导数在经济学中的简单应用(1)

例如, 某商品价格上涨了 1 元, 价格的改变量为 1, 若 商品原来的价格为 10 元, 则表明商品价格上涨了 10%, 若 商品原价为 100 元, 则商品价格上涨了 1%,
因此商品价格上涨的百分比更能反映商品价格的改变 情况. 为此引入相对改变量及相对变化率概念.
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定义 函数的相对改变量 y 与自变量的相对改变量 x 之比
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例1 求函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值。
解 y 6x
y 6x 12
x2
x2
函数 y 3x2在 x 2处的边际函数值为12
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(1) 边际成本.
设总成本函数 C C(Q), Q为产量, 称它的导数 C(Q)为边际成
本函数,简称边际成本。C(Q0 )称为当产量为 Q0时的边际成本。
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
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例3 设某产品的需求函数为 P 10 Q , 5
求销售量为30个单位时的总收益、平均收益与边际收益。
总收益： R(Q)
第三章 导数与微分
3.1 导数的概念 3.2 求导法则 3.3 基本导数公式与高阶导数 3.4 函数的微分 3.5 导数在经济学中的简单应用
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3.5 导数在经济学中的简单应用
在经济与管理中常常要考虑产量、成本、利
润、收益、需一求、、供边给际等分问析题, 通常成本、收益、
利润都是产量的函数. 本节主要介绍经济学中的边
y f ( x0 x) f ( x0 )
如函数 f ( x)在点 x0可微，则
y dy |xx0 f ( x0 )x
假如 x 1, 则 y f ( x0 )
这说明当 x在 x0点改变“一个单位”时，y相应的近似改变 f ( x0 )个单位。 边际函数值描述了 f (x)在点 x0处的变化速度.
将相应增减L(Q0 )个单位。
一般来说，总利润函数可以看成总收益函数与总成本函数之
差，即
L(Q) R(Q) C(Q).
显然，边际利润为
L(Q) R(Q) C(Q).
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二.弹性分析
边际函数描述了函数的变化率, 为定义变化率引入了 变量的改变量概念. 在经济问题中有时仅仅考虑变量的改 变量还不够,
其经济意义为：当产量达到 Q0时，如果增减1个单位产品, 则成本将相应增减 C(Q0 )个单位。
一般情况下，总成本 C(Q)由固定成本 C0和可变成本 C1(Q)
组成，即
C(Q) C0 C1(Q),
而边际成本 C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q), 可见，边际成本与固定成本无关。
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际分析与弹性二分、析弹问题性.
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一、边际分析
设 y f ( x)是一个经济函数,其导数 f ( x)称为 f ( x)的
边际函数。f ( x0 )称为 f ( x)在点 x0的边际函数值。
对于经济函数 f ( x)，设经济变量 x 在点 x0有一个改变 量 x，则经济变量 y 在 y0 f ( x0 ) 处有相应的改变量
Ex
x x0
lim y / y0 x0 x / x0
x0 lim y y0 x0 x
x0 y0
f ( x0 )
x0 f (x0 )
f (x0 )
对于任意点 x,若 f (x)可导, 则
Ex
x f (x)
f (x)
称为 f (x)的弹性函数.
它反映了随自变量 x 的改变,函数 f (x)变化幅度的 大小, 即当 x 每改变 1%时, f (x)改变了 Ex %.
P与Q为正数，所以把
EP
lim Q / Q P0 P / P
f (P ) P Q
称为需求弹性函数。
EP EP 经济意义：
当价格p上升1%，需求量Q将下降 Ep %
经济意义： 当价格p上升1%，需求量Q将下降 Ep % 1. 当 Ep =1时,称为单位弹性，
经济意义：当价格p上升1%，需求量Q将下降1%. 说明：商品的需求量变动的百分比等于价格变动的百分比。
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例2 设总成本函数
C(Q) 5000 60Q 1 Q2 , 20
求边际成本函数和 Q 1000单位时的边际成本，
并解释后者的经济意义。
C(Q) 1 Q 60, 10
C (Q )
1 Q 60
40
Q1000 10
Q1000
其经济意义为：当产量达到1000时，如果增减1个单位产品,
则成本将相应增减 40个单位。
(2) 边际收益.
设总收益函数 R R(Q)，Q为销售量，称它的导数 R(Q)为边
际收益函数，简称边际收益。R(Q0 )称为商品销售量为 Q0时的 边际收益。
其经济意义为：当销售量达到 Q0时，如果多(或少)销售一个
单位产品，则收益将相应增加(或减少)R(Q0 )个单位。
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
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例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
x f (x)
f
(
x)
=
x 3e 2
x
6e2x 2x
Ex x1 2
经济问题中通常要考虑的是需求与供给对价格的弹性.
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(1) 需求弹性.
设需求函数为 Q f (P),为单调减函数，故P与Q异号，
PQ
Q30
Q30
10
QБайду номын сангаас5
Q
120
Q30
平均收益 R(Q)
R(Q)
120 4
Q30
Q Q30 30
边际收益 R(Q)
10 2Q
2
Q30
5 Q30
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(3) 边际利润.
设产品的总利润函数 L(Q), Q为产量，称它的导数L(Q)为边 际利润，L(Q0 )称为当产量为Q0时的边际利润。 经济意义：当产量达到Q0时,如果增减1个单位产品,则利润
y
x
y / y
x / x 称为函数 f ( x)从 x到x x两点间的（弧）弹性。
定义 x 0时，y / y 的极限称为 f ( x)在点 x 处的 x / x
（点）弹性，记作Ex ,即
Ex
lim
x0
y / x /
y x
.
相对变化率
称其为 f ( x)的弹性函数。
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若 y f (x)在点 x0可导, 则