铜仁一中高三年级防疫期间“停课不停学”网上周考文科数学参考答案

铜仁一中高三年级防疫期间“停课不停学”网上周考文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈Z}，B ={x|−2<x <4}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {−1,2}C. {−1}D. {2} 【答案】B【解析】解：∵A ={x|x =3n +2,n ∈Z}，B ={x|−2<x <4}， ∴A ∩B ={−1,2}． 故选：B ． 2. 已知向量a ⃗ =(4,2),b ⃗ =(m +2,6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 7B. 8C. √65D. 9 【答案】C【解析】解：∵向量a ⃗ =(4,2),b ⃗ =(m +2,6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =0，即4(m +2)+12=0， 求得m =−5，a ⃗ +b ⃗ =(1,8)，∴|a +b|=√65， 故选：C ．3. 已知a =(23)13，b =(32)13，c =log 312，则( )A. c <b <aB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b【答案】D【解析】解：由幂函数y =x 13在(0,+∞)上单调递增，a =(23)13，b =(32)13， ∴0<a <b ． 而c =log 312<0， ∴c <a <b ． 故选：D ．4. 已知函数f(x)的导函数为，且，则A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】解：因为；∴f′(x)=2x−2x +2f′(2)，令x =2，，解得． 故选：B ．5. 执行下面的程序框图，若输入的A =1，则输出的A 的值为( )A. 7B. −17C. 31D. −65【答案】C【解析】解：A=1，k=1；A=−2−3=−5，k=2≤4继续循环；A=−2×(−5)−3=7，k=3≤4，继续循环；A=−2×7−3=−17，k=4≤4，继续循环；A=−2×(−17)−3=31，k=5>4结束循环；故选：C6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 43B. 53C. 83D. 163【答案】A【解析】解：由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，取棱B1C1，DA，AB，BC，CD的中点分别为E，M，N，P，Q，则该几何体为四棱锥E−MNPQ，其体积为13×(√2)2×2=43．故选：A．7.已知函数f(x)=√2cos2x，要得到g(x)=√2cos(2x+π4)的图象，只需将f(x)的图象()A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度C. 向右平移π4个单位长度 D. 向左平移π8个单位长度【答案】D【解析】解：函数f(x)=√2cos2x ，要得到g(x)=√2cos(2x +π4)的图象， 将f(x)的图象向左平移π8个单位长度可得到g(x)的图象； 故选：D ．8. 已知函数f(x)=bx −b 2−14(b >0,x ∈R)，若(m +1)2+(n +1)2=2，则f(n)f(m)的取值范围是( ) A. [−√3,2] B. [√3,2+√3] C. [2−√3,√3] D. [2−√3,2+√3]【答案】D 【解析】解：f(n)f(m)=bn−b 2−14bm−b 2−14=n−(b+14b )m−(b+14b)，可以看作点(m,n)与点(b +14b ,b +14b )连线的斜率， 点(m,n)在圆(x +1)2+(y +1)2=2上， 点(b +14b ,b +14b )在直线y =x(x ≥1)上，结合图形分析可得，当过点(1,1)作圆(x +1)2+(y +1)2=2的切线， 此时两条切线的斜率分别是f(n)f(m)的最大值和最小值． 圆心(−1,−1)与点(1,1)所在直线的夹角均为π6， 两条切线的倾斜角分别为π12，5π12，故所求直线的斜率的范围为[2−√3,2+√3]； 故选：D ． 9. 设函数f(x)={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1，则f(f(4))=( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】 【解答】解：∵函数f(x)={21−x ,x ≤11−log 2x,x >1, ∴f(4)=1−log 24=1−2=−1， f(f(4))=f(−1)=21−(−1)=22=4． 故选B ．10. 过点(3,2)且与椭圆3x 2+8y 2=24有相同焦点的椭圆方程为( )A. x 25+y 210=1 B. x 210+y215=1 C. x 215+y210=1 D. x 225+y210=1 【答案】C 【解答】解：椭圆3x 2+8y 2=24，化为x 28+y 23=1，它的焦点(±√5,0)，可得c =√5，设所求椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，可得9a 2+4b 2=1，a 2−b 2=5，解得a =√15，b =√10， 所求的椭圆方程为x 215+y 210=1．故选C ．11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5+a 7=14，则S 11=( )A. 140B. 70C. 154D. 77 【答案】D 【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n =n (a 1+a n )2，又a 5+a 7=14，∴S 11=112(a 1+a 11) =112(a 5+a 7)=112×14=77．故选D ．12. 已知函数f (x )＝x 3－2e x 2，g (x )＝ln x －ax (a ∈R )，若f (x )≥g (x )对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，e]B ．⎣⎡⎭⎫e 2＋1e ，＋∞C ．[2e －1，＋∞)D ．⎣⎡⎭⎫2－e －1e 2，＋∞ 解析：选Bf (x )≥g (x )⇔a ≥－x 2＋2e x ＋ln x x ，令h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln xx ，则h ′(x )＝－2x＋2e ＋1－ln xx 2.当0<x <e 时，h ′(x )>0，当x >e 时，h ′(x )<0，∴h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．∴h (x )的最大值为h (e)＝e 2＋1e .则a ≥e 2＋1e .故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 过直线2x +3y =0上的任意一点作圆(x −2)2+(y −3)2=1的切线，则切线长的最小值为______． 【答案】2√3 【解析】解：根据题意，设圆(x −2)2+(y −3)2=1的圆心为M ，则M 的坐标为(2,3)，半径r =1；又由点M 到直线2x +3y =0的距离d =√22+32=√13，则直线2x +3y =0上的点到圆(x −2)2+(y −3)2=1的圆心M 的最近距离为√13， 则切线长的最小值为√(√13)2−1=2√3；故答案为：2√3．14. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为______． 【答案】30【解析】解：设高一、高二、高三年级的学生人数分别为a ，b ，c ， 因为a ，b ，c 成等差数列， 所以2b =a +c ，所以b a+b+c =b 3b =13，13×90=30，所以应从高二年级抽取30人．故答案为：30．15. 在△ABC 中，∠ABC ＝90°，延长AC 到D ，使得CD ＝AB ＝1，若∠CBD ＝30°，则AC ＝________.解析：如图，设AC ＝x (x >0)，在△BCD 中，由正弦定理得BDsin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，所以BD ＝2sin ∠BCD ，又sin ∠BCD ＝sin ∠ACB ＝1x，所以BD ＝2x .在△ABD 中，(x ＋1)2＝1＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2·2x ·cos(90°＋30°)，化简得x 2＋2x ＝2x ＋4x 2，即x 3＝2，故x ＝32，故AC ＝3 2.答案：3 216. 已知三棱锥P −ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB =4，∠APB =30°，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】64π【解析】解：因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，又因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P −ABC 的外接球球心在平面PAB 上， 即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理ABsin∠APB =2R ，解得R =4，所以外接球的表面积为64π． 故答案为：64π三、解答题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积． 解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得 2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C ＞0，所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B＝27×3211432＝6， 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.18、（12分）某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:男顾客 1.分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；2.能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附:.答案：1.由调查数据知,男顾客中对该商场服务满意的比率为,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8. 女顾客中对该商场服务满意的比率为,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.2..由于,故有95％的把握认为男女顾客对该商场服务的评价有差异 19. （12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1) 求证：PC ⊥BC ；(2) 求点A 到平面PBC 的距离．95％22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++400.850=300.650=()2210040203010 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯4.762 3.841>【答案】解：(1) 证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，所以PD ⊥BC.由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC.又PD ∩DC ＝D ，PD 平面PCD ，DC 平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，因为PC 平面PCD ，故PC ⊥BC.(2) 解：如图，连结AC. 设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°，从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13，因为PD ⊥平面ABCD ，DC 平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2. 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13·22·h ＝13，∴ h ＝ 2. 故点A 到平面PBC 的距离等于 2.20. （12分）已知椭圆的焦距为，椭圆C 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线与椭圆C 交于两点，点，且，求直线的方程．【答案】答案及解析：答案：（1）由已知，,解得，,所以，所以椭圆C 的方程为。