数学奥林匹克初中训练七附答案

数学奥林匹克初中训练题(七)

第 一 试

一. 选择题.(每小题7分,共42分)

( )1.设,a b 是实数,且11111a b b a -=++-,则11b a

++等于:

(B) (C)

( )2.适合于2(2)20y x yx -++=的非负整数对

(,)x y 的个数是:

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )3.如图1,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙

O,ABCD 是矩形,AE=ED,且BE 和CE 把AD 三等

分.则此五边形ABCDE 的面积是:

( )4.若关于x 的不等式3x a x +≥-的解中包含了”x a ≥”,则实数a 的取值范围

是:(A)3a ≥- (B)1a ≥-或3a =- (C)1a ≥或3a =- (D)2a ≥或3a =-

( )5.如图2,在ΔABC 中,M 是边AB 的中点,N 是边AC

上的点,且2AN NC

=,CM 与BN 相交于点K.若ΔBCK 的面积等于1,则ΔABC 的面积等于: (A)3 (B)

103 (C)4 (D)133 ( )6.设,,a b c 为实数,且0a ≠,抛物线2y ax bx c =++

与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,且抛物线的顶点在直线1y =-上.若ΔABC 是直角三角形,则Rt ΔABC 面积的最大值是:

(A)1 (C)2 (D)3

二. 填空题.(每小题7分,共28分)

1.设x 是实数,则函数123y x x x =-+---的最小值是 .

2.方程20x ax b ++=的两根为12,x x ,且3322121212,x x x x x x +=+=+,则有序实数

组(,)a b 共有 个.

3.若2a b a c b c c a a b c

+==++++,则::a b c = . 4.如图3,正ΔEFG 内接于正方形ABCD,其中E,F,G 分别在边AB,AD,BC 上,若

2,AE EB =则BG BC = . 第 二 试

一.(20分)如图4,在锐角ΔABC 内有一点P,直线

AP,BP,CP 分别交对边于Q 1,Q 2,Q 3,且∠PQ 1C=∠

PQ 2A=∠PQ 3B.试问:点P 是否必为ΔABC 的垂心?

如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.

二.(25分)设p 为素数,k 是正整数.

求证:方程210x px kp ++-=至少有一个整数根

的充分必要条件是1k =

三.(25分)是否存在这样的正整数n ,使得2371n n +-能整除32

1n n n +++?请说明理由.