二次函数顶点式的妙用_图像_性质
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数中像的顶点性质和性质
二次函数中像的顶点性质和性质二次函数中顶点的性质和性质一直是数学学习中的重要内容之一。
顶点是二次函数的关键特征之一，它不仅能帮助我们了解函数的形状和性质，还可以在解决实际问题中发挥重要作用。
本文将对二次函数中顶点的性质和性质进行探讨。
一、顶点的定义顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是函数曲线的转折点。
在一般形式的二次函数y=yy^2+yy+y中，顶点的横坐标为y=−y/2y，纵坐标为y=y(−y/2y)。
二、顶点的性质1. 函数的最值：顶点是二次函数图像的最高点或最低点，因此具有最值性质。
当二次函数开口朝上时，顶点为最低点，函数的最小值就是顶点的纵坐标；当二次函数开口朝下时，顶点为最高点，函数的最大值就是顶点的纵坐标。
2. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。
以顶点为中心，x轴是对称轴，即顶点的左右两侧图像相同。
这一性质在解题和绘制函数图像时非常有用。
3. 奇偶性：二次函数的奇偶性与a的正负相关。
当y为偶数时，函数的图像关于y轴对称，即具有偶对称性；当y为奇数时，函数的图像关于顶点对称，即具有奇对称性。
三、顶点的应用1. 最优化问题：顶点性质在最优化问题的解决中有重要作用。
例如，若要在给定边界条件下求解二次函数的最大或最小值，可以通过分析顶点来得到最优解。
2. 函数图像绘制：顶点性质使得绘制二次函数的图像更加简单。
我们只需计算出顶点的坐标，再确定其他点的位置，就能很好地绘制出函数的图像。
3. 方程求解：通过顶点的坐标，我们可以得到二次函数的标准或一般形式。
从而能够更容易地求解二次函数的解、根、交点等问题。
综上所述，二次函数中顶点的性质和应用非常重要并且广泛。
掌握了顶点的定义和性质，我们能更好地理解二次函数的图像、方程和应用，更加灵活地解决相关问题。
在数学学习中，我们应该深入研究和探索顶点的性质，并灵活运用到实际问题中。
这样，我们才能全面提高自己的数学素养和解决问题的能力。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数顶点坐标公式及其应用
二次函数顶点坐标公式及其应用二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，且a≠0。
它的图像是抛物线。
顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标可以用以下公式求得：x=-b/2ay=f(x)=a(x-h)^2+k其中，(h,k)表示顶点的坐标。
通过这个公式，我们可以很方便地求得二次函数的顶点坐标。
应用一：求解最优问题二次函数的顶点坐标在数学上具有重要的意义，它可以用来求解很多最优问题。
例如，我们想要在一个矩形内部，离一条边的距离最远，那么这个问题可以转化为求解顶点坐标的问题。
我们可以通过求解二次函数的极值来找到这个最优解。
应用二：描述物体运动的轨迹二次函数也可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个物体从离地面一定高度开始自由下落，那么它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
我们可以通过求解二次函数的顶点坐标，来确定物体的最高点、落地点和运动轨迹等信息。
应用三：经济学中的边际分析在经济学中，边际分析是一种重要的工具，而二次函数的顶点坐标可以用来分析边际效应。
边际效应是指增加或减少一个单位的其中一种输入所产生的效益变化。
通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以找到产生边际效应最大或最小的输入水平，从而指导经济决策。
应用四：求解几何问题在几何学中，二次函数的顶点坐标也有广泛的应用。
例如，在平面几何中，已知一个抛物线和一条直线，我们想要找到抛物线上离直线最近和最远的点，就可以通过求解二次函数的顶点坐标来解决这个问题。
应用五：拟合实验数据二次函数的顶点坐标还可以用来拟合实验数据。
当我们通过实验或观察得到一些数据点时，可以通过求解二次函数的顶点坐标，来得到一个最佳的二次函数模型，以便与观察数据相拟合。
总结：二次函数的顶点坐标公式是一个简单且实用的工具，它在数学和应用领域都有着广泛的应用。
它可以用来解决最优问题、描述物体运动的轨迹、经济学中的边际分析、求解几何问题以及拟合实验数据等。
通过掌握二次函数的顶点坐标公式，我们可以更好地理解和应用这个函数模型。
二次函数的顶点式的图像及性质
顶点式的图像特点
顶点式的图像特点包括：对称性（关于顶点对称）、顶点的坐标与图像的位 置、抛物线的开口方向和形状。
顶点式与二次函数的关系
顶点式是一种方程形式，通过顶点和开口方向表达了二次函数的图像特点， 能够帮助我们更好地理解和分析二次函数。
顶点式与平移变换的关系
顶点式可以通过改变顶点的坐标实现平移变换，从而在坐标平面上移动和调整抛物线的位置。
顶点式的性质
顶点式具有区间可见性、单调性、最值、极值点的性质等，这些性质帮助我 们更好地理解和分析二次函数的图像特点。
顶点式的应用示例
顶点式在物理学、经济学等领域有广泛的应用。例如，通过顶点式可以研究抛物线的最小值、最大值以及最优 解等问题。
二次函数的顶点式的图像 及性质
本节介绍二次函数的顶点式，包括定义、一般形式和性质。我们将展示顶点 式的图像特点，并说明与二次函数、平移变换的关系，最后提Байду номын сангаас应用示例。
顶点式的含义
顶点式是用来表示二次函数的一种方程形式。它通过给出顶点的坐标和抛物 线的开口方向来描述二次函数的图像。
顶点式的一般形式
二次函数的顶点式一般形式为：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标，a表示抛物线的开口方向和形状 （正值为开口向上，负值为开口向下）。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数的顶点与轴对称性质解析
二次函数的顶点与轴对称性质解析二次函数是一种常见的函数形式，由一次项和二次项组成。
在解析二次函数的性质时，我们需要重点关注它的顶点和轴对称性质。
本文将详细解析二次函数的顶点和轴对称性质，并探讨其应用。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，a不等于0。
我们可以通过这个一般形式来分析二次函数的顶点和轴对称性质。
1. 顶点的求解二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，这取决于二次项的系数 a 的正负性。
要求解顶点，我们可以使用以下公式：x = -b / (2a)y = f(x) = ax^2 + bx + c举例来说，对于函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，首先我们可以通过比较系数的方法得到 a = 1，b = 2 和 c = 1。
然后，根据公式计算顶点的 x 坐标：x = -2 / (2 * 1) = -1将 x = -1 代入函数中计算顶点的 y 坐标：y = f(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0因此，函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 的顶点坐标为 (-1, 0)。
2. 轴对称性质二次函数与其轴对称相关联。
对于一般形式的二次函数 y = ax^2 +bx + c，它的轴对称线方程可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)在顶点的求解过程中，我们已经得到了顶点的 x 坐标，那么这个 x坐标也是函数图像的对称轴。
将二次函数的一般形式代入轴对称线方程中，即可得到对称轴的方程。
3. 图像的性质通过函数的顶点和轴对称性质，我们可以进一步分析二次函数的图像特点。
具体来说，当 a 大于 0 时，二次函数的图像开口朝上，最低点为顶点；当a 小于0 时，二次函数的图像开口朝下，最高点为顶点。
此外，当二次函数的 a 的绝对值大于 1 时，图像会变得更加陡峭；当 a 的绝对值小于 1 时，图像会变得更加平缓。
4. 应用二次函数的顶点与轴对称性质在数学和物理等多个领域有着广泛的应用。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数中的顶点轴对称与像变换
二次函数中的顶点轴对称与像变换二次函数是高中数学常见的一种函数形式，它的图像通常呈现出一条平滑的弧线。
在学习二次函数时，我们会关注到其中的顶点轴对称性质以及通过变换对图像进行调整的像变换。
本文将详细介绍二次函数中的顶点轴对称性质以及像变换的概念和实际应用。
一、顶点轴对称性质顶点轴对称是指二次函数图像关于某一垂直直线对称。
而这条垂直直线就是二次函数的对称轴。
对称轴可以通过函数表达式中的 x 部分来确定。
1. 一般式二次函数一般来说，一般式的二次函数表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
当a ≠ 0 时，二次函数的图像是一个抛物线。
对于一般式的二次函数，其对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)2. 顶点式二次函数另一种常见的二次函数表达式为顶点式：f(x) = a(x - h)^2 + k。
其中a、h、k 是常数，a ≠ 0。
a 决定了二次函数的开口方向，h、k 则决定了图像的平移。
顶点式的二次函数表达式已经将顶点的坐标(h, k)直接体现出来。
顶点是二次函数的图像中的一个重要点，它也是二次函数的对称轴上的一个点。
二、像变换通过对二次函数的变换，我们可以对其图像进行平移、伸缩、翻转等操作，从而改变原始函数的形状和位置。
1. 平移对于一般式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，平移的变换形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k。
其中 (h, k) 表示平移的横向和纵向距离。
平移后的二次函数图像在坐标平面上的位置相对于原来的位置发生了变化，但形状不发生改变。
2. 伸缩伸缩是指通过改变二次函数图像的开口程度，将图像的形状进行改变。
伸缩的变换形式为：f(x) = a * b(x - h)^2 + k。
其中 a 和 b 是常数，a 代表纵向方向上的伸缩因子，b 代表横向方向上的伸缩因子。
当 |a| > 1 时，图像在纵向上被拉长；当 |a| < 1 时，图像在纵向上被压缩。
二次函数(顶点式)图像性质
填表:
y 2x2 开口向上 直线X=0 (0, 0)
y2(x1)2 开口向上 直线X=1 (1, 0) y2(x1)2 开口向上 直线X=-1 (-1, 0)
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移 y=ax2
k<0 下移
y=ax2+k
函数图象的讨论,分析归纳出 ya(xh)2k
的性质: (1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
yax2k(a0) 开口向上 ya(xh)2(a0) 开口向上 ya(xh)2k(a0) 开口向上
直线X=0 (0,k) 直线X=h (h,0)
直线X=h (h,k)
练习3
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=-----
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），
求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位
得到的抛物线是
。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
（5）请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平 移得到?
（6）抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到 吗?
练习4:
一条抛物线的形状与抛物线 y 3x2
相同,其对称轴与抛物线 y(x2)2
相同,且顶点的纵坐标是4,写出这条抛物 线的解析式.
练习5：一条抛物线的形状与抛物线 y2(x2)2 相同,其顶点坐标是(-1,3),写出这个抛物线的解析式.
恨 朲 苼 ！ 娄 娄圣斗 士 ぃ阎 ら罗 ぃ 阎う 婆 浅く 歌う ハ マナシ の葬礼 齐亓の 大圣
二次函数顶点坐标公式及其应用ppt课件
y(cm2)
(1)求y与x之间的函数式，
并确定自变量的取值范围．
A
(2)当PQ为多少时,
此矩形的面积最大， 并求这个最大面积.
P
EN
BQ
完整编辑ppt
DM C
20
6.如图，RT△ABC中， ∠C=90°AB= 2 5 ，
sinB= 5 ，点P为边BC上一动点，PD∥AB，
5
PD交AC于点D，连结AP.
(1)求矩形PQED的面积y关于x的函数表达式，并写 出自变量x的取值范围；
(2)当x取什么值时，矩形PQED 的面积最大？
(3)连结PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
A
D
E
B
P F Q 完整编辑ppt C
23
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(1)求AC、BC长；
(2)设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，
y最大，并求出最大值.
A
D
B
P 完整编辑ppt
C
21
7.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°， ∠A=45°，AB=30，BC=x，其中15＜x＜30.作 DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F 处，DF交BC于点G.
完整编辑ppt大（小）值解决 实际问题.
完整编辑ppt
10
▪例、 用长20cm的铁丝围成
一矩形框架，如果矩形的一
边长为xcm，写出矩形面积y
（cm2）与x（cm）之间的函
数关系式.并求x为多少时，
这个矩形的面积最大，最大
面积为多少？
完整编辑ppt
二次函数的图像和性质分析
二次函数图像的平移和变换
向上平移：增加常数项b的值 向下平移：减小常数项b的值 向左平移：增加x的系数a的值 向右平移：减小x的系数a的值
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与二次项系数a有关，当 a>0时，开口向上；当a<0时，开 口向下。
开口方向与一次项系数b和常数项c 无关。
添加标题
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一 元二次方程的
根的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数与一 元二次方程的
图像关系
二次函数与一 元二次方程的
系数关系
二次函数与一 元二次方程在 实际问题中的
应用
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数图像的相 似性
二次函数与三角函数的周期性
二次函数与三角函数的对称性
二次函数与三角函数的极值点
添加标题
添加标题
添加标题
开口大小与二次项系数a的绝对值有 关，|a|越大，开口越小；|a|越小， 开口越大。
二次函数的开口方向与对称轴的位 置有关，对称轴在y轴左侧时，开口 向上；对称轴在y轴右侧时，开口向 下。
二次函数的对称轴
二次函数图像的对称轴是x=-b/2a
对称轴的性质：当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，抛物线开口向下， 对称轴为x=-b/2a
计算梯形面积：利用二次函数表示梯形的上底、 下底和高，进而求出面积
计算圆和椭圆面积：将圆和椭圆看作是无 数个小的等腰三角形，利用二次函数表示 这些三角形的面积，进而求出整个圆或椭 圆的面积
计算抛物线形物体面积：利用二次函数表示抛物 线形物体的面积，进而求出其表面积或体积
二次函数的顶点式图像与性质教案
二次函数的顶点式图像与性质教案第一章：二次函数的顶点式图像1.1 引入二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c1.2 解释二次函数的顶点式图像：y = a(x h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标1.3 探讨顶点式图像的特点：开口方向、对称轴、顶点坐标等1.4 利用顶点式图像分析二次函数的增减性、最大值或最小值等性质第二章：开口方向与a的取值2.1 分析a的取值对开口方向的影响：a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下2.2 利用顶点式图像观察不同开口方向的二次函数特点2.3 引导学生通过观察图像判断开口方向及a的取值范围第三章：对称轴与顶点坐标3.1 解释二次函数的对称轴公式：x = h3.2 探讨对称轴与顶点坐标的关系：对称轴经过顶点3.3 利用顶点式图像分析二次函数的对称性质3.4 引导学生通过图像找到对称轴及顶点坐标第四章：增减性与最值4.1 解释二次函数的增减性：a > 0时，函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；a < 0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减4.2 探讨最值的求法：当a > 0时，最小值为顶点的y坐标；当a < 0时，最大值为顶点的y坐标4.3 利用顶点式图像观察二次函数的最值及增减性4.4 引导学生通过图像分析二次函数的最值和增减性第五章：实际问题与二次函数的顶点式图像5.1 引入实际问题：如抛物线运动、物体的抛物线轨迹等5.2 解释实际问题中的二次函数顶点式图像与性质的应用5.3 利用顶点式图像解决实际问题，如求物体的最大高度等5.4 引导学生将实际问题与二次函数的顶点式图像和性质相结合，提高解决问题的能力第六章：二次函数图像的平移6.1 回顾一次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减6.2 介绍二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，改变顶点坐标6.3 利用顶点式图像展示二次函数图像的平移过程6.4 引导学生通过实际例子，掌握二次函数图像的平移规律第七章：二次函数图像的叠加7.1 解释二次函数图像的叠加原理：两个函数图像在同一坐标系中绘制，观察交点情况7.2 利用顶点式图像展示两个二次函数图像的叠加情况7.3 探讨二次函数图像的叠加规律：开口方向、对称轴、顶点坐标等7.4 引导学生通过实际例子，理解二次函数图像的叠加原理第八章：二次函数图像与坐标轴的交点8.1 分析二次函数图像与x轴的交点：令y = 0，解方程得到x的值8.2 分析二次函数图像与y轴的交点：令x = 0，解方程得到y的值8.3 利用顶点式图像找出二次函数图像与坐标轴的交点8.4 引导学生通过实际例子，求解二次函数图像与坐标轴的交点第九章：二次函数图像的应用9.1 引入实际应用场景：如抛物线运动、物体的抛物线轨迹等9.2 解释实际应用中二次函数图像的重要性9.3 利用顶点式图像解决实际应用问题，如求物体的最大速度等9.4 引导学生将实际应用与二次函数图像相结合，提高解决问题的能力10.2 强调二次函数图像在实际问题中的应用价值10.3 提出拓展问题，激发学生对二次函数图像与性质的深入研究兴趣10.4 引导学生进行拓展练习，巩固所学知识重点和难点解析一、二次函数的顶点式图像重点和难点解析：理解顶点式图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特点是教学的重点，也是学生理解的难点。
二次函数的顶点式图像与性质教案
二次函数的顶点式图像与性质教案第一章：二次函数的顶点式图像1.1 理解二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c1.2 引入顶点式的概念：y = a(x h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标1.3 绘制二次函数的顶点式图像，观察顶点、开口方向、对称轴等特征1.4 探讨顶点式图像与一般形式图像的关系第二章：顶点式图像的性质2.1 理解顶点式图像的顶点坐标对图像的影响2.2 探讨顶点式图像的开口方向与a的关系2.3 分析顶点式图像的对称轴方程：x = h2.4 探讨顶点式图像的增减性：a > 0时，y随x增大而增大；a < 0时，y先增大后减小第三章：二次函数的顶点式与一元二次方程3.1 理解二次函数的顶点式与一元二次方程的根的关系3.2 利用顶点式将二次函数转化为一元二次方程：y = a(x h)^2 + k = 03.3 求解一元二次方程，得出x的值3.4 分析一元二次方程的根与顶点式图像的交点关系第四章：实际问题中的应用4.1 引入实际问题，如：抛物线与坐标轴的交点、物体运动等4.2 利用顶点式图像分析实际问题中的最大值、最小值等4.3 探讨实际问题中对称性的应用4.4 分析实际问题中开口方向与实际情况的关系第五章：总结与拓展5.1 总结二次函数的顶点式图像与性质的主要内容5.2 探讨二次函数的顶点式图像在实际问题中的应用5.3 提出拓展问题，如：二次函数的顶点式图像与线性函数的关系等5.4 鼓励学生自主研究，培养学生的探究能力第六章：对称轴与顶点的关系6.1 回顾顶点式y = a(x h)^2 + k 中对称轴的定义6.2 分析对称轴与顶点坐标的h 值的关系6.3 探讨对称轴在实际问题中的应用，如抛物线射击、几何图形的对称性等6.4 进行对称轴相关的练习题，巩固学生对对称轴的理解第七章：开口方向与二次函数的性质7.1 引入开口方向的概念，分析a 值对开口方向的影响7.2 探讨开口方向与顶点式图像的关系7.3 分析开口方向在实际问题中的应用，如球的体积、光学问题等7.4 进行开口方向相关的练习题，帮助学生理解开口方向的意义第八章：增减性分析8.1 回顾顶点式图像的增减性：a > 0 时，y 随x 的增大而增大；a < 0 时，y 的变化为先增大后减小8.2 分析增减性在实际问题中的应用，如气温变化、经济曲线等8.3 进行增减性相关的练习题，让学生掌握增减性的分析方法8.4 探讨增减性与对称轴、开口方向的关系第九章：实际问题中的二次函数应用9.1 引入复杂的实际问题，如利润最大化、路程优化等9.2 利用二次函数的顶点式图像分析实际问题，求解最优解9.3 探讨实际问题中二次函数的多种应用场景，如物理运动、工程设计等9.4 进行实际问题相关的练习题，提高学生解决实际问题的能力第十章：总结与拓展10.1 回顾本节课的主要内容，总结二次函数的顶点式图像与性质的关键点10.2 鼓励学生进行拓展学习，如研究三次函数、高次函数的图像与性质10.3 提出课程延伸问题，如二次函数的顶点式图像在、大数据等领域的应用10.4 布置课后作业，巩固学生对二次函数顶点式图像与性质的理解和应用重点和难点解析一、顶点式图像的绘制与观察：理解顶点式y = a(x h)^2 + k 并能绘制出相应的图像，观察顶点、开口方向和对称轴等特征。
二次函数顶点式的妙用_图像_性质
则a=
3 4
。
4、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2 -2 。 个单位得到的抛物线是 y=3(x-3)² 5、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 (-m,n) 。
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中 心竖直安装一根水管.在水管的顶端 安装一个喷水头,使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y B(1，3) 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3 设这段抛物线对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O －4 y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
x
平移方法2:
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
• 抛物线y=2(x+2)² +3的对称轴为 直线x=-2 , 顶点坐标为 (-2,3) , 可看作由抛物线y=2x² 先向 上 平移 3 个单位，再向 左 平移 2 个单位而得到的.或先向 左 平移 2 个单位， 上 3 再向 平移 个单位而得到的 .
y=ax² + c
a>0,向 上 a<0,向 下
X=0
(0,c)
X=0
(0,c)
y=a(xh)²
a>0,向 上
X=h
(h,0)
a<0,向 下
X=h
(h,0)
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x
平移方法2:
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
• 抛物线y=2(x+2)² +3的对称轴为 直线x=-2 , 顶点坐标为 (-2,3) , 可看作由抛物线y=2x² 先向 上 平移 3 个单位，再向 左 平移 2 个单位而得到的.或先向 左 平移 2 个单位， 上 3 再向 平移 个单位而得到的 .
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 -2 y ( x 1 ) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
y=ax² + c
a>0,向 上 a<0,向 下
X=0
(0,c)
X=0
(0,c)
y=a(xh)²
a>0,向 上
X=h
(h,0)
a<0,向 下
X=h
(h,0)
当x=h时,y 有最大值0
x<h时, y随x的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 减小.
说出平移方式
c>0 上移 y=ax2 c<0 下移 h<0 左移 y=ax2 h>0 右移 简记为“上加下减，左加右 减”. y=a(x-h)2 y=ax2+c
画图
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
1
再描点、连线
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 1 2
y
的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 y ( x 1 ) 1 抛物线 2 的开口向下, 对称轴是直线x=－1,
二次函数顶点式的妙用 y=a(x-h)2+k 的图象和性质
金晶学校
王志伟
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 最值和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
抛物线 y=ax²
开口方 向 a>0,向 上
对称轴 X=0
顶点 (0,0)
最值 当x=0时,y 有最小值0
几 种 形 式 的 二 次 函 数 的 关 系 左 右 平 移
y = a( x - h ) 2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x - h )2
左右平移
y=
ax2
观后感： 我今天学到了什么？
结束寄语
•探索是数学的生命线
二、自主探究:
1 2 y ( x 1 ) 1的图象.指出它的开口 例3.画出函数 2
方向、顶点与对称轴.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点画图.
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 y ( x 1) 2 1 -9 2 -10
(2)抛物线
y
1 2 x 和 2
1 y ( x 1) 2 1 2
x=－1 y
1
有什么关系?
增减情况 x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大
a<0,向 下
X=0
(0,0)
当x=0时,y 有最大值0
当x=0时,y 有最小值c 当x=0时,y 有最大值c 当x=h时,y 有最小值0
x<0时, y随x的增大而增 大; x>0时, y随x的增大而 减小.
x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大 x<0时, y随x的增大而增 大; x>0时, y随x的增大而 减小. x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与 y=ax2形状 相同 _____ ,位置 不同 _____ .把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距 、k 离要根据 h ____ _ 的值来决定.
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位
C(3,0) x 3
思考
• 除了上面建立坐标系的方法外还有没有其 他的方法？
五、课堂小结
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函 2 y a ( x h ) k 的性质: 数图象的讨论,分析归纳出 (1)a的符号决定抛物线的开口方向;
(2)对称轴是直线x=h; (3)顶点坐标是(h,k).
则a=
3 4
。
4、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2 -2 。 个单位得到的抛物线是 y=3(x-3)² 5、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 (-m,n) 。
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中 心竖直安装一根水管.在水管的顶端 安装一个喷水头,使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y B(1，3) 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3 设这段抛物线对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O －4 y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
y = 4(x－3)2＋7
开口方向
向上
对称轴
顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 (1 ,－2 )
向下
向上 向下
直线x=3 ( 3 , 7 )
直线x=2 ( 2,－6 )
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到?
Hale Waihona Puke 3、抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上 ; ———— 当a<0时,开口 向下 ———— ;
(2)对称轴是 直线 x=h ; ————————
(3)顶点是 (h,k) . ————
顶点式
三、课堂反馈：
1.完成下列表格:
二次函数 y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2