2018年全国2卷数学试卷及参考答案
2018年高考理科数学新课标全国2卷逐题解析
2018 年一般高等学校招生全国一致考试新课标2 卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及稿本纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要 求的。
1+2i1． 1-2i =( )4 3 4 3 343 4A ．- 5-5iB ． - 5 + 5iC ．- 5-5iD ． - 5 + 5i分析：选 D2．已知会集 A={(x,y)|x2+y 2≤ 3,x ∈Z,y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为 ( )A ． 9B ． 8C ． 5D ． 4分析：选 A 问题为确立圆面内整点个数3．函数 f(x)=e x -e -x的图像大体为 ( ) x 2分析：选 B f(x) 为奇函数，消除A,x>0,f(x)>0,消除 D, 取 x=2,f(2)=e 2-e -2>1, 应选 B44．已知向量 a ， b 满足 |a|=1 ， a · b=-1 ，则 a · (2a-b)= ( )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 0分析：选 B a · (2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=32－y 25．双曲线 x22 ＝1(a ＞ 0， b ＞ 0) 的离心率为 3，则其渐近线方程为( )ab23A ． y= ± 2xB ． y=± 3xC ． y=± 2 xD ． y=± 2 x分析：选 A e=222a3 c =3a b=C 56．在 ABC 中， cos 2= 5 ， BC=1， AC=5，则 AB= ( )A ．4 2B ． 30C ． 29D ．2 5分析：选 A cosC=2cos2C3 222-1= -AB=AC+BC-2AB · BC ·cosC=32 AB=4 2251 / 61 1 - 1 1 1( )7． 算 S=1- +3+⋯⋯+- ， 了右 的程序框 ， 在空白框中 填入2 499100开始N 0,Ti 1是100 否i1S NTN NiT T1出 Si 1束A ． i=i+1 B． i=i+2C ． i=i+3D． i=i+4分析： B8．我国数学家 景 在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界 先的成就． 哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示 两个素数的和”，如30=7+23．在不超 30 的素数中，随机 取两个不一样的数，其和等于30 的概率是 ()1111A ．B ．C ．D ．121415 18 分析： C不超30 的素数有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17，19， 23， 29 共 10 个，从中 2 个其和 30 的3 2= 17+23， 11+19， 13+17，共 3 种情况，所求概率 P= 15C109．在 方体 ABCD-AB C D 中， AB=BC=1， AA =3， 异面直 AD 与 DB 所成角的余弦 ()1 1 1 11111552A ．B ．C ．D ．5652分析： C建立空 坐 系，利用向量 角公式可得。
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年考研数学二真题及答案解析
2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++®x bx ax e xx，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数îíì³-=010,1)(x x x f ，＜，ïîïíì³--£-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且ò=1)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f ¢时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ¢¢时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f ¢时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ¢¢时，0)21(＜f 5.设dx x x M ò-++=22221)1(pp ，dx e x N x ò-+=221pp ，dx x K ò-+=22)cos 1(pp ，则（A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-òòòò----dy xy dx dy xy dxxxxx1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵÷÷øöççèæ100110011相似的为相似的为（A ）÷÷÷øöçççèæ1001101-11 （B ）÷÷÷øöçççèæ1001101-01 （C ）÷÷÷øöçççèæ1000101-11 （D ）÷÷÷øöçççèæ1000101-01 8.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++¥®= 。
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案
2018年高考全国二卷(全国卷Ⅱ)理科数学试题及答案1.已知复数 $\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{-43}{55}$，求其值。
2.已知集合 $A=\{(x,y)|x+y^2\leq 3,x\in Z,y\in Z\}$，求$A$ 中元素的个数。
3.函数 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2}$ 的图像大致为什么样子？4.已知向量 $a,b$ 满足 $|a|=1$，$a\cdot b=-1$，求 $a\cdot (2a-b)$ 的值。
5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $3$，求其渐近线方程。
6.在$\triangle ABC$ 中，$\cos A=\frac{4}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，求 $AB$ 的值。
7.设计一个程序框图来计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{100}$。
8.XXX猜想是“每个大于 $2$ 的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过 $30$ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 $30$ 的概率是多少？9.在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=BC=1$，$AA_1=3$，求异面直线$AD_1$ 和$DB_1$ 所成角的余弦值。
10.若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 上是减函数，求$a$ 的最大值。
11.已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，满足 $f(1-x)=f(1+x)$，且 $f(1)=2$，求$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)$ 的值。
12.已知 $F_1,F_2$ 是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是椭圆的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $3$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 是等腰三角形，且 $\angleF_1PF_2=120^\circ$，求椭圆的离心率。
2018年新课标I、II、III数学(文)(理)高考真题试卷(Word版含答案)
2018 年一般高等学校招生全国一致考试( Ⅰ卷 )文科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的九名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地点上．2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（此题共 12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的．）1．已知会合 A 0，2 ，B 2 ， 1，0 ，1，2 ，则AIB （）A． 0，2 B． 1，2 C． 0 D． 2， 1，0 ，1，21 i，则 z （）2．设z 2i1 iA．0 B．1C． 1 D． 2 23．某地域经过一年的新乡村建设，乡村的经济收入增添了一倍．实现翻番．为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况，统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入组成比率．获得以下饼图：则下边结论中不正确的选项是（）A．新乡村建设后，栽种收入减少B．新乡村建设后，其余收入增添了一倍以上C．新乡村建设后，养殖收入增添了一倍D．新乡村建设后，养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半4．记 S n为等差数列a n的前n项和．若 3S3 S2 S4， a1 2 ，则 a3 （）A．12 B．10 C．10 D． 125．设函数 f x x 3a 1 x 2ax ．若 f x 为奇函数， 则曲线 yf x 在点 0 ，0 处的切线方程为（）A ． y2xB ． y xC ． y 2xD ． y x6．在 △ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，uuurE 为 AD 的中点，则 EB （）A ． 3 uuur1 uuurB ． 1 uuur 3 uuur4 AB4 AC 4 AB AC4 C ． 3 uuur 1 uuur D ． 1 uuur 3 uuur 4 AB4 AC4 AB AC47．某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图以下图，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱 侧面上，从 M 到 N的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．2 17B ．2 5C ．3D ．28．设抛物线 C ：y24 x 的焦点为 F ，过点2 ，0 且斜率为2的直线与 C 交于 M ， N 两点，3uuuur uuur （）则FM FNA ．5B ． 6C ．7D ． 89．已知函数 f xx， ≤0 ， f xf x x a （），若 g x 存在 2 个零点， 则 a 的exln x ，x 0取值范围是A ． 1，0B ． ，C ． 1，D ． 1，10．下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆组成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC ， △ ABC 的三边所围成的地区记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1 ， p 2 ， p 3 ，则（ ）A ． p 1 p 2B ． p 1 p 3C ． p 2 p 3D ． p 1 p 2p 3211．已知双曲线 C ：xy 2 1 ， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐 3近线的交点分别为 M ， N ．若 △ OMN 为直角三角形，则 MN （） A ．3B ． 3C ．2 3D ． 4212．设函数 f x2 x， ≤ 0，则知足 f x 1f 2x 的 x 的取值范围是（）x 01，yA ．，1B ． 0，C ． 1，0D ． ，0二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f xlog 2 x 2 a ，若 f 31 ，则 a________．x 2 y 2 ≤ 014．若 x ，y 知足拘束条件x ≥ 0 ，则 z3x 2 y 的最大值为 ________．y 1y ≤ 015．直线 y x 1 与圆 x 2y 2 2 y 3 0 交于 A ，B 两点，则 AB________ ．16． △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 b sinC csin B4asin Bsin C ，b 2c 2 a 2 8 ，则 △ ABC 的面积为 ________．三、解答题（共70 分。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及标准答案
(总分：150.00，做题时间：180分钟)
一、单项选择题
选择题：1?8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(总题数：8，分数：32.00)
1. （分数：4.00）
A.a=1/2，b=-1
(1) 求f(x1,x2,x3) = 0 的解
(2) 求f(x1,x2,x3) 的规范型（分数：11.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(
）
解析：
12.曲线 对应点处的曲率为__________。（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
2/3
）
解析：
13.设函数z = z(x，y)由方程l __________。
（分数：4.00）
填空项1:__________________ （正确答案：
1/4
）
正确答案：(
)
解析：
19.将长为2m的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存 在最小值？若存在，求出最小值。
（分数：10.00）
__________________________________________________________________________________________
2
）
解析：
三、解答题
解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2018年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
2
2
（C）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （D）当 f (x) 0时， f (1) 0
2
2
【答案】（ D ）
【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为 x0
1 2
。
将函数
f
( x) 在
x0
1
处展开，有
2
f (x) f (1) f (1)(x 1) f ( ) (x 1)2 ，其中 1 x 。
1
ex ax2 bx1
ex ax2 bx1
x2
elim x0
ex
ax2 bx1 x2
，
x0
因此，
lim
ex
ax2
bx
1
0
lim
x
1 2
x2
ax2
bx
(x2 )
0
x0
x2
x0
x2
lim
x0
(1 2
a)x2
(1 x2
b)x
(x2)
0
1 2
a
0,1
b
0
或用“洛必达”： lim x0
ex
ax2 x2
x b 1, x 0
则 F(1) 1 a, F(0) 1 b, F(1 0) 2, F(0 0) 1,
因为函数连续，所以极限值等于函数值，即1 a 2,1 b 1 a 3,b 2 ，
故选 （D）.
4.
设函数
f
(
x)
在
[0,1]
上二阶可导。且
1
0
f
( x)dx
0 ，则
（）
（A）当 f (x) 0 时， f (1) 0 （B）当 f (x) 0 时， f (1) 0
2018年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.1212ii+=- 43. 55A i -- 43. 55B i -+ 34. 55C i -- 34. 55D i -+2.已知集合(){}22,3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为. 9A. 8B . 5C . 4D3.函数2()x xe ef x x--=的图象大致为4.已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-,则()2a a b ⋅-=. 4A . 3B . 2C . 0D5.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为. 2A y x =± . 3B y x =± 2. 2C y x =± 3. 2D y x =±6.在ABC ∆中,5cos ,1,5,25C BC AC ===则AB = . 42A . 30B . 29C. 25D 7.为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入. 1A i i =+ . 2B i i =+ . 3C i i =+ . 4D i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23. 在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是1.12A 1. 14B 1. 15C 1. 18D 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,11,3,AB BC AA ===则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为1. 5A5. 6B 5. 5C 2.2D 10.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是.4A π.2B π3.4C π .D π-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________11.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=. 50A -. 0B . 2C . 50D12.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A且斜率为6的直线上,12PF F ∆为等腰三角形,12120F F P ∠=,则C 的离心率为2. 3A 1. 2B 1. 3C 1. 4D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线2ln(1)y x =+在点()0,0处的切线方程为_____________.14.若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最大值为________.15.已知sin cos 1,cos sin 0αβαβ+=+=,则()sin αβ+=__________.16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA 、SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45.若SAB ∆的面积为则该圆锥的侧面积为__________.三、解答题（共70分。
2018年高考(四川省)真题数学(理)试题及答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-【答案】A2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10【答案】C3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
设点P 在线段。
2018全国高考新课标2卷文科数学试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i(2+3i)=( )A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i解析：选D2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=( )A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}解析：选C3．函数f(x)= e x-e-xx2的图像大致为( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e2-e-24>1,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( ) A．4 B．3 C．2 D．0解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3解析：选D 5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。
6．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A．y=±2x B．y=±3x C．y=±2 2xD．y=±3 2x解析：选A e= 3 c2=3a2b=2a7．在ΔABC中，cos C2=55，BC=1，AC=5，则AB= ( )A．4 2 B．30 C．29 D．2 5解析：选 A cosC=2cos2C2-1= -35AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4 28．为计算S=1- 12+13-14+……+199-1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4解析：选B9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE 与CD所成角的正切值为( )A．22B．32C．52D．72解析：选C 即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=5,故选C 10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是( )A．π4B．π2C．3π4D．π解析：选C f(x)= 2cos(x+π4),依据f(x)=cosx与f(x)= 2cos(x+π4)的图象关系知a的最大值为3π4。
2018年高考全国2卷文科数学带答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共注意事项:23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1•答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整、笔迹清楚。
3•请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4 •作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。
1. i(2+3i)=A. 3-2iB. 3 2iC. -3 _2iD. -3 2i2.已知集合A=「1,3,5,7 匚 B -「2,3,4,5 ［则 A^B =A.「3 ?B.C. ：3,5；D. 11,2,3,4,5,7 /3.函数 f(x)e x- e e 2e的图象大致为2 x4.已知向量 a , b 满足 | a |=1 , a b - -1，则 a (2a -b )=A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.32 26 •双曲线笃-1( a 0, b 0)的离心率为-3，则其渐近线方程为a bA. y =. 2xB. y = 3xC 占 C ・yx2D. y =二 3x2C7.在"Be 中，co 丁 5, BC=1 ,AC =5，贝U AB =A. 42B. , 30C.29D. 2 5绝密★启用前A. 45•从2名男同学和 B . 3 3名女同学中任选 C. 2 2人参加社区服务，则选中D. 02人都是女同学的概率为A CD&为计算S -1---- —，设计了右侧的程 2 3 499 100序框图，则在空白框中应填入A. i =i 1B. i =i 2C. i =i 3D. i =i 49.在长方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值为 A.二B.二C.」2 2 210 .若f (x) = cosx -sinx 在［0, a ］是减函数，则 a 的最大值是则C 的离心率为f(1) f (2) f(3) Hl • f (50)=二、 填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。
2018年全国卷理科数学真题及答案
一．选择题（共12小题）1．设z＝+2i，则|z|＝（）A．0B．C．1D．【解答】解：z＝+2i＝+2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a＝10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a＝2.5＞2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a＝2，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选：A．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴＝a1+a1+d+4a1+d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．5．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：＝2．故选：B．8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．则•＝（0，2）•（3，4）＝8．故选：D．9．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a 的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．10．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2+p3【解答】解：如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，∴r12＝r22+r32，∴SⅠ＝×4r2r3＝2r2r3，SⅢ＝×πr12﹣2r2r3，SⅡ＝×πr32+×πr22﹣SⅢ＝×πr32+×πr22﹣×πr12+2r2r3＝2r2r3，∴SⅠ＝SⅡ，∴P1＝P2，故选：A．11．已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3C．2D．4【解答】解：双曲线C：﹣y2＝1的渐近线方程为：y＝，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|＝＝3．故选：B．12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6×＝．故选：A．二、填空题（4题）13．若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象知当直线y＝﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：614．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n+1，①当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②，由①﹣②可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6＝＝﹣63，故答案为：﹣6315．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：1616．已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x＝或cos x＝﹣1，可得此时x＝，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x＝，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（）＝，f（π）＝0，f（）＝﹣，f（0）＝0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．三．解答题（共5小题）17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．18．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC 折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD＝∠FCD＝90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，故V F﹣PDE＝，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a在△PDE中，，所以，故V F﹣PDE＝，又因为，所以PH＝＝，所以在△PHD中，sin∠PDH＝＝，即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．19．设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．【解答】解：（1）c＝＝1，∴F（1，0），∵l与x轴垂直，∴x＝1，由，解得或，∴A（1.），或（1，﹣），∴直线AM的方程为y＝﹣x+，y＝x﹣，证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB＝+，由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得k MA+k MB＝，将y＝k（x﹣1）代入+y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k＝（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0从而k MA+k MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB．20．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）＝，∴＝，令f′（p）＝0，得p＝0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）＝490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．21．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，设g（x）＝x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则＝﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln＞x1﹣，即lnx1+lnx1＞x1﹣，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）＝2lnx﹣x +，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求导得h′（x ）＝﹣1﹣＝﹣＝﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x﹣﹣alnx＝﹣f（x），即f（x）+f（）＝0，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1＝，可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）＝≤0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．即＜a﹣2成立．四、选做题22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．故：，或解得：k＝或0，当k＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k＝或0经检验，直线与曲线C2．有两个交点．故C1的方程为：．23．已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，由f（x）＞1，∴或，解得x＞，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜，∴a＜∵＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．。
2018年高考全国卷2理科数学真题附含答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。
若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018新课标全国2卷(理数)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．i B． C． D．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．43．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．05．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．27．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+48．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f （1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．5012．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年考研数学二真题及答案解析
2018全国研究生入学考试考研数学二试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若1)(lim 212=++→x bx ax e xx ，则（）（A ）1,21-==b a （B ）1,21--==b a （C ）1,21==b a （D ）1,21-==b a 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是（A ）x x x f sin )(=（B ）x x x f sin )(=（C ）xx f cos )(=（D ）xx f cos)(=3.设函数⎩⎨⎧≥-=010,1)(x x x f ，＜，⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-=0,01,1-,2)(x b x x x x ax x g ＜＜，若)()(x g x f +在R 上连续，则（A ）1,3==b a （B ）2,3==b a （C ）1,3-==b a （D ）2,3-==b a 4.设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且⎰=10)(dx x f ，则（A ）0)(＜x f '时，0)21(＜f （B ）0)(＜x f ''时，0)21(＜f （C ）0)(＞x f '时，0)21(＜f （D ）0)(＞x f ''时，0)21(＜f 5.设dx x x M ⎰-++=22221)1(ππ，dx e xN x ⎰-+=221ππ，dx x K ⎰-+=22)cos 1(ππ，则 （A ）KN M ＞＞（B ）N K M ＞＞（C ）NM K ＞＞（D ）MN K ＞＞6.=-+-⎰⎰⎰⎰----dy xy dx dy xy dx x xx x1201222)1()1(（A ）35（B ）65（C ）37（D ）677.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-11（B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001101-01（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-11（D ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000101-018.设A ，B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则（A ）)() (A r AB A r =（B ）)() (A r BA A r =（C ）{})(),(max ) (B r A r B A r =（D ）)() (TTB A r B A r =二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.]arctan )1[arctan(lim 2x x x x -++∞→=。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（ ）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的离心力为3，则其渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±6．在ABC △中，5cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =（ ） A ．42B ．30C ．29D ．257．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15B C D ．210．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．4π B ．2π C ．43πD ．π11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题。
每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，153-=S ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型①：30.413.5y t =-+：根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型②：9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k ＞的直线l 与C 交于A B ，两点。
8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A B ，且与C 的准线相切的圆的方程． 20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 21．（12分）已知函数()2x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在()0+∞，只有一个零点，求a ．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一部分计分。
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x l a y l a =+⎧⎨=+⎩（l 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()12，，求l 的斜率． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数()52f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题4262+c a ，二、填空题13. x y 2= 14. 9 15.21- 16.π24016.设母线长为a,a a a 22OA 8055ASB sin 21S 22ABS ==⇒=∠=∆，所以 三、填空题17.解：（1）由153-=S 可得：15331-=+d a ，所以2=d ，所以92-=n a n（2）16-S 4,82)(n 21取最小值时，当=-=+=n n n na a S n n 18.解：（1）①1.22619*5.134.30y ^=+-=，5.2569*5.1799y ^=+=（2）对于模型①，当年份为2016年时，1.19917*5.134.30y ^=+-=对于模型②，当年份为2016年时，5.2217*5.1799y ^=+=比较而言，②的准确度高，误差较小，所以选择②19.解：(1)∵F （1,0），设直线)1(-=x k y ，联立0)42()1(422222=++-⇒⎩⎨⎧-==k x k x k x k y xy ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+142212221x x k k x x ，∵82AB 21=++=x x ，∴k=1,所以直线方程01=--y x （2）设AB 的中点为N （N N y x ,），设圆心为M （a,b ），所以圆的半径r=a+1因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=22322121y y y x x x N N ，所以MN 的方程为2)3(1+--=x y ，即05=-+y x所以22222-b 3-a MN ）（）（）（a x -=+=，由垂径定理：2222AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=MN r 即：()2232161）（-+=+a a 解得：113==a a 或所以圆的方程为：16)2()3(22=-+-y x 和144)6()11(22=++-y x 20.证明：连接BO ，因为AB=BC ，则BO ⊥AC ，所以BO=2又因为在△PAC 中，PA=PC=4，所以PO ⊥AC ，且32PO =，因为222PB OB PO =+，所以PO ⊥BO ，从而PO ⊥平面ABC ；（2）以为x 轴，以为y 轴，以为z 轴，设B C B M λ=，B （2,0,0），C （0,2,0）A （0，-2,0） P （0,0,32），设M （x,y,0）,所以)0,2,2(,0,,2B M -=-=BC y x ）（，所以）（0,2,2-2M λλ 设平面PAC 的法向量为)0,0,1(1=n ，设平面MPA 的法向量为),,(1112z y x n =，），（），，，（0,2-2-2-232-2-0λλ==所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=---=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅331330022222z y x n n λλ 因为二面角M PA C --为30︒，所以2330cos 0==得=λ31设PC 与平面PAM 所成角为θ，所以43sin ==θ 21解：（1）当a=1,2)(,2)(,)('''2-=-=-=xxx e x f x e x f x e x f当单调递增单调递减，)(,2ln )(,2ln ''x f x x f x ><，所以02ln 22)2(ln )(''>-=≥f x f所以是单调递增在),0[)(+∞x f ，所以1)0()(=≥f x f（3）令00)(2=-⇒=a x e x f x ，令a x e x g x -=2)(，32)(x x e x g x）（‘-=当单调递减时，)(,0)(2'x g x g x <<，单调递增时，)(,0)(2'x g x g x >>所以a e g x g -==4)2()(2min①当无零点时，)(,0)(4min 2x g x g e a >< ②当只有一个零点时，)(,0)(4min 2x g x g e a == ③0)(4min 2<>x g e a 时， 22.（1）曲线C 的直角坐标方程：116422=+y x 直线L 直角坐标方程：2)1(tan +-=x y α（2） 联立116422=+y x 与1cos 2sin x l ay l a =+⎧⎨=+⎩所以2tan ,0sin cos 4sin 4cos 8022221-=∴=++=+ααααα得t t 23.（1）当1a =时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+=2,2621,21,42)(x x x x x x f ，所以不等式()0f x ≥的解集为{}32≤≤-x x（2）若()1f x ≤，则42≥-++x a x ，因为22+≥-++a x a x 所以只需要6242-≤≥⇒≥+a a a 或 综上：a 的取值范围为{}26≥-≤a a a 或。