通信原理教程(第三版)樊昌信 部分课后习题答案

第一章：
信息量、平均信息速率、码元速率、信息速率 第二章：
习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成：
()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=0.5，P (θ=π/2)=0.5
试求E [X (t )]和X R (0,1)。

解
：
E [X (t )]=P (θ=0)2
cos(2)
t π+P (θ= π/2)
2cos(2)=cos(2)sin 22
t t t π
πππ+
-
cos t ω
习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成：
()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：为功率信号。

[]/2
/2/2
/21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dt T ττπθπτθ→∞-→∞
-=+=+++⎰
⎰
222cos(2)j t j t e e πππτ-==+
2222()()()(1)(1)
j f j t
j t j f X P f R e d e
e e d
f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++⎰⎰
习题2.6 试求X (t )=A cos t ω的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

解：R (t ，t+τ)=E [X (t )X (t+τ)] =[]cos *cos()E A t A t ωωτ+
[]221cos cos (2)cos ()22
A A E t R ωτωτωττ=++== 功率P =R(0)=2
2
A
习题2.10 已知噪声()t n 的自相关函数()ττk -e 2
k R n =，k 为常数。

(1)试求其功率谱密度函数()f P n 和功率P ；(2)画出()τn R 和()f P n 的曲线。

解：(1)222()()2(2)
k j j n n k k P f R e
d e e d k f τωτ
ωττττπ-+∞-+∞--∞
-∞
===+⎰⎰
()20k R P n ==
(2)()n R τ和()f P n 的曲线如图2-2所示。

图2-2
习题2.16 设有一个LC 低通滤波器如图2-4所示。

若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
2
n 的高斯白噪声时，试求 (1) 输出噪声的自相关函数。

(2)
解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为 H(f)=
2221221422j fC f LC
j fL
j fC
ππππ=
-+
输出过程的功率谱密度为2
0021
()()()21i n P P H LC
ωωωω==
-
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为
00()exp()4Cn C
R L L
ττ=
- (2) 输出亦是高斯过程，因此 20
000(0)()(0)4Cn R R R L
σ=-∞==
第三章：
习题3.1 设一个载波的表达式为()5cos1000c t t π=，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+cos200t π。

试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。

解： ()()()()()t t t c t m t s ππ1000cos 5200cos 1+==
()
t t t t
t t ππππππ800cos 1200cos 2
5
1000cos 51000cos 200cos 51000cos 5++=+= 由傅里叶变换得
()()()[]()()[]()()[]4004004
5
6006004
550050025
-+++-+++-++=
f f f f f f f S δδδδδδ
已调信号的频谱如图3-1所示。

图2-4LC 低通滤波器
习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ ，基带调制信号是频率为2 kHZ 的单一正弦波，调制频移等于5kHZ 。

试求其调制指数和已调信号带宽。

解：由题意，已知m f =2kHZ ，f ∆=5kHZ ，则调制指数为
5
2.52
f m f m f ∆=
== 已调信号带宽为 2()2(52)14 kHZ m B f f =∆+=+= 习题
3.8
设角度调制信号的表达式为
63()10cos(2*1010cos 2*10)s t t t ππ=+。

试求：
（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。

解：（1）该角波的瞬时角频率为
6()2*102000sin 2000t t ωπππ=+
故最大频偏 200010*
10 kHZ 2f π
π
∆== （2）调频指数 3
31010*1010
f m f m f ∆===
故已调信号的最大相移10 rad θ∆=。

（3）因为FM 波与PM 波的带宽形式相同，即2(1)FM f m B m f =+，所以已调信号的带宽为
B=2(10+1)*31022 kHZ =
第四章：
不失真的最小抽样频率、抽样值、频谱分布图、信噪比、输出码组、量化误差、量化 第五章：
习题5.1 若消息码序列为1101001000001，试求出AMI 和3HDB 码的相应序列。

解： A MI 码为 3HDB 码为
习题5.5 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲)(t g [见图5-2的有无表示，并且它们出现的概率相等，码元持续时间等于T 。

试求：
（1） 该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线；
率。

解：
1
0100010010111
000001001011
+--+-++-+-+O T
图5-2 习题5.5图1
（1）由图5-21得
⎪⎩
⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=其他 02,21)(T t t T A t g
)(t g 的频谱函数为： ⎪⎭
⎫
⎝⎛=
42)(2wT
Sa AT w G 由题意，()()2110/P P P ===，且有)(1t g =)(t g ,)(2t g =0，所以)
()(1f G t G =0)(,2=f G 。

将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式中，可得
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
∑∑∑∑∞
∞
-∞∞-∞
∞-∞
∞-T m f m Sa A wT Sa T A T m f T m G T wT Sa T A T T m f T m G P T
f G P P T T m f T m G P T m PG T
f G f G P P T f P s δπδδδ216
416214441)1(1)()1(1)1(1)()()1(1)(42422
4222
22
212
21
曲线如图5-3所示。

图
5.3 习题5.5
图2
（2）二进制数字基带信号的离散谱分量为
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∑∞
∞
-T m f m Sa A w P v δπ216
)(42
当m =±1时，f=±1/T ，代入上式得
⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T f Sa A T f Sa A w P v 12161216)(4242δπδπ
T
T
T T T
O
因为该二进制数字基带信号中存在f=1/T 的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提取码元同步需要的f=1/T 的频率分量。

该频率分量的功率为
42
424242422216216πππ
ππA A A Sa A Sa A S =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
习题5.6 设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形)(t g 为矩形脉冲，如图5-4所示，其高度等于1，持续时间3τ =T/，T 为码元宽度；且正极性脉冲出现的概率为4
3
，负极性脉冲出现的概率为
4
1。

（1） 试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线； （2）
1
试计算其功率。

图5-4 习题5.6图
解：（1）基带脉冲波形)(t g 可表示为：
⎩⎨
⎧≤=其他
02
/t 1)(τt g )(t g 的傅里叶变化为：⎪⎭
⎫
⎝⎛=
=33)()(Tf Sa T f Sa f G ππττ 该二进制信号序列的功率谱密度为：
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
∑∑∞-∞=∞
-∞=T m f m Sa f G T T m f T m G P T m PG T f G f G P P T f P m m δπδ336
1)(43)1(1)()()1(1)(222
21221曲线如图5-5所示。

T /1P
图5-5 习题5.6图
（2） 二进制数字基带信号的离散谱分量为
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
∑∞
-∞
=T m f m Sa f P m v δπ3361)(2 当1±=m , T
f 1
±
=时，代入上式得 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
T f Sa T f Sa f P v 1336113361)(22δπδπ 因此，该序列中存在/T f 1=的离散分量。

其功率为：
2
2
283
3/3/sin 3613/3/sin 361πππππ=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=v P
习题5.8 设一个基带传输系统的传输函数)(f H 如图5-7所示。

（1） 试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式：
（2） 若其中基带信号的码元传输速率0B 2f R =，试用奈奎斯特准
图5-7 习题5.8图
解：（1）由图5-25可得)(f H =⎩⎨
⎧≤-
0f /100其他f f f 。

因为⎩⎨⎧≤-=其他
0t ,/1)(T T t t g ，所以)()(2fT TSa f G π=。

根据对称性：
,
,),()(),j ()(0f T t f t g f G t g f G →→→↔-所以
)()(020t f Sa f t h π=。

（2）当0B 2f R =时，需要以0B 2f R f ==为间隔对)(f H 进行分段叠加，即分析在区间][0,0f f -叠加函数的特性。

由于在][0,0f f -区间，)(f H 不是一个常数，所以有码间干扰。

习题5.9 设一个二进制基带传输系统的传输函数为
⎩⎨
⎧≤+=其他,
02/1),2cos 1()(0
00ττπτf f f H 试确定该系统最高的码元传输速率B R 及相应的码元持续时间T 。

解：)(f H 的波形如图5-8所示。

由图可知，)(f H 为升余弦传输特性，根据奈奎斯特第一准则，可等效为理想低通（矩形）特性（如图虚线所示）。

等效矩形带宽为
01412121ττ=⨯=
W 最高码元传输速率 0
1212τ=
=W R B 相应的码元间隔 02/1τ==B S R T
习题5.23 为了传送码元速率
310B R Baud
=的数字基待信号， 试问系统采用图
5-14 中所画的哪一种传输特性较好？并简要说明其理由。

解：
根据奈奎斯特准则可以证明(a)，(b)和(c)三种传输函数均能满足无码间干扰的要求。

下面我们从频带利用率，冲击响应“尾巴”衰减快慢，实现难易程度
等三个方面分析对比三种传输函数的好坏。

(1) 频带利用率
三种波形的传输速率均为310B R Baud
=，传输函数(a)的带宽为
3
10a B =
Hz
其频带利用率
/1000/10001/a B b R B Baud Hz η===
传输函数(c)的带宽为3
10c B =Hz
其频带利用率
/1000/10001/c B c R B Baud Hz η===
显然
a b c ηηη<=
所以从频带利用率角度来看，(b)和(c)较好。

(2) 冲击响应“尾巴”衰减快慢程度
(a)，(b)和(c)三种传输函数的时域波形分别为
32333323()2*10(2*10)()2*10(2*10)()10(10)
a b c h t Sa t h t Sa t h t Sa t πππ===
其中(a)和(c)的尾巴以2
1/t 的速度衰减，而(b) 尾巴以 1/t 的速度衰减，故从时域波形的尾巴衰减速度来看，传输特性(a)和(c)较好。

(3) 从实现难易程度来看，因为(b)为理想低通特性，物理上不易实现，而(a)和(c)相对较易实现。

综上所述，传输特性(c)较好。

第六章：
习题 6.6 设有一个4DPSK 信号，其信息速率为2400 b/s ，载波频率为1800 Hz ，试问每个码元中包含多少个载波周期？
解：4DPSK 信号的码元速率为
Bd 1200224004log 2b B ===R R
所以每个码元中包含5.11200
1800
=个载波周期。

习题 6.8 设一个2FSK 传输系统的两个载频分别等于10 MHz 和
10.4 MHz ，码元传输速率为6102⨯ Bd ，接收端解调器输入信号的峰值振幅V 40μ=A ，加性高斯白噪声的单边功率谱密度180106-⨯=n W/Hz 。

试求：
（1）
采用非相干解调（包络检波）时的误码率；
（2） 采用相干解调时的误码率。

解：（1） 2FSK 信号采用非相干解调时的误码率221
r e e P -=。

信号带宽为 Hz 104.41022104.0266601⨯=⨯⨯+⨯=+-=B R f f B
()3.3104.4106210160021040261812026
22=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯==---B n A r n
σ 因此，72e 1031.121
--⨯==r e P 。

（2） 2FSK 信号采用相干解调时的误码率为
[]
721019.0 21 1 2erfc 21--⨯=>>=r e e r r r P π
习题 6.10 试证明用倍频-分频法提取2PSK 信号的载波时，在经过整流后的信号频谱中包含离散的载频分量。

证明： 2PSK 信号经过倍频-分频电路后，输出信号频率与载波频率相同，但此时信号中不再仅有交流成分，而是包含直流成分，根据
第5章的知识可知：包含有直流成分的周期信号（频率与载波相同）的频谱中包含离散的载频分量。