延安大学-微观经济学.(平狄克版本)4.3-多种投入要素的最优组合

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设：生产要素： Ｘ， Ｙ；
价格： ＰX，ＰY；
总成本： Ｃ
则：ＰX· Ｘ＋ＰY· Ｙ＝Ｃ
Y 1 PY C PX PY C PY PX Y X
或
X
1 PY
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只要两种生产要素的价格不随购买量的变
动而变动时，等成本线必定是一条直线。而且，
在不同的成本之下，移动也是平行移动。 如 果投入要素的价格发生变化，则成本线的斜率 发生变化。
产量。
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２、数学法。设生产函数为Ｑ＝ｆ(Ｘ，Ｙ)， 若其各偏导数都存在且连续，则由全微分理论可 以得到，在某一点上Ｑ的增量为： ① 等成本线的方程为：Ｃ＝ＰX· ＋ ＰY· Ｘ Ｙ 成本的增量为：ｄＣ＝ＰX· ｄＸ ＋ ＰY· ｄＹ 为维持成本不变，则有： ＰX · ｄＸ ＋ ＰY· ｄＹ＝０ 即：ＰY· ｄＹ＝－ＰX· ｄＸ 或 ｄＹ＝(－ＰX／ＰY) · ｄＸ ②
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Y A1 A C增加
A2
C减少
O B2 图4-9
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B
B1
X
（2）当C、PY不变时，若PX提高，导致PX / PY
增加（斜率变大），预算线向顺时针方向移动。 当C、PY不变时，若PX降低，导致PX / PY减少 （斜率变小），预算线向逆时针方向移动。
Y
A
O
X
B1
B
图4-10
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（3）当C不变， PX和 PY 同比变化，则预算 线平移。因为PX/ PY 不变。P同比下降，预算 线右移，P同比上升，预算线左移。 （4）当C不变， PX 不变而PY变化（或PY不
X和Y两种生产要素，则：
目标函数：max Q= f（X,Y） 约束条件：s.t：PX X + PYY = C ① ②
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由② 式得：
Y C PX X PY
③
将③代入① ： Q =f [ X，（C – PXX）/ PY] 据全微分理论，则有：
f P X 0 dX X Y P Y dQ f
•B •A
Q
O
LB
LA
L2
L1
L
图4-12
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这种现象说明，从纯经济观点看，对工业 化国家来说是适宜的先进技术，对发展中国家 来说，则不一定合适。因为发展中国家工人工 资水平低，采用一般技术反而更经济。
这种现象也可以用来解释为什么有些国家
的农业主要采取广种薄收的方针，而另一些国 家则采取精耕细作的方针。因为有些国家土地 便宜而劳力昂贵，而另一些国家则是土地昂贵， 劳力相对便宜。
由于2.5 ≠3.2，说明此时男工和女工的组合比
例不是最优。由于女工支出每增加1元的边际产量
大于男工（3.2 >2.5 ），所以，变动的方向，应
是减少男工，增加女工。
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例２、假设等产量曲线的方程为Ｑ＝ＫａＬｂ， 其中Ｋ为资金数量，Ｌ为劳力数量，ａ、ｂ为常 数。又假定Ｋ的价格（即借入单位资金所付的利 息）为ＰK，Ｌ的价格（即工资）为ＰL。请求出
MP PX
X

MP PY
Y
单位投入要素的边际产
量
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推广：
MP PX
X

MP PY
Y

MP PZ
Z

结论：只有当所有投入要素每增加１元的
边际产量相等时，投入要素的组合才是最优
的。凡是ＭＰX对ＰX的比值小的要减少投入
量；凡是ＭＰX对ＰX的比值大的要增加投入 量，这样可以保证用最低成本生产同样数量的
曲线就是产量为20件的等产量曲线。
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Y
8 6
• •
Q=20
4
3
•
•
O
3
4
6 图4-2
8
X
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２、等产量曲线的类型
(1) 投入要素之间完全可以替代。例如，
在发电生产中，如果发电厂的锅炉燃料既可全 部用煤气又可全部用石油（当然也可以部分用 煤气、部分用石油），我们就称这两种投入要 素是完全可以替代的。这种等产量曲线的形状
整理得： Q / X
Q / Y

PX PY
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因为 ∂Ｑ／ ∂Ｘ ＝ＭＰX； ∂Ｑ／ ∂Ｙ ＝ＭＰY 所以 （ＭＲＴＳ＝ΔＹ／ΔＸ＝） ＭＰX／ＭＰY＝ＰX／ＰY
结论:投入价格比等于边际技术替代率时
生产效率最高。
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或者：经费既定之下，优化组合，使产量
实现最大化。
生产者在既定经费C之下只能购买两种产品
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(5) 等产量曲线是一条凸向原点的曲线。
① 边际技术替代率(MRTS)：指在维持产
出量固定不变条件下，每增加一单位的Ｘ所能 减少Ｙ的数量。边际技术替代率用来衡量产出 不变下，一种投入要素的一个单位能替代另一 种投入要素的多少个单位。
② 数学表达式：
ＭＲＴＳ＝ΔＹ／ΔＸ＝ＭＰX／ＭＰY
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在投入要素之间的替代是不完全的情况下（指
有效替代范围内），因为Δ Ｙ／Δ Ｘ呈反方向变动， 所以ＭＲＴＳ总是负数。因为： Δ Ｑ＝ＭＰYΔ Ｙ Δ Ｑ＝ＭＰXΔ Ｘ 有： ＭＰYΔ Ｙ＝ＭＰXΔ Ｘ 即：Δ Ｙ／Δ Ｘ＝ＭＰX／ＭＰY （ＭＰY＝Δ Ｑ／Δ Ｙ）； （ＭＰX＝Δ Ｑ／Δ Ｘ）
在产出维持不变的情况下（Δ Ｑ＝０），因此
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Y
返回
Y
A
•b
Y 1 PY C PX PY X
•a
预算空间
O
图4-8
B
X
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2、预算线的移动
（1）从Y = C / PY - （PX / PY）X可以看出：
当PX 、 PY不变时，若成本（C）增加，预算 线向右上方平移，这时预算空间的范围扩大了。 当PX 、 PY不变时，若成本（C）减少，预算 线向左下方平移，这时预算空间的范围缩小了。
是一条直线。
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煤气 B A
Q1 O 图4-3 A1
Q2 B1
石油
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(2) 投入要素之间完全不能替代。如生产
自行车，在投入要素车架和车轮之间是完全不
能替代的。这种等产量曲线的形状是一条直角 线。
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车轮
4 2
Q=2
Q=1 车架
2 图4-4
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O
1
(3) 投入要素之间的替代是不完全的。例 如，在生产中，设备能够替代劳力，但设备不
X Y
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dQ
Q
dX
Q
dY
将②代入①式得：
Q P X Q P X Q dQ dX dX X P Y Y X P Y Y Q dX
在产出最大之下， dQ / dX 0 ，故有：
P X Q X P Y Y Q
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一、等产量曲线的类型和特征
１、等产量曲线定义
用来表示在一定技术条件下，生产出某一
固定产量所需两种生产要素之各种可能的组合 的曲线。 例如，有两种投入要素：Ｘ和Ｙ（如Ｌ和 Ｋ）。如果Ｘ＝3，Ｙ＝8；Ｘ＝4，Ｙ＝6；Ｘ ＝6，Ｙ＝4；Ｘ＝8，Ｙ＝3等等组合都可以生 产出20件某种产品，那么把这些点联接起来的
这两种投入要素的最优组合比例。
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解：先求出这两种投入要素的边际产量：
Ｌ的边际产量：ＭＰL＝ｂＫａＬｂ-1 Ｋ的边际产量：ＭＰK＝ａＬｂＫａ-1 根据最优组合的一般原理，最优组合的条件是： ＭＰL／ＰL＝ＭＰK／ＰK
即：ｂＫａＬｂ-1／ＰL＝ａＬｂＫａ-1 ／ＰK
或：ｂＫ／ＰL＝ａＬ／ＰK； Ｋ／Ｌ＝ａＰL／ｂＰK 所以，Ｋ和Ｌ两种投入要素的最优组合比例为： ａＰL／ｂＰK
变而PX变化）时，不仅预算线的斜率PX/ PY会
发生变化，而且预算线的截距也发生变化。
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（5）当C和两种要素的价格都同比例同方 向变化时，预算线不发生变化。这是因为， 此时预算线的斜率不会发生变化，其截距也 不会发生变化。这说明用既定经费用来购买 其中任何一种要素的数量都是不变的。
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三、多种投入要素最优组合的原则（或条
Q=10
O 图4-5
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X
(2) 在同一平面上，任意两条等产量曲
线不能相交。
Y
•a
•b •c
Q2 Q1 X
O 图4-6
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(3) 在等产量曲线上，产出维持不变，但投
入要素的比例不断变化，没有一处相同。
(4) 等产量曲线的斜率可以为正、负、０或 趋于无穷大。在投入要素有效替代范围内，等产 量曲线的斜率为负。
④
为求得Q最大，令式④的一阶导数为0，根
⑤
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f P X 0 X Y P Y
f
f / X f / Y

PX PY
或 f / X f / Y
PX PY
因为，∂f / ∂X =MPX ， ∂f / ∂Y =MPY 所以， MP
PX
X

MP PY
Y
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例1：某车间男工和女工各一半。在男工和 女工之间可以互相替代。假定男工每增加1 人可 增产10件；女工每增加1人可增产8件。男工每小 时工资为4元，女工每小时工资为2.5元。问该车
间男工和女工的组合比例是否最优？如果不是最
优，应向什么方向变动为好？
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解： MP男=10件，P男=4元， MP男/P男=10/4=2.5（件） MP女=10件，P女=2.5元， MP女/P女=8/2.5=3.2（件）
工具又很贵，厂长会选择多雇工人少用资本。
在生产家具的过程中劳动和资本这两种生产要
素是完全可以替代的。这就是本节讲的边际技 术替代率。即用一种生产要素替代另一种生产 要素技术上的比例。
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二、等成本曲线（预算线） 1、定义 表示在既定成本（经费）之下，可以购买 的各种生产要素（或投入要素）的数量的最大 组合。
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四、价格变动对投入要素最优组合的影响 如果投入要素的价格比例发生变化，人们 就会更多低使用比以前便宜的投入要素，少使 用比以前昂贵的投入要素。
下图中，劳力价格提高，或资金价格（指
利率）下降，会导致最优组合的比例发生变化 （由Ａ点→Ｂ点），即人工投入减少，使资金 投入增加。
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K K2
K1
KB KA
可能替代所有的劳力，就属于这种情况。这种
等产量曲线的形状一般为向原点凸出的曲线。 ３、等产量曲线的特征 (1) 在同一平面内，可以有无数条等产量 曲线。同一条等产量曲线代表同样的产量，不 同的等产量曲线代表不同的产量。离原点越远 （或处于较高位置）的等产量曲线所代表的产
量越高，反之则越低。
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Y
Q=20
件）（经费既定之下，优化组合，使产量最大）
Y
•
Y1
b
•a
•d
Q3
•c
O
Q2 Q1 X
X1
图4-11
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1、图解法。等产量曲线斜率──边际技术
替代率（ＭＲＴＳ＝ΔＹ／ΔＸ＝ＭＰX／ＭＰY）
与等成本线的斜率（ＰX／ＰY）相等。因此 平衡条件：ＭＰX／ＭＰY＝ＰX／ＰY 约束条件：ＰX· Ｘ＋ＰY· Ｙ＝Ｃ 或
第三节 多种投入要素的最优组合
在产品的生产过程中，往往需要有多种投 入要素，而且各种投入要素之间有可能在一定 限度内互相替代。因而同一产量的某种产品就 可以通过不同比例的投入要素来生产。在这种
情况下，企业将面临以下两种选择：
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一是在资源（如资金）既定情况下，如何优
化投入组合，才能实现产量最大化。 二是在保持一定的产量水平下，如何通过优 化投入组合，才能使成本达到最小。
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产量Q维持不变，∆Q=0
•a
∆Y ∆X O家具厂生产家具是多雇工人还是多
买电工具？
家具厂生产居民用的家具它可以使用两种
方法，既可以多雇工人进行生产，也可以少雇
人多买电的工具。无论他用什么方法都可以生 产出家具。
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作为家具厂的厂长在用什么方法进行生产
时他要作出选择。如果劳动力价值很低，而电