计算机图形学直线生成

直线的扫描转换 数学直线 光栅直线
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2.3 线的生成算法
由于一幅图中可能包含成千上万条直线，所以要求绘 制算法应该： 1、最接近数学上的直线； 2、画线速度尽可能的快； 3、沿着线段分布的象素应均匀。 不均匀的例子 如右图，对同样长 的线段进行图中的 扫描转换，会因为 斜率不同，产生的 象素个数不相等， 这样将导致象素亮 度分布不均匀。
0
0 0 1 1
Line: P
(0, 0)-- P 1
(5, 2)
3 2
1
0
1
2
3
4
5
2 2
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三、 Bresenham画线算法的实现
条件：0≤k≤1且x1<x2 1、输入线段的两个端点坐标和画线颜色： x1，y1， x2，y2，color； 2、设置象素坐标初值：x=x1，y=y1； 3、设置初始误差判别值：d=2·Δy-Δx； 4、分别计算：Δx=x2-x1、Δy=y2-y1； 5、循环实现直线的生成： for(x=x1；x<=x2；x++) { setPixel(x,y,color) ； if(d>=0) { y=y+1； d=d+2·(Δy-Δx)； } else d=d+2·Δy；
（ i+1,int( i+1+0.5))
x
y
（ i, i)
x y
（ i+1, i+1)
x
y
（ i,int( i+0.5))
x
y
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四、 直线DDA算法的实现 1、已知直线的两端点坐标：(x1，y1)，(x2，y2) 2、已知画线的颜色：color 3、计算两个方向的变化量： △x =x2－x1 △y =y2－y1 4、求出两个方向最大变化量的绝对值： steps=max(| △x |，| △y |) 5、计算两个方向的增量(考虑了生成方向)： dx = △x / steps dy = △y / steps 6、设置初始象素坐标：x=x1,y=y1 7、用循环实现直线的绘制： for(i=1；i<=steps；i++) { SetPixel(x，int( y+ △y ),color)； x=x+ dx ； y=y+ dy ； }
yi+1 y yi
P2
d2
Pd
xi
Xi+1
1
P1
y值要么不变，要么递增 1，可通过比较d1和d2来 决定。
图3-3 根据误差量来确定理想的像素点
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二、直线Bresenham算法描述：
Bresenham算法也是采用递推步进的办法，令每次最大变 化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差 判别式的符号来决定是否也要步进一个象素。
0 1 2 3 4 5 Line: P 0 (0, 0)-- P 1 (5, 2)
3 2
1
1.6+0.4 2.0+0.4
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三、 直线DDA算法的思考
？复杂度：加法+取整
给定两个端点P0(x0,y0)和P1(x1,y1)，线段的斜率k和截距b为：
k ( y1 y0 ) /( x1 x0 )
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根据误差项d决定y是否增1
yi+1
y
P2
d2
d1 y yi (k（xi 1) b) yi
d1 d 2 2k ( xi 1 ） 2 yi 2b 1
d 2 ( yi 1) y yi 1 (k（xi 1) b) y i
xi
我们首先讨论k=△y/△x，当0<k<1且x1<x2且y1<y2时的 Bresenham算法。从DDA直线算法可知这些条件成立时， 公式(2-2)、(2-3)可写成： xi+1=xi+△x
(2－2)
xi+1=xi+1 yi+1=yi+k
(2－6) (2－7)
yi+1=yi+△y=yi+△x· k
(2－3)
Pd
Xi+1
1
P1
设Δ y=y1－y0, Δ x=x1－x0，则k=Δ y/Δ x，代入上式，得；
x(d1 d 2 ) 2 y xi 2 x yi 2 y x(2b 1)
是常量，与像素位置无关
c 2y x(2b 1)
令di x(d1 d 2 )
di1 di 2 y ( xi1 xi ) 2 x ( yi1 yi )
此时参数C已经消去，且xi+1=xi+1,得：
di1 di 2 y 2 x ( yi1 yi )
如果选择右上方像素，即：yi1 yi 1，则： 如果选择右方像素，即：
决策变量di与0之间的大小关系 如何确定下一个像素点的决策变量di+1
是否可以找出di与di+1的关系式
如何确定第一个决策变量di
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di x(d1 d 2 ) 2 y xi 2 x yi c
对于i+1步，误差参数为：
Байду номын сангаас
di1 2 y xi1 2 x yi1 c
1
2.1 光栅图形中点的表示
(x,y)坐标
…
地址线性表 显示屏幕
1D表示
2D表示
像素由其左下角坐标表示
2
2.2直线的扫描转换
一、数学直线 二、光栅平面显示的直线 三、直线的扫描转换 在数学上，理想的 在光栅显示平面上， 直线的扫描转换， 直线是一条没有宽度的 只能用二维光栅格网上尽 就是要找出显示平面上 、由无数个无限小的连 可能靠近这条直线的象素 最佳逼近理想直线的那 续的点构成的集合。 点的集合来表示它。每个 些象素的坐标值，并将 象素的坐标 x和y只能是整 这些象素置成所要求的 颜色。 数，也就是说相邻象素的 坐标值是阶跃的而不是连 续的。
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五、DDA算法生成直线的部分JAVA语言程序 float dx, dy; int length; if (Math.abs(x1-x0)>=Math.abs(y1-y0)) length=Math.abs(x1-x0); else length=Math.abs(y1-y0); dx = (float)Math.abs(x1-x0)/length; dy = (float) Math.abs(y1-y0)/length; float x= x0; float y= y0;
b y0 k x0
画线过程从x的左端点x0开始，向x右端点步进，步长=1(像素)，计算相应的 y坐标：y=kx+b，取像素点(x, int(y))作为当前点的坐标。 计算 yi+1= kxi+1+b=k(xi+ x)+b= kxi+b+kx
= yi+kx
当x =1时 yi+1 = yi+k 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。
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二、直线DDA算法思想（续） 之所以取x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向，是考虑 沿着线段分布的象素应均匀，这在下图中可看出。
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举例: 线段P0(0,0)和P1(5,2)的DDA方法扫描转换。 x 0 1 2 3 4 5 int(y+0.4) y+0.4 0 0 1 1 2 2 0+0.4 0.4+0.4 0.8+0.4 1.2+0.4
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决策变量di的作用
决定当前像素点的纵坐标（横坐
标）是加1还是不变 决定下一个像素点的决策变量 di+1的表达式 di1 di 2y 2x
OR
di1 di 2y
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举例: 线段P0(0,0)和P1(5,2)的Bresenham方法扫描转换。 x 0 1 2·Δy-Δx＝－1 2 d+2·Δy＝3 3 d+2·(Δy-Δx)＝－3 4 d+2·Δy＝1 5 d+2·(Δy-Δx)＝－5 d y
int i=1;
while(i<=length){ SetPixel (x, y, color); x=x+dx; y=int (y+dy ); i++;
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六、直线DDA算法特点：
DDA算法简单，实现容易；
DDA算法与基本算法相比，减少了浮点乘法，提高了效率。
但是由于在循环中涉及实型数的运算（x与dx、y与dy用浮点 数表示），每一步要进行取整，因此生成直线的速度较慢， 不利于硬件实现，因而效率仍有待提高。
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一、基本思想
比较从理想直线到位于直线上方的像素的距离d1 和相邻的位于直线下方的像素的距离d2，根据距离误 差项的符号确定与理想直线最近的象素。
y yk+1 y yk
0
P2
P
P1 xk xk+1
}
}d
2
d1 x
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一、基本思想（续）
如图3-3所示，对于直线斜率k在0~1之间的情况，从给定线段 的左端点P0(x0, y0)开始，逐步处理每个后续列(x位置)，并在扫 描线y值最接近线段的像素上绘出一点。 假设当前直线上的像素坐标为 (xi, yi)，那么下一步需要在列 xi+1上确定扫描线y的值。
则di的计算仅包括整数运算，其符号与(d1-d2)的符号相同。 当di<0时，像素(xi＋1，yi)与直线上理想位置更接近，应取右方像素； 当di>0时，像素(xi＋1，yi＋1)与直线上理想位置更接近； 当di=0时，两个像素与直线上理想位置一样接近，可约定取(xi＋1，yi＋1)。