偏导数及其在经济学的应用
6.3偏导数及其在经济学中的应用
设甲和乙是两个有关联的商品, P1和P2分别为它们的单位价格,
Q1和Q2分别为它们的需求量.若甲和乙的需求函数分别为
Q1 Q1(P1, P2 ),
Q2 Q2 (P1, P2 ).
则商品甲和商品乙的需求量Q1和Q2对自身价格P1和P2的价格偏弹性
分别为
E11
EQ1 EP1
P1 Q1
Q1 , P1
有关外,还与其配置系统价格P2 (单位 : 万元)有关,具体关系为
Q
100
250 P1
100P2
P2 2
,
当P1 25, P2 2时,求
(1)销售量Q对自身价格P1的直接价格偏弹性;
(2)销售量Q对相关价格P2的交叉价格偏弹性.
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x (x0 , y0 )
f
( x0
)
lim
x 0
f
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
x
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
同样可定义对 y 的偏导数
f2(x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
2. 二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
第6.3节
偏导数及其在经济学中的应用
2-6偏导数在经济分析中的应用
w1 w 2
)
由问题的实际意义知，当两种投入要素分别为
x 1 6( w 2 w1 )
, x 2 6(
w1 w 2
)
时，生产12个单位产量的成本取得最小值．
1 1 3 2 L , 某商品的生产函数为 Q 6 K 其中Q 为产品产量, L为劳动投入,K为资本投入;又知资本投 入价格为4,劳动力投入价格为3,产品销售价格为p=2. 求: (1). 该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大 利润; (2).若投入总额限定在60个单位范围内,求此时取最 大利润时的投入及最大利润.
表示每增加一个单位商品qx 的消费所得到的总 效用的增加量. 表示每增加一个单位商品qy 的消费所得到的总 效用的增加量.
¶u ¶ qy
边际效用是递减的, 随着一个人所消费的某种商品 的数量增加, 其总效用虽然递增, 但该物品的标边 际效用却是递减的趋势.
2. 弹性
考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:
D xz z Dx x = D xz x Dx z
当D x
0 时,
D xz x lim ? Dx 0 D x z fx ( x, y )
'
x f ( x, y )
称为z = f ( x, y) 在点 ( x , y ) 处对 x 的弹性函数. 记为 e x .
即
ex = f x ( x, y )
'
解 利润函数为
pf ( L , K ) w L rK
1 1 2
1 2 L3 K
4L 3K
其定义域为开区域
D {( L , K ) L 0 , K 0 }
由利润最大化的一阶必要条件，有
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用多元函数的偏导数是微积分中重要的概念之一，对于经济学的研究和应用具有重要意义。
本文将从多元函数的偏导数的定义及性质入手，介绍其在经济学中的应用以及相关实例。
一、多元函数的偏导数的定义及性质1. 偏导数的定义：设函数f(x1, x2, ..., xn)是一个n元函数，对于其中的某一个变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他自变量保持不变的情况下，函数f关于xi的变化率。
2. 偏导数的计算：偏导数的计算与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对当前需要求导的变量进行求导。
3. 偏导数的性质：和一元函数的导数类似，多元函数的偏导数也具有线性性、乘法法则和链式法则等性质。
二、偏导数在经济学中的应用1. 边际分析：在经济学中，边际分析是一个重要的分析方法，可以用来研究经济决策中的最优选择。
偏导数在边际分析中起到重要作用，可以表示某个变量对于函数结果的边际变化率，帮助经济学家进行最优决策。
2. 生产函数和边际生产力：生产函数是经济学中用来描述产出与投入之间关系的函数。
偏导数可以用来描述生产要素对于产出的边际贡献，即边际生产力。
通过计算偏导数，可以分析各个要素对于产出的贡献程度，帮助企业进行生产要素的最优配置。
3. 需求弹性和供给弹性：偏导数可以用来计算价格对需求和供给的影响，从而得出需求弹性和供给弹性。
需求弹性和供给弹性的计算可以帮助经济学家分析市场的价格变动对于需求和供给的影响程度，揭示市场运行的规律。
4. 对数生产函数：对数生产函数是一种常用的生产函数形式，通过对数转化使其更便于计算和分析。
在对数生产函数中，偏导数可以用来分析各个生产要素对于产出的弹性，帮助经济学家进行生产要素配置的决策。
三、偏导数在经济学中的实例1. 在边际效应理论中，偏导数用来分析边际效应的大小和方向，帮助经济学家决定某决策或政策对经济变量的影响程度，如某个产品价格变动对市场供给量的影响。
[经济学]8-2 偏导数及其应用
![[经济学]8-2 偏导数及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/5469fa5c4028915f804dc2f7.png)
fx(x, y) fy(x, y)
[ f x( x, y)]y [ f y( x, y)]x
一阶偏导（2个）
[ f y( x, y)]y
二阶偏导（4个）
微积分八③
11/31
二阶偏导数的符号与名称
[
f x( x,
y)]x
:
2z x 2
2 f ; x2
;
f xx ( x,
y); zxx
对x的二阶偏导
[
1于.偏是Qp1边1 Q表际1,Q示与2Q都交1是对叉p自边1和身际p价2的格函p1数的。边际需求,称为偏边际
Q2 p2
表示Q2对自身价格p2的边际需求,称为偏边际
微积分八③
17/31
Q1 p2
表示Q1对相关价格p2的边际需求,
称为交叉边际
Q2 p1
表示Q2对相关价格p1的边际需求,
称为交叉边际
Q1
教
Zm , n R.sin m
案 二、高阶偏导数
三、偏导数的经济意义
X,Y,Z
3/31
1.1、偏增量与全增量 1.2、偏导数的概念 1.3、偏导数的计算法 对一个变量求导，其余变量看成常数.
微积分八③
4/31
例
4
已知
z
y x
( x,
y, z
0) ，证明
z x
x y
y z
1 .
证明: 由 z y 可得 x
微积分八③
12/31
例 6 设z x 3 y2 3 xy3 xy 1，
求
2z x 2
、
2z yx
、
2z xy
、
2 y
z
2
.
偏导数及其在经济学的应用
Q1 Q1 ( p1，p2 )及 Q2 Q2 ( p1，p2 ).
对需求函数Q1 Q1 ( p1，p2 ) ,当 p2 不变时，需求量 Q1 对价格 p1 的偏弹性E p1 称为直接价格弹性，即
E p1 Q1 p 1 p 1 Q1
对需求函数 Q1 Q1 ( p1，p2 ) ,当 p1 不变时，需求量 Q1 对价格 p2 的偏弹性 E p2称为交叉价格弹性，即
为函数f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对x从 x0 到 x0 x 两点间 的弹性.
令Δx→0，则式上式的极限称为f(x,y)在点 ( x0 , y0 )处 对x的偏弹性，记为 Ex ，即
x z x0 x0 Ex lim f x ( x0 , y0 ) x 0 x z0 f ( x0 , y0 )
当x=5,y=3时，A型的小车边际成本为
Cy 5,3 5 4 3 17
其经济含义是：当A型小车日产量为5百辆，B型小 车日产量为3百辆的条件下.
(1) 如果B型小车日产量不变而A型小车日产量增加1 百辆，则总成本大约增加53百万元； (2) 如果A型小车日产量不变而B型小车日产量增加 1 百辆，则总成本大约增加17百万元.
为需求Q对价格p的偏弹性.
Δ y Q / Q Q y E y lim Δ y 0 Δ y / y y Q
为需求Q对收入y的偏弹性.
例11 设某城市计划建设一批经济住房，如果价格 (单位：百元/平方米)为p，需求量(单位：百间)为Q， 当地居民年均收入(单位：万元)为y，根据分析调研， 得到需求函数为 2
C x, y 10 5x2 xy 2y 2
求当x=5,y=3时，两种型号的小车的边际成本， 并解释其经济含义.
微积分第二版课件第三节偏导数与经济应用
每种产品的边际利润．
解(1)对产品 q的1 边际成本为
C q1
6q1
7
1.5q2
对产品q2的边际成本为
C q2
1.5q1
6
4q2
(2)
C q1
q15 (6q1 7 1.5q2 ) q15 41.5
q2 3
q2 3
(3) 利润函数
L(q1, q2 ) 30q1 20q2 C(q1, q2 ) 23q1 14q2 3q12 1.5q1q2 2q22
解 对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
同理
u 2xez cos( x2 y3) x u 3y2ez cos( x2 y3) y
u ez sin( x2 y3) z
3.二元函数偏导数的几何意义
二元函数 z =f (x, y) 的图形表示空间一张曲面. 当
y = y0时, 曲面z = f (x, y)与平面 y = y0 的交线方程为
由偏导数定义可知,求偏导数 fx，(x就, y是) 在函数 中视f (yx为, y常) 数，只对x求导数，因此有
类似地
fx (x,
y)
d dx
f
(x,
y)
y不变
fy (x,
y)
d dy
f
(x,
y)
x不变
这样求偏导数实际上是一元函数求导问题.
对于固定点 (x0, 处y0 )的导数有
fx (x0 , y0 ) fx (x, y) (x0 ,y0 ) fx (x, y0 ) xx0
4.偏导数与连续的关系 一元函数可导与连续的关系：连续 可导 对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
例
讨论函数
f
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用分析
多元函数的偏导数及其在经济学中的应用分析多元函数的偏导数是研究多元函数变化率的重要工具，其在经济学中有着广泛的应用。
在此篇文章中，我们将讨论多元函数的偏导数的概念、计算方法以及在经济学中的具体应用。
一、多元函数的偏导数概念与计算方法1.1 多元函数的偏导数概念多元函数是指含有多个自变量的函数，其偏导数用于衡量函数在某个自变量上的变化率。
对于一个二元函数 f(x, y)，其在 x 和 y 上的偏导数分别表示为∂f/∂x 和∂f/∂y。
1.2 多元函数的偏导数计算方法计算一个多元函数在某个自变量上的偏导数时，仅将其他自变量视为常数进行求导即可。
对于 n 个自变量的函数 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其在第 i 个自变量上的偏导数表示为∂f/∂xᵢ。
二、多元函数的偏导数在经济学中的应用2.1 优化问题在经济学领域中，许多问题需要找到一个函数的最大值或最小值。
利用多元函数的偏导数可以帮助我们找到这些最值点。
通过求解多元函数在每个自变量上的偏导数，并令其等于零，可以得到函数的稳定点。
这些稳定点就是函数的最值点，可以帮助我们做出经济决策。
2.2 生产函数的边际产出生产函数描述了投入和产出之间的关系。
在经济学中，生产函数的边际产出指的是增加一单位输入所导致的产出变化。
通过对生产函数进行偏导数运算，我们可以求得某一输入变量对产出的影响程度，从而帮助企业做出生产决策、优化资源配置。
2.3 市场需求曲线的均衡分析在市场经济学中，需求曲线表示了消费者对商品的需求情况。
通过对需求函数中价格的偏导数求解，可以得到市场上每单位价格变动所引起的需求变化率。
这可以帮助我们分析市场均衡、价格弹性以及消费者行为的变化。
2.4 市场供给曲线的分析供给曲线描述了产商的供给决策与市场价格之间的关系。
通过对供给函数中价格的偏导数求解，可以得到市场上每单位价格变动所引起的供给变化率。
这可以帮助我们分析市场均衡、价格弹性以及产商的决策行为。
第三节 偏导数及其经济应用 2013-4-20
§8.3 偏导数及其经济应用教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用．重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数．难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：一、偏导数的定义及其计算方法1.二元函数(,)z f x y =的全增量（全改变量） (,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-. 二元函数对x 的偏增量（偏改变量） (,)(,)x z f x x y f x y ∆=+∆-.二元函数对y 的偏增量 (,)(,)y z f x y y f x y ∆=+∆-.2.二元函数偏导数的定义【定义8.4】设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)f x y 在0x x =处存在导数00(,)x f x y ',则称00(,)x f x y '为(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数，并记作00x x y y z x ==∂∂，00x x y y fx==∂∂，00x x xy y z ==或00(,)xf x y '. 其中 00(,)xf x y '= 000000(,)(,)limlim x x x f x x y f x y zxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆.(2) 类似可定义函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数:00x x y y z y==∂∂=00(,)y f x y '=000000(,)(,)lim limy y y z f x y y f x y yy ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 结论(1)当(,)f x y 在点00(,)x y 处同时存在对x ，y 的偏导数时，简称(,)f x y 在点00(,)x y 可偏导.(2)当(,)f x y 在平面某一区域D 内每一点(,)x y 处都存在对x ，y 的偏导数时，则称函数在该区域D 内有偏导函数，记作,,,z z fx y x∂∂∂∂∂∂(,),(,),,x y x y f x y f x y z z ''''也简称偏导数．3.多元函数偏导数的定义设0()()U P D f ⊂,若一元函数000001211(,,,,,,)k k k n f x x x x x x -+ 在0k k x x =处存在极00000000001111110(,,,,,)(,,,,,)lim k k k k k n k k k n x kf x x x x x x f x x x x x x -+-+∆→+∆-∆ ,则称此极限为()u f P =在点000012(,,,)n P x x x 处对k x 的偏导数，并记作kP P ux =∂∂，kP P f x =∂∂，0kx P P u =或0()kx f P .提问：用定义表示三元函数(,,)f x y z 在点000(,,)x y z 处的三个偏导数.0000000000(,,)(,,)(,,)limx x f x x y z f x y z f x y z x∆→+∆-'=∆；0000000000(,,)(,,)(,,)limy y f x y y z f x y z f x y z y∆→+∆-'=∆； 0000000000(,,)(,,)(,,)lim z z f x y z z f x y z f x y z z∆→+∆-'=∆.结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将12(,,,)n f x x x 中所有()j x j k ≠看作常量而对k x 求导可得kfx ∂∂. 4.偏导数函数设区域()D D f ⊂,若(,)z f x y =在D 内每一点P 对(x y 或的偏导数(,)x f x y 或(,)y f x y 都存在,那么(,)x f x y 或(,)y f x y 就称为(,)z f x y =对(x y 或的偏导函数，（它仍是,x y 的函数）.记作u x ∂∂，（或u y ∂∂）f x∂∂（或fy∂∂），x u （或y u ）或()x f P （或()y f P ）. 可见,函数()x f P 在0P P =处的值为偏导数0()x f P .以后在不混淆的情况下,将偏导函数()x f P 也称为偏导数.例1(1) 求 223z x xy y =++在点(1,2)处的偏导数．分析：二元函数的偏导数① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得x f ∂∂. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得yf∂∂.解 23z x y x ∂=+∂, 32z x y y∂=+∂．∴1221328x y z x ==∂=⨯+⨯=∂,1231227x y z y==∂=⨯+⨯=∂．(2)2sin z x y =，则(2,)6|z x π∂=∂ ，(2,)6|zy π∂=∂ . (2,)(2,)66|2,|23z zx y ππ∂∂==∂∂.(3) （09.3.4）设()y x z x e =+，则(1,0)|zx∂=∂ln()()[ln()]y x x e y x y y z x e x e x e x x x e +∂∂==+++∂∂+ ln2(1,0)1|(ln 2)2ln 212z e x ∂=+=+∂. （4）（2013.4）设函数(,)z z x y =由方程()xz y xy +=确定，则(1,2)z x∂=∂___________.提示：(1,2)0z =， 由对数求导法知1ln()x z z y z y x x∂++=+∂，代值得 (1,2)1l n 2|12zx ∂+=∂， 解出(1,2)22l n 2z x∂=-∂.例2求下列函数的偏导数（注意 复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义） (1) 求 2sin(2)z x y =．解)2sin(2y x x z =∂∂ , )2cos(22y x yz =∂∂． （2）2(,)xy f x y e =解 222(,),(,)2xy xyx y f x y y e f x y xye ==．（3）设2()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，求,x y z z 解 22(),()2x y y yz y xy z x xy x xφφ''=-+=+（4）222u x y z =++（考虑两层复合的函数）解 222222,x y x y u u x y z x y z==++++,222z zu x y z=++.（5）ln tany z x= （考虑三层复合的函数ln ,tan ,y z u u v v x===） 解 22221sec ()t sec tan x y y y y yz co y x x x x x x =⋅⋅-=-⋅⋅21t sec y y y z co x x x =⋅⋅．（6）()zx u y =解 ()z z zx u y x y-==⋅，1()z z z x x zu zy x y x--=⋅=⋅()z y x zu y y =-⋅，()ln z z x x u y y=⋅．（7）21(,)()xy x yF x y f s ds e dx =+⎰⎰解 (,)(),(,)()()x y F x y yf xy F x y xf xy f y ==-． 提问（2012-2-4-11）设1(ln )z f x y=+，其中()f u 可微，则2z z xy x y ∂∂+=∂∂ . 提示：21111(ln );(ln )z z f x f x x x y y y y ∂∂''=+=-+∂∂，20z z x y x y∂∂+=∂∂. 练习：（1）(1)x z xy =+提示：ln(1)(1)x x xy z xy e +=+=． （2）设函数221(.)1xyxy xf x y dt e dy t -=++⎰⎰，求偏导数,f fx y ∂∂∂∂. 提示：2333331,111x f y f x e x y x y x x y-∂∂=-+=∂∂+++. （3）(95.3) 设)(xyxyf z =,)(u f 可导,则='+'y x z y z x . 提示 2()x y yxz yz xyf x''+=.提问:二元函数(,)z f x y =的两个偏导数存在,且0z x ∂>∂,0z y∂<∂，则【 】. (A ) (,)f x y 关于x 是减函数，关于y 是增函数； (B ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (C ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是增函数； (D ) (,)f x y 关于x 是增函数，关于y 是减函数.答(D ).因为0>∂∂x z表示当y 保持不变时,),(y x f 是x 的单调增加函数0<∂∂yz表示当x 保持不变时,),(y x f 是y 的单调减少函数.例3 设yz x =(0,1)x x >≠，求证 12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂. 证明 因1-=∂∂y yx x z , x x yz y ln =∂∂, 所以x x xyx y x y z x x z y x yy ln ln 1ln 11+=∂∂+∂∂- y y x x +=z 2=例4 已知理想气体的状态方程pV RT =(R 为常数),求证:1p V T V T p∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.证明 因 RT p V =⇒2p RTV V ∂=-∂, ⇒=p RT V p R T V =∂∂,⇒=R pV T R V p T =∂∂.所以 21p V T R T R V R TV T p V p R p V∂∂∂⋅⋅=-⋅⋅=-=-∂∂∂. 二、偏导数存在与函数连续的关系函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点00(,)x y 对x 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于x 是连续函数，同样函数(,)z f x y =在一点00(,)x y 对y 的偏导数存在，(,)z f x y =一定关于y是连续函数.并且有关于一元函数的增减性. 偏导数与连续的关系（1）一元函数在某点可导====>连续，（2）多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续. 例如:设 1 0,0,(,),0.xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩由于00x y fx==∂=∂00(0,0)(0,0)11limlim 0x x f x f x x∆→∆→+∆--==∆∆, 00x y f y==∂=∂00(0,0)(0,0)11limlim 0y y f y f y y∆→∆→+∆--==∆∆. 即(,)f x y 在(0,0)点两个偏导数都存在,但(,)f x y 在(0,0)点显然间断． 因为(,)(0,0)lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.又如， ( (220,,)(0,0)(,),,)(0,0)x y f x y xy x y x y =⎧⎪=⎨≠⎪+⎩在点(0,0)处两个偏导数均存在且为0，（用下列方法可求）00x y f x==∂=∂220000(0,0)(0,0)0lim lim 0x x x f x f x x x ∆→∆→⋅-+∆-+==∆∆,但是(,)f x y 在(0,0)点不连续，因为222222(,)(0,0)00lim(,)lim lim (1)1x y x x y kxxy kx kf x y x y x k k →→→====+++ 极限不存在.结论：多元函数偏导数存在与连续没有必然关系.三、二元函数偏导数的几何意义偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.提问：是否存在一个函数(,)f x y ，使得4x f x y '=+，3y f x y '=-？（分析：21(,)4()2x f x y f dx x xy y φ==++⎰ 4()3y f x y x y φ'⇒=+≠-，所以这样的(,)f x y 不存在.）四、高阶偏导数1.高阶偏导数: (,)z f x y =偏导函数(,)x f x y '，(,)y f x y '还是,x y 的函数，若(,)x f x y '，(,)y f x y '在区域D 内对,x y 存在有偏导数,则称此偏导数为),(y x f z =的二阶偏导数,并),(0y x f z =Oxz 0M yT xTy),(0y x f z =记作22(,)xx z z f x y x x x ∆∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭,2(,)xy z z f x y x y y x ∆∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭,22(,)yy z z f x y y y y ∆⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭，2(,)yx zz f x y y x x y ∆⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭, 同理有3232z z x x x ∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭,3222z z x y y x ∆⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭等等. 2.【定理】如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导 (,)xy f x y ，(,)yx f x y 在区域D 内连续，则在该区域内必(,)xy f x y =(,)yx f x y .二阶混合偏导数在连续情况下 与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数. 例5 设32331z x y xy xy =--+,于是22333z x y y y x ∂=--∂ ， 3229z x y xy x y∂=--∂； 2226z xy x ∂=∂ ， 232218z x x y y∂=-∂； 222691z x y y x y ∂=--∂∂ , 222691z x y y y x∂=--∂∂. 例6 求函数arctan xz y=的二阶偏导数.解 222111()x y z x y x y y=⋅=++，22y xz x y =-+222222()()xx y xyz x x y x y ∂==-∂++， ()2222222!()()!!xy yx y x y n z z y x y x y r n r ∂-===∂++-， 222222()()yy x xy z y x y x y ∂-==∂++． 练习:求函数2y z x ye =的二阶偏导数.解 22,(1)y yx y z xye z x e y ''==+;22,2(1),(2)y y yxx xy yx yy z ye z xe y z z x e y ''''''''==+==+. 例7(05.8) 设()f u 具有二阶连续导数，且(,)()()y x g x y f yf x y =+,求222222g g x y x y ∂∂-∂∂. 解 由条件知)()(2yx f x y f x y x g '+'-=∂∂, )(1)()(242322y xf y x y f x y x y f x y xg ''+''+'=∂∂,)()()(1y x f y x y x f x y f x y g '-+'=∂∂ 22222231()()()()g y xx x x x xf f f f y x x y y y y y y ∂''''''=-++∂ 2231()()y x x f f x x y y''''=+故222222y g y x g x ∂∂-∂∂ )()()()()(2222222yx f y x x y f x y y x f y x x y f x y x y f x y ''-''-''+''+'=)(2xy f x y '=.练习 求下列函数的二阶偏导数22(1)()z f x y =-，ln (2)x z y =，(3)xyz u e =例8 证明函数1u r =满足方程2222220,u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂其中222r x y z =++.证明:22311u r x xx r x r r r ∂∂=-=-=-∂∂, 22234351313u r x x r r x r r∂∂=-+=-+∂∂； 同理2223513u y y r r∂=-+∂, 2223513u z z r r ∂=-+∂. 2222222223533()u u u x y z x y z r r ∂∂∂++++=-+∂∂∂33330r r=-+=.（补充内容）#*、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性(一元函数弹性)我们知道一元函数边际与弹性分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售A Q 是它的价格A P 及其它商品价格B P 的函数(,)A A B Q f P P =,称A BB AQ P P Q ∂⋅∂为A Q 对B P 的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品； 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.【偏弹性定义】设函数(,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数存在，函数对x 的相对改变量(,)(,)(,)x z f x x y f x y z f x y ∆+∆-=与自变量x 的相对改变量x x∆之比x zz x x∆∆称为函数(,)f x y 对从x 到x x +∆两点间的弹性．当0x ∆→时，x zz x x∆∆的极限值称为函数(,)f x y 在点(,)x y 处对x 的弹性，记作x EzEx η或，即0lim x x x z Ez x z x Ex z x x z η∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.类似可以定义函数(,)f x y 在(,)x y 处对y 的弹性为0lim y y y z Ezy z y Ey z y y z η∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.特别地，如果(,)z f x y =中z 表示需求量，x 表示价格，y表示消费者收入，则x η表示需求对价格的弹性，y η表示需求对收入的弹性.( x η恒为正)【交叉弹性概念】设,A B 两种商品彼此相关，它们的需求量,A B Q Q 分别为两种商品价格,A B P P 及其消费者收入y 的函数即(,,)(,,)A A B B A BQ f P P y Q g P P y =⎧⎨=⎩，则1110122202/lim //lim /A B A A A A P A AA AB B B B P B B B B Q Q P Q E P P Q P Q Q P QE P P Q P ∆→∆→∆∂⎫==⋅⎪∆∂⎪⎬∆∂⎪==⋅⎪∆∂⎭直接价格偏弹性；2120222102/lim //lim /B A A A B A P B BA B B B A B P A A B A Q Q P Q E P P Q P Q Q P QE P P Q P ∆→∆→∆∂⎫==⋅⎪∆∂⎪⎬∆∂⎪==⋅⎪∆∂⎭交叉价格弹性.当0,0A B B AQ QP P ∂∂>>∂∂则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量增加且另一个需求量减少此时称,A B 互为替代品；如苹果与香蕉.当0,0A B B AQ QP P ∂∂<<∂∂则说明两种商品中任一价格减少都将使其中一个需求量同时增加此时称,A B 互为互补品；如汽车与汽油.例 某种数码相机的销售量A Q 除与它自身的价格A P 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格B P 有关,具体222504120102A B B A b b ac Q P P P a-±-=+-- 求 50A P =，5B P =时（1）A Q 对A P 的弹性；（2）A Q 对B P 的交叉弹性. 解：（1）A Q 对A P 的弹性为2225025012010A A A A A A A A B BAEQ Q P P EP P Q P P P P ∂=⋅=-⋅∂+--2250120250(10)A A B B P P P P =-+-+ 当A P =50，B P =5时25011205025050(5025)10A B EQ EP =-=-⋅+-+ （2）A Q 对B P 的交叉弹性为 2(102)25012010A A B BB B A B BBEQ Q P P P EP P Q P P P ∂=⋅=-+⋅∂+--BA P =50，B P =5时520212055025A EQ EP =-⋅=-+--B 小结：1．多元函数求对x 偏导数，就把函数看作x 的一元函数，求函数对x 的导数即为所求偏导数．2．一元函数的可导必连续在多元函数中不再成立，即(,)f x y 在一点存在偏导数，但在这一点不一定连续.偏导数),(00y x f x 存在，则有0(,)()f x y g x =在点00(,)x y 连续，偏导数00(,)y f x y 存在，则0(,)()f x y h y =在点00(,)x y 连续.3. 二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.4.偏弹性可以在一元函数弹性的基础上,把导数换成偏导数,对谁求偏弹性,就把谁看作自变量.课后记：存在的问题:不能正确的运用公式，计算错误较多；忽略了混合偏导数在连续情况下才与求导数的顺序无关的条件.。
4偏导和偏导数在经济学中的应用
EQB pB QB EPB QB pB
2、计算两种商品的需求交叉价格弹性函数
即：
EQA pB QA EPB QA pB
EQB pA QB EPA QB pA
3、根据交叉弹性分析两种商品的相互关系
若商品A 对B 的交叉弹性是负值即： EQA 0
EPB
则表示当商品A 的价格不变，而商品B 的价格 上升，对商品A的需求量相应减少，这时称商 品A 对B 之间是相互补充的关系。反之，就是 相互竞争的关系。
库柏——道格拉斯生产函数如何用于 求边际经济量？
1、当投入劳动力水平保持不变，而资本投入变 化时产量的变化率，称为资本的边际产量
Q cK 1L Q
K
K
2、当投入资本水平保持不变，而劳动力变化时 产量的变化率，称为劳动力的边际产量
Q cK L 1 Q
1 5
pB 32
因为：
EQA
1 0
EpB pA 4 5
pB 32
所以两种商品是竞争的
三、偏导数的应用-----
当企业生产某种产品，这种产品的生产数量Q取 决于投资的资本数量K（该企业拥有机器设备数量 ，厂房规模等）及可获得的劳动力数量L。 通常满足库柏——道格拉斯（Cobb-Douglas)生产函数：
Q cK L 且 c,,是正的常数
其中 0 1 0 1
L
L
计算边际经济量的例题讲解
例1：某工厂的生产函数
Q
f K, L
12
200k 2L 3
，其中Q是产量(单位:件) ,K是资本(单位:千元),L是劳动
(单位:千工时),求当L=8;K=9时的边际产量,并解释其意义
第八章第2节 偏导数及其应用
一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。
浅析偏导数在经济学中的应用
浅析偏导数在经济学中的应用摘要：在学习高等数学的微积分的时候,多元函数微分学是一个重点，又是一个难点,而且偏导数又是多元函数微分学中的重难点之一.随着社会的不断发展，多元函数偏导数的极值与最值在经济学和实际生活中应用越来越广泛.本文主要探讨在经济学实际生活中如何利用多元函数偏导数求解极值，特别是条件极值（拉格朗日乘数法），最值等方面的应用.关键词：多元函数偏导数，拉格朗日乘数法，最值，应用在学习高等数学中，我们对多元函数和一元函数的认识更上了一层，对其的认知也不只限于对于概念的理解，更应对它们再经济学和日常生活中得应用加强了许多，比如，。
在讨论函数极值问题上，函数的自变量只有限制在函数定义域内，而无其他条件限制时称为无条件极值.若函数自变量除了限制在函数定义域内，还有其它一些约束条件时，称为条件极值，对于条件极值，我们通常使用拉格朗日乘数法来求解。
.1.在经济中关于产品最优化问题拉格朗日乘数法在经济中的最优化问题中是广泛的应用，在经济中用多元偏导数解决的都是具体的实际问题，如利润最大、费用最小、产品材料最省、产品体积最大等，而且它们的存在与否是显而易见的.注意：如果根据问题的性质，确实能够判断出我们所讨论的问题存在最大值或者存在最小值，且多元函数在定义域D内只有一个极值可疑点时，那么，这个可疑点的函数值，就一定也是我们所求的最值，当题意不能直接确定最大、最小时，用极值的判别法即的符号判断.其中。
例1：假设在某一企业在市场分割成2个相同分量的市场的情况下，同时出售同一种产品，两个市场的需求函数满足 , .其中P1和P2表示为销售价格，Q1,Q2表示为销售量，总成本函数为 .(1)若该企业实行价格差别策略，试试确定两个市场上这产品的销售价格和销售量分别为多少时，使得企业获得的利润最大？分析：该问题中价格差别策略是其他方面不同，但是采取同一商品不同的销售价格，很明显问题是要求总利润即目标函数 ,此问题无约束条件，即为求无条件极值的问题.解：目标函数为，又由于，，所以。
偏导数的通俗理解经济含义
偏导数的通俗理解经济含义
偏导数是微积分中的一个概念，用于描述多元函数在某一点上
沿着某个特定方向的变化率。
在经济学中，偏导数的通俗理解可以
从以下几个角度来解释其经济含义：
1. 边际效应：偏导数可以理解为边际效应，即某个变量对于另
一个变量的影响程度。
例如，假设我们有一个生产函数，其中输入
变量包括劳动力和资本。
偏导数可以告诉我们，当劳动力增加一个
单位时，产出的变化情况，这可以帮助企业决策者判断是否需要增
加劳动力来提高产量。
2. 弹性：偏导数还可以解释为弹性，即某个变量对于另一个变
量的响应程度。
例如，价格弹性是指需求量对价格变化的敏感程度。
通过计算需求函数对价格的偏导数，我们可以得到价格弹性的大小，进而判断市场对价格变化的敏感程度。
3. 优化决策：在经济学中，我们经常需要优化某个目标函数，
例如成本最小化或利润最大化。
偏导数可以帮助我们找到最优解。
通过计算目标函数对相关变量的偏导数，我们可以确定哪些变量的
调整会对目标函数产生最大的影响，从而指导决策者进行相应的优
化调整。
4. 边际替代率：在经济学中，边际替代率描述了两种资源之间的替代关系。
偏导数可以用来计算边际替代率。
例如，在生产过程中，如果劳动力和资本可以相互替代，偏导数可以告诉我们在不同资源配置下，单位劳动力和单位资本的替代比例，这可以帮助企业决策者在资源配置上做出合理的决策。
总之，偏导数在经济学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解边际效应、弹性、优化决策和边际替代率等经济现象，从而为经济决策提供理论依据和实践指导。
偏导数及其在经济生活中的应用
(10 2 PB ).
PB 120 250 10 PB PB2 PA
EQ A PA 50, PB 5时 2 EPB
解: QY 15
PX 则E XY
15 0.625 PX QY 240
交叉弹性的值反映两种商品间的相关性： 当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交 叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于 零时，两商品为相互独立的商品.
QB g( PA , PB )
EQ A Q A PA Q A 对PA弹性 : . EPA PA Q A EQ A Q A PB Q A 对PB交叉弹性 : . EPB PB Q A
例8 某商品的需求函数为QY 120 2 PY 15PX，
求当PX 10，PY 15时商品的交叉弹性．
xz Ez z x f ( x , y )在( x , y )处对x的弹性： x lim z . Ex x 0 x x z yz x Ez z z . y 同理： y lim Ey y 0 y y z y
交叉偏弹性 Q A f ( PA , PB )
在 D 内可导，
它在 D 内的偏导数仍是 简称 偏导数，记为
x
和
y 的二元函数，称为偏导函数，
z f , , z x , f x x, y x x
或
z f , , z y , f y x, y y y
偏导数在生活中又怎样 的用处呢？
需求函数的偏弹性
弹性：z f ( x , y )在( x , y )处偏导数存在，函数对x的 xz f ( x x , y ) f ( x , y ) 相对改变量 z f ( x, y) xz x 与自变量x的相对改变量 之比 z x x x 称为函数f ( x , y )对x从x到x x两点间的弹性.
偏导数在经济分析中的应用
2023-11-07contents •偏导数概述•偏导数在经济学中的应用•偏导数在金融学中的应用•偏导数在市场分析中的应用•偏导数在生产者理论中的应用•偏导数在消费者理论中的应用目录01偏导数概述偏导数的定义偏导数的定义对于函数$f(x,y)$，如果$\frac{\partial f}{\partial x}$表示$x$对$f$的导数，那么偏导数就是部分地求导，即对其中一个变量求导，而保持其他变量不变。
偏导数的表示在多元函数的偏导数中，对于函数$f(x,y)$，其偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
偏导数的性质•线性性质：偏导数是线性运算，即如果$f(x,y)$和$g(x,y)$是两个二元函数，且$a$和$b$是常数，那么$(a f + b g)(x,y)$的偏导数等于$a \frac{\partial f}{\partial x} + b \frac{\partial g}{\partial x}$和$a\frac{\partial f}{\partial y} + b \frac{\partial g}{\partial y}$。
•高阶偏导数：如果一个多元函数的一阶偏导数还是关于其余变量的函数，那么可以继续求它的偏导数，以此类推，得到高阶偏导数。
偏导数在经济分析中的意义描述变量之间的关系偏导数可以描述两个变量之间的关系，例如，当一个变量增加时，另一个变量是增加还是减少。
在经济学中，经常需要考虑多个变量的优化问题，例如，如何在满足一定约束条件下最大化或最小化一个目标函数。
偏导数可以用来研究这些问题的局部最优解。
在政策分析中，偏导数可以用来研究政策变化对经济的影响。
例如，政府可以通过税收政策来影响消费者的购买行为，而偏导数可以用来描述这种影响的大小。
优化问题政策分析02偏导数在经济学中的应用边际效用函数表示在一定时间内，消费者增加一单位某种商品的消费所得到的效用量的增量。
8.2-4 偏导数在经济分析中的应用
第八章 多元函数微分学第2节偏导数及其在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用一、偏边际和偏弹性偏导数在经济分析中的应用——偏边际与偏弹性与一元经济函数边际分析和弹性分析相类似，可建立多元函数的边际分析和弹性分析，称其为偏边际和偏弹性，它们在经济学中有广泛的应用.我们仅以需求函数为例予以讨论.需求函数的边际分析112212(,,)(,,)Q f P P y Q g P P y =⎧⎨=⎩可以求得六个偏导数：1112221212,,,,,Q Q Q Q Q Q P P y P P y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂商品A 的需求函数关于商品B 的价格2P 的偏边际需求.当商品A 的价格1P 和消费者的收入y 固定时，商品B 的价格变化一个单位时商品A 的需求量的近似改变量.商品A 的需求函数关于消费者收入y 的偏边际需求.当1P ，2P 固定时，消费者的收入变化一个单位时商品A的需求量的近似改变量.12Q P ∂∂：1Q y∂∂：同理可得到其他偏导数的经济意义.需求函数的偏弹性1111111101111lim P AAQ Q P Q E E Q P ∆→∆∂===∆∂1122122101121lim P BA Q Q P Q E E P P Q P ∆→∆∂===∆∂其中 111212(,,)(,,)(1,2)i i i Q Q P P P y Q P P y i ∆=+∆-=2211211202122lim AB P Q Q P Q E E P Q P P ∆→∆∂===∆∂2222222202222lim BB P Q Q P Q E E P Q P P ∆→∆∂===∆∂其中 212212(,,)(,,)(1,2)i i i Q Q P P P y Q P P y i ∆=+∆-=1111Q P Q P ∂∂1212Q P Q P ∂∂及11Q P 对的弹性12Q P 对的弹性12Q P 对的交叉弹性亦称为进一步说明：除了上述4种偏弹性，还有需求收入偏弹性(1,2)iiyiQyE iQ y∂==∂偏导数在经济分析中的应用二、应用举例解:15=∂∂XY P Q 1202151510240Y Q =-⨯+⨯=10150.625.240Y X YX X Y Q P E P Q ∂=⨯=⨯=∂则时商品的交叉弹性．，求当，某商品的需求函数为例151********==+-=Y X X Y Y P P P P Q解因为121211211,,Q P Q P P P P ∂∂=-=∂∂221212122222,,Q P Q P P P P P ∂∂=-=-∂∂所以2111211211211,P Q P PE Q P P P ⎛⎫∂==⋅-=- ⎪∂⎝⎭2112112111,P Q E P Q P P ∂==⋅=∂122121211222,P Q P P E Q P P P ∂==⋅=∂222221222222121P Q P P E Q P P P ⎛⎫∂==-=- ⎪∂⎝⎭解A Q A P (1)对 的弹性为A A AAA A Q P E P Q ∂=⋅∂2225025012010A AB B AP P P P P =-⋅+--当 时，()225012025010A A B B P P P P =-+--50,5A B P P ==()2501.120502505010502510AA E =-=-⨯+-⨯-(2)对 的交叉弹性为A Q B P A B AB B A Q P E P Q ∂=⋅∂()210225012010B B B B A P P P P P =-+⋅+--当 时，50,5A B P P ==520212055025AB E =-⋅=-+--THANK YOU。
(整理)第二节偏导数及其在经济分析中的应用
4、偏导数的计算法 (1)二元函数情况① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得x f ∂∂. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得yf∂∂.例1(1) 求 223y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数．解:y x xz32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂．∴8231221=⨯+⨯=∂∂==y x xz,7221321=⨯+⨯=∂∂==y x yz ．(2 )求 2sin z x y =在点(2,)6π的偏导数．解: (2,)62sin ,|2z zx y x x π∂∂==∂∂所以, 2(2,)6cos ,|23z z x y y y π∂∂==∂∂所以． 例2求下列函数的偏导数（注意理解复合函数求导数:层层求导，导数相乘的含义） (1)求 )2sin(2y x z =．解:)2sin(2y x xz=∂∂ , )2cos(22y x y z =∂∂． （2）322(,)2ln()f x y x y x x y =-++解：222(,)3ln()x x f x y x x y x y =++++22(,)4y xyf x y y x y=-++． （3）2(,)xy f x y e = 解：222(,),(,)2xy xy x y f x y y ef x y xye ==．（4）设2()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，求,x y z z 解：22(),()2x y y yz y xy z x xy x xφφ''=-+=+（5）222u x y z =++（考虑两层复合的函数）解：222222222,,x y z x y zu u u x y z x y z x y z===++++++ （6）ln tan y z x =（考虑三层复合的函数ln ,tan ,yz u u v v x===）解6、偏导数与连续的关系一元函数中在某点可导====>连续，但是多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续.例如:设⎩⎨⎧=≠=.0 ,1,0 ,0),(xy xy y x f由于=∂∂==00y x x f 011lim )0,0()0,0(lim 00=∆-=∆-∆+→∆→∆x x f x f x x , =∂∂==00y x yf011lim )0,0()0,0(lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆y yf y f y y . 即),(y x f 在)0,0(点两个偏导数都存在,但),(y x f 在)0,0(点显然间断． 因为(,)(0,0)lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.又如，220, (,)(0,0)(,), (,)(0,0)x y f x y xy x y x y =⎧⎪=⎨≠⎪+⎩在点(0,0)处两个偏导数均存在且为0，但是),(y x f 在)0,0(点不连续，因为222222(,)(0,0)00lim(,)lim lim (1)1x y x x y kxxy kx kf x y x y x k k →→→====+++ 极限不存在.例 是否存在一个函数(,)f x y ，使得4x f x y =+，3y f x y =-？ （分析：21(,)4()2x f x y f dx x xy y φ==++⎰ 4()3y f x y x y φ'⇒=+≠-，所以这样的(,)f x y 不存在.）二、高阶偏导数1、高阶偏导数:设偏导函数),(y x f x 在区域D 内存在有偏导数,则称此偏导数为),(y x f z =的二阶偏导数,并记作⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆x z x y x f x z xx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆x z y y x f yx z xy),(2, 同理: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆y z y y x f y z yy ),(22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆y z x y x f x y z yx ),(2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∆2232x z x x z ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∆2222x z y y x z 等等. 例9求函数22sin()z x x y =⋅+的二阶偏导数.解：22222sin()2cos()x z x y x x y =++⋅+223226cos()4sin()xx z x x y x x y =⋅+-⋅+222cos()y z xy x y =⋅+，222222cos()4sin()yy z x x y xy x y =⋅+-⋅+； 222222cos()4sin()xy yx z z y x y x y x y ==⋅+-⋅+.2.【定理】:如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导),(y x f xy ，),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内必=),(y x f xy ),(y x f yx .二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.例13 设13323+--=xy xy y x z ,于是,6222xy x z =∂∂,6233y x z =∂∂,1223xy y x z =∂∂∂xy x y z 182322-=∂∂,y x x y z 186223-=∂∂∂, x y z 1833-=∂∂,196222--=∂∂∂y y x y x z ,xy x y x z 123=∂∂∂∂,y x y x z 186223-=∂∂∂, 196222--=∂∂∂y y x x y z .xy x y z 1223=∂∂∂,y x yx y z 18623-=∂∂∂∂. 例14设ru 1=222()()()r x a y b z c =-+-+-，证明：2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂.证明:22311u du r r x a x a x dr x r x r r r ∂∂∂--==-=-=-∂∂∂, 22234351313()u r x a x r r x r r∂∂-=-+=-+∂∂；同理 2223513()u y b y r r ∂-=-+∂, 2223513()u z c z r r ∂-=-+∂.2222222223533[()()())u u u x a y b z c x y z r r ∂∂∂-+-+-++=-+∂∂∂ 33330r r=-+=.三、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性在一元函数微积分中我们学习了边际与弹性概念，它们分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售A Q是它的价格A P 及其它商品价格B P 的函数(,)A A B Q f P P =,称A BB AQ P P Q ∂⋅∂为A Q 对B P 的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品； 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.交叉弹性定义：设函数(,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数存在，函数对x 的相对改变量(,)(,)(,)x z f x x y f x y z f x y ∆+∆-=与自变量x 的相对改变量xx∆之比x zz x x ∆∆称为函数(,)f x y 对从x 到x x +∆两点间的弹性．当0x ∆→时，x zz x x∆∆的极限值称为函数(,)f x y 在点(,)x y 处对x 的弹性，记作x Ez Ex η或，即0lim x x x z Ezx z x Ex z x x zη∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.类似可以定义函数(,)f x y 在(,)x y 处对y 的弹性为0lim y y y z Ezy z y Ey z y y zη∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.特别地，如果(,)z f x y =中z 表示需求量，x 表示价格，y 表示消费者收入，则x η表示需求对价格的弹性，y η表示需求对收入的弹性.例15 随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格（用B P 表示）会不断下降。
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p Q 10 py 10
求当p=30,y=3时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性， 并解释其经济含义. 解 Q Q p 2p y p 10 , y
Q 2 30 3 3 , Q p (30,3) 10 y
பைடு நூலகம்
30
(30,3)
2 30 又 Q (30,3) 10 30 3 10 10 因此，需求Q对价格p和收入y的偏弹性分别为
当x=5,y=3时，A型的小车边际成本为
Cy 5,3 5 4 3 17
其经济含义是：当A型小车日产量为5百辆，B型小 车日产量为3百辆的条件下.
(1) 如果B型小车日产量不变而A型小车日产量增加1 百辆，则总成本大约增加53百万元； (2) 如果A型小车日产量不变而B型小车日产量增加 1 百辆，则总成本大约增加17百万元.
2. 偏弹性分析 设函数z=f(x,y)在点的偏导数存在，z=f(x,y)对x的偏 改变量记为 x z f x x0 , y0 －f x0 , y0
称 x z 之比
Δx z 的相对改变量 z 0
Δx 与自变量x的相对改变量 x 0
Δx z z0
Δ x Δx z x 0 x0 Δx z0
E p2 Q1 p 2 p 2 Q1
需求量 Q1 的交叉价格弹性 E p2 ,可用于分析两种商品 的相互关系： (1) 若 E p2 <0，则表示当商品A的价格 p1 不变，而商品 B的价格 p2上升时，商品A的需求量将相应地减少. 这时称商品A和B是相互补充关系. (2) 若 E p2>0，则表示当商品A的价格 p1 不变，而商 品B的价格 p2 上升时，商品A的需求量将相应地增加.
E p 3 30 9 , E y 30 3 =9 10 10
其经济含义是：当价格定在每平方米3000元，人均 年收入3万元的条件下，若价格每平方米提高1%而 人均年收入不变，则需求量将减少9%；若价格不变 而人均年收入增加1%，则需求量将增加9%.
Ⅱ 交叉弹性分析
设有A，B两种相关的商品，价格分别为 p1和 p2，消 费者对这两种商品的需求量Q1 和 Q2 由这两种商品的 价格决定，需求函数分别表示为
为需求Q对价格p的偏弹性.
Δ y Q / Q Q y E y lim Δ y 0 Δ y / y y Q
为需求Q对收入y的偏弹性.
例11 设某城市计划建设一批经济住房，如果价格 (单位：百元/平方米)为p，需求量(单位：百间)为Q， 当地居民年均收入(单位：万元)为y，根据分析调研， 得到需求函数为 2
(3) 若 E p2=0，称两商品相互独立.
例13 某品牌数码相机的需求量Q，除与自身价格 (单位：百元) p1 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格 (单位：百元) p2 有关，需求函数为 100 2 Q 120 10p 2 p 2 p1 求 p1 =20, p2 =5时需求量Q的直接价格弹性和交叉 价格弹性，并说明数码相机和彩色喷墨打印机是相互 补充关系还是相互竞争关系？
偏导数在经济中的应用
1.边际分析
设函数z=f(x,y)在点的偏导数存在，称
lim f x (x 0 , y 0 ) Δ x 0 f (x 0 Δ x , y 0 ) f (x 0 , y 0 ) Δx
x
为函数z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对x的边际，称 f ( x, y )是对x 的边际函数. 类似地，称 f ( x , y ) 为z=f(x,y) 在点 ( x , y ) 处对y的边际， 称 f y ( x, y ) 是对y的边际函数.
对x偏导数的经济含义是：在 ( x0 , y0 ) 处，当y不变而 x产生1%的改变时，f(x,y)近似地改变 Ex %.
类似地，可定义f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对y的偏弹性，记 为Ey ，即
Δy z y 0 y0 lim f y (x 0 , y 0 ) Ey Δ y 0 Δ y z0 f (x 0 , y 0 )
为函数f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对x从 x0 到 x0 x 两点间 的弹性.
令Δx→0，则式上式的极限称为f(x,y)在点 ( x0 , y0 )处 对x的偏弹性，记为 Ex ，即
x z x0 x0 Ex lim f x ( x0 , y0 ) x 0 x z0 f ( x0 , y0 )
Q1 Q1 ( p1，p2 )及 Q2 Q2 ( p1，p2 ).
对需求函数Q1 Q1 ( p1，p2 ) ,当 p2 不变时，需求量 Q1 对价格 p1 的偏弹性E p1 称为直接价格弹性，即
E p1 Q1 p 1 p 1 Q1
对需求函数 Q1 Q1 ( p1，p2 ) ,当 p1 不变时，需求量 Q1 对价格 p2 的偏弹性 E p2称为交叉价格弹性，即
称
E x f x (x , y )
Ey
f y (x , y )
y f (x , y )
x f (x , y )
为f(x,y)分别对x和y的偏弹性函数.
Ⅰ 需求偏弹性分析 设某产品的需求量Q=Q(p,y),其中p为该产品的价 格,y为消费者收入，则称
Δ p Q / Q Q p E p lim Δ p 0 Δ p / p p Q
故需求量Q的直接价格弹性为
E p1
Q p 1 1 20 0.1 p 1 Q 4 50
需求量Q的交叉价格弹性为
E p2 Q p 2 20 5 2 p 2 Q 50
.
由 E p2<0，故数码相机和彩色喷墨打印机是相互补
充关系.
y 0 0
0
0
边际 f x ( x0 , y0 ) 的经济含义是:在点 ( x0 , y0 ) 处,当y保持 不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变 f x ( x0 , y0 ) 个单位. 例10 某汽车生产商生产A,B两种型号的小车，其日 产量分别用x,y(单位：百辆)表示，总成本(单位：百 万元)为
C x, y 10 5x2 xy 2y 2
求当x=5,y=3时，两种型号的小车的边际成本， 并解释其经济含义.
解
总成本函数的偏导数
Cx x, y 10x y, Cy x, y x 4y.
Cx 5,3 10 5 3 53
B型的小车边际成本为
解
p1 20, p2 5 时
Q (20,5) 120 100 10 5 52 50 20 Q Q 100 1 (10 2p 2 ) (20， 20 2 5) p1 (20， 4 p 2 (20， p1 (20， 5) 5) 5)
,