计算机图形学直线生成

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实验报告二
－－ＤＤＡ算法
ＤＤＡ算法描述 ＤＤＡ算法的复杂度描述
ＤＤＡ算法实例1：
（Ａ１（100，200）和Ａ２（500，400）） 的源代码 ＤＤＡ算法实例2： （Ａ１（100，400）和Ａ２（500，200）） 的源代码
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Bresenham算法
Bresenham算法1965年提出，在生成直线的算法中， Bresenham算法是最有效的算法。Bresenham算法是一种 基于误差判别式来生成直线的方法。
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根据误差项d决定y是否增1
yi+1
y
P2
d2
d1 y yi (k（xi 1) b) yi
d1 d 2 2k ( xi 1 ） 2 yi 2b 1
d 2 ( yi 1) y yi 1 (k（xi 1) b) y i
xi
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一、基本思想
比较从理想直线到位于直线上方的像素的距离d1 和相邻的位于直线下方的像素的距离d2，根据距离误 差项的符号确定与理想直线最近的象素。
y yk+1 y yk
0
P2
P
P1 xk xk+1
}
}d
2
d1 x
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一、基本思想（续）
如图3-3所示，对于直线斜率k在0~1之间的情况，从给定线段 的左端点P0(x0, y0)开始，逐步处理每个后续列(x位置)，并在扫 描线y值最接近线段的像素上绘出一点。 假设当前直线上的像素坐标为 (xi, yi)，那么下一步需要在列 xi+1上确定扫描线y的值。
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二、直线DDA算法思想（续） 之所以取x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向，是考虑 沿着线段分布的象素应均匀，这在下图中可看出。
9ห้องสมุดไป่ตู้
举例: 线段P0(0,0)和P1(5,2)的DDA方法扫描转换。 x 0 1 2 3 4 5 int(y+0.4) y+0.4 0 0 1 1 2 2 0+0.4 0.4+0.4 0.8+0.4 1.2+0.4
0 1 2 3 4 5 Line: P 0 (0, 0)-- P 1 (5, 2)
3 2
1
1.6+0.4 2.0+0.4
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三、 直线DDA算法的思考
？复杂度：加法+取整
给定两个端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，线段的斜率k和截距b为：
k ( y1 y0 ) /( x1 x0 )
0
0 0 1 1
Line: P
(0, 0)-- P 1
(5, 2)
3 2
1
0
1
2
3
4
5
2 2
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三、 Bresenham画线算法的实现
条件：0≤k≤1且x1<x2 1、输入线段的两个端点坐标和画线颜色： x1，y1， x2，y2，color； 2、设置象素坐标初值：x=x1，y=y1； 3、设置初始误差判别值：d=2·Δy-Δx； 4、分别计算：Δx=x2-x1、Δy=y2-y1； 5、循环实现直线的生成： for(x=x1；x<=x2；x++) { setPixel(x,y,color) ； if(d>=0) { y=y+1； d=d+2·(Δy-Δx)； } else d=d+2·Δy；
Pd
Xi+1
1
P1
设Δ y=y1－y0, Δ x=x1－x0，则k=Δ y/Δ x，代入上式，得；
x(d1 d 2 ) 2 y xi 2 x yi 2 y x(2b 1)
是常量，与像素位置无关
c 2y x(2b 1)
令di x(d1 d 2 )
直线的扫描转换 数学直线 光栅直线
3
2.3 线的生成算法
由于一幅图中可能包含成千上万条直线，所以要求绘 制算法应该： 1、最接近数学上的直线； 2、画线速度尽可能的快； 3、沿着线段分布的象素应均匀。 不均匀的例子 如右图，对同样长 的线段进行图中的 扫描转换，会因为 斜率不同，产生的 象素个数不相等， 这样将导致象素亮 度分布不均匀。
1
2.1 光栅图形中点的表示
(x,y)坐标
…
地址线性表 显示屏幕
1D表示
2D表示
像素由其左下角坐标表示
2
2.2直线的扫描转换
一、数学直线 二、光栅平面显示的直线 三、直线的扫描转换 在数学上，理想的 在光栅显示平面上， 直线的扫描转换， 直线是一条没有宽度的 只能用二维光栅格网上尽 就是要找出显示平面上 、由无数个无限小的连 可能靠近这条直线的象素 最佳逼近理想直线的那 续的点构成的集合。 点的集合来表示它。每个 些象素的坐标值，并将 象素的坐标 x和y只能是整 这些象素置成所要求的 颜色。 数，也就是说相邻象素的 坐标值是阶跃的而不是连 续的。
我们首先讨论k=△y/△x，当0<k<1且x1<x2且y1<y2时的 Bresenham算法。从DDA直线算法可知这些条件成立时， 公式(2-2)、(2-3)可写成： xi+1=xi+△x
(2－2)
xi+1=xi+1 yi+1=yi+k
(2－6) (2－7)
yi+1=yi+△y=yi+△x· k
(2－3)
第2章 基本光栅图形生成技术
显示器是由离散像素组成的矩阵，在绘制具有连续性质的 直线、曲线或区域等基本图形时，需要确定最佳逼近它们的像 素，这个过程称为光栅化。
虽然几乎所有的程序设计语言都提供了线、圆弧、填充等 的绘制函数，但只有学习了基本图形的生成原理和算法，才能 超越具体程序设计语言的限制，满足用户的特殊绘图要求。 假定，编程语言提供了一个显示像素函数： SetPixel(x,y,color); 其中，x和y为像素的位置坐标，color为像素的颜色。
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数值微分(DDA)法
数值微分法即DDA法(Digital Differential Analyzer)，是一种 基于直线的微分方程来生成直线的方法。
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一、直线DDA算法描述： 设(x1，y1)和(x2，y2)分别为所求直线的起点和终点坐标，由 直线的微分方程得直线的斜率k：
= k =直线的斜率
(2－1)
1. 可通过计算由x方向的增量△x引起y的改变来生成直线： xi+1=xi+△x yi+1=yi+△y=yi+△x· k
(2－2) (2－3)
2. 也可通过计算由y方向的增量△y引起x的改变来生成直线： yi+1=yi+△y
(2－4)
xi+1=xi+△x=xi+△y/k
(2－5)
7 式(2－2)至(2－5)是递推的。
（ i+1,int( i+1+0.5))
x
y
（ i, i)
x y
（ i+1, i+1)
x
y
（ i,int( i+0.5))
x
y
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四、 直线DDA算法的实现 1、已知直线的两端点坐标：(x1，y1)，(x2，y2) 2、已知画线的颜色：color 3、计算两个方向的变化量： △x =x2－x1 △y =y2－y1 4、求出两个方向最大变化量的绝对值： steps=max(| △x |，| △y |) 5、计算两个方向的增量(考虑了生成方向)： dx = △x / steps dy = △y / steps 6、设置初始象素坐标：x=x1,y=y1 7、用循环实现直线的绘制： for(i=1；i<=steps；i++) { SetPixel(x，int( y+ △y ),color)； x=x+ dx ； y=y+ dy ； }
int i=1;
while(i<=length){ SetPixel (x, y, color); x=x+dx; y=int (y+dy ); i++;
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六、直线DDA算法特点：
DDA算法简单，实现容易；
DDA算法与基本算法相比，减少了浮点乘法，提高了效率。
但是由于在循环中涉及实型数的运算（x与dx、y与dy用浮点 数表示），每一步要进行取整，因此生成直线的速度较慢， 不利于硬件实现，因而效率仍有待提高。
di1 di 2y 2x
yi1 yi
，则：
di1 di 2y
对于每个整数x，从线段的坐标端点开始，循环的进行误差量的计 算。假设直线的初始端点恰好是其象素点的坐标，即满足： y0=kx0+b, 在起始像素(x0，y0)的第一个参数d0为：
d 0 2y x
di1 di 2 y ( xi1 xi ) 2 x ( yi1 yi )
此时参数C已经消去，且xi+1=xi+1,得：
di1 di 2 y 2 x ( yi1 yi )
如果选择右上方像素，即：yi1 yi 1，则： 如果选择右方像素，即：
决策变量di与0之间的大小关系 如何确定下一个像素点的决策变量di+1
是否可以找出di与di+1的关系式
如何确定第一个决策变量di
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di x(d1 d 2 ) 2 y xi 2 x yi c
对于i+1步，误差参数为：
di1 2 y xi1 2 x yi1 c
二、直线DDA算法思想： 选定|x2－x1|和|y2－y1|中较大者作为步进方向(假设|x2－x1| 较大)，取该方向上的增量为一个象素单位(△x=1)，然后利用 式(2－1)计算另一个方向的增量 △ y=△x· k=k)。通过递推公式 究竟用方法1, 还是方法( 2 来生成直线？ (2－2)至(2－5)，把每次计算出的(xi+1，yi+1)经取整后送到显示 为什么？ 器输出，则得到扫描转换后的直线。 算法实现中还应注意直线的生成方向，以决定Δx及Δy是 取正值还是负值。
则di的计算仅包括整数运算，其符号与(d1-d2)的符号相同。 当di<0时，像素(xi＋1，yi)与直线上理想位置更接近，应取右方像素； 当di>0时，像素(xi＋1，yi＋1)与直线上理想位置更接近； 当di=0时，两个像素与直线上理想位置一样接近，可约定取(xi＋1，yi＋1)。
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思考问题
yi+1 y yi
P2
d2
Pd
xi
Xi+1
1
P1
y值要么不变，要么递增 1，可通过比较d1和d2来 决定。
图3-3 根据误差量来确定理想的像素点
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二、直线Bresenham算法描述：
Bresenham算法也是采用递推步进的办法，令每次最大变 化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差 判别式的符号来决定是否也要步进一个象素。
b y0 k x0
画线过程从x的左端点x0开始，向x右端点步进，步长=1(像素)，计算相应的 y坐标：y=kx+b，取像素点(x, int(y))作为当前点的坐标。 计算 yi+1= kxi+1+b=k(xi+ x)+b= kxi+b+kx
= yi+kx
当x =1时 yi+1 = yi+k 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。
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决策变量di的作用
决定当前像素点的纵坐标（横坐
标）是加1还是不变 决定下一个像素点的决策变量 di+1的表达式 di1 di 2y 2x
OR
di1 di 2y
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举例: 线段P0(0,0)和P1(5,2)的Bresenham方法扫描转换。 x 0 1 2·Δy-Δx＝－1 2 d+2·Δy＝3 3 d+2·(Δy-Δx)＝－3 4 d+2·Δy＝1 5 d+2·(Δy-Δx)＝－5 d y
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五、DDA算法生成直线的部分JAVA语言程序 float dx, dy; int length; if (Math.abs(x1-x0)>=Math.abs(y1-y0)) length=Math.abs(x1-x0); else length=Math.abs(y1-y0); dx = (float)Math.abs(x1-x0)/length; dy = (float) Math.abs(y1-y0)/length; float x= x0; float y= y0;
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直线的生成算法
斜率截距直线方程： y kx b k表示斜率，b是y轴截距。
给定两个端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)， 线段的斜率k和截距b为：
k y / x ( y1 y0 ) /( x1 x0 )
b y0 k x0
从起点到终点，x每次增加(或减少)1，用直线方程计算对应的y值，再用 SetPixel(x, int(y),color)输出该像素。 ? 复杂度： 乘法+加法+取整 缺点：每步都需要一个浮点乘法运算和一个取整运算，所以效率太低。