。
3.探究新知
例1：将 asinx+bcosx 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，asinx+bcosx 已经是一个角的三角函数形式 ，无需化简，故有ab ≠0. ②从三角函数的定义出发进行推导 在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)
所示,则总有一个角 ,它的终边经过点P(a,b). 设OP=r,r= ,由三角函数的定义知
sin b r ϕ
==cos a r ϕ== 所以sin cos a x b x +
sin cos x x ϕϕ=+ ϕ
)x ϕ=+
例4：求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大和最小值。
2)3(12222=+=+b a 分析： 解析：x x y cos 3sin +=
)23sin 21(2cox x +
= )3sin sin 3(cos 2cox x π
π
+=
)3sin(2π
+=x ，
所以函数周期为π2，最大值为2，最小值为-2.
4.课堂小结
（1）辅助角公式：sin cos a x b x +
)x ϕ=+
（2）两个应用：利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质解决函数问题；⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
5. 达标测评
（1）.把下列各式化为一个角的三角函数形式
x x cos 2
1sin 23+ x x cos sin -- x x cos sin +- )6cos(3)6sin(3ππ+-+
-x x (2).R x x x ∈+=,cos sin 3y 已知函数
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图象可由y ＝sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?。