09 第9章 非正弦交流电路 学习指导及习题解答
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（3）奇半波对称函数 若 f (t ) 波形移动半周 ( 件。如图 9-3 所示， f (t ) 波形不对称于纵轴和原点，故它
图 9-2 奇函数举例
不是偶函数和奇函数，只是移动 (
T ) 与原波形对称于 横 2
轴，则傅里叶系数中， A0 0 ， Ak 和 Bk 中 k 为奇数，即 k =1，3，5，…。这类非正弦周 期波只含奇次谐波。所以，这类奇半波对称函数 f (t ) ，称为奇谐波函数。 以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面 再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波 分量情况。 （4）半波重叠函数 若 f (t ) 波形移动半波 (
图 9-1
偶函数波形举例
f (t ) f (t ) 条件，如图 9-2 所示。则 A0 0 ， Ak
=0，傅里叶级数中，只含
B
k
sin kt 项， k =1，2，3，…。亦即这类对称性非正弦周期
波，只含一系列正弦函数的谐波分量。
T )与 2 T 原波形成镜像，即对横轴对称，满足 f (t ) f (t ) 条 2
T ) 2
与原波形重叠，满足 f (t ) f (t
T ) 条件。如图 9-4 2
所示， f (t ) 不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和 奇函数，只是移动
T 与原波形重叠。则傅里叶系数 2
图 9-3
奇半波对称波形举例
Ak 和 Bk 中 k 为偶数，即 k =0，2，4，6，…。这类非正弦周期波只含偶次谐波。所以，这
f (t ) A0 ( Ak cos kt Bk sin kt )
这是一个无穷级数，由法国人傅里叶（ Fourier ）提出来的，故称为傅里叶级数。式中 A0 ，
k 1
Ak ， Bk 称为傅里叶系数，由如下公式计算得出： A0
1 f (t )dt T 0
T T
(直流分量)
f (t ) 波形对称于纵坐标，满足 f (t )
= f ( t ) 条件，如图 9-1 所示。则 Bk 0 ，傅里叶级数
Ak cos kt 项， k =1，2，3，…。亦即 中只含 A0 和 这类对称性非正弦周期波，只含直流分量和一系列余弦
函数的谐波分量。 （2）奇函数
f (t ) 波形对称于坐标原点，满足
图 9-9
非对称性非正弦周期波 u (t ) 及其偶部 u
e
(t ) 和奇部 u 0 (t ) 波形图
·6·
然后，利用波形的对称性来简化傅里叶系数的计算。 例如，如图 9-9（ a ）所示的非对称性非正弦周期电压波 u (t ) ，它的偶部 u (t ) 为如图 9-9（ b ）所示，是偶函数且半波重叠波，从上述波形对称性可知，它的傅里叶级数只含 A0 和
f (t ) 波形满足 f (t )
T ) 两个条件。如图 9-6 所示， 2 T f (t ) 波形对称于纵坐标，是偶函数，且移动 与原波形 2
对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系
A0 0 Bk 0 ， Ak 中 k 为奇数，即 k =1，3，5…。傅
里叶级数中只含
A
k
cos kt 项的奇次谐波。 所以，
二、学 习 指 导
在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正 弦周期函数电量的情况。 如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时， 响应是非正弦周期函 数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中 应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要 和理论和实际意义。 本章的教学内容可分为如下三部分： 1．非正弦周期波由谐波合成的概念； 2．非正弦周期波的谐波分析； 3．非正弦交流电路的计算。 着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算 非正弦交流电路的方法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一）关于非正弦周期波的谐波的概念 非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。如周期性变化的方波、三角波等。 这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期 T 和频率 f ，不同的是波形而已。 几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。反之，一个非正弦周期波 f (t ) ，可 以分解为含直流分量（或不含直流分量）和一系列频率为整数倍的正弦波。这些一系列频率 为整数倍的正弦波，就称为非正弦周期波的谐波。其中频率与非正弦周期波相同的正弦波，
﹡2。非对称性非正弦周期波谐波分析的简化计算 （1）非对称性非正弦周期波 f (t ) ，可以分解为偶部 f (t ) 和奇部 f (t ) 之和。偶部 f (t ) 是对称于纵轴的偶函数，奇部 f (t ) 是对称于原点的奇函数。即
0
e
0
e
f (t ) f e (t ) f 0 (t ) 1 f e (t ) [ f (t ) f (t )] 2 1 f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2
（三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系 在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。在对称波形中，傅里叶级 数中，有些谐波分量（包括直流分量。因直流分量是 k 0 的零次谐波分量）不存在。因此，
·3·
利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。 1．波形对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性波形及其傅里叶系数情况。 （1）偶函数
（8）奇函数且半波重叠
·5·
叠函数。则傅里叶系数中， A0 0 ， Ak 0 ， Bk 中的 k 为偶数，即 k =2，4，6，…。傅里 叶级数中只含
B
k
sin kt 项的偶次谐波。所以，这类奇函数且半波重叠波，只含正弦函
数的偶次谐波。
图 9-7 偶函数且半波重叠波形举例
图 9-8
奇函数且半波重叠波形举例
·1·
称为基波或一次谐波；频率是基波频率 2 倍的正弦，就称为二次谐波；频率是基波频率 3 倍的正弦波，称为三次谐波；频率是基波频率 k 倍的正弦波，称为 k 次谐波， k 为正整数。 人们通常将二次及二次以上的谐波，统称为高次谐波。 （二）关于谐波分析的方法 在电路分析中，将非正弦周期波的分解，应用傅里叶级数展开的方法，分解为直流分 量（或不含有）和频率为整数倍的一系列正弦波之和，称为傅里叶分析，又称为谐波分析。 一人周期为 T 的函数 f (t ) ，如果满足狄里赫利条件﹡，则 f (t ) 可以展开为如下三角 级数：
类半波重叠函数，称为偶偕波函数。
·4·
图 9-4
半波重叠函数波形举例
图 9-5
奇函数且半波对称波形举例
（5）奇函数且奇半波对称
若 f (t ) 波形满足 f (t ) f (t ) 和 f (t ) f (t
T ) 两个 2
条件。如图 9-5 所示， f (t ) 波形对称于原点，是奇函数，且移动
2 Ak f (t ) cos ktdt T 0
Bk
2 f (t ) sin ktdt T 0
T
A0 是 f (t ) 一周期时间内的平均值，称直流分量。 k 1 的正弦波，称为基波； k 2 的
正弦波，称为二次谐波； k n 的正弦波，称为 n 次谐波。当 k 为奇数时，称为奇次谐波；
4
f (t )
1 1 Am (sin t sin 2t sin 3t L ) 2 3
2
1 1 1 1 f (t ) Am [ (sin t sin 2t sin 3t L )] 2 2 3
f (t )
1 1 Am (sin t sin 3t sin 5t L ) 9 25
u (t ) u e (t ) u 0 (t ) U U 2U 1 m m sin t m [ cos 2t 2 3 1 1 cos 4t cos 6t L ] 15 35
e
A
wenku.baidu.com
k
cos kt 项的偶次谐波。即
u e (t )
0
Um
2U m
1 1 1 [ cos 2t cos 4t cos 6t L ] 3 15 35
奇部 u (t ) 如图 9-9( c )所示，它是一正弦函数，即
1 u 0 (t ) U m sin t 2
故非对称性非正弦周期波 u (t ) 的傅里叶级数展开式为
这
类偶函数且奇半波对称对称波，只含余弦函数的奇次谐波。
T f (t ) 波形满足 f (t ) f (t ) 和 f (t ) f (t ) 两个条件。 2 T 如图 9-7 所示， f (t ) 波形对称于纵轴，是偶函数，且移动 与原波形重叠，又是半波重 2
（7）偶函数且半波重叠 叠函数。则傅里叶系数中， Bk 0 ， Ak 中 k 为偶函数，即 k =0，2，4，6，…。傅里叶级 数中只含 A0 和
T 与原波形对横轴成镜 2
像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系数中 A0 0 ， Ak 0 ， Bk 中 k 为奇数，即 k =1， 3，5…。傅里叶级数中只含 只含正弦函数的奇次谐波。 (6) 偶函数且奇半波对称 = f (t ) 和 f (t ) f (t
B
k
sin kt 项的奇次谐波。所以，这类奇函数且半波对称波，
·2·
f (t ) 波 形 图
f ( x) 傅里叶级数展开式
f (t )
2 2 2 Am (1 cos 2t cos 4t cos 6t L ) 3 15 35
2
f (t )
1 1 Am (sin t sin 3t sin 5t L ) 3 5
k 为偶数时，称为偶次谐波。
非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。 在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级 数。常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示，以供 查用。 常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式
f (t ) 波 形 图
第9章
非正弦交流电路
学习指导与题解
一、基 本 要 求
1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。明确一个非正弦 周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析） 、谐波中的基波与 高次谐波的含义。了解谐波分析中傅里叶级数的应用。 2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。能根据波形的特点判断所含谐波的情况。 了解波形原点选择对所含谐波的影响。 3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。能根据给定 波形计算出直流分量。 能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量， 计算出它的有效值。 4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。 5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。掌握运用叠加定理和谐波 分量计算非正弦交流电路中和平均功率。
2
8
f (t )
1 1 Am (cos t cos 3t cos 5t L ) 9 25
2
8
f (t )
1 1 Am (sin sin t sin 3 sin 3t sin 5 sin 5t L ) 9 25
4
f (t )
3 3
1 1 1 1 Am ( cos 3t cos 6t cos 9t L ) 2 8 35 80
f ( x) 傅里叶级数展开式
f (t )
Am
(1
2 2 sin t cos 2t cos 4t L ) 2 3 15
﹡ 狄利赫利条件：
f (t ) 在〔
T T ， 〕 2 2
或〔0， T 〕区间， （1）除有限个第一类间断点外，其余各点
连续； （2）只有有限个极点。
A
k
cos kt 项的偶次谐波。所以，这类偶函数且半波重叠波，只含余弦函
数的偶次谐波，包含直流分量。
T f (t ) 波形满足 f (t ) f (t ) 和 f (t ) f (t ) 两个条件， 2 T 如图 9-8 所示。 f (t ) 波形对称于原点，是奇函数，且移动 与原波形重叠，又是半波重 2
图 9-2 奇函数举例
不是偶函数和奇函数，只是移动 (
T ) 与原波形对称于 横 2
轴，则傅里叶系数中， A0 0 ， Ak 和 Bk 中 k 为奇数，即 k =1，3，5，…。这类非正弦周 期波只含奇次谐波。所以，这类奇半波对称函数 f (t ) ，称为奇谐波函数。 以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面 再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波 分量情况。 （4）半波重叠函数 若 f (t ) 波形移动半波 (
图 9-1
偶函数波形举例
f (t ) f (t ) 条件，如图 9-2 所示。则 A0 0 ， Ak
=0，傅里叶级数中，只含
B
k
sin kt 项， k =1，2，3，…。亦即这类对称性非正弦周期
波，只含一系列正弦函数的谐波分量。
T )与 2 T 原波形成镜像，即对横轴对称，满足 f (t ) f (t ) 条 2
T ) 2
与原波形重叠，满足 f (t ) f (t
T ) 条件。如图 9-4 2
所示， f (t ) 不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和 奇函数，只是移动
T 与原波形重叠。则傅里叶系数 2
图 9-3
奇半波对称波形举例
Ak 和 Bk 中 k 为偶数，即 k =0，2，4，6，…。这类非正弦周期波只含偶次谐波。所以，这
f (t ) A0 ( Ak cos kt Bk sin kt )
这是一个无穷级数，由法国人傅里叶（ Fourier ）提出来的，故称为傅里叶级数。式中 A0 ，
k 1
Ak ， Bk 称为傅里叶系数，由如下公式计算得出： A0
1 f (t )dt T 0
T T
(直流分量)
f (t ) 波形对称于纵坐标，满足 f (t )
= f ( t ) 条件，如图 9-1 所示。则 Bk 0 ，傅里叶级数
Ak cos kt 项， k =1，2，3，…。亦即 中只含 A0 和 这类对称性非正弦周期波，只含直流分量和一系列余弦
函数的谐波分量。 （2）奇函数
f (t ) 波形对称于坐标原点，满足
图 9-9
非对称性非正弦周期波 u (t ) 及其偶部 u
e
(t ) 和奇部 u 0 (t ) 波形图
·6·
然后，利用波形的对称性来简化傅里叶系数的计算。 例如，如图 9-9（ a ）所示的非对称性非正弦周期电压波 u (t ) ，它的偶部 u (t ) 为如图 9-9（ b ）所示，是偶函数且半波重叠波，从上述波形对称性可知，它的傅里叶级数只含 A0 和
f (t ) 波形满足 f (t )
T ) 两个条件。如图 9-6 所示， 2 T f (t ) 波形对称于纵坐标，是偶函数，且移动 与原波形 2
对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系
A0 0 Bk 0 ， Ak 中 k 为奇数，即 k =1，3，5…。傅
里叶级数中只含
A
k
cos kt 项的奇次谐波。 所以，
二、学 习 指 导
在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正 弦周期函数电量的情况。 如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时， 响应是非正弦周期函 数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中 应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要 和理论和实际意义。 本章的教学内容可分为如下三部分： 1．非正弦周期波由谐波合成的概念； 2．非正弦周期波的谐波分析； 3．非正弦交流电路的计算。 着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算 非正弦交流电路的方法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一）关于非正弦周期波的谐波的概念 非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。如周期性变化的方波、三角波等。 这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期 T 和频率 f ，不同的是波形而已。 几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。反之，一个非正弦周期波 f (t ) ，可 以分解为含直流分量（或不含直流分量）和一系列频率为整数倍的正弦波。这些一系列频率 为整数倍的正弦波，就称为非正弦周期波的谐波。其中频率与非正弦周期波相同的正弦波，
﹡2。非对称性非正弦周期波谐波分析的简化计算 （1）非对称性非正弦周期波 f (t ) ，可以分解为偶部 f (t ) 和奇部 f (t ) 之和。偶部 f (t ) 是对称于纵轴的偶函数，奇部 f (t ) 是对称于原点的奇函数。即
0
e
0
e
f (t ) f e (t ) f 0 (t ) 1 f e (t ) [ f (t ) f (t )] 2 1 f 0 (t ) [ f (t ) f (t )] 2
（三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系 在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。在对称波形中，傅里叶级 数中，有些谐波分量（包括直流分量。因直流分量是 k 0 的零次谐波分量）不存在。因此，
·3·
利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。 1．波形对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性波形及其傅里叶系数情况。 （1）偶函数
（8）奇函数且半波重叠
·5·
叠函数。则傅里叶系数中， A0 0 ， Ak 0 ， Bk 中的 k 为偶数，即 k =2，4，6，…。傅里 叶级数中只含
B
k
sin kt 项的偶次谐波。所以，这类奇函数且半波重叠波，只含正弦函
数的偶次谐波。
图 9-7 偶函数且半波重叠波形举例
图 9-8
奇函数且半波重叠波形举例
·1·
称为基波或一次谐波；频率是基波频率 2 倍的正弦，就称为二次谐波；频率是基波频率 3 倍的正弦波，称为三次谐波；频率是基波频率 k 倍的正弦波，称为 k 次谐波， k 为正整数。 人们通常将二次及二次以上的谐波，统称为高次谐波。 （二）关于谐波分析的方法 在电路分析中，将非正弦周期波的分解，应用傅里叶级数展开的方法，分解为直流分 量（或不含有）和频率为整数倍的一系列正弦波之和，称为傅里叶分析，又称为谐波分析。 一人周期为 T 的函数 f (t ) ，如果满足狄里赫利条件﹡，则 f (t ) 可以展开为如下三角 级数：
类半波重叠函数，称为偶偕波函数。
·4·
图 9-4
半波重叠函数波形举例
图 9-5
奇函数且半波对称波形举例
（5）奇函数且奇半波对称
若 f (t ) 波形满足 f (t ) f (t ) 和 f (t ) f (t
T ) 两个 2
条件。如图 9-5 所示， f (t ) 波形对称于原点，是奇函数，且移动
2 Ak f (t ) cos ktdt T 0
Bk
2 f (t ) sin ktdt T 0
T
A0 是 f (t ) 一周期时间内的平均值，称直流分量。 k 1 的正弦波，称为基波； k 2 的
正弦波，称为二次谐波； k n 的正弦波，称为 n 次谐波。当 k 为奇数时，称为奇次谐波；
4
f (t )
1 1 Am (sin t sin 2t sin 3t L ) 2 3
2
1 1 1 1 f (t ) Am [ (sin t sin 2t sin 3t L )] 2 2 3
f (t )
1 1 Am (sin t sin 3t sin 5t L ) 9 25
u (t ) u e (t ) u 0 (t ) U U 2U 1 m m sin t m [ cos 2t 2 3 1 1 cos 4t cos 6t L ] 15 35
e
A
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k
cos kt 项的偶次谐波。即
u e (t )
0
Um
2U m
1 1 1 [ cos 2t cos 4t cos 6t L ] 3 15 35
奇部 u (t ) 如图 9-9( c )所示，它是一正弦函数，即
1 u 0 (t ) U m sin t 2
故非对称性非正弦周期波 u (t ) 的傅里叶级数展开式为
这
类偶函数且奇半波对称对称波，只含余弦函数的奇次谐波。
T f (t ) 波形满足 f (t ) f (t ) 和 f (t ) f (t ) 两个条件。 2 T 如图 9-7 所示， f (t ) 波形对称于纵轴，是偶函数，且移动 与原波形重叠，又是半波重 2
（7）偶函数且半波重叠 叠函数。则傅里叶系数中， Bk 0 ， Ak 中 k 为偶函数，即 k =0，2，4，6，…。傅里叶级 数中只含 A0 和
T 与原波形对横轴成镜 2
像对称，又是奇半波对称函数。则傅里叶系数中 A0 0 ， Ak 0 ， Bk 中 k 为奇数，即 k =1， 3，5…。傅里叶级数中只含 只含正弦函数的奇次谐波。 (6) 偶函数且奇半波对称 = f (t ) 和 f (t ) f (t
B
k
sin kt 项的奇次谐波。所以，这类奇函数且半波对称波，
·2·
f (t ) 波 形 图
f ( x) 傅里叶级数展开式
f (t )
2 2 2 Am (1 cos 2t cos 4t cos 6t L ) 3 15 35
2
f (t )
1 1 Am (sin t sin 3t sin 5t L ) 3 5
k 为偶数时，称为偶次谐波。
非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。 在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级 数。常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示，以供 查用。 常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式
f (t ) 波 形 图
第9章
非正弦交流电路
学习指导与题解
一、基 本 要 求
1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。明确一个非正弦 周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析） 、谐波中的基波与 高次谐波的含义。了解谐波分析中傅里叶级数的应用。 2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。能根据波形的特点判断所含谐波的情况。 了解波形原点选择对所含谐波的影响。 3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。能根据给定 波形计算出直流分量。 能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量， 计算出它的有效值。 4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。 5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。掌握运用叠加定理和谐波 分量计算非正弦交流电路中和平均功率。
2
8
f (t )
1 1 Am (cos t cos 3t cos 5t L ) 9 25
2
8
f (t )
1 1 Am (sin sin t sin 3 sin 3t sin 5 sin 5t L ) 9 25
4
f (t )
3 3
1 1 1 1 Am ( cos 3t cos 6t cos 9t L ) 2 8 35 80
f ( x) 傅里叶级数展开式
f (t )
Am
(1
2 2 sin t cos 2t cos 4t L ) 2 3 15
﹡ 狄利赫利条件：
f (t ) 在〔
T T ， 〕 2 2
或〔0， T 〕区间， （1）除有限个第一类间断点外，其余各点
连续； （2）只有有限个极点。
A
k
cos kt 项的偶次谐波。所以，这类偶函数且半波重叠波，只含余弦函
数的偶次谐波，包含直流分量。
T f (t ) 波形满足 f (t ) f (t ) 和 f (t ) f (t ) 两个条件， 2 T 如图 9-8 所示。 f (t ) 波形对称于原点，是奇函数，且移动 与原波形重叠，又是半波重 2