第17章复数及其应用 教案(全) 中职数学第四册
江苏扬中中职数学(苏教版 第四册)教案：17.1 复数的概念
通过探究让学生体会复数的由来；同时培养学生合作学习及质疑的精神.
以例题深化学生对复数概念的理解，帮助学生
体会复数的有关概念.
巩固概念
通过学生的做、述、评，加深对复数的分类的理解.
通过学生的做、述、评，进一步加深对复数的分类的理解.
检查所学，做到堂堂清.
课堂小结
【导引】填空形式复习本节知识点
问：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
【例3】当实数m取什么值时，复数 分别是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【试金石】当实数m取什么值时，复数 分别是(1)当实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【检测】
1. 的实部为，虚部为.
2.判断下列命题是否正确：
（1）若 为实数，则 为虚数.
三、解答题
5．若 为实数，且复数 为纯虚数，求 的值.
6.已知 为复数， 的实部为复数 的实部与虚部的和， 的虚部为复数 的实部和虚部的积，当 时，求复数 .
板书设计
投影
17.1复数的概念
1.虚数单位 i： 例3：
2.复数代数形式
实部 虚部 生书：
3.分类
（维恩图）
尝试练习
从学生已有知识出发，激发学生的学习兴趣；让学生体会数学的实用性.
新授
探究：通过解方程，引进虚数单位i.
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位， ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿
实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
中职数学17章复数教案
江苏省启东职业教育中心校课题: 复数的概念第 1 课时总第个导学案任课教师: 授课时间：年月日江苏省启东职业教育中心校课题：复数的概念第课时总第个导学案任课教师：授课时间：年月日江苏省启东职业教育中心校课题: 复数的代数运算第课时总第个导学案任课教师：授课时间：年月日江苏省启东职业教育中心校课题：复数的代数运算第课时总第个导学案任课教师：授课时间：年月日(n z z z n ⋅⋅⋅∈N 个在实数范围内成立的乘法公式在复数范围内仍然成立． 与实数相类似，除法运算可以看成乘法运江苏省启东职业教育中心校课题：复数的几何意义及三角形式第课时总第个导学案任课教师：授课时间：年月日动动整情境创设情感体验复平面和复数的几何表示，自然的建立了复数iz a b=+与直角坐标平面内的点Z（,a b）之间的一一对应关系，于是复数z=ia b+(,a b∈R）可以用直角坐标系平面中的点(,)Z a b表示．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数,虚轴上除去原点以外的点都表示纯虚数．要特别注意虚轴不包括原点，虚轴的单位与实轴一样都是1．复平面与复数的点表示是复数的向量表示的基础．学生集体回答在黑板上写出学生回答内容任务引领探究体验1。
复数的点表示任何一个实数a都可以用数轴上的一个点表示．例如,实数1。
5可以用数轴上的点A表示（如图3—1）．图3-1由复数相等的定义知,任何一个复数i()z a b a b=+∈R，都对应唯一的有序实数对（a,b)，其中a，b分别为复数z的实部和虚部，而有序实数对（a，b)又对应直角坐标平面内的唯一的一个点Z ，其坐标为(a，b），如图3-2所示.反之，对直角坐标平面内的每一点Z(a，b)确定的唯一的有序实数对（a，b),如果a，b分别看作复数z的实部和虚部，那么就对应唯一的复数iz a b=+. 这样，就建立了复数iz a b=+与直角坐标平面内的点Z(a，b）之间的一一对应关系，即每一个复数都对应直角坐标平面内的一个点，直角坐标平面内的每一个点也对应一个复数。
人教B版(2019)数学必修(第四册)：10.1.1 复数的概念 教案
复数的概念【教学过程】一、问题导入数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：因为类似43x +=的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似43x +=的方程在整数范围内有解；因为类似25x =的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似25x =的方程在有理数范围内有解；因为类似27x =的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似27x =的方程在实数范围内有解。
我们已经知道，类似21x =-的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？二、新知探究 1.复数的概念【例1】（1）给出下列三个命题：①若z C ∈，则20z ≥；②21i -的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（2）已知复数()22z a b i =--的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是__________．（3）下列命题正确的是__________（填序号)．①若,x y C ∈，则12x yi i +=+的充要条件是1x =，2y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集．[解析]（1）复数的平方不一定大于0，故①错；21i -的虚部为2，故②错；2i 的实部是0，③正确，故选B .（2）由题意，得22a =，()23b --=，所以a =，5b =.（3）①由于x ，y 都是复数，故x yi +不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当0a =时，0ai =为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． [答案]（1）B（2）5 （3）③【教师小结】判断与复数有关的命题是否正确的方法：（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．（2）化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a bi +的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．2.复数的分类【例2】（1）复数()()22,z a b a a i a b R =-++∈为纯虚数的充要条件是（ ） A ．a b =B ．0a ＜且a b =-C ．0a ＞且a b ≠D ．0a ＞且a b =±（2）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，①z 为实数？②z 为虚数？③z 为纯虚数？[思路探究]依据复数的分类列出方程（不等式）组求解．[解析]（1）要使复数z 为纯虚数，则220a b a a ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，0a ∴＞，a b =±.故选D .[答案]D（2）①要使z 为实数，需满足2230m m +-=，且()21m m m +-有意义，即10m -≠，解得3m =-.②要使z 为虚数，需满足2230m m +-≠，且()21m m m +-有意义，即10m -≠，解得1m ≠且3m ≠-.③要使z 为纯虚数，需满足()201m m m +=-，且2230m m +-≠，解得0m =或2m =-. [母题探究]若把上例（1）中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？ [解]复数z 为实数的充要条件是0a a +=，即a a =-，所以0a ≤. 【教师小结】利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠.3.复数相等的充要条件 [探究问题]（1）0a =是复数z a bi =+为纯虚数的充分条件吗？提示：因为当0a =且0b ≠时，z a bi =+才是纯虚数，所以0a =是复数z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件．（2）323i i ++＞正确吗？提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 【例3】（1）若()()1x y yi x i ++=+，求实数x ，y 的值；（2）关于x 的方程()22311022ax x x x i --=--有实根，求实数a 的值． [思路探究]根据复数相等的充要条件求解． [解]（1）由复数相等的充要条件，得01x y y x +=⎧⎨=+⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． （2）设方程的实根为x m =，则原方程可变为()22311022a m m m m i --=--，所以2231021020am m m m ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩， 解得11a =或715a =-. 【教师小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：（1）等式两边整理为(),a bi a b R +∈的形式；（2）由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； （3）解方程组，求出相应的参数． 三、课堂总结（一）复数的概念及分类1．数系的扩充及对应的集合符号表示自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系↓ ↓ ↓ ↓ ↓N Z Q R C 2．复数的有关概念3．复数的分类（1）复数()()()()()0,000b a bi a b R a b a ⎧=⎪+∈⎧=⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（2）集合表示（二）两个复数相等的充要条件在复数集{},C a bi a b R =+∈中，任取两个复数a bi +，(),,,c di a b c d R +∈，规定a bi +与c di +相等的充要条件是a c =且b d =.四、课堂检测1．设集合{}A =实数，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集S C =，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC ⋃= B ．A B =C ．()SBA ⋂=∅D ．()()SASB C ⋃=[解析]集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有()()SASB C ⋃=正确．[答案]D2．若复数243a a i --与复数24a ai +相等，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-[解析]由复数相等的条件得22434a a a a ⎧-=⎨-=⎩，4a ∴=-. [答案]C3．复数(1i 的实部为________．[解析]复数((101i i =+，∴实部为0. [答案]04．已知213z m m mi =-+，()2454z m i =++，其中m R ∈，i 为虚数单位，若12z z =，则m 的值为________．[解析]由题意得()23=454m m mi m i -+++，从而23454m m m m ⎧-=⎨=+⎩，解得1m =-．[答案]1-5．已知集合()(){}231,8M a b i =++-，集合()(){}23,12N i a b i =-++满足M N ⋂≠∅，求整数a ，b .[解]依题意得()()2313a b i i ++-=， ① 或()()2812a b i =-++，② 或()()()()223112a b i a b i ++-=-++.③由①得3a =-，2b =±， 由②得3a =±，2b =-.③中，A ，B 无整数解不符合题意．综上所述得3a =-，2b =或3a =，2b =-或3a =-，2b =-.。
复数的概念教案
复数的概念教案复数的有关概念教案作为一名老师，常常要根据教学需要编写教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。
教案应该怎么写才好呢？以下是店铺为大家收集的复数的概念教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
复数的概念教案篇1教学目标(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.教学建议(一)教材分析1、知识结构本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.2、重点、难点分析(1)正确复数的实部与虚部对于复数，实部是，虚部是 .注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是，复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。
根据上述原则，复数集的分类如下:注意分清复数分类中的界限:①设，则为实数② 为虚数③ 且。
④ 为纯虚数且(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:①化为复数的标准形式②实部、虚部中的字母为实数，即(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意:①任何一个复数都可以由一个有序实数对( )唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.②复数用复平面内的点z( )表示.复平面内的点z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 .由于=0+1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点z(a，b)中的z，书写时大写.要学生注意.(5)关于共轭复数的概念设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如:5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.(6)复数能否比较大小教材最后指出:“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意:①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么 .两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:(i)对于任意两个实数a， b来说，a(ii)如果a<b，b<c，那么a<c;< p="">(iii)如果a<b，那么a+c<b+c;< p="">(iv)如果a0，那么ac<bc.(不必向学生讲解)< p="">(二)教法建议1.要注意知识的连续性:复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系.2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.复数的概念教案篇2教学目标1.了解复数的实部，虚部;2.掌握复数相等的意义;3.了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数.教学重点复数的概念，复数相等的充要条件.教学难点用复平面内的点表示复数m.教学用具:直尺课时安排:1课时教学过程:一、复习提问:1.复数的定义。
复数 教案(绝对经典)
复 数复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。
基础梳理1．复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模向量OZ →的模r 叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作__|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点Z 到原点O 的距离；|z 1－z 2|的几何意义是复平面上的点Z 1、Z 2两点间的距离．(2)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.3．复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．一条规律任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小． 两条性质(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(各式中n ∈N )． (2)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. 双基自测1．复数－i1＋2i(i 是虚数单位)的实部是( )． A.15 B ．－15 C ．－15i D ．－25答案 D 解析 －i 1＋2i ＝－i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－2－i 5＝－25－15i.2．设i 是虚数单位，复数1－3i1－i＝( )． A ．2－i B ．2＋i C ．－1－2i D ．－1＋2i答案 A 解析1－3i 1－i ＝12(1－3i)(1＋i)＝12(4－2i)＝2－i.3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )． A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1答案 C 解析 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得：－1＋a i ＝b ＋i ，根据复数相等得：a ＝1，b ＝－1.4．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( )． A ．2－2i B ．2＋2i C ．1－i D ．1＋i答案 C 解析 z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝1－i.5、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 题型一 复数的概念例1 (1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )yxDBA OCA ．1B ．iC.25D ．0(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件思维启迪：(1)若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则b ＝0时，z ∈R ；b ≠0时，z 是虚数；a ＝0且b ≠0时，z 是纯虚数．(2)直接根据复数相等的条件求解．答案 (1)A (2)A解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2， 解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．(1)若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． (2)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．答案 (1)－1 (2)2解析 (1)由复数z 为纯虚数， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x －1≠0，解得x ＝－1，故选A.(2)方法一 ∵z (2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ＝26i13＝2i ， ∴|z |＝2.方法二 由z (2－3i)＝6＋4i ，得z ＝6＋4i 2－3i . 则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4i 2－3i ＝|6＋4i||2－3i|＝62＋4222＋(－3)2＝2.考向二 复数的几何意义【例2】►在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )．A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i. 答案 C 【训练2】 复数1＋i 1－i ＋i 2 012对应的点位于复平面内的第________象限．解析 1＋i 1－i＋i 2 012＝i ＋1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限．答案 一考向三 复数的运算【例3】► ①已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，则|z |＝ 。
高中数学必修课教案复数的运算与应用
高中数学必修课教案复数的运算与应用高中数学必修课教案：复数的运算与应用第一节：复数的定义和表示复数是由实数和虚数组成的数，其中实数部分和虚数部分分别用符号表示。
复数可以用二元有序数对的形式表示，即z=a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
第二节：复数的四则运算1.加法将两个复数的实数部分相加，虚数部分相加，得到它们的和。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2.减法将两个复数的实数部分相减，虚数部分相减，得到它们的差。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3.乘法按照分配律和虚数单位的乘法规则进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4.除法将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，然后按照分配律和虚数单位的乘法规则进行计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)第三节：复数的应用1.复数在电路中的应用复数可用于描述交流电路中的电压和电流关系，通过复数运算可以计算交流电路中的电阻、电感和电容等参数。
2.复数在几何图形中的应用复数可用于描述几何图形在平面上的旋转、变形等运动，可以通过复数运算计算图形的变换和变形过程。
3.复数在信号处理中的应用复数可用于描述信号的频率、相位等特性，通过复数运算可以进行信号的滤波、变换等操作。
4.复数在数学分析中的应用复数可用于求解多项式方程、微分方程等数学问题，通过复数运算可以简化计算和求解过程。
总结：本节课主要介绍了复数的定义和表示方式，以及复数的四则运算。
复数不仅在数学上有重要的意义，还广泛应用于电路、几何、信号处理和数学分析等领域。
深入理解和掌握复数的运算规则和应用方法，对于学生的数学素养和综合能力提升具有重要意义。
复数的有关概念教案
复数的有关概念教案复数的概念教案篇1教学目标(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.教学建议(一)教材分析1、知识结构本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.2、重点、难点分析(1)正确复数的实部与虚部对于复数，实部是，虚部是.注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是，复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一、根据上述原则，复数集的分类如下:注意分清复数分类中的界限:①设，则为实数②为虚数③且。
④为纯虚数且(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意:①化为复数的标准形式②实部、虚部中的字母为实数，即(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意:①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对()叫做复数的.②复数用复平面内的点z()表示.复平面内的点z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是.由于=0+1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点z(a，b)中的z，书写时大写.要学生注意.(5)关于共轭复数的概念设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如:5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.(6)复数能否比较大小教材最后指出:“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意:①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么.两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:(i)对于任意两个实数a，b来说，a(ii)如果a<b，b<c，那么a<c;< p="">(iii)如果a<b，那么a+c<b+c;< p="">(iv)如果a0，那么ac<bc.(不必向学生讲解)< p="">(二)教法建议2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.复数的概念教案篇2教学目标1.了解复数的实部，虚部;2.掌握复数相等的意义;3.了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数.教学重点复数的概念，复数相等的充要条件.教学难点用复平面内的点表示复数m.教学用具:直尺课时安排:1课时教学过程:一、复习提问:1.复数的定义。
高中数学必修4复数教案
高中数学必修4复数教案教学目标：1.了解复数的定义和性质。
2.掌握复数的加减乘除运算。
3.能够将函数用复数形式表示。
4.能够解决复数方程和不等式。
教学重点：复数的概念和运算。
教学难点：复数方程和不等式的解法。
教学方法：讲解结合实例演练。
教学过程：一、复数的定义和性质1. 复数的定义：复数是由实数和虚数单位（i）组成的数，一般表示为a+bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，且i²=-1。
2. 复数的性质：（1）复数的加减法：实部相加，虚部相加。
（2）复数的乘法：按照分配律和虚数单位i的平方等于-1，进行计算。
（3）复数的除法：利用共轭复数的概念，进行分子分母有理化。
二、复数的运算1. 复数的加减法：（1）例题展示：(3+2i)+(4-5i)=(3+4)+(2-5)i=7-3i（2）实例练习：计算(1+3i)-(2-4i)和(5-2i)+(7+3i)。
2. 复数的乘法：（1）例题展示：(1+2i)(3+4i)=1*3+1*4i+2i*3+2i*4i=3+4i+6i-8=3+10i-8=10+10i（2）实例练习：计算(2-3i)(-1+2i)和(1+i)(2-i)。
3. 复数的除法：（1）例题展示：(1+2i)/(1-i)=([(1+2i)(1+i)])/(1²-(-i)²)= (1-2+i(1+2))/(1+1)= 3+i （2）实例练习：计算(3+2i)/(1-i)和(5-4i)/(2+i)。
三、函数的复数形式表示1. 复数为函数的解：（1）函数f(x)=x²-4x+13=0的解是x=2±3i。
（2）函数f(x)=3x²+2x+7=0的解是x=-1±2i。
2. 应用实例：（1）已知函数f(x)=x²+4x+5，求函数的解。
（2）已知函数f(x)=2x²-3x+7，求函数的解。
四、复数方程和不等式1. 复数方程的解法：（1）例题展示：解方程2x²+5x+2=0。
中职教育数学《复数的概念和意义》课件
5.1.1 复数的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
从两个复数相等的定义可知,复数a+bi与有序实数 对(a,b)之间是一一对应的.
5.1.1 复数的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 求满足下列条件的实数a和b. （1）(a+2b)-i=6a+(a-b)i；
我们知道,任意一个实数都可以用数轴上的点来表示, 那么复数可否用点来表示呢？
5.1.2 复数的几何意义
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
由复数相等的定义,复数z=a+bi与有序实数对(a,b) 之间是一一对应的.而有序实数对(a,b)与平面直角坐标 系中的点也是 一一对应的．因此,复数集里的复数与平 面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系,即复数可以 用平面直角坐标系中的点来表示.
全体虚数构成的集合称为虚数集,全体纯虚数构 成的集合称为纯虚数集,它们与实数集、复数集之间 具有怎样的关系？
5.1.1 复数的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可 以用下图表示.
5.1.1 复数的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
5.1.1 复数的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等,就称这 两个复数相等，记作
a+bi=c+di. 即,如果a、b、c、d都是实数,那么
a+bi=c+di⇔ a=c且b=d. 特别地, a+bi=0 ⇔ a=0且b=0.
中职数学17章复数教案
江苏省启东职业教育中心校第 1 课时总第个导学案复数的概念课题：任课教师：授课时间：年月日123江苏省启东职业教育中心校第课时总第个导学案复数的概念课题：任课教师：授课时间：年月日456江苏省启东职业教育中心校第课时总第个导学案复数的代数运算课题：任课教师：授课时间：年月日789江苏省启东职业教育中心校第课时总第个导学案复数的代数运算课题：任课教师：授课时间：年月日10在实数范围内成立的乘法公式在复数范围内教师巡回仍然成立．指导除法运算可以看成乘法运算的与实数相类似，在黑板上写出学生z1的基本方法逆运算．利用复数的代数形式，求内答回z2容，并加以分析。
是，将分式的分子和分母同乘以分母的共轭复数z，使分母变为实数．即2)(a?bia?bad)(ad)iac?bd(bc?bc?bdi)?i)(cd(ac?)(?．i????222222i)i?cd(ci)(?ddc?dc?dc?dc?典型例题巩固知识(1) 设计算例3，2i6i5，z????z4212z．(2) ，zz?211111213江苏省启东职业教育中心校第课时总第个导学案复数的几何意义及三角形式课题：任课教师：授课时间：年月日14以分析。
3-1图数义由复数相等的定知，任何一个复)?R，bi(abz?a?都对应唯一的有序实数对的实部和虚部，，bz分别为复数(a，b)，其中a又对应直角坐标平面内的唯一b)而有序实数对(a，Z 反a，.3-2所示b)的一个点，如图，其坐标为( 确定的唯)(a，bZ之，对直角坐标平面内的每一点分别看作复数ba，(一的有序实数对a，b)，如果数部z的实部和虚，那么就对应唯的复一ib?zb?a?i?az与直角. 这样，就建立了复数之间的一一对应关系，即Z(ab)，坐标平面内的点直角每一个复数都对应直角坐标平面内的一个点， .坐标平面内的每一个点也对应一个复数学生小组baZ(讨论，讨论后每组Ｏa x派代表回答问题 3-2图)，b?R abaz??i(可以用直角于是，复数教师巡回指导baZ建立直角坐标系来表.(表示，)坐标系中的点在黑板上写出学生在复平面．3-2示复数的平面叫做复平面（如图）内答回yx轴上除去原点以外轴上的点都表示实数，内，容，并加以分析。
复数的有关概念教案
复数的有关概念教案一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的表示方法。
2. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
3. 引导学生了解复数在数学和物理学中的应用，提高对复数的认识。
二、教学内容1. 复数的概念：实数和虚数的概念，复数的定义。
2. 复数的表示方法：代数表示法，几何表示法。
3. 复数的性质：实部和虚部的性质，共轭复数的性质。
4. 复数的运算：加法、减法、乘法、除法。
5. 复数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：复数的概念，复数的表示方法，复数的性质，复数的运算。
2. 难点：复数的运算规则，复数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解复数的相关概念和性质。
2. 利用几何画板展示复数的几何表示，增强直观感受。
3. 引导学生通过例题分析，掌握复数的运算方法。
4. 开展小组讨论，探讨复数在实际问题中的应用。
五、教学过程1. 导入：回顾实数和虚数的概念，引导学生思考实数和虚数的局限性。
2. 讲解：介绍复数的概念，解释复数的表示方法，阐述复数的性质。
3. 演示：利用几何画板展示复数的几何表示，让学生直观理解复数。
4. 练习：让学生通过例题，掌握复数的运算方法。
5. 应用：开展小组讨论，探讨复数在实际问题中的应用。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，回答学生提出的问题。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对复数概念的理解，复数表示方法的掌握，复数性质和运算的熟练程度，以及复数在实际问题中的应用能力。
2. 评价方法：课堂问答：通过提问检查学生对复数基本概念的理解。
练习题：布置不同难度的练习题，评估学生对复数运算和性质的掌握。
小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与度和问题解决能力。
课后作业：通过学生的课后作业评估其对课堂内容的吸收和应用。
七、教学资源1. 教案和课件：提供详细的教案和课件，方便学生复习和理解复数的相关概念。
2. 几何画板软件：用于展示复数的几何表示，增强学生的直观感受。
复数教案(绝对经典)
复数复数的基本概念、 复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点， 并且一般在前三题 的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小． 【复习指导】1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义． 2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础。
基础梳理1．复数的有关概念 （1）复数的概念形如 a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫作复数，其中 a ，b 分别是它的实部和虚部．若 b ＝0，则a ＋ bi 为实数，若b ≠0，则 a ＋bi 为虚数，若 a ＝0且b ≠0，则 a ＋bi 为纯虚数． （2）复数相等： a ＋bi ＝c ＋di? a ＝c 且 b ＝d （a ，b ，c ，d ∈R ）． （3）共轭复数： a ＋bi 与 c ＋di 共轭 ? a ＝c ，b ＝－d （a ，b ，c ，d ∈R ）．（4）复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面． x 轴叫作实轴， y 轴叫作虚轴．实轴上 的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．（5）复数的模向量O →Z 的模 r 叫作复数 z ＝a ＋bi 的模，记作 __|z|__或|a ＋bi|，即 |z|＝|a ＋bi|＝ a 2＋b 2. 2．复数的几何意义（1）复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）的模|z|＝ a 2＋b 2，实际上就是指复平面上的点 Z 到原点 O 的距离； |z 1－ z 2| 的几何意义是复平面上的点 Z 1、Z 2 两点间的距离．（2）复数 z 、复平面上的点 Z 及向量 O →Z 相互联系，即 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）? Z （a ，b ）? O →Z.3．复数的四则运算设 z 1＝a ＋bi ， z 2＝c ＋ di （a ，b ，c ，d ∈R ），则（1）加法： z 1＋z 2＝（a ＋bi ）＋（c ＋di ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ； （2）减法：z 1－z 2＝（a ＋bi ）－（c ＋di ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ；（3）乘法：z 1·z 2＝（a ＋bi ） （·c ＋di ） ＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ； （4）除法：z 1 a ＋bi a ＋bi c － di ac ＋bd ＋ bc －ad iz ＝ ＝ ＝ 2 2 （c ＋di ≠0）．z2 c ＋di c ＋ di c －di c ＋d一条规律 任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小． 两条性质(1)i4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－ 1，i 4n ＋3＝－ i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(各式中 n ∈N )．21＋i1－ i(2)(1 i ±)＝±2i，1－i＝i，1＋i＝－i.双基自测－i1．复数 1＋ 2i(i 是虚数单位 )的实部是 ()．例 1 (1)已知 a ∈R ，复数 z 1＝2＋ai ，z 2＝1－2i ，若 z1为纯虚数，则复数 z1的虚 z 2 z 2部为 ( )A.5 B ．C ．－15iD ．答案 D 解析i＝－ i 1－2i＝－2－i ＝－ 2－11＋2i＝－1＋2i 1－2i ＝ 5＝－ 5－5i.1－3i2．设 i 是虚数单位，复数 11－3ii＝( )．A ．2－iB ．2＋iC ．－ 1－ 2iD ．－1＋2i答案 A 解析 11－－3ii＝12(1－3i)(1＋i)＝12(4－2i) ＝2－i.3．若 a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且 (a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )． A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1D ．a ＝－1，b ＝－ 1答案 C 解析 由( a ＋ i)i ＝b ＋i ，得：－ 1＋ai ＝b ＋i ，根据复数相等得： a ＝1，b ＝－1.4．设复数 z 满足(1＋i)z ＝2，其中 i 为虚数单位，则 z ＝( )．A ．2－ 2iB ．2＋2iC ．1－iD ．1＋i答案 C 解析 z ＝1＋2 i ＝1＋i 1－i ＝2 ＝1－i.5、如图，在复平面内， 点 A 表示复数 z ，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ( )A ) A C )CB ) B D ) D题型一 复数的概念AxCB ODy2 A ．1 B ．i C.D ．05(2)若 z 1＝ ( m 2＋ m ＋ 1)＋ (m 2＋ m － 4)i( m ∈ R )， z 2＝ 3－ 2i ，则“ m ＝1”是“ z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件思维启迪： (1)若 z ＝ a ＋ bi( a ， b ∈R )，则 b ＝0 时，z ∈R ；b ≠0 时， z 是虚数； a ＝0 且 b ≠0 时，z 是纯 虚数．(2)直接根据复数相等的条 件求解．所以 “m ＝1”是“z 1＝(1)若复数 z ＝ (x 2－ 1)＋ ( x － 1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 (2)设复数 z 满足 z(2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位 )，则 z 的模为 _______答案 (1)－ 1 (2)2x 2－1＝0解析 (1)由复数 z 为纯虚数， 得 ，解得 x ＝－ 1，故选 A. x － 1≠0考向二 复数的几何意义【例 2】?在复平面内，复数 6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为 A ，B ，若 C 为线段 AB 的中点， 则点 C 对应的复数是 ( )．A ．4＋ 8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析 复数 6＋5i 对应的点为 A(6,5)，复数－ 2＋ 3i 对应的点为 B(－2,3)．利用中点坐标公式得 线段 AB 的中点 C(2,4)，故点 C 对应的复数为 2＋4i. 答案 C1＋i【训练 2】 复数1＋i＋i 2 012对应的点位于复平面内的第 _______ 象限． 1－i解析11＋－i i＋i 2 012＝i ＋1.故对应的点 (1,1)位于复平面内第一象限． 答案 一考向三 复数的运算答案 (1)A (2)A解析 (1)由z 1＝2＋ai ＝ 2＋ai 1＋2i ＝2－2a ＋4＋az 2 1－ 2im 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－ 2(2)由z 15 i是纯虚数，得 a ＝1，此时 z z 12＝i ，其虚部为 1.解得 m ＝－2 或 m ＝1，的充分不必要条件． z 2” (2)方法方法二 ∵z(2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝26－＋34i i ＝ 2163i ＝2i ， ∴|z|＝2.由 z(2－3i)＝ 6＋4i ，得 z ＝ 6＋4i.2－3i .则|z|＝ 6＋4i ＝ |6＋ 4i|2－3i ＝|2－ 3i|＝ 2.62＋42例 3】 ? ① 已知复数 z ＝2，则 |z|＝答案】1+z② 设复数 z 满足 1+z ＝i ，1z ②1则|z|＝ 训练 3】① i 为虚数单位，则 1 i)2019i-1 ＝z2② 设复数 z 满足：2i , 则 z = 1-iz 2 i ，则 z =答案】 ① ③ 设复数 z 满足： z 1 i 2019 2019( ) ( -i ) i、选择题 错误！未指定书签。
职高高二数学教案
职高高二数学教案【篇一：职高高二数学数学复数及其应用教案】第三十二课时：复数的概念（一）【教学目标】知识目标：理解复数的有关概念．能力目标：通过复数概念的学习与相关计算，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】复数的概念．【教学难点】复数的概念．【教学设计】首先给出了复数的定义，然后引入虚数、纯虚数的定义，将实数集推广到复数集．介绍复数a+bi（a,b∈r）的概念时，要注意以下几点：（1）复数的虚部是b，而不是bi，如教材中指出复数z=-3-4i的虚部是-4，而不是-4i．（2）当虚部b=0时，复数a+bi=a就是实数.当虚部b≠0时，复数a+bi是虚数，特别a=0时，虚数bi是纯虚数.（3）a+bi（a,b∈r）中的“+”号有两种作用，第一个作用是连接记号，表示a+bi是一个整体，由实数a和纯虚数bi组成复数；第二个作用是运算符号表示实数a和纯虚数bi相加．例1的作用是帮助学生理解概念．这部分内容学生了解即可，不需要特别强化训练，不介绍关于数系讨论问题的解题技巧．教学中要把握难度，不超过教材的例、习题的难度．讲解复数相等的定义时要强调a1+b1i=a2+b2i等价于a1=a2且b1=b2，只有当a1=a2，b1=b2这两个条件同时成立时a1+b1i才能等于a2+b2i. 复数z=a+bi的共轭复数是z=a-bi．要注意它们的特征：实部相等，虚部互为相反数，教学中可引导学生得出：实数的共轭复数就是它本身．例2的作用是帮助学生理解复数相等的定义．教学中要讲清楚解题的基本思想，分清等号两边复数的实部与虚部，利用复数相等的概念，由“实部与实部相等，虚部与虚部相等”列出一个二元一次方程组，最后求出未知数x、y的值．例3的作用是帮助学生理解共轭复数的概念．要强调互为共轭的两个复数，其实部相等，虚部互为相反数．1课时．【教学过程】创设情境兴趣导入我们知道一元二次方程x=-1在实数范围内无解．更一般地，当根的判别式2?=b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c为实数且a≠0）在实数范围内也无解.动脑思考探索新知为了使方程x=-1有解，引进一个新数i，叫做虚数单位，并且规定数i有如下性质：（1）i的平方等于－1，即 i=-1 ；（2）i与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算法则和运算律仍然成立. 由性质（1）知，x=i是方程x=-1的一个解．由性质（2）知， 222(-i)2=(-1?i)2=(-1)2?i2=1?(-1)=-1，故x=-i也是方程x=-1的一个解.【注意】为了与表示电流强度的符号相区别，电学中虚数单位用字母j表示.根据上述性质，i可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作bi（规定0?i=0），再将bi与实数a相加，动脑思考探索新知为了使方程x=-1有解，引进一个新数i，叫做虚数单位，并且规定数i有如下性质： 22；（1）i的平方等于－1，即 i=-1（2）i与实数进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算法则和运算律仍然成立. 由性质（1）知，x=i是方程x=-1的一个解．由性质（2）知， 22(-i)2=(-1?i)2=(-1)2?i2=1?(-1)=-1，故x=-i也是方程x=-1的一个解.【注意】为了与表示电流强度的符号相区别，电学中虚数单位用字母j表示.根据上述性质，i可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作bi（规定0?i=0），再将bi与实数a相加，（转下节） 2第三十三课时：复数的概念（二）知识目标：理解复数的有关概念．能力目标：通过复数概念的学习与相关计算，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】复数的概念．【教学难点】复数的概念．【课时安排】1课时．【教学过程】（接上节）根据上述性质，i可以与实数b相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写作bi（规定0?i=0），再将bi与实数a相加由于满足加法交换律，其和一般写作a+bi.形如a+bi（a,b∈r）的数叫做复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.复数一般使用小写字母z,w, 等来表示.例如，复数z=-3-4i的实部为-3，虚部为-4.当虚部b=0时，复数a+bi=a就是实数.当虚部b≠0时，复数a+bi叫做虚数，特别a=0时虚数bi叫做纯虚数.例如，4，-1-44i都是复数，其中4是实数，-1-i是纯虚数. 55【想一想】 4的实部、虚部各是多少？全体复数组成的集合叫做复数集，常用大写字母c来表示，即c={zz=a+bi，a，b∈r}.显然，实数集r是复数集c的真子集.引入复数后，数的范围得到扩充：??有理数实数a(b=0)???无理数?复数a+bi? ?(a,b∈r)?纯虚数bi(a=0)?虚数a+bi(b≠0)????非纯虚数a+bi(a≠0)?巩固知识典型例题例1指出下列复数的实部和虚部，并判定它们是实数还是虚数？如果是虚数是否为纯虚数？(1)z1=3-i；(2)z2=3；(3)z3=-1i． 4解 (1) z1的实部a=3，虚部b=-1，它是虚数，但不是纯虚数；(2) z2的实部a=3b=0，它是实数；(3) z3的实部a=0，虚部b=-动脑思考探索新知如果两个复数a+bi（a,b∈r）与c+di（c,d∈r）的实部与虚部分别相等，那么称这两个复数相等.记作a+bi=c+di，即 1，它是虚数，且是纯虚数. 4a+bi=c+di ?a=c且b=d.（3.1）特别地a+bi=0?a=0且b=0．(3.2)巩固知识典型例题例2已知(x-2)+xi=1-(x-3y)i，其中x，y是实数，求x和y的值．解根据公式(3.1) ，得?x-2=1， ?x=-(x-3y)，?解方程组得x＝3，y＝2．例3求复数z1=-20+33i，z2=-解 z1=-20-33i，z2=运用知识强化练习1. 指出下列复数的实部和虚部：(1)2-3i；(2) -32.求下列复数的共轭复数：(1) 11+6i； (2) -3-8i.继续探索活动探究 (1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3．1（必做）；学习与训练训练题3．1（选做） 3i，z3=-7的共轭复数. 43i，z3=-7. 4第三十四课时：复数的几何意义（一）【教学目标】知识目标：（1）理解复数的几何意义．（2）会求复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式．能力目标：通过复数的模、辐角和辐角主值以及复数的三角形式的学习，使学生的计算技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数的几何表示．（2）复数的三角形式、指数形式、极坐标形式.【教学难点】复数的代数形式转化为三角形式．【教学设计】在讲解复平面和复数的几何表示时，自然的建立了复数z=a+bi与直角坐标平面内的点z（a,b）之间的一一对应关系，于是复数z=a+bi （a,b∈r）可以用直角坐标系平面中的点z(a,b)表示．建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数，虚轴上除去原点以外的点都表示纯虚数．要y轴叫做虚轴，【课时安排】1课时．【教学过程】动脑思考探索新知1.复数的点表示【篇二：高二数学电子教案】第一章算法初步1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固. 三维目标1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点教学重点：算法的含义及应用.教学难点：写出解决一类问题的算法. 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1（情境导入）一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路2（情境导入）大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？答案：分三步，第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念. 思路3（直接导入）算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 推进新课新知探究提出问题（1）解二元一次方程组有几种方法？?x-2y=-1,(1)（2）结合教材实例?总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤. 2x+y=1,(2)?（3）结合教材实例??x-2y=-1,(1)总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.?2x+y=1,(2)（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤. （5）根据上述实例谈谈你对算法的理解. （6）请同学们总结算法的特征. （7）请思考我们学习算法的意义. 讨论结果：（1）代入消元法和加减消元法. （2）回顾二元一次方程组?x-2y=-1,(1)的求解过程，我们可以归纳出以下步骤： ??2x+y=1,(2)35. ?x=1第五步，得到方程组的解为??,?5???y=35.(3)用代入消元法解二元一次方程组??x-2y=-1,(1)2x+y=1,(2)我们可以归纳出以下步骤： ?第一步，由①得x=2y－1.③第二步，把③代入②，得2(2y－1)+y=1.④第三步，解④得y=3535－1=15. ?x=1,第五步，得到方程组的解为???5???y=35.(4)对于一般的二元一次方程组??a1x+b1y=c1,(1)?a2x+b2y=c2,(2)b2c1-b1c2a.1b2-a2b1a1c2-a2c1.a1b2-a2b1b2c1-b1c2?x=,?ab-ab?1221第五步，得到方程组的解为?ac-ac21?y=12.?a1b2-a2b1?(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例思路1例1 （1）设计一个算法，判断7是否为质数. （2）设计一个算法，判断35是否为质数. 算法分析：（1）根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数. 算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7. 第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7. 第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7. 第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数. （2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35. 第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数. 点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练请写出判断n(n2)是否为质数的算法.分析：对于任意的整数n(n2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质第三步，用i除n,得到余数r.第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.2例2 写出用“二分法”求方程x-2=0 (x0)的近似解的算法.22分析：令f(x)=x-2,则方程x-2=0 (x0)的解就是函数f(x)的零点.2a b. 2第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.于是，开区间（1.414 062 5,1.417 968 75）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求2的近似值的一个算法.点评：算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续??思路2例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？请设计算法. 分析：任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势. 解：具体算法如下：算法步骤：第一步：人带两只狼过河，并自己返回. 第二步：人带一只狼过河，自己返回.第三步：人带两只羚羊过河，并带两只狼返回. 第四步：人带一只羊过河，自己返回. 第五步：人带两只狼过河. 点评：算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.例2 喝一杯茶需要这样几个步骤：洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：如何安排这几个步骤？并给出两种算法，再加以比较．分析：本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．解：算法一：第一步，洗刷水壶. 第二步，烧水. 第三步，洗刷茶具. 第四步，沏茶. 算法二：第一步，洗刷水壶.第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具. 第三步，沏茶. 点评：解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．例3 写出通过尺轨作图确定线段ab一个5等分点的算法.分析：我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务. 解：算法分析：第一步，从已知线段的左端点a出发，任意作一条与ab不平行的射线ap. 第二步，在射线上任取一个不同于端点a的点c，得到线段ac. 第三步，在射线上沿ac的方向截取线段ce=ac. 第四步，在射线上沿ac的方向截取线段ef=ac. 第五步，在射线上沿ac的方向截取线段fg=ac.第六步，在射线上沿ac的方向截取线段gd=ac，那么线段ad=5ac. 第七步，连结db.【篇三：人教版高二数学教案】【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了人教版高二数学教案，希望能给大家带来帮助!一、教学目标根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下：(1)知识与技能目标：1、了解微积分基本定理的含义;2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.(2)过程与方法目标：通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.(3)情感、态度与价值观目标：1、学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力;2、了解微积分的科学价值、文化价值.3、教学重点、难点重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.难点：了解微积分基本定理的含义.二、教学设计复习：1. 定积分定义：其中 --积分号， -积分上限， -积分下限， -被积函数， -积分变量，-积分区间2.定积分的几何意义：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号.曲边图形面积： ;变速运动路程： ;3.定积分的性质：性质1性质2性质3性质4二. 引入新课：计算 (1) (2)上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一般方法。
第17章复数及其应用 教案(全) 中职数学第四册
老师对于学生练习进行点评总结归纳本堂课内容1-m=0点评：明确复数的分类，正确把握复数实部和虚部的取值范围是关键.【举一反三】设复数z=log2(m2－3m－3)+i log2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.四.课堂练习1. 如果222(32)z a a a a i=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）A．1或2-B．1-或2C．1或2 D．1-或2-2. 0=a是复数),(Rbabia∈+为纯虚数的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分条件也非必要条件3．已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.若M∩P=｛3｝，则实数m的值为（）A.－1B.－1或4C.6D.6或－14. 已知m∈R，复数z=1)2(-+mmm+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数.五.课堂总结本节课我们主要学习了虚数单位i和复数的定义，了解了虚数、纯虚数和实数的区别，并将数系进行了扩充：六.课外作业学生动手练习，巩固本堂课内容学生总结归纳本堂课内容教师板书教师对于学生练习进行点评教师补充（三）复数的除法那么它们的商：三、例题讲解四、巩固练习：课本66页练习五、课堂小结：复数代数形式的加、减、乘、除四则运算法则。
六、课后作业：课本68页习题1师生共同完成例题学生计算学生计算学生练习并上台板书学生总结123123()()z z z z z z⋅⋅=⋅⋅结合律：1221z z z z⋅=⋅交换律：1231213++z z z z z z z⋅=⋅⋅分配律：（）12,,(,,,)z a bi z c di a b c d R=+=+∈设任意两个复数：23,56,+-i i=-+=-121212例1、设复数z z求z z，z z2+3,+-i=例2、设复数z求z z，z z332(2-)32(32)-ii i i i--+2例、计算：（1）（）（2）（）（3）（32）1iii-2+例4、计算：（1）（2）1+教师板书展示教师总结新课讲授教师讲解复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数←−−−→一一对应复平面内的点←−−−→一一对应平面向量（数）（形）建立了平面直角坐标系来表示------复数平面(简称复平面)x轴------实轴y轴------虚轴小结：复数的几何意义：1复数与复平面内的点是一一对应的2复数与复平面内向量oz一一对应的（二）复数的模与辐角思考：实数绝对值的几何意义？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗?1、复数z=a+bi(a，b∈R)的模：定义：复平面内表示复数z=a+bi的点z（a，b）到原点的距离2、复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角：定义：以x轴正半轴为始边，复平面内表OZ为终边的角叫做复数Z的辐角（复数的辐角不唯一）辐角的主值：(]-Zππ复数在，内的辅角叫做辐角的主值，记作argZ规定：复数0的辐角是任意值三、典型例题例1．下列命题中的假命题是（）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；学生理解记忆学生思考学生练习2z z=四、巩固练习：课本70、72、已知复数134z=-Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为∈R)的z值有几个？满足课题17.3（2）复数的三角形式课型新课学时2教学目标1.掌握复数三角形式的定义2.能进行复数的代数形式与三角形式的互化教学重点复数的三角形式教学难点复数的代数形式与三角形式的互化教学方法讲授法、启发、引导教学设备课本，教学参考书，PPT教学过程教学环节及时间分配教学活动内容学生活动内容教师提问，检查学生掌握情况知识新授典型例题讲解一、复习引入1、复数的表示的三种方法：2、复数的模与辐角22r z OZ a b===+(]=-θππ辐角argZ的范围：，二、新知探究1、思考：Z=a+bi,模为r,辐角为θ，用r、θ表示a,b：a=rCosθ，b=rSinθ，∴a+bi=rCosθ+iSinθ= r（Cosθ+iSin θ）2、z=r（Cosθ+Sinθ）为复数的三角形式三、典型例题例1．指出下列复数的模和辐角0000cos+isin(cos70+isin70)(cos20-isin20)πππ（1）（2）3（3）44复习巩固概念理解记忆学生思考并尝试解答课题§17.4棣莫弗定理与欧拉公式课型新课学时2教学目标1.掌握复数三角形式的乘除法运算法则；2.能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算。
新教材人教B版高中数学必修第四册教案设计-复数的几何意义
10.1.2复数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.了解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)3．掌握复数模的定义及求模公式．(重点)通过复数的几何意义的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？思考：(1)复数相等的充要条件表明，任何一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )都可由一个有序实数对(a ，b )唯一确定，而有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？(2)我们知道平面直角坐标系中的点A 与以原点O 为起点、A 为终点的向量OA →是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？1．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x 轴上的点对应的都是实数，x 轴称为实轴，y 轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，因此称y 轴为虚轴．x 轴的单位是1，y 轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.2．复数的几何意义平面直角坐标系中的点Z (a ，b )唯一确定一个以原点O 为始点，Z 为终点的向量OZ →，则(1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →.3．复数的模、共轭复数 (1)复数的模设OZ →＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则向量OZ →＝(a ，b )的长度称为复数z ＝a ＋b i 的模(或绝对值)，复数z 的模用|z |表示，因此|z |＝a 2＋b 2.(2)共轭复数①如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 表示．②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．[拓展]在复平面内，共轭复数表示的两个点关于实轴对称．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． ( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． ( ) (3)复数的模一定是正实数． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限．]3．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2A [依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或m ＝3.]4．若复数z 1＝3＋a i ，z 2＝b ＋4i(a ，b ∈R )，且z 1与z 2互为共轭复数，则z ＝a ＋b i 的模为________．5 [∵z 1＝3＋a i ，z 2＝b ＋4i 互为共轭复数，∴⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3，∴z ＝－4＋3i ， ∴|z |＝(－42)＋32＝5.]复数与复平面内点的关系【例1A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝1＋3i 和z ＝1－3i 在复平面内的对应点关于( ) A ．实轴对称B ．一、三象限的角平分线对称C ．虚轴对称D ．二、四象限的角平分线对称(3)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(1)B (2)A (3)A [(1)由复数的几何意义知z ＝－1＋2i 对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B ．(2)复数z ＝1＋3i 在复平面内的对应点为Z 1(1，3)． 复数z ＝1－3i 在复平面内的对应点为Z 2(1，－3)． 点Z 1与Z 2关于实轴对称，故选A ．(3)z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 对应点的坐标为(m ＋3，m －1)，该点在第四象限，所以⎩⎨⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1.故选A ．]解答复数与复平面内点的关系问题的一般思路(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[跟进训练]1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上．分别求实数m 的取值范围．[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得⎩⎨⎧ m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＞0，∴⎩⎨⎧－1＜m ＜2，m ＞2或m ＜1， ∴－1＜m ＜1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2.∴m ＝2.综上所述，(1)当m ＝2或m ＝－1时，复数z 对应的点在虚轴上； (2)当－1＜m ＜1时，复数z 对应的点在第二象限； (3)当m ＝2时，复数z 对应的点在直线y ＝x 上．复数的几何意义【例2】 B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．[思路探究] 思路一：写出A ，B ，C 的坐标→设D 的坐标(x ，y )→由AC ，BD 的中点重合列方程组→解方程组得x ，y →得D 对应的复数[解] 法一：由已知得A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)， 则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知E 也是BD 的中点， 设D (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.即D (3,3)，∴D 点对应复数为3＋3i.法二：由已知：OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)， ∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)， ∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)， ∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)， 即点D 对应复数为3＋3i.复数几何意义包含的两种情况(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．[跟进训练]2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i(1)C (2)D [(1)由题意知A (6,5)，B (－2,3)，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C ．(2)由题意知，OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(5,5)，∴对应的复数为5＋5i ，故选D ．]复数的模1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i? [提示] 复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.2．若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R )在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？[提示] a 满足⎩⎨⎧a ＋1＞0，a －1＜0，即－1＜a ＜1.【例3】 (1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．3i C ．±3i D ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－9＋i 的模，并比较它们模的大小． [思路探究] (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．(1)D [设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D ．](2)[解] 因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－9＋i ， 所以|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝(－9)2＋12＝82. 因为10＞82， 所以|z 1|>|z 2|.复数的模的计算问题(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．(2)两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[跟进训练]3．(1)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的集合构成的图形是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆 (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围． (1)A [由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝－1应舍去，故应选A ．] (2)[解] ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<4， ∴a 2<7，∴a ∈(－7， 7)．知识：1．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)； (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2.(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．方法：如果Z是复平面内表示复数z＝a＋b i(a，b∈R)的点，则(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上；当a＝b＝0时，点Z为原点．(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．(4)当a＞0时，点Z位于虚轴右边的半平面内；当a＜0时，点Z位于虚轴左边的半平面内．1．已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称B[在复平面内对应于复数a－b i，－a－b i的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．]2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为()A．(1，i) B．(1，－i) C．(1,1) D．(1，－1)D[复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．] 3．(一题两空)已知复数z＝3＋2i，则z＝______________；|z|＝____________.3－2i13 [∵z ＝3＋2i ，∴z ＝3－2i ，|z |＝32＋22＝13.]4．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|＜|z 2|，那么实数a 的取值范围是________．(－1,1) [|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝(－2)2＋12＝5， 又因为|z 1|＜|z 2|，所以a 2＋4＜5，解得－1＜a ＜1.]5．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． [解] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即3x ＋6＝0，x ＝－2时， 点Z 位于直线x －y －3＝0上．。
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案第一篇：复数的几何意义教案课题：复数的几何意义学校姓名一、教学目标：（1）能够类比实数的几何意义说出复数几何意义（2）会利用几何意义求复数的模；（3）能够说出共轭复数的概念二、教学重点、难点：重点：复数的几何意义以及复数的模难点：复数的几何意义及模的综合应用三、教学方法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义和复数的模公式。
四、教学过程：（一）课题引入实数的几何意义1.提问：在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示→数轴上的点实数←−−−(数)(形)（二）新知探究探究一：复数的几何意义思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗？（教师提出问题，学生思考，进行小组讨论）。
通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系。
从而找到复数的几何意义。
思考2：平面向量oz的坐标为 ,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？一一对应通过思考2，让学生能够把复数和位置向量相结合，从而推导复数的另一个几何意义。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即一一对应一一对应复数←−−−→复平面内的点←−−−→平面向量（数）（形）建立了平面直角坐标系来表示------复数平面(简称复平面)x轴------实轴 y轴------虚轴小结：复数的几何意义：1复数与复平面内的点是一一对应的2复数与复平面内向量oz一一对应的复平面的有关概念介绍 1复平面2实轴表示实数3虚轴除原点外都是纯虚数探究二：复数的模思考：实数绝对值的几何意义？通过类比，你能说出复数的模几何意义吗? 复数z=a+bi(a，b∈R)的模：|z|=OZ= 共轭复数：（三）典型例题例1．辨析下列命题中的假命题是（）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
复数的应用教案
复数的应用教课目的1．掌握复数模的运算性质及辐角的运算性质，并会在解题中运用．2．理解复数运算的几何意义，并能用数形联合解题．3．在复数集中会解一元二次方程，并认识一元二次方程的根在复数集内的特色．要点难点要点：复数运算的几何意义．难点：灵巧应用复数运算的几何意义，数形联合解相关复数的题及一些几何题．教课过程在掌握复数运算法例的基础上，还需要进一步理解复数运算的特色及运算的几何意义．因为成立了复数与复平面上从原点出发的向量的一一对应关系，使复数与几何成立了亲密的关系，所以数形联合在复数中有着宽泛的应用，应用数形联合解题也是复数这一内容中一定掌握的数学思想方法．在复数集内，一元 n 次方程有 n 个根，这是复数与实数的重要差别．对实系数一元二次方程，在复数集内根的特色一定明确．一、复数模与辐角的运算性质1．复数模的运算性质( 设 z1， z2∈ C)(1)||z1|-|z 2||≤|z 1+z2|≤|z 1|+|z 2| ①1 2|| ≤ |z 1-z2| ≤ |z1 2| ②||z |-|z |+|z在②式中，右侧等号成立的条件与①式中左侧等号成立的条件同样，左侧等号成立的条件是①式中右侧等号成立的条件．(ii)在①式和②式中，若左、右两边均取不等号，则其几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．(iii) 对①，②两式要会证明，其证明思路是设z1， z2的代数形式，转变为不等式的证明．(iv)对①式，可推行： |z 1+z2+ +z n| ≤|z 1|+|z 2|+ +|z n| ，但等号成立的条件考察起来很麻烦，要慎用．(v)若 x， y∈ R，则有 ||x|-|y||≤ |x± y|≤ |x|+|y|，但等号成立的条件、几何意义、证明方法都不同样，要注意差别．(2)|z12 z2|=|z 1| 2 |z 2| ．*（ 5） |z 1+z2| 2+|z 1-z 2| 2=2（ |z 1| 2+|z 2| 2）．这个式子的几何意义是平行四边形两条对角线长的平方和等于四个边长的平方和．2．复数辐角的运算性质（z1， z2∈ C）（1） z12 z2的辐角等于z1与 z2的辐角之和．（3） z1n（ n∈N）的辐角等于z1的辐角的n 倍．3．平面曲线的复变量方程（1） argz= α ．表示以（ 0，0）为起点，与x 轴正向夹角为α 的射线．（2）|z-z 1|=|z-z 2|，此中z1，z2 为复常数．表示以z1，z2在复平面上对应点为端点的线段垂直均分线．（3） |z|=r （ r ＞ 0）．表示以（ 0， 0）为圆心， r 为半径的圆．|z-z0|=r （ z0为复常数， r ＞ 0）．表示以 z0在复平面上对应点为圆心， r 为半径的圆．而 |z-z 0| ＞ r 或|z-z 0| ＜ r 则表示该圆的外面或内部．（4） |z-z 1|+|z-z 2|=2a（z1，z2 为复常数，2a＞|z 1-z 2|＞0）．表示以z1，z2 在复平面上对应点为焦点，长轴长为 2a 的椭圆．（5） ||z-z 1|-|z-z 2||=2a（z1，z2 为复常数，|z 1-z 2|＞2a＞0）．表示以z1，z2 在复平面上对应点为焦点，实轴长为2a 的双曲线．z ， z ， z ，则重心对应的复数为（z +z +z ）．（6）设三角形三个极点对应的复数分别为1 2 3 1 2 3（7）设复平面上Z1， Z2对应的复数分别为z1， z2， P 分的例 3 已知 z ∈ C ，且 |z|=1 ．(1)求 |z-3+5i| 的最大、最小值； (2)求 arg(z-2) 的最大、最小值． 剖析|z|=1表示在复平面上 z 所对应的点的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的圆． |z-3+5i|=|z-(3-5i)|表示已知圆上的点与点 A(3 ，-5) 的距离； arg(z-2) 表示 x 轴的正向与圆 |z|=1 上的点与点 (2 ，0) 的差向量在 [0 ，2π ) 内的角．(1)剖析一第一转变为分析几何的图形问题．如图 1．当 z 所对应剖析二 经过运算来解决问题．因为 |z|=1 ，所以设 z=cos θ +isin θ ，则 |z-3+5i| 2=(cos θ -3)2+(sin θ评论 以上两种解决问题的方法要求娴熟掌握．剖析一表现了复数与几何的关系， 突出了数形联合； 剖析二表现了已知复数的模设复数三角形式的优胜性．假如此题设 z=x+yi ，则 x 2+y 2=1，|z-3+5i|2=35-2(3x-5y)，这就需要用分析几何圆的知识，求3x-5y 的范围，明显不如剖析二来得直接，但剖析二需要用三角知识，所以三角的变形公式需要掌握才行．剖析三应用关系式 ||z1 |-|z2 || ≤ |z1 ± z| ≤ |z |+|z| 解决问题．2 1 1(2)剖析一 直接转变为图形．当z-2 在复平面上对应的向量与圆相切时， arg(z-2) 取最大、最小值，如图 3．可是注意，此时z-2 对应的向假如先作换元，设z-2=u ，则 z=u+2，于是 |u+2|=1 ， u 在复平面上对应点的轨迹是以G(-2 ， 0) 为圆心， 1 为半径的圆 ( 图 4) ．当 u 在复平面图 4 比图 3更直观．剖析二设 z=x+yi ，则 x2+y 2=1x∈ [-1 ， 1] ．≤1，这就需要波及到三角的协助角公式．比较一下，仍是设代数形式更熟习一些．评论从 (1) 、(2) 的几种剖析中，能够看出两点，一是数形联合的作用；二是复数形式的选择，这在解题中是十分重要的．一条射线，如图5．|z+5-i|+|z|最小值的意义是在射线上找一点P，使它到A(-5 ， 1) 与 O(0，0) 的距离之和最小，这明显是分析几何的对称问题．易二、复数运算的几何意义1．复数代数形式的加、减法——平行四边形法例，三角形法例．2．复数三角形式乘法、除法的几何意义——向量的旋转与伸缩．(1)在实质解题时，不论向量逆时针旋转仍是顺时针旋转，往常都用复数的乘法．当向量逆时针旋转θ角时，乘以cos θ +isin θ；当向量顺时针旋转θ角时，乘以 cos θ -isin θ ．(2)由除法的几何意义可知，θ1- θ2与两个向量的夹角相关．所以能够用两个复数相除获得两个向量的夹角．对复数的这一点理解，对解相关图形的问题十分重要．(3)用复数相除求两个向量的夹角与用分析几何的夹角公式求两条直线的夹角是一致的．这点留给大家自己推导．例 6 若复数 z ， z ，z +z 均不为零，它们在复平面上对应的点分别为A， B，C， O为坐标原点．1 2 1 2(1)若 |z 1-z 2|=|z 1+z 2| ，则四边形OACB的形状是 ____；剖析由复数加法的几何意义得OACB为平行四边形．(1)由题意得 |OC|=|AB| ，所以 OACB为矩形；(2)当λ ≠1 时，得 OC⊥ AB，|OC| ≠|AB| ，所以 OACB为菱形；当λ =1 时，得 OC⊥ AB且 |OC|=|AB| ，所以OACB为正方形．例 7 已知正方形 ABCD， A(1 ， -2) ， B(2 ， -1) ，求 C， D点的坐标．剖析因为正方形每个内角为90°，所以问题转变为复数向量的旋转比较方便．因为 AC的中点也是BD的中点，由中点坐标公式得C(1 ， 0) ， C′ (3 ， -2) ．评论(1) 因为复数与几何成立了联系，所以复数题、几何题作题方法上能够相互转变．(2) 在平面图形中，若两条线段所夹的角为特别角( 如 90°， 60°等 ) ，则把问题转变为复数向量的旋转比较方便．3．复数的开方(1)随意一个非零复数的n 次方根是n 个不一样的复数，这 n 个复数的(2)任一个非零复数的n 次方根在复平面上所对应的点平均地散布在以原点为圆心的同一个圆上，这些点依次连结成正n 边形．(3)1 的三次方根能够这样得出：性质：4．对于一元二次方程(1)对复系数一元二次方程，求根公式、根与系数关系成立．(2)假如一元二次方程的系数有虚数，则不可以用b2-4ac 来判断根的状况，即b2-4ac 是实系数方程实根的判别式．(3)实系数一元二次方程如有虚根，则两个虚根互为共轭复数．成图形的面积是____．剖析方程的三个根在复平面上对应点按序连线围成正三角形，正三角形外接圆的半径为|x| ．例 9 方程 (1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0 有实根，务实数 a 的值及方程的根．解设 x∈ R，则有由②得 x=3 或 x=-1 ．-1， -1+4i ．三、综合题剖析例 10已知方程x2-mx+5=0 的两个虚根为x1， x2，且 |x 1-x 2|=2 ，务实数m的值．剖析一m2-20 ＜0．剖析三设方程两根为a± bi(a ， b∈R， b≠ 0) ．则所以 m=± 4．-x | 是一个虚数的模，所以|x -x | ≠(x -x ) 评论注意： |x1 2 2 2 1 2 ．1 2解法一设 z1=2(cos α +isin α ) ，z2=3(cos β +isin β ) ，则①2+② 2 得分别为 A，B， C，且此三点组成以 A 为直角极点的△ABC，求复数 z．解设 |z|=r，则依据复数相等，得平面上所对应的点分别为P，Q．证明△ POQ是等腰直角三角形( 此中 O为原点 ) ．的等腰直角三角形．ω4=cosπ+isinπ =-1，所以 OP⊥ OQ且 |OP|=|OQ| ，即△ OPQ是以∠ POQ为直角的等腰直角三角形．(1)求 |z| 的取值范围；(2)求 argz 的取值范围．剖析解设题目波及了 |z| 和 argz ，所以能够设复数的三角形式z=r(cos θ +isin θ ) ．我们还能够利用模的运算关系式来解．即若 z1，z2在复平面上对应点分别为A，B，求△ AOB面积的最大、最小值．即△AOB面积最小1，最大为4．为例 16设复数会合M={z||z-2+i| ≤ 2， z∈ C} ∩{z||z-2-i|=|z-4+i| ， z∈ C}．(1)在复平面内作出表示会合M的图形，并说出图形的名称；(2)求会合 M中元素 z 的辐角主值的范围；(3)求会合 M中元素 z 的模的范围．解设 z=x+yi ∈ M(x， y∈ R)．由题意，得(x-2) 2+(y+1) 2≤ 4； (x-2) 2+(y-1) 2=(x-4)2+(y+1) 2，即x-y-3=0，(1)会合 M的图形是圆 (x-2) 2+(y+1) 2≤4 内的直线 x-y-3=0上的一段线段AB，如图 7；(2)设复数 A， B 的一个辐角分别为α ，β ，则作 OE⊥ AB于 E，则 E 为会合 M中模最小的复数．|OE| 为原点到能力训练1．设 z∈ C，若 |z|=1 ，要使 |1-i+z|最大，则argz 应等于[][]A ．一条直线B．一条线段C．圆D．一个点内 A∩B 所表示的图形面积是[]为______．7．在复平面内，已知等边三角形的两个极点所表示的复数分别为2，8．非零复数z1， z2对应复平面上的点Z1， Z2，下边给出 4 个式子(1)求 |z+2| 的取值范围；(2)求 argz 的取值范围．10．设非零复数α，β 在复平面上对应的点为 A，B，且知足α2+2α β +2β2=0．若β =a-2i ，argα=arctan2 ，务实数 a 的值及△ AOB的面积．11．在复数集内分解因式：2x 2-x+2 ．坐标方程．14．设 a∈R 且 a≠ 0，方程 ax 2+x+1=0 的根知足 |x+1|=1 ，务实数 a 的取值范围．15．设 a＞1， b＞ 0，对于 x 的方程 x2+(b+ai)x+(1+bi)=0起码有一个实根，求 a 为什么值时， b 有最小值．17．设 O为复平面的原点，Z1和 Z2为复平面上的两个动点，而且②△Z1OZ2的面积为定值S．(1)求△ Z1OZ2的重心 Z 所对应复数模的最小值；答案提示1． B 2． A 3． C8．②③13．设 z1=cos α+isinα ，z2=cosβ +isinβ ，所以cosα -cosβ设计说明本教课设计的目的是在学生掌握复数基础知识的基础上，灵巧应用．所之内容的特色是灵巧、综合．因为波及的内容宽泛，学生会感觉有困难，但当前高考对“复数”的要求有所降低，所以题目不易过难、过杂，还应环绕基本观点和运算进行，不然学生不知所措，达不到预期的成效．。
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老师对于学生练习进行点评
总结归纳本堂课内容
1
-
m=0
点评：明确复数的分类，正确把握复数实部和虚部的取值范围是关键.
【举一反三】
设复数z=log2(m2－3m－3)+i log2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，
求m的值.
四.课堂练习
1. 如果22
2(32)
z a a a a i
=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）
A．1或2-B．1-或2
C．1或2 D．1-或2-
2. 0
=
a是复数)
,
(R
b
a
bi
a∈
+为纯虚数的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分条件也非必要条件
3．已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，
3｝.若M∩P=｛3｝，则实数m的值为（）
A.－1
B.－1或4
C.6
D.6或－1
4. 已知m∈R，复数z=
1
)2
(
-
+
m
m
m
+(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z
∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数.
五.课堂总结
本节课我们主要学习了虚数单位i和复数的定义，了解了虚数、纯虚
数和实数的区别，并将数系进行了扩充：
六.课外作业
学生动手练习，巩
固本堂课内容
学生总结归纳本
堂课内容
教师板书
教师对于学生练习进行点评
教师补充
（三）复数的除法
那么它们的商：
三、例题讲解
四、巩固练习：课本66页练习
五、课堂小结：
复数代数形式的加、减、乘、除四则运算法则。
六、课后作业：课本68页习题1
师生共同完成例
题
学生计算
学生计算
学生练习并上台
板书
学生总结
123123
()()
z z z z z z
⋅⋅=⋅⋅
结合律：
1221
z z z z
⋅=⋅
交换律：
1231213
++
z z z z z z z
⋅=⋅⋅
分配律：（）
12
,,(,,,)
z a bi z c di a b c d R
=+=+∈
设任意两个复数：
23,56,+-
i i
=-+=-
121212
例1、设复数z z求z z，z z
2+3,+-
i
=
例2、设复数z求z z，z z
3
32(2-)32(32)-i
i i i i
--+2
例、计算：
（1）（）（2）（）（3）（32）
1
i
i
i
-
2+
例4、计算：（1）（2）
1+
教师板书展示
教师总结新课讲授教师讲解复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数←−−−→
一一对应复平面内的点←−−−→
一一对应平面向量
（数）（形）
建立了平面直角坐标系来表示------复数平面
(简称复平面)
x轴------实轴y轴------虚轴
小结：复数的几何意义：
1复数与复平面内的点是一一对应的
2复数与复平面内向量oz一一对应的
（二）复数的模与辐角
思考：实数绝对值的几何意义？通过类比，你能说出复数的模几何意义
吗?
1、复数z=a+bi(a，b∈R)的模：
定义：复平面内表示复数z=a+bi的点z（a，b）到原点的距离
2、复数z=a+bi(a，b∈R)的辐角：
定义：以x轴正半轴为始边，复平面内表OZ为终边的角叫做复数Z的
辐角（复数的辐角不唯一）
辐角的主值：(]
-
Zππ
复数在，内的辅角叫做辐角的主值，记作argZ
规定：复数0的辐角是任意值
三、典型例题
例1．下列命题中的假命题是（）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
学生理解记忆
学生思考
学生练习
2
z z
=
四、巩固练习：课本70、72
、已知复数
134
z=-
Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为∈R)的z值有几个？满足
课题17.3（2）复数的三角形式课型新课学时2
教学目标1.掌握复数三角形式的定义
2.能进行复数的代数形式与三角形式的互化
教学重点复数的三角形式
教学难点复数的代数形式与三角形式的互化
教学方法讲授法、启发、引导
教学设备课本，教学参考书，PPT
教学过程
教学环节及
时间分配
教学活动内容学生活动内容
教师提问，检查学生掌握情况
知识新授
典型例题讲解
一、复习引入
1、复数的表示的三种方法：
2、复数的模与辐角
22
r z OZ a b
===+
(]
=-
θππ
辐角argZ的范围：，
二、新知探究
1、思考：Z=a+bi,模为r,辐角为θ，用r、θ表示a,b：
a=rCosθ，b=rSinθ，∴a+bi=rCosθ+iSinθ= r（Cosθ+iSin θ）
2、z=r（Cosθ+Sinθ）为复数的三角形式
三、典型例题
例1．指出下列复数的模和辐角
0000
cos+isin(cos70+isin70)(cos20-isin20)
ππ
π
（1）（2）3（3）
44
复习巩固
概念理解记忆
学生思考并尝试
解答
课题§17.4棣莫弗定理与欧拉公式课型新课学时2
教学目标1.掌握复数三角形式的乘除法运算法则；
2.能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算。
教学重点复数三角形式的乘除运算法则
教学难点复数三角形式的乘除运算法则
教学方法任务驱动法小组合作学习法
教学设备课本，多媒体
教学过程
教学环节及
时间分配
教学活动内容学生活动内容
老师提问，检查掌握情况
老师演示公式推导过程
老师板书，展示解题过程一、温故知新
1.复数的代数形式：
2.复数的三角形式：
二、新课讲授：
探究1：
例1：
3cos isin4(cos isin).
661212
ππππ
+⋅+
计算：（）
学生口述
学生尝试自主推
导
公式记忆
学生思考
老师点评学生解题情况
老师演示公式推导过程
老师板书，展示解题过程
老师点评学生解题情况
老师演示公式推导过程练习1：
4cos120isin1203(cos30isin30).
︒+︒⋅︒+︒
计算：（）
探究2：
例2：
6(cos70isin70)3(cos40isin40).
+÷+
计算：[][]
练习2：
6(cos50isin50
.
3(cos20isin20)
︒+︒
︒+︒
）
计算：
探究3：
学生训练
学生尝试自主推
导
公式记忆
学生思考
学生训练
学生尝试自主推
导
公式记忆
老师板书，展示解题过程
老师点评学生解题情况
老师演示公式推导过程
老师板书，展示解题过程
老师点评学生解题情况
老师演示公式推导过程
92012
(1)(cos40isin40);(2)(13i).
++
计算：
练习3：
64
31
(1)(cos5i sin5);(2)(i).
22
+-
计算：
探究4：
例4：
i i
i62
(1)2(2)3(3)10.
e e e
ππ
π
将下列复数化成三角形式和代数形式：
；；
练习4：
3
i
i i
3
44
(1)(2)3(3)5.
e e e
π
ππ
将下列复数化成三角形式和代数形式：
；；
探究5：
学生训练
学生尝试自主推
导
公式记忆
学生思考
学生训练
学生尝试自主推
导。