2018年全国2卷文科数学十年真题分类汇编6 数列

6 数列一．基础题组1. 【2014全国2，文5】等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 【2010全国2，文6】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 【答案】： C【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12，∴a 4＝4. ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝＝7a 4＝28. 3. 【2006全国2，文6】已知等差数列中，，则前10项的和＝( ) （A ）100 (B)210 (C)380 (D)400 【答案】B【解析】依题意可知：，，解得：， ∴. 4.【2005全国2，文7】如果数列是等差数列，则（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】∵数列是等差数列，∴， ∴.5. 【2012全国新课标，文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________． 【答案】：－2【解析】：由S 3=－3S 2，可得a 1+a 2+a 3=－3(a 1+a 2)， 即a 1(1+q +q 2)=－3a 1(1+q )，{}n a 248,,a a a {}n a n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1)2n n-177()2a a +{}n a 247,15a a ==10S 217a a d =+=41315a a d =+=14,3d a ==1011091091030421022S a d ⨯⨯=+=+⨯={}n a 1845a a a a +<+1845a a a a +=+1845a a a a +>+1845a a a a ={}n a m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+1845a a a a +=+化简整理得q 2+4q +4=0，解得q =－2．6. 【2007全国2，文14】已知数列的通项a n =-5n +2,则其前n 项和为S n = .【答案】：【解析】∵数列的通项a n =-5n +2,∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴其前n 项和. 7. 【2005全国2，文13】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________． 【答案】216【解析】由题意设，，∴，∴，∵，， ∴，而，∴.8. 【2015新课标2文数】 设是等差数列的前项和,若,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】【考点定位】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用.【名师点睛】本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的性质,利用此性质可得高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.9.【2013课标全国Ⅱ，文17】(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 【解析】：(1)设{a n }的公差为d . 由题意，＝a 1a 13，252n n--13a =-5d =-21()522n n n a a n nS +--==272183a =5272a =215243a a a a a ==2336a =2310a q a =>1803a =>330,6a a >=152436a a a a ==234216a a a =n S {}n a 1353a a a ++=5S =111532.a a a +=211a即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝(a 1＋a 3n －2)＝(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 10.【2010全国新课标，文17】设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．11. 【2007全国2，文17】（本小题满分10分）设等比数列 {a n }的公比q ＜1,前n 项和为S n .已知a 3=2,S 4=5S 2,求{a n }的通项公式.【解析】：由题设知，则由②得，，， 因为，解得或.2n 2n 11(1)01n n a q a S q-≠=-，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⨯=--=21)1(51)1(12214121q q a qq a q a 4215(1)q q -=-22(4)(1)0q q --=(2)(2)(1)(1)0q q q q -+-+=1q <1q =-2q =-当时，代入①得，通项公式； 当时，代入①得，通项公式. 12. 【2006全国2，文18】（本小题满分１２分） 设等比数列的前n 项和为，解得 所以 q ＝2或q ＝－2 将q ＝2代入①式得， 所以将q ＝－2代入①式得，所以13. 【2005全国2，文19】(本小题满分12分)已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，．(Ⅰ) 证明为等比数列； (Ⅱ) 如果数列前3项的和等于，求数列的首项和公差． 1q =-12a =12(1)n n a -=⨯-2q =-112a =11(2)2n n a -=⨯-{}n a n S 481,17,?n S S a ===求通项公式416q =1115a =1215n a -=115a =-1(1)25n n n a --⨯={}n a 1lg a 2lg a 4lg a 21nn b a =1,2,3,n = {}n b {}n b 724{}n a 1a【解析】(I)证明：∵、、成等差数列 ∴2=+，即又设等差数列的公差为，则(－)=(－3) 这样，从而(－)=0 ∵≠0 ∴=≠0∴ ∴是首项为=，公比为的等比数列。

(II)解。

∵ ∴=3 ∴==3 二．能力题组1. 【2014全国2，文16】数列满足，则________． 【答案】．2.【2015新课标2文数】已知等比数列满足,,则（ ）【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得,所以,故 ,选C.1lg a 2lg a 4lg a 2lg a 1lg a 4lg a 2214a a a ={}n a d 1a d 1a 1a d 21d a d =d d 1a d d 1a 122111(21)22n n n n n n a a d db a d =+-===∙{}n b 1b 12d 121231117(1)22424b b b d ++=++=d 1a d }{n a 2,1181=-=+a a a nn =1a 12{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8()235444412a a a a a ==-⇒=34182a q q a ==⇒=2112a a q ==【考点定位】本题主要考查等比数列性质及基本运算.【名师点睛】解决本题的关键是利用等比数列性质 得到一个关于 的一元二次方程,再通过解方程求的值,我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 3. 【2010全国2，文18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(＋)， a 3＋a 4＋a 5＝64(＋＋)． (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(a n ＋)2，求数列{b n }的前n 项和T n .b n ＝(a n ＋)2＝＋＋2＝4n －1＋＋2.因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋＋…＋)＋2n ＝＋＋2n 211n n n a a a -+=4a 4a 11a 21a 31a 41a 51a 1na 1na 2n a 21n a 114n -14114n -4141n--114114n --＝(4n －41－n)＋2n ＋1. 4. 【2005全国3，文20】(本小题满分12分)在等差数列中，公差的等差中项.已知数列成等比数列，求数列的通项【解析】：由题意得：……………1分 即…………3分 又…………4分 又成等比数列, ∴该数列的公比为，………6分 所以………8分又……………………………………10分所以数列的通项为……………………………12分三．拔高题组1. 【2012全国新课标，文12】数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830 【答案】D2.【2016新课标2文数】 (本小题满分12分) 等差数列{}中，. (Ⅰ)求{}的通项公式；13}{n a 412,0a a a d 与是≠ ,,,,,,2131n k k k a a a a a }{n k .n k 4122a a a =)3()(1121d a a d a +=+0,d ≠d a =∴1 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 3313===dda a q 113+⋅=n k a a n 11)1(a k d k a a n n k n =-+=13+=∴n n k }{n k 13+=n nk n a 34574,6a a a a +=+=n a(Ⅱ) 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如0.9]=0,2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24. 【解析】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求，，从而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求数列的前10项和.【考点】等差数列的通项公式，数列的求和 【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“表示不超过的最大整数”理解出错.3.【2017新课标2，文17】（12分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （1）若，求的通项公式； （2）若，求.[]n n b a ={}n b []x 235n n a +=1a d n a n b {}nb []x {}n a n S {}n b n T 11221,1,2a b a b =-=+=335a b +={}n b 321T =3S【答案】（1）；（2）当时，.当时，.【解析】试题分析：（1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和.试题解析：设的公差为d，的公比为q，则,.由得d+q=3.①【考点】等差、等比数列通项与求和【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.。