二次函数顶点式的妙用_图像_性质

画图
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
1
再描点、连线
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 1 2
y
的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 y ( x 1 ) 1 抛物线 2 的开口向下, 对称轴是直线x=－1,
二次函数顶点式的妙用 y=a(x-h)2+k 的图象和性质
金晶学校
王志伟
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 最值和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
抛物线 y=ax²
开口方 向 a>0,向 上
对称轴 X=0
顶点 (0,0)
最值 当x=0时,y 有最小值0
二、自主探究:
1 2 y ( x 1 ) 1的图象.指出它的开口 例3.画出函数 2
方向、顶点与对称轴.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点画图.
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 -2 y ( x 1 ) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 y ( x 1) 2 1 -9 2 -10
(2)抛物线
y
1 2 x 和 2
1 y ( x 1) 2 1 2
x=－1 y
1
有什么关系?
增减情况 x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大
a<0,向 下
X=0
(0,0)
当x=0时,y 有最大值0
当x=0时,y 有最小值c 当x=0时,y 有最大值c 当x=h时,y 有最小值0
x<0时, y随x的增大而增 大; x>0时, y随x的增大而 减小.
x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大 x<0时, y随x的增大而增 大; x>0时, y随x的增大而 减小. x<0时, y随x的增大而减 小; x>0时,y随x的增大而 增大
C(3,0) x 3
思考
• 除了上面建立坐标系的方法外还有没有其 他的方法？
五、课堂小结
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函 2 y a ( x h ) k 的性质: 数图象的讨论,分析归纳出 (1)a的符号决定抛物线的开口方向;
(2)对称轴是直线x=h; (3)顶点坐标是(h,k).
y=ax² + c
a>0,向 上 a<0,向 下
X=0
(0,c)
X=0
(0,c)
y=a(xh)²
a>0,向 上
X=h
(h,0)
a<0,向 下
X=h
(h,0)
当x=h时,y 有最大值0
Hale Waihona Puke Baidu
x<h时, y随x的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 减小.
说出平移方式
c>0 上移 y=ax2 c<0 下移 h<0 左移 y=ax2 h>0 右移 简记为“上加下减，左加右 减”. y=a(x-h)2 y=ax2+c
x
平移方法2:
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
• 抛物线y=2(x+2)² +3的对称轴为 直线x=-2 , 顶点坐标为 (-2,3) , 可看作由抛物线y=2x² 先向 上 平移 3 个单位，再向 左 平移 2 个单位而得到的.或先向 左 平移 2 个单位， 上 3 再向 平移 个单位而得到的 .
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上 ; ———— 当a<0时,开口 向下 ———— ;
(2)对称轴是 直线 x=h ; ————————
(3)顶点是 (h,k) . ————
顶点式
三、课堂反馈：
1.完成下列表格:
二次函数 y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
则a=
3 4
。
4、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2 -2 。 个单位得到的抛物线是 y=3(x-3)² 5、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 (-m,n) 。
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中 心竖直安装一根水管.在水管的顶端 安装一个喷水头,使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y B(1，3) 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3 设这段抛物线对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O －4 y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
几 种 形 式 的 二 次 函 数 的 关 系 左 右 平 移
y = a( x - h ) 2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x - h )2
左右平移
y=
ax2
观后感： 我今天学到了什么？
结束寄语
•探索是数学的生命线
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与 y=ax2形状 相同 _____ ,位置 不同 _____ .把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距 、k 离要根据 h ____ _ 的值来决定.
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位
y = 4(x－3)2＋7
开口方向
向上
对称轴
顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 (1 ,－2 )
向下
向上 向下
直线x=3 ( 3 , 7 )
直线x=2 ( 2,－6 )
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到?
3、抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），