2016年_2018年立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）

（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r ，则

12384r ⨯⨯==163

r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.

考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为

22142222

r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.

考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；

（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1易证EG ⊥AC ，通过计算可证EG ⊥FG ，根据线面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz ，利用向量法可求出异面直线AE 与CF 所成角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接BD ，设BD∩AC=G，连接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1，

由∠ABC=120°，可得由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，

又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ，

在Rt △EBG 中，可得，故DF=2

.

在Rt △FDG 中，可得

在直角梯形BDFE 中，由BD=2，，可得， ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，

∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，

∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长

度，建立空间直角坐标系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （00），E （），F （－

1,0，

2），C （00），∴AE =（1，CF =（-1，，2

）.…10分

故cos ,3||||

AE CF AE CF AE CF ⋅

<>==-. 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为

3. 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力

4、（2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A ．81

B ．71

C ．61

D ．5

1 【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，

设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566

a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 考点：三视图． 5、（2015年2卷9题）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B．64π C．144π D ．256π

【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326

O ABC C AOB V V R R R --==

⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．

6、（2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，

1

=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设

(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则0,0,

n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取

(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15

n AF

n AF n AF ⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515．

考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．

7、（2016年1卷6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283

π,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π

D D

C A E

F A B C

B