2012全国初中数学竞赛大纲
-2012全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、如果2a =-11123a+++的值为【 】（A）（B（C ）2 （D）解：B ∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22、 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式y x y x 2222+≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为【 】 （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B 解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点 解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为【 】（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5解：图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ． 由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是4=，所以CD = DE = 4．4、如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】 （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8解：C ∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x ∴正根为3242<++q p p解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p 5、黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【 】 （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C 1)1)(1(-++=++b a ab b a ∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为 ．解：7在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得103=++++++ac bc b a b a c 即7=+++++ac bc b a b a c 7、如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8、设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n 240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9、如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c（，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则ac的取值范围是 . 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+a c b cb a 111，所以ac b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得c a a c a +-<1即ac ac a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得 0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a 所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤c a 综合得1253≤<-c a 10、已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22 由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个 但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由C O E A D E S S =△△，得C D B A O B S S =△△．所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-． 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△ABC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： （1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB ＋AD ＝2BD.（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线．（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2AB AD BD +=． 13、给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由． 解：14、将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．解：当1621n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+- ， ， ， ， ， 和{}84521- ， ， ， ． 在数组{}88162322121+- ， ， ， ， ， 中，由于38821632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =．在数组{}84521- ， ， ， 中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482a b c ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。
中等数学2012年总目次
20 1 1 年四川初 中数学联赛决赛 (初二)
20 1 1 中国西部数学 奥林 匹克
(1
l
0 1 年高 中联赛加 试第 三题 的归纳法证 明 2
( 王建伟 11 12 )
20 1 1 年全 国高 中数学联 赛天津赛 区预赛 20 1 1 年全 国高中数学联赛辽 宁赛 区预赛 20 1 1 年全 国高中数学联赛福建赛 区预赛
专题写作
20 1 1 年北京市 中学生数学竞赛初赛 (高六 ) (2
20 1 1 年全 国高 中数学联赛 山东赛区预赛
(黄 全福 . 14 2 ) 20 1 1 年全 国高 中数学联赛湖北赛区预赛
(2
(2
一个与完全 四边形有关 的命题
一道平面几何题 的证 明及其 改进 正整数 的 T 结构
(谢 建伟 8 14 ) (陶平生 9 . 13 )
简证一道 I M O 预选题 (王建荣
毅 旭
2 x
人 勺 . , 且 了
, 少 . ,产/ 6 7
20 1 2 年四川省初 中数学 联赛决赛 (初二)
20 1 1 年全国高中数学联 赛河南 赛区预赛 (高二 )
( 俞辰捷 2
一道英 国竞赛题 的另解
再品佳题
0 1 年河北省高 中数学 竞赛 2 0 1 2 2 年浙江省高中数学竞 赛
(李世 臣 7 . 9 )
9一 2
10 .2
铁
浩
三角形内一点到三边距离 的一个关 系式
11 3 )
几何最值 问题
高中
(刘清泉
12 2 )
U 乙
一道伊 朗竞赛题探究 (沈 毅 7 . 11 ) 近年国内外与数表棋盘有关 的竞赛题
(瞿振 华 8 11)
2012年全国初中数学联赛试题详解
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<解答：1a ===b ==，2c ===1显然：b a c <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 解答：222222223232()234x xy y x xy y y x y y ++=+++=++=由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+2⨯9=34故5555544444x y x y x y x y x y y y y y y +=-+=+=+=-⎧⎧⎧⎧+=±=±⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩、，由、、、得 4444=9=1=9=1y y y y x x x x ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--⎩⎩⎩⎩、、、共4组解。
3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3 D．3EBD解答：如图，做G H ⊥BE 于H ，易证Rt △AB E ∽Rt △GHB ，设GH=a ，则HE=a ，BH=2-a ， 由GH BH a 2-a 2==a=AB BE 123得解得，故BG=3。
4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 解答：44222222219=2=21=2()48a ab b a b a b ab a b ab ab +++-+-++--+2（） 考查以ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab --+其对称轴为14ab = 由22222020a b ab a b ab +-≥++≥和知1122ab -≤≤ 又1111()4242-->-，故当12ab =-时，函数取最小值0。
2012全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准(湖南卷)
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．B 5．D二、填空题 6．8 7．7＜x ≤19 8．8 9．32-10．223 三、解答题11．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以 23420m m ∆=+-+>（）（）， 即210m +>（），所以1m ≠-． …………（5分）当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即 2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0， 且233(3)2m m ++++≤0， 解得m ≤5-． …………（10分）设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，，由一元二次方程根与系数的关系得 ()121232x x m x x m +=-+=+，． 因为1211910x x +<-，所以 121239210x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．因此12m <-． …………（20分）12．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以 AB = 10．由勾股定理，得 BO6=.易知△ABO ≌△ACO ， 因此 CO = BO = 6.于是A （0，－8），B （6，0），C （－6，0）. 设点D 的坐标为（m ，n ），由S △COE = S △ADE ，得S △CDB = S △AOB . 所以 1122BC |n |=AO BO ， 1112()8622n ⨯-=⨯⨯， 解得n =－4. 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为（3，－4）. …………（10分） 因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC的重心，所以点E 的坐标为），（380-. 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y =a （x －6）（x +6）. 将点E 的坐标代入，解得a =272. 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 228273y x =-. …………（20分） 13． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角形． …………（5分）设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =，所以 22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠． …………（15分）又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以△BOC ∽△1DO F ． …………（20分）14．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）.因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2，所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2. …………（5分）因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1.解得:a =2(1)4m +，n =214m -. 于是 b = a －m =214m -（）. ………（10分） 又a ≥2012，即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =.因此，a 的最小值为2025. …………（20分）。
初中数学竞赛大纲
(暑)
生活中的数学(暑)
第二讲：全等三角形
第三讲：等腰和等边三角形第四讲：直角三角形
第五讲：折叠、平移、旋转
数学趣谈(暑)第二讲：绝对值
第三讲：平方根和立方根第四讲：实数的运算第五讲：用字母表示数
)
步知识形
形(1）
形
和勾股数换
构造法题
论（二）方
理（二）综合复习测试
步
形
边三角形形
移、旋转第三讲：锐角三角函数
第四讲：解直角三角形(1）第五讲：解直角三角形(2）第六讲：圆的基本性质(1）
法(寒)式(寒)的关系方程(寒)题(寒)寒)
初步
形的性质函数
测试
步
形
边三角形
形
移、旋转
组）
标
知识
数1
数2
数的应用
习
第一讲：二次函数与一次函数综合
初步
变形
方程组。
2012全国初中数学竞赛试题汇编重排版
2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版目录一2012广东初中数学竞赛预赛 (2)二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区） (5)三2012年北京市初二数学竞赛试题 (10)四2012年全国初中数学竞赛（海南赛区） (11)五2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 (14)六2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区） (15)七2012年全国初中数学竞赛试题 (20)八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 (22)九2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案 (28)十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 (30)十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】 (31)十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 (36)十三2012年全国初中数学竞赛试题（副题） (41)十四2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 (43)十五2012年全国初中数学竞赛试题（正题） (52)十六2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案 (57)小贴士：word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决1.开始，运行里输入regedit,回车2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html 项3.在默认项上点右键选择修改4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了一2012广东初中数学竞赛预赛二 2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分.1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】（A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m <【答】C ．解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩解得1m >．3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答】D ．解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -︒+=︒，解得80x =︒．第3题图O DC BA4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 D ）5个 【答】D ．解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2=225126-=，可得)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ．6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【 】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解：221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ，设4b x -=，882by -=，由4b x -=得x b 4-=，所以222218)4(888x x b y -=--=-=．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．y xO 第6题图xyO ABC 1C 2C 3 C 4C 5 第5题图【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 1x =9．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1,0），若点A 的坐标为（a ，b ），将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA '，则点A '的坐标是 ．【答】(1,1)b a +-+．解：分别过点A 、A '作x 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ，所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+，1A D BC a '==-，所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =3，AM =1，DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧，NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ．【答】2．解：连接MN ，显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积，等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-，又 ∵2,αβ+=- ∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x 个小朋友，这相当于x 个抽屉，问题变为把145颗糖放进x 个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145，解得x ≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为x ，个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分A BM第10题图E 第9题图（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为200010x y ++，依题意，得2012(200010)20x y x y -++=+++，整理，得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数， ∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为190010x y ++，依题意，得2012(190010)19x y x y -++=+++，整理，得 111022x y =-，故x 为偶数，又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D 在线段OA 上，BD =BA ， 点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．解：（1）直线y kx b =+经过P (0,3)，∴ 3b =．∵B (3,2)，A (5,0)，BD =BA ，∴ 点D 的坐标是(1,0)， ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意，得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩，∴4,1x k =- ∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数，∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭，对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22，∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角是90°．点B 是MN 上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ，试说明223PQ OA +是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC =90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ， ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点， ∴.,//GC AE GC AE = ∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB ， ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点， ∴ GF ∥OB ，DE ∥OB ， ∴ PG ∥EQ ，∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED =90°时，□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°，∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ，AB =y ，则2x ∶2y =2y ∶x ，得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=，即2221x y +=．∴2221x x +=，解得x =． ABC ODEF GP QMN 图②A B CO D E F GPQMN图①∴当OAEPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③，连结GE 交PQ 于O '，则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得，2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB ， GA '=13GE =13OA ，∴ 1126A O GE GA OA '''=-=．在Rt △PA O ''中，222PO PA A O ''''=+，即2224936PQ AB OA=+， 又 221AB OA +=， ∴ 22133PQ AB =+，∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x －4|＝5的所有根的和等于( )． A ．－0.5 B ．4.5 C ．5 D ．4．在直角坐标系xOy 中，直线y ＝ax ＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y ＝ax ＋24上的点的坐标是( )． A ．(3，12) B ．(1，20) C ．(－0.5，26) D ．(－2.5，32) ．两个正数的算术平均数等于大( )．A ．4B ．C ．6D ．．在△ABC 中，M 是AB 的中点，N 是BC 边上一点，且CN ＝2BN ，连接AN 与MC 交于点O ，四边形BMON 的面积为14cm2，则△ABC 的面积为( )． A ．56cm2 B ．60cm2 C ．64cm2 D ．68cm2．当a ＝1.67，b ＝1.71，c ＝0.46时，222121a ac ab bc b ab bc ac c ac bc ab++--+--+--+等于( )． A ．20 B ．15 C ．10 D ．5.55 ．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1B'N M A'QP O'GF E DC BAO图③＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数． ．△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝9cm ，BC ＝13cm ，自A 分别作∠C 平分线的垂线，垂足为M ，作∠B 的平分线的垂线，垂足为N ，连接MN ，则AMNABC S S ∆∆=＿＿＿＿．．实数x 和y 满足x2＋12xy ＋52y2－8y ＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．．P 为等边△ABC 内一点，AP ＝3cm ，BP ＝4cm ，CP ＝5cm ，则四边形ABCP 的面积等于＿＿cm2．(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a ，b ，c ，222()()()()()()()()()a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b +-+-+-++------是常数．(满分15分)．已知正整数n 可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n 的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝70°，P 为形内一点，∠PAB ＝40°，∠PBA ＝20°，求证：PA ＋PB ＝PC ．（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 1、下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝20123－2012，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ．2013 B ．2012 C ．2011 D ．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（）P CBA图1A ．251 B ．252 C ．256 D ．2524 5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）6、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为A ．321 x ≤≤ B ．321 ＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ）A ．S L 4212-B ．S L 2212-C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处， 且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有A ．a ＋b ＋c ＝0B ．b ＞a ＋cC ．b ＝2aD ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过B ．甲板不能穿过，乙板能穿过C ．甲、乙两板都能穿过D ．甲、乙两板都不能穿过 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________.13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+2011ax －2012=0的一个根，则a 的值为__________. 14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．图3 图4AB C D EF 图2ABCEAMlABC D17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________.18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分) 19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题： （1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；（2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2； （3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．图9 （2）图8 B ＇ E D ＇A B C DG图9（1） MN QAB CDP7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a ＋b ＋c ＜0,当x=-1时有a-b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D 10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm ，BC=10cm ，∠C=60°，过点A 过AE//CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB=36cm ＞8.5cm ，BE=35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD ，可求得BD=26cm ＜8.5cm ，所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11、 45- 12、a +1 13、 a 1=2012, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC=∠EAC ，因为，∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°， 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知C B ＇=BC=3cm ，A B ＇=2cm 设BE=x ，则AE=4-x ，则有(4-x )2-x 2 =22, x =1.5cm ，即BE=DG=1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF=1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分.解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。
2012年全国初中数学联赛大纲
2012年全国初中数学联赛大纲初中数学联赛大纲初中数学联赛着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。
同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力"。
《中学教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。
除中学教学大纲所列内容外，补充以下内容。
1、实数十进制整数及表示方法。
整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2、代数式综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
部分分式。
对称式和轮换对称式。
3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。
一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。
列方程（组）解应用题。
5、函数y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值。
简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
6、逻辑推理问题抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。
逻辑推理问题，反证法。
简单的极端原理。
简单的枚举法。
7、几何四种命题及其关系。
三角形的不等关系。
同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。
2012年全国初中数学竞赛
且 口 是完全平方数．当口 １ 时 ， 口的 ６ ≥２ ２ 求 ０ 最小值．
Ｂ 凸 ｎ边 形 中 最 多有 多少 个 内角 等 于 ．
１０ ？并说 明理 由． ５。
的两个实数根的倒数和小于 一 ． ｍ的取 求
值 范 围． Ｂ ．如 图 ７ 在平 面直 角 坐标 系 ｘ ｙ中 ， ， Ｏ
（ （ ，） Ａ） ２ ３
Ｂ 若关 于 的方程 ．
一 一
ｑ＝ （ ｇ是正 整数 ） ０ Ｐ、
） ．
（ （ ， ２ Ｂ） ３ 一 ）
的正 根 小 于 ３ ，则 这 样 的 方 程 的 个 数 是 （ ） ．
（ ５ Ａ） （ ） Ｂ６ （ ７ Ｃ） （ ８ Ｏ）
（ ） 一 ，） Ｃ （ ２３
中 等 数 学
２ １ 年 全 国 初 中 数 学 竞 赛 ０２
中圈分类号 ： ， ４ ７ Ｃ ２ ．９ ４ 文献标识码 ：Ａ 文章 编号 ：１０ ６ １ ２ １ ） ５— ０ ０— ９ ０ ５— ４６（ｏ２ ｏ ０ ２ ０
一
、
选 择题 （ 每小题 ７分 ， ３ ） 共 ５分
（ ） （） Ａ ｌ Ｂ
内心．证 明 ： （１） ． 的切线 ； （ Ａ ＋Ａ ２） Ｂ Ｄ
＝
２＋ ｌ —１ √ ２
：＋ ： ． １士 ， ／ ｆ
√ ２＋１
口 ５．＝・ ＝ ｂ ６ －
是 解 方程组
Ｃ
△ ＩＤ的 外 接 圆 Ｂ
｛’ 二得
图９
２ ＢＤ．
２１ ０ ２年第 ５期
个面上的数字分别是 １２ ３ ４ ５ ６ 掷两次 、 、 、 、 、． 骰子， 设其朝上的面上的两个数字之和除以
４的余数分别是 ０ １２ ３的概率为 Ｐ 、 。 、、、 ｏＰ 、
2012年全国初中数学竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛试题（正题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5 （B）6 （C）7 （D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为.9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为.（第10（甲）题）10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得，所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.…………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.…………（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m.…………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．…………（20分）2012-04-16 人教网。
2012初中数学知识大纲
（3）会用不等式的基本性质和移项法则解一元一次不等式。
不等式的基本性质
不等式的解集
一元一次不等式及其解法
一元一次不等式组
一元一次不等式组
（1）了解一元一次不等式组及其解集的概念，理解一元一次不等式组与一元一次不等式的区别和联系。
（2）掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集。
不等式组的解法
因式分解
概念
因式分解
（1）了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤。
（2）掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法(直接用公式不超过两次)、分组分解法（无需拆项或添项，分组后能直接提公因式或运用公式）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式。
科学记数法
近似数与有效数字
整式
整式的概念
代数式
（1）掌握用字母表示有理数，了解用字母表示数是数学的一大进步。
（2）了解代数式、代数式的值的概念，会列出代数式表示简单的数量关系，会求代数式的值。
（3）了解整式、单项式及其系数与次数、多项式次数、项与项数的概念，会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列。
一次函数的图象和性质
△二元一次方程组的图象解法
二次函数的图象
二次函数
（1）理解二次函数和抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象，会用公式（不要求掌握公式推导过程和记忆公式）确定抛物线的顶点和对称轴。
*（2）会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。
代数式的值
整式
单项式
多项式
整式加减法
合并同类项
2012年全国初中数学竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛试题考试时间 2012年3月18日 9:30-11:30 满分150分答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.如果实数a ，b ，ca b b c +++可以化简为（ ）A .2c -aB . 2a -2bC . –aD .a2.在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）A .10B .9C . 7D .53.如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形.∠ADC =30°，AD =3，BD =5，则CD的长为（ ）A .B .4C .D .4.5(第1题图)BADC4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）A .1B .2C .3D .45.黑板上写有1111,,,,23100⋅⋅⋅共有100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a+b+ab ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A .2012B .101C .100D .99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________.7.如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点.以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC =12.延长BC ，与⊙O 分别交于D ,E 两点，则CE -BD 的值等于___________.8.如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1，x 2，那么2011120122x x 的值为_______________.9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为_____________.10.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD =DC .分别延长BA ,CD ,交点为E .作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F .若AE =AO ,BC =6，则CF 的长为___________.(第6题图)AB OCED(第7题图)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO =8，AB =AC ，sin ∠ ABC =45.CD 与y 轴交于点E ，且C O E A D E S S ∆∆=.已知经过B ,C ,E 三点的图像是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.12.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ,BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB +AD =2BD .13.已知整数a ，b 满足：a -b 是素数，且ab 是完全平方数.当a ≥2012时，求a 的最小值.14.将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a ，b ，c （可以相同）使得ba c =，求n 的最小值.IABDOC2012年全国初中数学竞赛试卷答案（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c a b b c ++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以()()()a b b c a a b c a b c a +++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ） A ．10 B ．9 C ．7 D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5 解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ． 又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒． 在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数．由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--． 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1． 所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A ．2012B ．101C ．100D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=+++⋅⋅+ ， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤．容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，．z CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =．此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==-9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++．于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =． 当8m =时，40b =，5a =； 当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF E C ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ．由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒．依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， 所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此BC BACF AD=．因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =， 所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是2DE OEDC OB==． 因此223DE CD AD CE AD ===，． 由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =．故AD CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，． 由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，． 因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+． 将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-．12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=． 解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ． 故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ， 所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=．因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=．于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025．当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =． 因此，a 的最小值为2025．14．将23n ， ， ，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b ac =，求n 的最小值．解：当1621n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+- ， ， ， ， ， 和{}84521- ， ， ， ．在数组{}88162322121+- ， ， ， ， ， 中，由于38821632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 在数组{}84521- ， ， ， 中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482abc ===，，，此时ba c =． 综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。
2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案
2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19． 6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得，所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）. …………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为. …………（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线. …………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD. 故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m. …………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025. …………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．。
2012年全国初中数学竞赛试卷及答案(福建赛区)
2012年全国初中数学竞赛试卷（福建赛区）（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，ca b b c ++可以化简为（ ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ ）A ．10B ．9C ．7D ．53．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）A ．23B ．4C ．52D ．4.54．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A ．2012B ．101C ．100D ．99二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 ． 7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 ．8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 ．三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．14．将23n ， ， ，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得ba c =，求n 的最小值．2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c a b b c ++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以()()()a b b c a a b c a b c a ++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ）A ．10B ．9C ．7D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩,以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ， BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数． 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--．因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1．所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ） A ．2012 B ．101 C ．100 D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)...(1)23100x +=+++⋅⋅+， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤． 容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤． 7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =．此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==-9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++．于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =．当8m =时，40b =，5a =；当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E．作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ． 由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒． 依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此 BC BACF AD=． 因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =，所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是 2DE OEDC OB==．因此223DE CD AD CE AD ===，．由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =．故2AD CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△，因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-．因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线， 点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =，知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ．又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．【解答1】设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=． 因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=． 于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025． 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =．因此，a 的最小值为2025．【解答2】设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是非负整数）。
2012全国初中数学竞赛试题及答案(现只有选择题答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1. 如果2a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）（B （C ）2 （D ）解：B∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22. 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内， 画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 解：4. 如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 解：C∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x∴正根为3242<++qp p 解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p5. 黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C1)1)(1(-++=++b a ab b a∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为 ． 解：7 在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c7. 如图，正方形ABCD 的边长为2E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 解：8易证△ABF ≌△DAE ，因此AF ⊥DE ∴()()351515222=+==AF DE∴323515152=⋅=AM ，()()343215222=-=DM易证△AND ∽△FNB ，且相似比为2:1∴331032==AF AN ，33531==AF FN ∴334323310=-=MN ∴83433421=⋅⋅=∆DMN S8. 设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9. 如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a c的取值范围是 . 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+ac b c b a 111，所以a c b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得 c a a c a +-<1即ac a c a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤ca综合得1253≤<-ca10. 已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ． 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 解：12. 如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心.求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线； （2）AB +AD = 2BD .13.给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．，，（可14.将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c以相同）使得b a c=，求n的最小值．。
2012年全国初中数学 竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题,每小题6分,共36分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）1．在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解.完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m < 【答】C ．解.一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴,且y 随x 的增大而增大,所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩解得1m >．3．如图,在⊙O 中,CD DA AB ==,给出下列三个 结论.（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时,∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答】D ．解.因为CD AB =,所以DC =AB ；因为AD AB =,AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度,则由△DAB 的内角和为180°得.2(30)180x x -︒+=︒,解得80x =︒．4. 有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【 】（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解.从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有4种可能,所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(1,0),点B 的坐标是(3,3)--,点C 是y 轴上一动点,要使△A B C 为等腰三角形,则符合要求的点C 的位置共第3题图O DCBA有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 【答】D ．解.由题意可求出AB =5,如图,以点A 为圆心AB 的长为半径画弧,交y 轴于C 1和C 2,利用勾股定理可求出OC 1=OC 2=225126-=,可得)62,0(),62,0(21-C C , 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧,交y 轴于点C 3和C 4, 可得34(0,1),(0,7)C C -,AB 的中垂线交y 轴于点C 5,利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数）,当b 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线）,这条抛物线的解析式是【 】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解.221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ,设4b x -=,882b y -=,由4b x -=得x b 4-=,所以222218)4(888x x b y -=--=-=． 二、填空题（共6小题,每小题6分,共36分）7．若2=-n m ,则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解.71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．【答】120,4x x ==-．yxO 第6题图xyOABC 1C 2C 3C 4C 5 第5题图解.11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++. ∴22(1)(3)3x x =++,解得 120,4x x ==-.9．如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是（1,0）, 若点A 的坐标为（a ,b ）,将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA ',则点A '的坐标是 ． 【答】(1,1)b a +-+．解.分别过点A 、A '作x 轴的垂线,垂足分别 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ,所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+,1A D BC a '==-,所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图,矩形ABCD 中,AD =2,AB =3,AM =1,DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧,NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧,【答】2．解.连接MN ,显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合,图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积,等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根,则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解.∵α是方程2210x x +-=的根,∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-, 又 ∵2,αβ+=-M第10题图E 第9题图∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个． 【答】36．解.利用抽屉原理分析,设最多有x 个小朋友,这相当于x 个抽屉,问题变为把145颗糖放进x 个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145,解得x ≤36,所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁？解.设王亮出生年份的十位数字为x ,个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前．故应分两种情况. …………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为200010x y ++,依题意,得2012(200010)20x y x y -++=+++,整理,得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数,∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为190010x y ++,依题意,得2012(190010)19x y x y -++=+++,整理,得 111022x y =-,故x 为偶数,又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁． …………………14分 综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁．……………15分14．如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2),点D 在线段OA 上,BD =BA , 点Q 是线段BD 上一个动点,点P 的坐标是(0,3),设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时,若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部,求a 的取值范围．解.（1）直线y kx b =+经过P (0,3),∴ 3b =．∵B (3,2),A (5,0),BD =BA ,∴ 点D 的坐标是(1,0), ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意,得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩,∴4,1x k =-∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数,∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭,对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22,∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图,扇形O M N 的半径为1,圆心角是90°．点B 是MN 上一动点,BA ⊥OM 于点A ,BC ⊥ON 于点C ,点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点,GF 与CE 相交于点P ,DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证.四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时,四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ,试说明223PQ OA +是定值．解.（1）证明.如图①, ∵∠AOC =90°,BA ⊥OM ,BC ⊥ON , ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点, ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB , ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点, ∴ GF ∥OB ,DE ∥OB , ∴ PG ∥EQ ,∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分A BCO D EFGPQ M N图①（2）如图②,当∠CED =90°时,□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°,∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ,AB =y ,则2x ∶2y =2y ∶x ,得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=,即2221x y +=．∴2221x x +=,解得x =∴当OA的长为3时,四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③,连结GE 交PQ 于O ',则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得,2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB , GA '=13GE =13OA ,∴ 1126A O GE GA OA '''=-=． 在Rt △PA O ''中,222PO PA A O ''''=+,即 2224936PQ AB OA =+, 又 221AB OA +=, ∴ 22133PQ AB =+,∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分A BCOD E F GP QMN 图②B'N MA'QP O'G F E D C B A O 图③。
2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛
叠使点 Ｄ与点 曰 重 合 ，得 折 痕 Ｅ 则 Ｅ 的长 Ｆ 为（ ） ． （ √ Ａ）３
（ ２ Ｂ）
（ ｃ） （ Ｄ）
图２
图３
图１
９如图 ３在Ａ Ａ Ｃ中， ． ， Ｂ 已知 Ｄ 为边 Ｂ Ｃ 的中点 ， 、 Ｅ Ｆ为边 Ａ Ｂ的三等分点 ，Ｄ分别 Ａ 与 Ｃ 、 Ｆ交 于点 Ｍ、 ．则 Ａ Ｍ ： Ｄ＝ ＥＣ Ⅳ Ｍ： Ｎ Ｎ １． 平 面 内 有 一 正 方 形 Ａ Ｃ Ｍ 是 Ｏ若 Ｂ Ｄ， 该平 面 内任 意 点 ， Ｍ Ｍ Ｃ的 最 小 值 为 ￣ Ａ＋
＝ＤＥ ＝ ２ ７ ｒ． ｃ Ａ ＢＣ ＝ Ｃ ＤＥ ＝ １ ０。 ５ ，
号 码不 小 于 第 一 次 取 出球 的 号 码 的概 率 为 （ ） ．
Ｂ Ｄ＝１０ ， ｏ０ 自点 Ａ至 点 Ｅ转 动 了 Ｃ ２ 。则
周．
（÷ Ｂ （ （詈 Ａ （詈 ｃ Ｄ ） ） ） ）
ｌ ｘ～２ ＞口 ２
Ｄ＝肋＝ Ｇ丢
得 Ｅ Ｇ：￣Ｄ ２— Ｇ ／ Ｅ － ２： — Ｄ
＝＃ ， ３＇ ２ － １ － ０
．
的解集中的整数恰好有两个．求实数 口的取 值范 围．
参 考 答 案
— —
所 以 ， Ｆ＝ Ｅ Ｅ ２ Ｇ＝，ｌ ／Ｏ．
４．Ｂ．
、
１． Ａ．
三、 解答题（ 每小题 ２ 分 ， ８ 分） ０ 共 ０ ｌ． １ 已知 抛 物 线 ｙ＝ ＋ ＋，经 过 点 ｌ （ ， ）且 与 轴 交 于 （ ， ）Ｂ（ ， 两 ２ 一１ ， 口０ 、 ｂ０） 点．若 Ｐ为该抛物线的顶点， 求使Ａ Ｐ Ｂ面 Ａ 积最 小 时抛物线 的解 析式．
2012数学考试大纲
2012考研数学一大纲所谓“了解”和“理解”是指对于“基本概念”的理解程度，“会求”和“掌握”则是指对于“基本解题方法”的把握程度。
当然“了解”低于“理解”，“会求”低于“掌握”。
因此“了解”和“会求”一般限于出选择和填空题，“理解”和“掌握”则有可能出计算题和证明题。
数学一 考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计试卷结构：（一）题分及考试时间： 试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）内容比例： 高等教学--约60％ 线性代数--约20% 概率论与数理统计--20％（三）题型比例： 填空题与选择题--约40％ 解答题(包括证明题)--约60%高等数学一、函数、极限、连续考试内容:函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立. --------(调整知识点：将"简单应用问题函数关系的建立"调整为"函数关系的建立")----数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 :0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学考试内容:导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数----(调整知识点：将"基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算"调整为"导数和 微分的四则运算 基本初等函数的导数")------ 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数---(考试要求中将2005年的"4．会求分段函数的一阶、二阶导数"以及"5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数"调整并合并为"4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数"。
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2012全国初中数学竞赛大纲
1、实数
十进制整数及表示方法。
整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。
素数和合数，最大公约数与最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2、代数式
综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
部分分式。
对称式和轮换对称式。
3、恒等式与恒等变形
恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
4、方程和不等式
含字母系数的一元一次、二次方程的解法。
一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。
列方程（组）解应用题。
5、函数
y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值。
简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。
6、逻辑推理问题
抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。
逻辑推理问题，反证法。
简单的极端原理。
简单的枚举法。
7、几何
四种命题及其关系。
三角形的不等关系。
同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。