文科数学高考试题分类汇编(解三角形,三角函数)
全国卷文科数学试题汇编(3)三角函数与解三角形
全国卷文科数学试题集（3）——三角函数与解三角形一、选择题1．（2007全国卷）函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）2．（2007全国卷）若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） Ａ．72-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．723.（2008全国卷）函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A. －3，1B. －2，2C. －3，32D. －2，324.（2009全国卷1）sin 585°的值为(A) 22-(B)22 (C)32- (D) 325.（2009全国卷1）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)=(A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-6.（2009全国卷1）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 7．（2009新课标2）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A =(A) 1213 (B) 513 (C) 513- (D) 1213-yx11- 2π- 3π- O6π πy x11-2π- 3π- O 6ππ yx11-2π-3πO 6π- πy xπ 2π-6π- 1 O1-3π Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．8．（2009新课标2）若将函数)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π个单位长度后，与函数)6tan(πω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为(A)61 (B)41 (C)31 (D)219.（2009全国卷1）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R ，2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈， sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,π，1cos 2sin 2xx -= 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+=其中假命题的是（ ）A ．1p ，4pB ．2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，3p 10.（2010全国卷1）(1)cos300︒=(A)32-(B)-12 (C)12 (D) 3211.（2010全国卷1）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= . 12.（2010新课标.宁夏）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为13.（2010新课标宁夏卷）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+=（A ）-7210 （B ）7210 （C ）2 -10 （D ）21014．（2010新课标2）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-= （A ）53-（B ）19- （C ）19 （D ）5315.（2011全国卷1）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 16.（2011全国卷2）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A ． 45-B ．35-C ．35D ．4517.（2011全国卷2）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称18.（2012全国卷1）（3）若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π （B ）32π （C ）23π （D ）35π19.（2012全国卷1）已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）252420.（2013全国卷1）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）121321.（2013新课标1）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）222.(2014全国卷1)已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=( ) A.45 B. 35 C. －35 D. －4523.（2014新课标2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α24.（2014新课标2）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③25.（2015新课标1）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈二、填空题26.已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______．27.（2010新课标宁夏卷）在ABC 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC AB =,则BD=_____28.（2010新课标2）已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________ 29.（2011全国卷1）已知3(,)2παπ∈,tan 2α=,则cos α= . 30．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．31.（2012全国卷1）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-（15）当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________.32.(2014全国卷)函数cos22sin y x x =+的最大值为 .33.（2014新课标1）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .34.（2014新课标2）函数xx x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.三、解答题 35．（2007全国卷）（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．36.（2008全国卷）（12分）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形， ∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
高考数学-三角函数及解三角形(含22年真题讲解)
高考数学-三角函数及解三角形（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为y =sin [ω(x +π2)+π3]=sin(ωx +ωπ2+π3)，又C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=13+2k,k ∈Z ，又ω>0，故当k =0时，ω的最小值为13. 故选：C.2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB ⌢是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB ⌢上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB ⌢的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2,∠AOB=60°时，s =（ ）A ．11−3√32B ．11−4√32C ．9−3√32D ．9−4√32【解析】【分析】连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，则OC=√3，故CD=2−√3，所以s=AB+CD2OA =2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C 【解析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得ω>0，因为x ∈(0,π)，所以ωx +π3∈(π3,ωπ+π3)，要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y =sinx ，x ∈(π3,3π)的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈(136,83]． 故选：C ．4．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2，π2 B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2 D ．−3π2，π2+2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得f (x )的单调区间，从而判断出f (x )在区间[0,2π]上的最小值和最大值. 【详解】f ′(x )=−sinx +sinx +(x +1)cosx =(x +1)cosx ，所以f (x )在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f ′(x )>0，即f (x )单调递增； 在区间(π2,3π2)上f ′(x )<0，即f (x )单调递减， 又f (0)=f (2π)=2，f (π2)=π2+2，f (3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2， 所以f (x )在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.故选：A6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0,所以tan(α−β)=−1,故选：C7．【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（）A．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C．f(x)在(0,π3)上单调递减D．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出f(x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为f(x)=cos2x−sin2x=cos2x.对于A选项，当−π2<x<−π6时，−π<2x<−π3，则f(x)在(−π2,−π6)上单调递增，A错；对于B选项，当−π4<x<π12时，−π2<2x<π6，则f(x)在(−π4,π12)上不单调，B错；对于C选项，当0<x<π3时，0<2x<2π3，则f(x)在(0,π3)上单调递减，C对；对于D选项，当π4<x<7π12时，π2<2x<7π6，则f(x)在(π4,7π12)上不单调，D错.故选：C.8．【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.9．【2022年浙江】为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.10．【2022年新高考2卷】（多选）已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（ ） A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点 C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：f (2π3)=sin (4π3+φ)=0，所以4π3+φ=k π，k ∈Z ， 即φ=−4π3+k π,k ∈Z ，又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3，故f(x)=sin (2x +2π3)． 对A ，当x ∈(0,5π12)时，2x +2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈(−π12,11π12)时，2x +2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1个极值点，由2x +2π3=3π2，解得x =5π12，即x =5π12为函数的唯一极值点； 对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴； 对D ，由y′=2cos (2x +2π3)=−1得：cos (2x +2π3)=−12，解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z ,从而得：x =k π或x =π3+k π,k ∈Z , 所以函数y =f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k =y′|x=0=2cos2π3=−1，切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√32−x ．故选：AD ．11．【2022年全国甲卷】已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当AC AB取得最小值时，BD =________．【答案】√3−1##−1+√3 【解析】 【分析】设CD =2BD =2m >0，利用余弦定理表示出AC 2AB 2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ， 所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m)−12(1+m)m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时，等号成立，所以当ACAB 取最小值时，m =√3−1. 故答案为：√3−1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据f (T )=√32求出φ，再根据x =π9为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解； 【详解】解： 因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π） 所以最小正周期T =2πω，因为f (T )=cos (ω⋅2πω+φ)=cos (2π+φ)=cosφ=√32， 又0<φ<π，所以φ=π6，即f (x )=cos (ωx +π6)，又x =π9为f (x )的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ， 因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3； 故答案为：313．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________．【答案】 1 −√2 【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x −π3)，代入自变量x =π12，计算即可.【详解】∵f(π3)=√32A−√32=0，∴A=1∴f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sinπ4=−√2故答案为：1，−√214．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．【答案】√234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，所以S=√14[4×2−(4+2−32)2]=√234．故答案为：√234.15．【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β=π2，则sinα=__________，cos2β=____ _____．【答案】3√10104 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】α+β=π2，∴sinβ=cosα，即3sinα−cosα=√10，即√10(3√1010sinα−√1010cosα)=√10，令sinθ=√1010，cosθ=3√1010，则√10sin(α−θ)=√10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，∴sinα=sin(θ+π2+2kπ)=cosθ=3√1010，则cos2β=2cos2β−1=2sin2α−1=45．故答案为：3√1010；45．16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)= sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．17．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求△ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.(1)证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac −2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.18．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．【答案】(1)π6； (2)4√2−5． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B 化成cos (A +B )=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出； （2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B−5，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinBcosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos (A +B )=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6； (2)由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2， 而sinB =−cosC =sin (C −π2)， 所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ． 所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．19．【2022年新高考2卷】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．【答案】(1)√28(2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得b 2sin 2B=acsinAsinC ，即可求解. (1)由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB=13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； (2)由正弦定理得：bsinB =asinA =csinC ，则b 2sin 2B =asinA ⋅csinC =acsinAsinC =3√24√23=94，则b sinB =32，b =32sinB =12.20．【2022年北京】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得△ABC 的周长. (1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.21．【2022年浙江】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a =√5c,cosC =35． (1)求sinA 的值；(2)若b =11，求△ABC 的面积．【答案】(1)√55；(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sinC ，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论cosC =a 2+b 2−c 22ab以及4a =√5c 可解出a ，即可由三角形面积公式S=12absinC 求出面积．(1)由于cosC =35， 0<C <π，则sinC =45．因为4a =√5c ， 由正弦定理知4sinA =√5sinC ，则sinA =√54sinC =√55．(2)因为4a =√5c ，由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+121−165a 222a=11−a 252a=35，即a 2+6a −55=0，解得a =5，而sinC =45，b =11， 所以△ABC 的面积S =12absinC =12×5×11×45=22．1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点12P ⎛- ⎝⎭在角θ的终边上，且[)0,2πθ∈，则角θ的大小为（ ）． A ．π3B ．2π3C ．5π3D ．4π3【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角θ的范围，再利用三角函数定义求解作答. 【详解】依题意，点12P ⎛- ⎝⎭在第二象限，又[)0,2πθ∈，则ππ2θ<<，而tan θ=所以2π3θ=. 故选：B2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据平移法则求出函数()g x 的解析式，进而求出()g x 的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出. 【详解】依题意，()2sin[()]2sin 33g x x x ππωωω=+-=，由ππ22x ω-≤≤，0>ω得：ππ22x ωω-≤≤，于是得()y g x =的一个单调递增区间是ππ,22[]ωω-，因()y g x =在π[0,]4上为增函数，因此，ππ[π[0,]2]24,ωω-⊆，即有ππ24ω≥，解得02ω<≤，即ω最大值为2． 故选：A.3．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈.【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，则()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.4．（2022·全国·模拟预测）已知α，()0,πβ∈，πtan 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ-=（ ）A． B．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据待求式的结构，πππ22362αβαβ⎛⎫⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】解：因为πππππcos(2)cos 2sin 236236αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=ππsin 2()cos()36αβ++-ππcos 2()sin()36αβ++.222πππ2tan 2sin()cos()πππ333sin 22sin()cos()πππ333sin ()cos ()tan 1333ααααααααα⎛⎫+++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=++=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭，22222222π1tan cos ()sin ()π1333cos 2cos ()sin ()π3333cos ()sin ()tan 1333ππαααππαααππααα⎛⎫-++-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=+-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭；πcos 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ0,62β⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭故cos(2)αβ-=． 故选：D.5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小正整数值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πϕωπ=+，1k Z ∈，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调可得()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解，所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，最终可得23k x ππωπ+=+，k Z ∈，取值即可得解.【详解】由函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πωϕπ-+=，1k Z ∈，13k πϕωπ=+，1k Z ∈，()()cos f x x ωωϕ'=+，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调， 所以()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以122()32x k k k Z ππωωππ++=+∈，所以23k x ππωπ+=+，21k k k Z =-∈，又5,6x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以74(,)363x πππ+∈， 所以36362(,)873k k k x ππωπ+++=∈+， 当2k =时，1515(,)87ω∈，此时ω的最小正整数为2.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知π02θ<<，若πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭和角正弦求得3sin 25θ=，从而求得()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，根据角的范围确定符号，开方即可得结果. 【详解】 因为π02θ<<，所以ππ3π2444θ-<-<，又πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ2044θ-<-<，所以πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以ππππππ3sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444445θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，又sin cos 0θθ+>，sin cos θθ+= 故选：B ．7．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可 【详解】由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，故④变换前为1sin 2y x =；③向上平移一个单位长度，故③变换前为1sin 12y x =-；②向左平移23π个单位长度，故②变换前为1si 123n 2y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；①横坐标变为原来的12，故①变换前为211si 3n 122y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()f x 的解析式为()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A8．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭， 故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，故3k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3，由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=，Z k ∈，又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=， 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向左平移76π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度 D ．向右平移76π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】由题意，由于函数477sin(2)sin(2)sin 2()366126y x x x πππππ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦， 观察发现可由函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移712π个单位长度，得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 故选：A.10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x -的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】先由图像求得()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由辅助角公式化简()g x ，最后由三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由题图知：712,1234T T ππππω-=∴==，又()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，又()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴==∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()g x 向左平移4π得()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.11．（2022·青海西宁·二模（文））在①6a =；②8a =；③12a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求cos A 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，c =________？【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C 的值，若选①6a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 只有一解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选②8a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 有两解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选③12a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，因为sin 1A >，则三角形无解. 【详解】由题意可知在ABC 中， 因为2224a b c S +-=，且in 12s S ab C =， 所以222sin 2a b c C ab+-=， 由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=， 所以cos sin C C = 因为(0,)C π∈， 所以4Cπ；若选①6a =，由正弦定理可得sin sin a cA C=，解得3sin sin5a A C c ==，在ABC 中，因为c a >，所以C A >， 又因为4Cπ，则角A 只有一解，且0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5A ==．若选②8a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得4sin sin5a A C c ==， 在ABC 中，因为c a <，所以C A <， 又因为4Cπ，则角A 有两解，所以3cos 5A ==±．若选③12a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得6sin sin5a A C c ==， 因为sin 1A >，所以ABC 无解，即三角形不存在．12．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边中点，且2AD =，求a 的最小值. 【答案】(1)π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. (1)△sinsin 2B C b a B +=，△πsin sin 2A b aB -=，即cos sin 2Ab a B =.由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅. △sin 0B ≠，△cos sin 2sin cos 222A A A A ==. △cos02A ≠，△1sin 22A =，又△π022A <<, △π26A =，△π3A =；(2)△D 为BC 边中点，△2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+, △2AD =，△22162cos c b bc A =++，△2216b c bc +=-,△22216bc b c bc ≤+=-，即163≤bc , 当且仅当b c ==, △222222cos 162a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-，△2161616233a ≥-⨯=，即a .故a . 13．（2022·山东聊城·三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b Cc B π=-.(1)求角B ；(2)若b =4，求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3B π=；(2)12. 【解析】 【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答. （2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a +c 的最大值 (1)因为sin cos()6b C c B π=-，则1sin sin )2b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin sin )2B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B =，即tan B =()0,πB ∈，解得π3B =， 所以π3B =. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=， 而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”， 因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12， 所以ABC 周长的最大值为12.14．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(cos )2b a b c a B -=-．(1)求角A 的大小；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上的高． 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b 值，由余弦定理可得a 值，结合面积公式可得高. (1)22cos 2b a b c a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222()2cos a b ca B bc -=-．222222()a b c a b bc ∴-=+--，222b c a bc ∴+-=，2221cos =22b c a A bc +-∴=．又(0,)A π∈，3A π∴=．(2)11sin 8sin 223S bc A b π==⨯⨯==2b ∴=．故由余弦定理可知a ==而1122S ah h ==⨯=解得h =，所以BC ． 15．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos A A +=b =①：2a =，222sin sin sin B A C >+；条件②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+．这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)tan 2A 的值； (2)c 和面积S 的值．【答案】(1)条件选择见解析，tan 2A =(2)条件选择见解析，2c =，S =【解析】 【分析】（1）若选①，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，若选②，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，（2）若选①，由正弦定理得sin B =222sin sin sin B A C >+得222b a c >+，再由余弦定理得cos 0B <，则2π3B =，求得π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得1cos 2B =-，从而可得2π3B =，则π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果， (1)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3， 则π6A =或π2，△2a b =<=π6A =，△πtan 2tan3A == 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3，则π6A =或π2，由a b <，得：π6A =，△πtan 2tan 3A ==(2)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，由正弦定理得：sin sin a b A B =，2πsin 6=sin B =， 由222222sin sin sin B A C b a c >+⇒>+知：222cos 02a c b B ac+-=<，故2π3B =， 则π6C =，△2c a ==，11πsin 2sin 226S ab C ==⨯⨯= 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+由正弦定理得：21sin cos cos sin sin sin 2A A C C A A =+，△sin 0A ≠△1cos cos sin sin 2A C A C -=，即()1cos 2A C +=，1cos 2B =-， △0πB <<，故2π3B =，则π6C =， △a c =△由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，22211222c c c ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，得2c =，△11πsin 2sin 226S bc A ==⨯⨯=。
高考文科数学真题汇编：解三角形高考题老师版
则 A=
（ A ） 3π（ B） π（ C ） π（ D ） π
4
3
4
6
【答案】 C
考点：余弦定理 18、 2018 年高考北京卷文 )在 △ABC 中，
2
b
A
， a= 3 c， 则 =_________.
3
c
试题分析：由正弦定理知 sin A a sin C c
3 ， 所以 sin C
sin 2 3 3
D. 3－ 1
11、 (2019 新标 1 文 ) 已知锐角 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ， 23cos 2 A cos2A 0 ，
a 7， c 6， 则 b （ D ）
（ A） 10
（ B） 9
（C） 8
（D） 5
1 12．（ 2019 辽宁 ）在△ ABC 中， 内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 asin Bcos C＋ csin B cos A＝ 2b，
【简解】 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,sin(B+C)=sin 2A,sinA=1,A= .选 B
2 15、（ 2018 年新课标Ⅰ卷文） △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a
则 b=
2 5 ， c 2 ， cos A ，
3
（ A） 2
（ B） 3 （ C） 2 （ D）3
a
21 4 7
31． ( 2019 江西理 ) 在△ ABC 中， 角A 、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c， 已知 cos C＋ (cos A－ 3sin A)cos
1
， 则C
， 所以
高中文科数学三角函数及解三角形真题汇编
年号 卷号题号三角函数与解三角形真题汇编20182017 2016 20152014 2013 3卷 4、6、11 4、6、14 6、9、142卷 7、10、15 3、13、16 3、11、15 11、17 14、17 4、6、16 1卷 8、11、16 8、11、154、6、12、148、172、7、16 9、10、16（1803）4．若1sin 3α=，则cos 2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-6．函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．π4B ．π2C ．πD ．2π11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6（1703）4．已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．796．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为 A ．65B ．1C ．35D ．1514．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知C =60°，b 6c =3，则A = 。
（1603）6．若tan 13θ= ，则cos 2θ=（A ）45-（B ）15-（C ）15 （D ）459．在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A（A ）310（B ）1010 （C ）55 （D ）3101014．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．（1802）7．在△ABC 中，cos =，BC=1，AC=5，则AB=（ ） A ．4B ．C ．D ．210．若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．π15．已知tan （α﹣）=，则tanα= ．（1702）3.函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期为A.4πB.2πC. πD. 2π13.函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为16. △ABC 的内角A,B,C 的对边分别c b a ,,,若A c C a B b cos cos cos 2+=,则B=（1602）3.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin()6y x π=+D. 2sin()3y x π=+11.函数cos 26cos()2y x x π=+-的最大值为A.4B.5C.6D.715.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = .（1502）11.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2= (1)求CBsin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠（1402）14. 函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为_________.17. 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.（Ⅰ）求C 和BD ;（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积。
新版高考数学真题分类汇编：专题(04)三角函数与解三角形(文科)及答案
3
12
平移 个单位，故选 B . 12
【考点定位】三角函数图象的变换 .
【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，
这取决于 x 加或减的数据 . 本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方
向记混 .
4. 【 20xx 高考陕西，文 6】“ sin
【 名 师 点 睛】 1. 本 题考查 三 角 恒 等变 换 和 命题的 充 分 必 要性 ， 采 用二倍 角 公 式 展开
cos2 0 ，求出 sin cos 或 sin
cos .2. 本题属于基础题，高考常考题型 .
【 20xx 高考上海， 文 17】已知点 A 的坐标为 (4 3,1) ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 3
【答案】
2
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
1 （ （k1
1 ，2），（ （ k2 4
5 ， 2）， k1， k2 Z , 距离最短的两个交点一定在同
4
一个周期内，
2
23
15 2（ 4
）2 （ 2 2）2， 4
.
2
【考点定位】三角函数图像与性质
【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形
．
【答案】
3 ,
2
2
【解析】 f x sin 2 x sin x cos x 1 1 sin 2x 1 cos2x 1 1 sin 2x 1 cos2x 3
2
2
2
2
2
2
3
2
sin(2 x ) ，所 x)min 2
.
2
【考点定位】 1. 三角函数的图象与性质； 2. 三角恒等变换 .
2021-2021 高考全国卷三角函数解三角形真题汇编(文科)
2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编(文科)2021-2021 高考全国卷三角函数、解三角形真题汇编（文科）学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021・全国新课标卷I(文)]函数y=的部分图象大致为 ( ) -A. B. C.D.2. [2021・全国新课标卷I(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则C= ( )A. B. C. D.3. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=sin 的最小正周期为( ) A. 4πB. 2πC. πD.4. [2021・全国新课标卷III (文)]已知sin α-cos α=,则sin 2α= ( ) A. -B. -C.D.5. [2021・全国新课标卷III (文)]函数f(x)=sin +cos - 的最大值为 ( )A. B. 1 C. D. 6. [2021・全国新课标卷III (文)]函数y=1+x+的部分图象大致为( )第1页共4页A. B.C.D.7. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A=,则b= ( )A. B. C. 2 D. 38. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),6]将函数y=2sin 的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为 ( )A. y=2sinB. y=2sinC. y=2sin -D.y=2sin -9. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),12]若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )A. [-1,1]B. -C. -D. - -10. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),3]函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( )A. y=2sin -B. y=2sin -C. y=2sinD. y=2sin11. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),11]函数f(x)=cos2x+6cos - 的最大值为( )A. 4B. 5C. 6D. 712. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),6]若tan θ=-,则cos 2θ= ( )第2页共4页A. -B. -C.D.13. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),9]在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= ( ) A. B. C. D.14. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),8]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A. - ,k∈ZB. - ,k∈ZC. - ,k∈ZD. - ,k∈Z15. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，7]在函数①y＝cos|2x|,②y＝|cos x|,③y＝cos(2x＋),④y＝tan(2x－)中,最小正周期为π的所有函数为( )A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①③16. [2021・高考全国新课标卷I(文),9]函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )A. B.C. D.17. [2021・高考全国新课标卷I(文),10]已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为2a,b,c,23cosA+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A. 10 B. 9 C.8 D. 5第3页共4页18. [2021・高考全国新课标卷II(文),4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )A. 2 +2B. +1C. 2 -2D. -119. [2021・高考全国新课标卷II(文),6]已知sin2α=,则cos(α+)=( ) A.B. C. D. 评卷人得分二、填空题220. [2021・全国新课标卷I(文)]已知α∈ ,tan α=2,则cos - = . 21. [2021・全国新课标卷II(文)]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为 . 22. [2021・全国新课标卷II(文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .23. [2021・全国新课标卷III (文)]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= ,c=3,则A= .24. [2021・高考全国新课标卷Ⅰ(文),14]已知θ是第四象限角,且sin ,则tan - = .25. [2021・高考全国新课标卷Ⅱ(文),15]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .26. [2021・高考全国新课标卷Ⅲ(文),14]函数y=sin x- cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.27. [2021�q高考全国新课标卷Ⅰ(文)，16]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°,C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m,则山高MN＝________m.28. [2021�q高考全国新课标Ⅱ(文)，14]函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________. 29. [2021・高考全国新课标卷I(文),16]设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .30. [2021・高考全国新课标卷II(文),16]函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ函数y=sin(2x+)的图象重合,则φ= .第4页共4页感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形
三角函数与解三角形一、单选题1．（2024·全国）已知cos(),tan tan 2m a b a b +==，则cos()a b -=（）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m2．（2024·全国）当[0,2]x p Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x p æö=-ç÷èø的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．83．（2024·全国）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．24．（2024·全国）已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（）A ．1B ．1CD ．15．（2024·全国）在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B C D 6．（2024·全国）设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A ．16B ．13C ．12D ．237．（2024·北京）已知()()sin 0f x x w w =>，()11f x =-，()21f x =，12min π||2x x -=，则w =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2024·天津）已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．329．（2024·上海）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-二、多选题10．（2024·全国）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴三、填空题11．（2024·全国）已知a 为第一象限角，b 为第三象限角，tan tan 4a b +=，tan tan 1a b ，则sin()a b +=.12．（2024·全国）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．（2024·北京）已知ππ,63a éùÎêúëû，且α与β的终边关于原点对称，则cos b 的最大值为．四、解答题14．（2024·全国）记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3，求c ．15．（2024·全国）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．（2024·北京）在△ABC 中，7a =，A 为钝角，sin 2cos B B =．(1)求A Ð；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．①7b =；②13cos 14B =；③sin c A =注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．17．（2024·天津）在ABC 中，92cos 5163a B b c ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -．参考答案：1．A【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin a b a b 的关系，结合tan tan a b 的值可求前者，故可求()cos a b -的值.【解析】因为()cos m a b +=，所以cos cos sin sin m a b a b -=，而tan tan 2a b =，所以sin sin 2cos cos a b a b =，故cos cos 2cos cos m a b a b -=即cos cos m a b =-，从而sin sin 2m a b =-，故()cos 3m a b -=-，故选：A.2．C【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【解析】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x æö=-ç÷èø的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx Î上函数π2sin 36y x æö=-ç÷èø有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-Î-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【解析】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x Î-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x Î-，则220,1cos 0x x ³-³，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-³，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--Î-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-Î-，又因为220,1cos 0x x ³-³当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ³，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.4．B【分析】先将cos cos sin aa -a 弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin aa a =-所以11tan =-atan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-a èø，故选：B.5．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【解析】因为29,34B b ac p ==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=故选：C.6．A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+×¢=+，则()()()()()02e 2cos010e 2sin 000310f ++-+´¢==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =´´-=.故选：A.7．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【解析】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12min π22T x x -==，即πT =，且0w >，所以2π2Tw ==.故选：B.8．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w ==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A 9．A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【解析】对A ，πsin cos 4x x x æö+=+ç÷èø，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误，故选：A ．10．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【解析】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =ÎZ ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+ÎZ ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+Û=+ÎZ ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+Û=+ÎZ ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC11．3-【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan a b +=-a b +的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【解析】法一：由题意得()tan tan tan1tan tan a b a b a b ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m a b æöæöÎ+Î++ç÷ç÷èøèø，,Z k m Î，则()()()22ππ,22π2πm k m k a b +Î++++，,Z k m Î，又因为()tan 0a b +=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k a b æö+Î++++ç÷èø，,Z k m Î，则()sin 0a b +<，则()()sin cos a b a b +=-+()()22sin cos 1a b a b +++=，解得()sin 3a b +=-.法二：因为a 为第一象限角，b 为第三象限角，则cos 0,cos 0a b ><,cos a =，cos b ==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )a b a b a b a b a b +=+=+4cos cos 3a b ====-故答案为：12．2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213．12-/0.5-【分析】首先得出π2π,Z k k b a =++Î，结合三角函数单调性即可求解最值.【解析】由题意π2π,Z k k b a =++Î，从而()cos cos π2πcos k b a a =++=-，因为ππ,63a éùÎêúëû，所以cos a 的取值范围是12éêëû，cos b 的取值范围是12éù-êúëû，当且仅当π3a =，即4π2π,Z 3k k b =+Î时，cos b 取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.14．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【解析】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC Î，所以sin 0C >，从而sin C ===又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB Î，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC Î，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 12462A æöæö==+==ç÷ç÷èøèø由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin 222ABCSab C ===，由已知ABC的面积为3，可得2338c =所以c =15．(1)π6A =(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ÎÞ+Î，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=Û=，解得cos A =又(0,π)A Î，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x æö=+<<ç÷èø，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin()3f A A A A ===+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A ¢==，即tan A =又(0,π)A Î，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ×==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ×==，则2cos ,2cos ,1a b a b =Û=，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ×=Û=又(0,π)A Î，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A Î，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =Û=，又,(0,π)B C Î，则sin sin 0B C ¹，进而cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ==，即2ππ7πsin sin sin 6412b c==，解得b c ==故ABC的周长为216．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC.【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B p =，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B =再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【解析】（1）由题意得2sin cos cos 7B B b B =，因为A 为钝角，则cos 0B ¹，则2sin B =，则7sin sin sin b a B A A ===，解得sin A =因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B p =，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ==则代入2sin 7B =得2147´=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B æö=+=+=+ç÷èø131********æö=+-´=ç÷èø,则11sin 7322ABC S ab C ==´´=.选择③sin c A =c =5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C =，解得sin 14C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C æö=+=+=+ç÷èø11121421414æö=+-´=ç÷èø，则11sin 7522ABC S ac B ==´´=△17．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【解析】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin B ==再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A =（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´=.法二：3sin 22sin cos 2448A A A ==´=，则2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sin B ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=。
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2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二） 班级 姓名
一、三角函数
1、若函数()sin
([0,2])3
x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ（ ） （A ）2π （B ）3
2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5
α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________.
4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4
是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）
（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4
5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1
的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13
a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213
7、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
（B ）
8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）
9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=
10、已知sin2a 3
2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ） （B ） （C ） （D ）
11、函数)()2cos(y πϕπϕ<≤-+=，x 的图像向右平移
2π个单位后，与函数y=sin （2x+3
π）的图像重合，则ϕ=___________.
12、若0tan >α，则（ ） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α
13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+
=x y ,④)42tan(π
-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
14、函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为_________.
二、解三角形
1、已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）
（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5
2、已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，
6c =，则b =（ ）
（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5
2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为
（A ）2+2 （B ） （C ）2 （D ）-1
3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .
4、ABC ∆中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223b ac =，求A 。
5、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA
(1) 求A
(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c
6、设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为
（I ）求;B
（II ）若31
sin sin , C.
4A C -=求
7、四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I)求C 和BD;
(II)求四边形ABCD 的面积。